湖北省華師大附中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題含解析

湖北省華師大附中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是（）A.3 B.4C.6 D.82．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.4．將數(shù)列中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號(hào)1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)4個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)8個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號(hào)16個(gè)數(shù)，…，進(jìn)行排列，，，…，則以下結(jié)論中正確的是（）A.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為1025 B.2021在第11個(gè)括號(hào)內(nèi)C.前10個(gè)括號(hào)內(nèi)一共有1025個(gè)數(shù) D.第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和5．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）6．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．命題“對(duì)任意，都有”的否定是（）A.對(duì)任意，都有 B.存在，使得C.對(duì)任意，都有 D.存在，使得8．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.19．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.511．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為線段的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))，則雙曲線的離心率等于（）A. B.C. D.12．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題p：若，則，那么命題p的否命題為______14．?dāng)?shù)列中，，則______15．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為________.16．已知函數(shù)在處有極值2，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.18．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列(1)求的通項(xiàng)公式(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點(diǎn)是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍，并證明：21．（12分）【閱讀材料1】我們?cè)谘芯績(jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，往往先選取若干個(gè)樣本點(diǎn)（），（），……，（），將樣本點(diǎn)畫在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，就得到樣本的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，如果所有樣本點(diǎn)都落在某一條直線附近，變量之間就具有線性相關(guān)關(guān)系，如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一非線性函數(shù)圖象附近，變量之間就有非線性相關(guān)關(guān)系.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常選擇線性或非線性（函數(shù)）回歸模型來刻畫相關(guān)關(guān)系，并且可以用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龌貧w模型的方程，還常用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式為：當(dāng)R2越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好；當(dāng)R2越小時(shí)，回歸方程的擬合效果越差，R2是常用的選擇模型的指標(biāo)之一，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇R2較大的回歸模型.【閱讀材料2】2021年6月17日9時(shí)22分，我國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪胺3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國(guó)人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)0<x≤13時(shí)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①:；模型②:；當(dāng)x>13時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為.根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤13時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合效果更好的模型.回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2（2）當(dāng)應(yīng)用改造的投入為20億元時(shí)，以回歸直線方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，計(jì)算公司的收益約為多少.附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②③，當(dāng)時(shí)，.22．（10分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，.（1）求的方程；（2）是否存在軸上的定點(diǎn)，使得直線過點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)橢圓方程可得到a，從而求得長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】橢圓方程為，故，所以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故選:D.2、A【解析】函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可【詳解】解：∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，由求導(dǎo)得：，由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得：，可得，∴，所以，∴數(shù)列的通項(xiàng)為，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和即為，則利用裂項(xiàng)相消法可以得到：所以數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為：.故選：A.3、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B4、D【解析】由第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第512項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第1023項(xiàng)，進(jìn)行分析求解即可【詳解】由題意可得，第個(gè)括號(hào)內(nèi)有個(gè)數(shù)，對(duì)于A，由題意得前9個(gè)括號(hào)內(nèi)共有個(gè)數(shù)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第512項(xiàng)，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于C，前10個(gè)括號(hào)內(nèi)共有個(gè)數(shù)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，得，所以2021為數(shù)列的第1011項(xiàng)，由AC選項(xiàng)的分析可得2021在第10個(gè)括號(hào)內(nèi)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)榈?0個(gè)括號(hào)內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為，最后一個(gè)數(shù)為，所以第10個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)字之和為，所以D正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意確定出第10個(gè)括號(hào)內(nèi)第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列的哪一項(xiàng)，考查分析問題的能力，屬于較難題5、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，故選：A6、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B7、B【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題形式，可判斷正確答案.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“對(duì)任意，都有”的否定是“存在，使得”故選：B.8、A【解析】根據(jù)題中條件，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?故選：A.9、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D10、B【解析】由以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得的值，再結(jié)合即可求出公差.【詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.11、C【解析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關(guān)于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題12、C【解析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，，，，成等比數(shù)列求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、若，則【解析】直接利用否命題的定義，對(duì)原命題的條件與結(jié)論都否定即可得結(jié)果【詳解】因?yàn)槊}：若，則，所以否定條件與結(jié)論后，可得命題的否命題為若，則，故答案為若，則，【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的否命題，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、1【解析】根據(jù)可得，則，所以可得數(shù)列是以6為周期周期數(shù)列，再由計(jì)算出的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，所以，所以所以，故答案為?15、6【解析】由橢圓方程得到F，O的坐標(biāo)，設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算將·轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值求解.【詳解】由橢圓＋＝1，可得F(－1，0)，點(diǎn)O(0，0)，設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，當(dāng)x＝2時(shí)，·取得最大值6.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用以及橢圓的幾何性質(zhì)和二次函數(shù)求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16、6【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值2，可得，解方程組即可得解.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值2，所以，即，解得，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處有極大值，所以，所以.故答案為：6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點(diǎn)坐標(biāo)，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別表示出與，由等比中項(xiàng)定義即可求得首項(xiàng)，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式（2）根據(jù)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，求出的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可知，再用裂項(xiàng)法可求得【詳解】（1）由題意，得，，所以由，得，解得，所以，即（2）由（1）知，則，，【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等比中項(xiàng)的定義，裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題19、（1）證明見解析（2）【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo),（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系∵，，點(diǎn)M是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上且∴，，，，，設(shè)平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補(bǔ)角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.20、（1）答案見詳解（2），證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，，分類討論參數(shù)a的范圍即可判斷單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，聯(lián)立整理得，構(gòu)造得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而得證.小問1詳解】由，，可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問2詳解】證明：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）得，此時(shí)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得,所以.由（1）可得的極小值點(diǎn)為，則不妨設(shè).設(shè)，，則則，即，整理得，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.21、（1）模型②擬合效果更好（2）69.1（億元）【解析】（1）分別求出兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)，在進(jìn)行比較即可，（2）利用最小二乘法求出回歸方程，再求收益即可【小問1詳解】對(duì)于模型①，因?yàn)?，故?duì)應(yīng)的，故對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對(duì)于模型②，同理對(duì)應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合效果更好【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，后五組的，由最小二乘法可得，所以當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為故當(dāng)投入20億元時(shí)，預(yù)測(cè)公司的收益約為：（億元）22、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，解得，則橢圓方