專題13幾何初步與平行線

第13講幾何初步與平行線（精講）通過實(shí)物和具體模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點(diǎn)等。會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點(diǎn)的意義掌握基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線掌握基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短理解兩點(diǎn)間距離的意義，能度量兩點(diǎn)間的距離理解角的概念，能比較角的大小認(rèn)識度、分、秒，會對度、分、秒進(jìn)行簡單的換算，并會計算角的和、差理解對頂角的概念、探索并掌握對頂角的性質(zhì)理解互為余角和補(bǔ)角的概念探索并掌握同角（等角）余角、補(bǔ)角的性質(zhì)理解垂線、垂線段等概念，能用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫已知直線的垂線理解點(diǎn)到直線的距離的意義，能度量點(diǎn)到直線的距離掌握基本事實(shí)：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角理解平行線概念掌握基本事實(shí)：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行掌握基本事實(shí)：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行掌握平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等能用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），那么兩直線平行探索并證明平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)）了解平行于同一條直線的兩條直線平行★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸TOC\o"12"\h\u第13講幾何初步與平行線（精講） 1考點(diǎn)1：直線與線段 3考點(diǎn)2：角及相交線的相關(guān)計算 13考點(diǎn)3：垂線及其性質(zhì) 23考點(diǎn)4：平行線的性質(zhì)及其判定 31課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 48分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 50考點(diǎn)1：直線與線段①基本事實(shí)（1）直線的基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．（2）線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間，線段最短．｛直線、線段與射線★｝軒軒同學(xué)帶領(lǐng)自己的學(xué)習(xí)小組成員預(yù)習(xí)了“線段、射線、直線”一節(jié)的內(nèi)容后，對圖展開了討論，下列說法不正確的是A．直線與直線是同一條直線 B．射線與射線是同一條射線 C．射線與射線是同一條射線 D．線段與線段是同一條線段【分析】根據(jù)直線、線段、射線的有關(guān)內(nèi)容逐個判斷即可．【解答】解：、直線與直線是同一條直線，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；、射線與射線不一定是同一條射線，原說法錯誤，故本選項(xiàng)符合題意；、射線與射線是同一條射線，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；、線段與線段是同一條線段，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本考查了直線、線段、射線的有關(guān)內(nèi)容，能熟記直線、線段、射線的定義和表示方法是解此題的關(guān)鍵．｛直線的基本事實(shí)★｝如圖，從地到地有三條路線，由上至下依次記為路線、、，則從地到地的最短路線是，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間，線段最短 C．經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線 D．直線比曲線短【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：從地到地的最短路線是，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是兩點(diǎn)之間線段最短，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了線段的性質(zhì)，熟記兩點(diǎn)之間，線段最短是解題關(guān)鍵．｛線段的計算★★｝已知直線上有，，三點(diǎn)，其中，，則或．【分析】分類討論：當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在線段上，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，，然后把，分別代入計算即可．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)在線段上，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，，所以的長為或．故答案為或．【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離．也考查了分類討論思想的運(yùn)用．｛線段的計算★★｝線段，延長到點(diǎn)，使，反向延長到點(diǎn)，使為的中點(diǎn)，則線段的長為．【分析】根據(jù)題意分別求出、的長，計算即可．【解答】解：如圖，，，為的中點(diǎn)，，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離的計算，正確理解題意、根據(jù)題意畫出圖形、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．｛線段的計算★★｝點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若，則14或10．．【分析】根據(jù)題意分為兩種情況：①根據(jù)題意畫圖，如圖1，由已知條件，，可得的長度，由是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得和的長度，根據(jù)代入計算即可得出答案；②根據(jù)題意畫圖，如圖1，由已知條件，，可得的長度，由是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可得和的長度，根據(jù)代入計算即可得出答案．【解答】解：①根據(jù)題意畫圖，如圖1，，，，是線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，；②根據(jù)題意畫圖，如圖2，，，，，是線段的中點(diǎn)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，．故答案為：14或10．【點(diǎn)評】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．｛直線、射線、線段★｝在下列生活現(xiàn)象中，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋的是A．用一個釘子把一根細(xì)木條釘在木板上，用手拔木條，木條能轉(zhuǎn)動 B．植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上 C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程 D．把筆尖看成一個點(diǎn)，當(dāng)這個點(diǎn)運(yùn)動時便得到一條線【分析】直接利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：、用一個釘子把一根細(xì)木條釘在木板上，用手拔木條，木條能轉(zhuǎn)動，不可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋，故此選項(xiàng)不符合題意；、植樹時，只要栽下兩棵樹，就可以把同一行樹栽在同一條直線上，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋，故此選項(xiàng)不符合題意；、把彎曲的公路改直，就能縮短路程，可以用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”來解釋，故此選項(xiàng)不符合題意；、把筆尖看成一個點(diǎn)，當(dāng)這個點(diǎn)運(yùn)動時便得到一條線，可以用基本事實(shí)“無數(shù)個點(diǎn)組成線”來解釋，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．｛線段的計算★★｝如圖，已知線段，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)．若，則線段的長為7．【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得、的長，根據(jù)線段的和差，可得的長．【解答】解：由點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，得，．，，由線段的和差，得，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差．｛線段的計算★★｝已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，若，則7或17.5．【分析】分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在之間時；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時；分別求解即可．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在之間時，如圖1，，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，如圖2，，，，設(shè)，，，，；故答案為：7或17.5．【點(diǎn)評】本題考查兩點(diǎn)間的距離，能夠根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．｛線段的計算★★｝已知線段，若是的三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則線段的長度為或．【分析】根據(jù)是的三等分點(diǎn)，可得的長，再根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由線段，若是的三等分點(diǎn)，得，或．當(dāng)時，由是的中點(diǎn)，得；當(dāng)時，由是的中點(diǎn)，得；故答案為：或．【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了三等分點(diǎn)的性質(zhì)：距點(diǎn)近的三等分點(diǎn)，距點(diǎn)遠(yuǎn)的三等分點(diǎn)，以防漏掉．｛線段的計算★★｝已知點(diǎn)，，都在直線上，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，則8或16．【分析】分兩種情況：點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時，再根據(jù)相應(yīng)線段的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時，如圖所示：點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，則，即，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右邊時，如圖所示：點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，則，，，，，．綜上所述，或16．故答案為：8或16．【點(diǎn)評】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離，解答的關(guān)鍵是分類討論：點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，容易漏其中一種情況，是易錯題．｛線段的計算★★｝點(diǎn)在直線上，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則線段的長為或．【分析】分類討論：點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長線上，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得、的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，得：，，由線段的和差，得；當(dāng)點(diǎn)在線段上時，由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，得：，，由線段的和差，得；故答案為：或．【點(diǎn)評】題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．（2017?黔南州）如圖，建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，其運(yùn)用到的數(shù)學(xué)原理是A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．垂線段最短 D．過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行【分析】直接利用直線的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法運(yùn)用到的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了直線的性質(zhì)，正確把握直線的性質(zhì)聯(lián)系實(shí)際生活是解題關(guān)鍵．（2021?泰州）互不重合的、、三點(diǎn)在同一直線上，已知，，，這三點(diǎn)的位置關(guān)系是A．點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間B．點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間 C．點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間 D．無法確定【分析】用假設(shè)法分別計算各選項(xiàng)中的值，再根據(jù)判斷即可．【解答】解：，，，、、三點(diǎn)互不重合，若點(diǎn)在、之間，則，即，解得，故情況存在，若點(diǎn)在、之間，則，即，解得，故情況不存在，若點(diǎn)在、之間，則，即，此時無解，故情況不存在，互不重合的、、三點(diǎn)在同一直線上，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離及整式的加減，分類討論和反證法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（2020?涼山州）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)．若線段，則線段的長為A． B． C．或 D．或【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和線段三等分點(diǎn)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：是線段的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，①當(dāng)時，如圖，；②當(dāng)時，如圖，．所以線段的長為或，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：角及相交線的相關(guān)計算①概念：（1）角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形．（2）角平分線：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個角分成兩個相等的角的射線②角的度量：1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''③余角和補(bǔ)角：（1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；（2）補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補(bǔ)角.（3）性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等．④對頂角、鄰補(bǔ)角：（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點(diǎn)而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.（2）性質(zhì)：對頂角相等，鄰補(bǔ)角之和為180°.｛角的概念★｝下列四個圖中，能用、、三種方法表示同一個角的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)角的表示方法和圖形進(jìn)行判斷即可．【解答】解：、圖中的不能用表示，故本選項(xiàng)錯誤；、圖中的不能用表示，故本選項(xiàng)錯誤；、圖中、、表示同一個角，故本選項(xiàng)正確；、圖中的不能用表示，故本選項(xiàng)錯誤；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．｛鐘面角★｝9點(diǎn)30分時，鐘表上時針與分針?biāo)M成的角為105度．【分析】根據(jù)鐘面角的特征進(jìn)行計算即可．【解答】解：如圖，由鐘面角的定義可知，，，，故答案為：105．【點(diǎn)評】本題考查鐘面角，理解鐘面上每相鄰兩個數(shù)字之間所對應(yīng)的圓心角為是解決問題的前提．｛角的換算★｝計算的結(jié)果為．【分析】根據(jù)度分秒的計算方法進(jìn)行計算即可．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查度分秒的換算，掌握度分秒的換算方法以及角度的計算是正確解答的關(guān)鍵．｛角的換算★｝31度分秒．【分析】根據(jù)“1度分，即，1分秒，即”進(jìn)行換算．【解答】解：，，所以，故答案為：31，27，36．【點(diǎn)評】本題考查了度分秒的換算，利用大單位化小單位乘以進(jìn)率，小單位化大單位除以進(jìn)率是解題關(guān)鍵．度分秒之間的換算要注意：，．｛角的計算★｝如圖，是的平分線，是的平分線，已知，則64度．【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【解答】解：是的平分線，是的平分線．，，，故答案為：64．【點(diǎn)評】本題考查角平分線的定義，理解角平分線的意義以及角的和差關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．｛角的計算★｝將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕．若與重合，則為90度．【分析】利用折疊變換為軸對稱變換，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，利用平角的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：、為折痕，與重合，，，，．故答案為：90．【點(diǎn)評】本題主要考查了角的計算，軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱的性質(zhì)得到，是解題的關(guān)鍵．｛角的計算★｝如圖，在的內(nèi)部，已知是的平分線，平分，若，，則．【分析】利用角平分線的定義分別求出和，則即可求得結(jié)論．【解答】解：是的平分線，．平分，．．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義．熟練應(yīng)用角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．｛余角、補(bǔ)角★｝一個角的余角的2倍比這個角的補(bǔ)角少，那么這個角的度數(shù)是．【分析】設(shè)這個角為，表示出這個角的余角與補(bǔ)角，根據(jù)這個角的余角的2倍比這個角的補(bǔ)角少，可列方程求解即可．【解答】解：設(shè)這個角為，則這個角的余角為，這個角的補(bǔ)角為，由題意得，，解得，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查余角與補(bǔ)角，理解互為余角與互為補(bǔ)角的意義是解決問題的關(guān)鍵．｛角的大小比較★｝比較：（填“”、“”或“”．【分析】首先利用度分秒換算法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再比較大小．【解答】解：，．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了角的比較大小以及度分秒轉(zhuǎn)化，正確掌握度分秒轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．｛角的定義★｝下列四個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是A．B．C． D．【分析】角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示．角還可以用一個希臘字母表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字表示．【解答】解：能用、、三種方法表示同一個角的圖形是選項(xiàng)中的圖，選項(xiàng)，，中的圖都不能用、、三種方法表示同一個角的圖形，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了角的概念，有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．角可以用三個大寫字母表示，其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母究竟表示哪個角．｛角的計算★｝如圖所示，是的平分線，平分，且，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】利用角平分線的性質(zhì)計算．【解答】解：是的平分線，；是的平分線，；，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了角的平分線，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛角的計算★｝把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中、、三點(diǎn)在同一直線上，為的平分線，為的平分線，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】由角平分線的定義可知，，再利用角的和差關(guān)系計算可得結(jié)果．【解答】解：為的平分線，，為的平分線，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的定義，利用角平分線的定義計算角的度數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．｛鐘面角★｝鐘表上1點(diǎn)30分，時鐘的時針與分針?biāo)鶌A的角是135度．【分析】根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【解答】解：因?yàn)?點(diǎn)30分時針與分針相距的份數(shù)是，所以4點(diǎn)30分時針與分針?biāo)鶌A的銳角是，故答案為：135．【點(diǎn)評】本題考查了鐘面角，利用時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．｛角的計算★｝是內(nèi)部一條射線，是平分線，是平分線，是平分線，是平分線，則A． B． C． D．【分析】依據(jù)是平分線，是平分線，可得，依據(jù)是平分線，是平分線，可得，進(jìn)而得出．【解答】解：是平分線，是平分線，，是平分線，是平分線，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是利用角的和差關(guān)系進(jìn)行推算．｛角的計算★｝計算：51．【分析】將化成度分秒的形式，度與分分別相加，再化簡即可得出結(jié)論．【解答】解：，故答案為：51；15．【點(diǎn)評】本題主要考查了度分秒的換算，將化成度分秒的形式是解題的關(guān)鍵．｛角的計算★｝計算：．【分析】先算分，不夠借位，再算度，依此計算即可求解．【解答】解：．故答案為：．【點(diǎn)評】考查了度分秒的換算，度、分、秒之間是60進(jìn)制，將高級單位化為低級單位時，乘60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．同時，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．｛余角、補(bǔ)角★｝一個角的補(bǔ)角比這個角的余角的3倍少，則這個角的余角是65度．【分析】利用“一個角的補(bǔ)角比這個角的余角的3倍少”作為相等關(guān)系列方程求解即可．【解答】解：設(shè)該角度數(shù)為，則解得，故這個角的余角是．故答案為：65．【點(diǎn)評】主要考查了余角和補(bǔ)角的概念以及運(yùn)用．互為余角的兩角的和為，互為補(bǔ)角的兩角之和為180度．解此題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確的從圖中找出角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計算出結(jié)果．（2010秋?江津區(qū)期末）比較大小：（填、或【分析】先把化成，再與進(jìn)行比較，即可求出結(jié)果．【解答】解：，又，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了角的度數(shù)的換算關(guān)系，在解題的時候要注意角的度數(shù)是60進(jìn)制．（2021?興安盟）74.325．【分析】先將化成“分”，再將化成“度”即可．【解答】解：，，，，故答案為：74.325．【點(diǎn)評】本題考查度、分、秒的換算，掌握度、分、秒的換算進(jìn)率和換算方法是得出正確答案的前提．（2019?梧州）如圖，鐘表上10點(diǎn)整時，時針與分針?biāo)傻慕鞘茿． B． C． D．【分析】根據(jù)鐘面分成12個大格，每格的度數(shù)為即可解答．【解答】解：鐘面分成12個大格，每格的度數(shù)為，鐘表上10點(diǎn)整時，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵蔬x：．【點(diǎn)評】本題主要考查了鐘面角，熟知鐘面上每大格的度數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．（2017?呼倫貝爾）計算：．【分析】兩個度數(shù)相加，度與度，分與分對應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿60，則轉(zhuǎn)化為度．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了角的加減乘除運(yùn)算．遇到加法時，先加再進(jìn)位；遇到減法時，先借位再減；遇到乘法時，先乘再進(jìn)位；遇到除法時，先借位再除．考點(diǎn)3：垂線及其性質(zhì)①垂線：（1）概念：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線．（2）性質(zhì)：①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．②垂線段最短．（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度｛對頂角★｝下面各圖中和是對頂角的是A．B．C． D．【分析】利用對頂角的定義（首先看是不是有共同的頂點(diǎn)，然后看兩邊是不是反向延長線）直接判斷即可．【解答】解：有公共頂點(diǎn)且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角，，沒有共同的頂點(diǎn)，，錯誤，、一邊不是反向延長線上，錯誤，、滿足對頂角的定義，正確，故選：．【點(diǎn)評】此題是對頂角，鄰補(bǔ)角題，主要考查了對頂角的定義，熟練掌握對頂角的定義是解本題的關(guān)鍵，判斷一對角是不是對頂角，首先看是不是有共同的頂點(diǎn)，然后看兩邊是不是反向延長線．｛鄰補(bǔ)角★｝以下圖形中，與表示鄰補(bǔ)角的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，相鄰且互補(bǔ)的兩個角互為鄰補(bǔ)角進(jìn)行判斷．【解答】解：．兩個角是對頂角，故不是鄰補(bǔ)角；、兩個角是鄰補(bǔ)角，符合題意；、兩個角不存在公共邊，故不是鄰補(bǔ)角；、兩個角不等于，故不是鄰補(bǔ)角．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查的是對頂角，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．｛垂線性質(zhì)★｝如圖，，，平分，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)垂直的定義得：，由已知，相當(dāng)于把四等分，可得的度數(shù)，根據(jù)角平分線可得，從而得結(jié)論．【解答】解：，，，，，平分，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的定義，垂直的定義及有關(guān)角的計算，解題的關(guān)鍵是確定．｛對頂角★｝下列各圖中，與是對頂角的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)對頂角的概念判斷即可．【解答】解：、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故此選項(xiàng)不符合題意；、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與是不對頂角，故此選項(xiàng)不符合題意；、的兩邊分別是的兩邊的反向延長線，與是對頂角，故此選項(xiàng)符合題意；、的兩邊不是的兩邊的反向延長線，與不是對頂角，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了對頂角的定義．解題的關(guān)鍵是掌握對頂角的定義：有一個公共頂點(diǎn)，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．｛鄰補(bǔ)角★｝已知與是對頂角，與是鄰補(bǔ)角，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：與是對頂角，，與是鄰補(bǔ)角，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)，有一個公共頂點(diǎn)，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角．｛垂線性質(zhì)★｝如圖，直線與相交于點(diǎn)，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由，可確定的度數(shù)，再由對頂角相等可確定的度數(shù)，即是的度數(shù)．【解答】解：，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查垂直的概念，關(guān)鍵是要理解垂直的概念，知道對頂角相等．｛垂線性質(zhì)★｝如圖，，，表示點(diǎn)到直線距離的是線段的長度．【分析】直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．【解答】解：于點(diǎn)，表示點(diǎn)到直線距離的是線段的長度．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．｛垂線性質(zhì)★｝如圖所示，已知，若，，，則點(diǎn)到的距離是，點(diǎn)到的距離是．【分析】直接利用點(diǎn)到直線的距離以及三角形面積求法分別得出答案．【解答】解：，即，若，，，那么到的距離是：，到的距離是：．故答案為：，．【點(diǎn)評】此題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，正確結(jié)合三角形面積求出到的距離是解題關(guān)鍵．（2020?北京）如圖，和相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角定義和外角的性質(zhì)逐個判斷即可．【解答】解：．和是對頂角，，故正確；．是的外角，，故錯誤；．，故錯誤；．是的外角，；故錯誤；故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了對頂角的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，能熟記對頂角的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（2018?賀州）如圖，下列各組角中，互為對頂角的是A．和 B．和 C．和 D．和【分析】直接利用對頂角的定義得出答案．【解答】解：互為對頂角的是：和．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了對頂角，正確把握對頂角的定義是解題關(guān)鍵．（2017?賀州）下列各圖中，與互為鄰補(bǔ)角的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義作出判斷即可．【解答】解：根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可知：只有圖中的是鄰補(bǔ)角，其它都不是．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，正確把握定義：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角．（2019?廣州）如圖，點(diǎn)，，在直線上，，，，，則點(diǎn)到直線的距離是5．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，可得答案．【解答】解：，，到的距離是垂線段的長度，故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度．考點(diǎn)4：平行線的性質(zhì)及其判定①三線八角（1）同位角：形如”F”;（2）內(nèi)錯角：形如“Z”;（3）同旁內(nèi)角：形如“U”.②平行線：（1）平行線的性質(zhì)與判定①同位角相等兩直線平行②內(nèi)錯角相等兩直線平行③同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行（2）平行公理及其推論①經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．②平行于同一條直線的兩直線平行．｛三線八角★｝下面四個圖形中，與是同位角的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)“同位角”的定義，結(jié)合各個選項(xiàng)中的兩個角的位置進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由同位角的定義可知，選項(xiàng)、選項(xiàng)、選項(xiàng)中的與都不是同位角；選項(xiàng)中的與是直線、被直線所截所得到的同位角；故選：．【點(diǎn)評】本題考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的意義是正確判斷的前提．｛三線八角★｝如圖，下面結(jié)論正確的是A．和是同位角 B．和是內(nèi)錯角 C．和是同旁內(nèi)角 D．和是內(nèi)錯角【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念．在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的兩旁找內(nèi)錯角．要結(jié)合圖形，熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的位置特點(diǎn)，比較它們的區(qū)別與聯(lián)系．【解答】解：、和是鄰補(bǔ)角，原說法錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、和的鄰補(bǔ)角是內(nèi)錯角，原說法錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、和是對頂角，原說法錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、和是內(nèi)錯角，原說法正確，故此選項(xiàng)符合題意．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，準(zhǔn)確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝如圖，已知，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的判定得出，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)同位角相等，兩直線平行解答．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝如圖，在下列條件中，能使的是A．B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解判斷即可得解．【解答】解：，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可判定，不能判定，故不符合題意；，不能判定，故不符合題意；，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可判定，故符合題意；，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可判定，不能判定，故不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】此題考查了平行線的判定，熟記“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是解此題的關(guān)鍵．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝如圖，下列條件：①，②，③，④，⑤．其中能判斷的是A．①③④⑤ B．②③④ C．①④⑤ D．①②③【分析】根據(jù)平行線的判定得出即可．【解答】解：，；，；，，，；，，所以能判斷的是①，③，④，⑤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，注意：平行線的判定定理有：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝在同一平面內(nèi)，設(shè)、、是三條互相平行的直線，與之間的距離為5，與之間的距離為2，則與之間的距離為7或3．【分析】方兩種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行計算即可．【解答】解：有兩種情況：①如圖①所示，直線與之間的距離是；②如圖②所示，直線與之間的距離是；綜上所述，與之間的距離為7或3．故答案為：7或3．【點(diǎn)評】本題主要考查對平行線之間的距離的理解和掌握，能根據(jù)圖形分情況討論是解此題的關(guān)鍵下列圖形中，與不具有同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角關(guān)系的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：、與是內(nèi)錯角，故本選項(xiàng)不符合題意；、與不是同位角、不是內(nèi)錯角、也不是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)符合題意；、與是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)不符合題意；、與是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義，熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義是解題的關(guān)鍵．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝如圖，下列說法不正確的是A．與是對頂角B．與是同位角 C．與是內(nèi)錯角 D．與是同旁內(nèi)角【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角的意義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：．和是對頂角，因此選項(xiàng)不符合題意；．和，既不是同位角，也不是內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，因此選項(xiàng)符合題意；．與是直線，直線，被直線所截，所得到的內(nèi)錯角，因此選項(xiàng)不符合題意；．與是直線，直線，被直線所截所得到的同旁內(nèi)角，因此選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角，理解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角的意義是正確判斷的前提，掌握“三線八角”的意義和位置關(guān)系是正確判斷的關(guān)鍵．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝如圖，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角相等得到，結(jié)合，得到，即可判定，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．【解答】解：如圖，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記“同位角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝如圖，給出下列條件①；②；③且；其中能推出的條件個數(shù)是A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，等量代換，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行即可得到結(jié)果．【解答】解：①，可判定，不能判定；②，可判定；③可得，再由，可得，可判定．所以能推出的條件個數(shù)是2個，故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握判定定理：同位角相等，兩直線平行．內(nèi)錯角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝如圖，下列條件：①；②；③；④；⑤；⑥，其中能判斷直線的有A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④【分析】根據(jù)同位角相等，內(nèi)錯角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出兩直線平行，對各小題進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：①，不能判定；②，能判定；③，不能判定；④，能判定；⑤，不能判定；⑥，不能判定；故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．｛平行線的判定與性質(zhì)★｝在同一平面內(nèi)，設(shè)、、是三條互相平行的直線，與之間的距離為8，與之間的距離為3，則與之間的距離為11或5．【分析】分兩種情況討論，分別畫出圖形，根據(jù)圖形進(jìn)行計算即可．【解答】解：有兩種情況：①如圖①所示，直線與之間的距離是；②如圖②所示，直線與之間的距離是；綜上所述，與之間的距離為11或5．故答案為：11或5．【點(diǎn)評】本題主要考查對平行線之間的距離的理解和掌握，能根據(jù)圖形分情況討論是解此題的關(guān)鍵．（2020?河池）如圖，直線，被直線所截，則與的位置關(guān)系是A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補(bǔ)角【分析】根據(jù)三線八角的概念，以及同位角的定義作答即可．【解答】解：如圖所示，和兩個角都在被截直線和同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，故和是直線、被所截而成的同位角．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義．在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的兩旁找內(nèi)錯角．要結(jié)合圖形，熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的位置特點(diǎn)，比較它們的區(qū)別與聯(lián)系．兩條直線被第三條直線所截所形成的八個角中，有四對同位角，兩對內(nèi)錯角，兩對同旁內(nèi)角．（2019?邵陽）如圖，已知兩直線與被第三條直線所截，下列等式一定成立的是A． B． C． D．【分析】由三線八角以及平行線的性質(zhì)可知，，，成立的條件題目并沒有提供，而選項(xiàng)中鄰補(bǔ)角的和為一定正確．【解答】解：與是同位角，與是內(nèi)錯角，與是同旁內(nèi)角，由平行線的性質(zhì)可知，選項(xiàng)，，成立的條件為時，而與是鄰補(bǔ)角，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查三線八角的識別及平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的概念．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大．（2021?錦州）如圖，，，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：過點(diǎn)作，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答．（2020?武漢）如圖，直線分別與直線，交于點(diǎn)，．平分，平分，且．求證：．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到，進(jìn)而得出．【解答】證明：，，又平分，平分，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．如圖，點(diǎn)在直線上，是的角平分線，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平角的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義解答即可．【解答】解：，，是的角平分線，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的定義、角的計算，掌握角平分線的定義、結(jié)合圖形正確進(jìn)行角的計算是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，下列結(jié)論中正確的是A．和是同位角 B．和是同旁內(nèi)角 C．和是內(nèi)錯角 D．和是對頂角【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角以及對頂角的定義進(jìn)行解答．【解答】解：、和是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)錯誤；、和是同旁內(nèi)角，故本選項(xiàng)正確；、和是同位角，故本選項(xiàng)錯誤；、和是鄰補(bǔ)角，故本選項(xiàng)錯誤；故選：．【點(diǎn)評】考查了同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角以及對頂角的定義．解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．3．如圖，下列能判定的條件有個（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)平行線的判定方法對四個條件分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（1），；（2），；（3），；（4），．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線判定：同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．4．如圖，直線，如果，，那么的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】由平行線的性質(zhì)可得，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：直線，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，求解的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，將一張長方形紙片進(jìn)行折疊，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】由題意可得，則有，結(jié)合所給的條件可求得，再由平行線的性質(zhì)得，由折疊的性質(zhì)可得，從而可求得．【解答】解：由題意得：，，，，，，解得：，，由折疊可得，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．6．如圖，點(diǎn)在的延長線上，下列條件中能判定的是A． B． C． D．【分析】直接利用平行線的判定方法分別判斷得出答案．【解答】解：、當(dāng)時，可得：，不合題意；、當(dāng)時，可得：，不合題意；、當(dāng)時，可得：，符合題意；、當(dāng)時，可得：，不合題意．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．7．當(dāng)光線從空氣中射入某種液體中時，光線的傳播方向發(fā)生了變化，在物理學(xué)中這種現(xiàn)象叫做光的折射．如圖，液面于點(diǎn)，一束光線沿射入液面，在點(diǎn)處發(fā)生折射，折射光線為，點(diǎn)為的延長線上一點(diǎn)，若入射角，折射角，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)對頂角相等得出，進(jìn)而解答即可．【解答】解：由對頂角相等得，，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查對頂角相等，關(guān)鍵是根據(jù)對頂角相等得出解答．8．將一副直角三角尺如圖放置，已知，，，求的度數(shù)，以下是打亂的推理過程：①，②③，，④．推理步驟正確的是A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④【分析】由平行線的性質(zhì)可求，結(jié)合，由三角形的外角性質(zhì)即可求的度數(shù)．【解答】解：，，．，．故推理步驟為：③④①②．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到．9．如圖所示，直線、被、所截，下列條件中能說明的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】解：，（同位角相等，兩直線平行），故選：．【點(diǎn)評】此題考查了平行線的判定，熟記“同位角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知直線，則、、之間的關(guān)系是A． B． C． D．【分析】過作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，過作直線，，，，，，，即，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，，分別交，于，，，已知，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】由平行線的性質(zhì)可得，從而可求得，再由平行線的性質(zhì)即可求的度數(shù)．【解答】解：，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．12．如圖，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作，則有，由平行線的性質(zhì)可得，，再由，即可求解．【解答】解：過點(diǎn)作，如圖，則，，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．13．如圖，直線，相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，可得，即，根據(jù)已知條件可得的度數(shù)，根據(jù)對頂角的性質(zhì)，代入計算即可得出答案．【解答】解：，，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線，對頂角，熟練掌握垂線及對頂角的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．14．①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，，則．以上結(jié)論正確的是A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【分析】①過點(diǎn)作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點(diǎn)作直線，由平行線的性質(zhì)可得出；④先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷．【解答】解：①過點(diǎn)作直線，，，，，，故本小題錯誤；②過點(diǎn)作直線，，，，，，即，故本小題正確；③過點(diǎn)作直線，，，，，，即，故本選項(xiàng)正確；④是的外角，，，，即，故本小題正確．綜上所述，正確的小題有②③④共3個．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）15．如圖，為一長條形紙帶，，將沿折疊，、兩點(diǎn)分別與、對應(yīng)．若，則50．【分析】由折疊可知，可求得，再利用鄰補(bǔ)角的定義可求得．【解答】解：由題意可知，，，，故答案為：50．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等兩直線平行，②內(nèi)錯角相等兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，④，．1．如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中，與互余的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合互余的定義判斷即可．余角：如果兩個角的和等于（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角．【解答】解：、與互余，故本選項(xiàng)符合題意；、，但與不一定互余，故本選項(xiàng)不合題意；、，但與不互余，故本選項(xiàng)不合題意；、與不互余，和互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了對余角和補(bǔ)角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力．2．如圖，利用工具測量角，有如下4個結(jié)論：①；②；③與互為余角；④與互為補(bǔ)角．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是A．①②③ B．①② C．③④ D．①③④【分析】根據(jù)余角和補(bǔ)角的定義，進(jìn)行計算逐一判斷即可解答．【解答】解：①，故①正確；②，，，故②不正確；③，與互為余角，故③正確；④，，，與互為補(bǔ)角，故④正確；所以，上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是①③④，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了余角和補(bǔ)角，熟練掌握余角和補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，下列說法中，正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；依據(jù)平行線的判定方法得出結(jié)論．【解答】解：．由，不能得到，故本選項(xiàng)錯誤；．若，則，故本選項(xiàng)錯誤；．若，則，故本選項(xiàng)錯誤；．若，則，故本選項(xiàng)正確；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題關(guān)鍵．4．如圖，把一張長方形紙片沿折疊，若，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，可得的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)．【解答】解：長方形紙片沿折疊，，，，四邊形是長方形，，．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．5．如圖所示，六邊中，平行且等于，平行且等于，平行且等于，對角線．已知，．則六邊形的面積是A．423 B．432 C．405 D．234【分析】連接交于，交于．根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得平行四邊形和．易得，．計算該六邊形的面積可以分成3部分計算，即平行四邊形的面積三角形的面積三角形的面積．【解答】解：連接交于，交于，如圖：平行且等于，平行且等于，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是矩形，，且，，．六邊形的面積平行四邊形的面積三角形的面積三角形的面積．故選：．【點(diǎn)評】此題要熟悉平行四邊形的判定和性質(zhì)．注意求不規(guī)則圖形的面積可以分割成規(guī)則圖形，根據(jù)面積公式進(jìn)行計算．6．如圖，已知，為平行線之間一點(diǎn)，連接，，為上方一點(diǎn)，連接，，為延長線上一點(diǎn)．若，分別平分，，則與的數(shù)量關(guān)系為A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，即可得出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，分別平分，，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．7．如圖，下列判斷正確的是A．與是同旁內(nèi)角 B．與是同位角 C．與是對頂角 D．與是內(nèi)錯角【分析】根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角和對頂角的概念解答即可．【解答】解：、與是同旁內(nèi)角，說法正確，故本選項(xiàng)符合題意；、與不是同位角，故本選項(xiàng)不合題意；、與不是對頂角，故本選項(xiàng)不合題意；、與不是內(nèi)錯角，故本選項(xiàng)不合題意；故選：．【點(diǎn)評】此題考查同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角以及對頂角，關(guān)鍵是根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角和對頂角的概念解答．8．如圖，已知，點(diǎn)在兩平行線之間，連接，，的平分線與的平分線的反向延長線交于點(diǎn)，若，則等于A． B． C． D．【分析】延長交的延長線于，易求，根據(jù)角平分線的定義可求解，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解．【解答】解：延長交的延長線于，，，，的平分線與的平分線的反向延長線交于點(diǎn)，，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，平角的定義，靈活運(yùn)用平行線性質(zhì)及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．9．如圖，將矩形紙片沿折疊，得到，與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得，，進(jìn)而求得，根據(jù)折疊可得，最后根據(jù)進(jìn)行計算即可．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，由折疊可得，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，折疊性質(zhì)，角的有關(guān)計算等知識，解題的關(guān)鍵是求出和的度數(shù)．10．如圖，已知直線，直線分別交直線、于、，平分交于，是射線上一動點(diǎn)（不與、重合）．平分交于點(diǎn)，設(shè)，，現(xiàn)有下列四個式子：①；②；③；④．其中正確的是A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和求解．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時，如圖示：平分，平分，，，，．，，故④是正確的；當(dāng)點(diǎn)在和之間時，如圖：平分，平分，，，，．，，故①是正確的．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和，分類討論是解題的關(guān)鍵．11．如圖，已知，，，平分，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出、的度數(shù)，然后求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)即可．【解答】解：，，，，，，平分，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)，在兩直線之間，線段與相交于點(diǎn)，且有，．三人說法如下：甲：；乙：；丙：，下列判斷正確的是A．甲錯，乙對 B．甲對，乙錯 C．甲對，丙對 D．乙對，丙錯【分析】根據(jù)題意可得，從而利用平行線的判定可得，然后再利用平行線的性質(zhì)可得，從而利用等式的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)，從而判定與不平行，即可解答．【解答】解：由題意得：，，故甲的說法對，，，，，，，故乙的說法對，，與不平行，故丙的說法錯，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）13．5度分秒．【分析】利用度分秒的進(jìn)制，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：，，，，度8分24秒，故答案為：5，8，24．【點(diǎn)評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．14．某復(fù)興號列車在哈爾濱和北京之間運(yùn)行，途中要?？坑?個站點(diǎn)，如果任意兩站之間的票價都不同，那么有10種不同的票價，應(yīng)發(fā)行種不同的車票．【分析】作出線段圖，然后找出圖中的線段的條數(shù)即可．【解答】解：如圖，途中有3個站點(diǎn)，共有線段：、、、，、、，、，共10條線段，所以共有10種不同的票價；因?yàn)橥档能嚻辈煌?，所以?yīng)發(fā)行20種不同的車票．故答案為：10，20．【點(diǎn)評】本題考查了直線、射線、線段，在線段、射線的計數(shù)時，應(yīng)注重分類討論的方法計數(shù)，做到不遺漏，不重復(fù)．三．解答題（共1小題）15．如圖所示的是一個潛望鏡模型示意圖，，代表鏡子擺放的位置，并且與平行，光線經(jīng)過鏡子反射時，滿足，．證明離開潛望鏡的光線平行于進(jìn)入潛望鏡的光線．請補(bǔ)全下述證明過程：，．，，．，，．．【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)平行線判定推出即可．【解答】解：，．，，．，，．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：；；；（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)評】本題考查了平行線性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答．1．小明、小亮、小剛、小穎一起研究一道數(shù)學(xué)題．如圖，已知，，小明說：“如果還知道，則能得到．”小亮說：“把小明的已知和結(jié)論倒過來，即由，可得到．”小剛說：“一定大于．”小穎說：“如果連接，則一定平行于．”他們四人中，有個人的說法是正確的．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由，，知，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可得出答案；【解答】解：已知，，，（1）若，，，，．（2）若，，，，．（3）由題意知，，，如下圖，①當(dāng)時，則，即一定大于；②當(dāng)、與不平行時，如圖，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方時，，由①知，一定大于；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時，見上圖，則不一定大于，綜上，不一定大于；（4）如果連接，則不一定平行于；綜上知：正確的說法有兩個．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握平行線