2025屆上海市東實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆上海市東實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨圓與雙曲線(xiàn)相同的焦點(diǎn)，則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心，分別為（）A. B.C. D.2．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．如果，那么下面一定成立的是（）A. B.C. D.5．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在拋物線(xiàn)和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.6．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（）A. B.C. D.7．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí)，的值為（）A.12 B.13C.12或13 D.13或148．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.49．已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最大值為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則的漸近線(xiàn)方程為A. B.C. D.11．如下圖，邊長(zhǎng)為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為112．直線(xiàn)分別與曲線(xiàn)，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y2＝2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)，則|的最小值是_________14．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為_(kāi)_______15．若將拋擲一枚硬幣所出現(xiàn)的結(jié)果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為H、T，相應(yīng)的拋擲兩枚硬幣的樣本空間為，則與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為_(kāi)_____16．已知數(shù)列滿(mǎn)足下列條件：①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；③數(shù)列的公比滿(mǎn)足.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級(jí)有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個(gè)年級(jí)中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)及圖中的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).18．（12分）已知函數(shù)（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求在上的最大值與最小值19．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n.20．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足（1）求及的值；（2）求在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足（1）求M的軌跡方程；（2）設(shè)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，求點(diǎn)N的軌跡方程；（3）設(shè)M的軌跡與N的軌跡的交點(diǎn)為P、Q，求22．（10分）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，且正四棱錐的體積為.（1）該正四棱錐的表面積的大?。唬?）二面角的大小.(結(jié)果用反三角表示)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，推導(dǎo)出，可得出，進(jìn)而可求得、的值.【詳解】設(shè)公共焦點(diǎn)為，則，則，即，故，即，，故選：B2、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.3、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷【詳解】根據(jù)題意，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則有（），所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，而當(dāng)數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列時(shí)，不一定成立，所以“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分而不必要條件，故選：A4、C【解析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特例法和作差比較法，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，所以不正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，根?jù)不等式的性質(zhì)，可得，對(duì)于C中，由，可得可得，所以，所以正確；對(duì)于D中，由，可得，則，所以，所以不正確.故選：C.5、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡(jiǎn)為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點(diǎn)P到圓心的距離，令，則，令，，為開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B6、B【解析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【詳解】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.7、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，根據(jù)，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)求得公差，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q，因?yàn)椋?，，成等比?shù)列，所以，解得，所以，所以當(dāng)12或13時(shí)，取得最大值，故選：C8、C【解析】根據(jù)橢圓定義，和條件列式，再通過(guò)變形計(jì)算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與變形，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.9、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在可行域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為銳角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角最大，此時(shí)取最大值，即.故選：A.10、C【解析】，故，即，故漸近線(xiàn)方程為.【考點(diǎn)】本題考查雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.11、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A,B,C；對(duì)D，算出平面MON的法向量，進(jìn)而求出向量在該法向量方向上投影的絕對(duì)值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則.對(duì)A，，則，則A正確；對(duì)B，，則，則B正確；對(duì)C，，則C正確；對(duì)D，設(shè)平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯(cuò)誤.故選：D.12、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)的最小值為1，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】由拋物線(xiàn)的定義可得，所以的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由圖可知的最小值為，從而可求得答案【詳解】拋物線(xiàn)y2＝2x焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為，由拋物線(xiàn)的定義可得，所以,因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)且在線(xiàn)段上時(shí)，取得最小值，所以的最小值為，故答案為：14、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：9.15、，，，【解析】先寫(xiě)出與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間，再寫(xiě)出其全部子集即可.【詳解】與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間為，此空間的子集為，，，故答案為：，，，16、（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列特征，寫(xiě)出一個(gè)符合題意的數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列公比滿(mǎn)足，所以等比數(shù)列公比，且各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，符合題意的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為，；（2）；（3）.【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計(jì)算出全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).【小問(wèn)1詳解】解：樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.，解得.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)中位數(shù)為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為.【小問(wèn)3詳解】解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，故全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為.18、（1）；（2）最大值與最小值分別為與【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以所以所以的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即（2）由（1）知令，則；令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以又，所以所以在上的最大值與最小值分別為與19、（1）（2）【解析】（1）由條件得，則利用等差數(shù)列的定義可得答案；（2）利用裂項(xiàng)求和求出，再根據(jù)可求出n.【小問(wèn)1詳解】由得，從而數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，由得又，所以.20、（1）；；（2）.【解析】（1）由題可得，進(jìn)而可得，然后可得，即得；（2）由題可求，，再利用點(diǎn)斜式即得.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，，∴，，∴.【小問(wèn)2詳解】∵，，∴，，∴在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.21、（1）（2）（3）【解析】（1）設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量積求解即可得答案；（2）設(shè)，，進(jìn)而根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法求解即可；（3）根據(jù)題意得弦由兩圓相交得，進(jìn)而根據(jù)幾何法弦長(zhǎng)即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則，所以，即所以M的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)N是的中點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)樵谏希?，?所以點(diǎn)N的軌跡方程為.【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)镸的