樂(lè)成公立寄宿學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

樂(lè)成公立寄宿學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，2．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，，，，則點(diǎn)B到平面PCD的距離為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.4．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)AM平行，則實(shí)數(shù)n的值是（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列中，，，是的前n項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.6．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，設(shè)D在直線(xiàn)AB上，且，設(shè)C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，則λ的值為()A. B.－C. D.7．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.8．劉老師在課堂中與學(xué)生探究某個(gè)圓時(shí)，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論.甲：該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).乙：該圓半徑為.丙：該圓的圓心為.?。涸搱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁9．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.10．在中，，滿(mǎn)足條件的三角形的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.無(wú)數(shù)多11．已知集合A=（）A. B.C.或 D.12．已知、，直線(xiàn)，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，則直線(xiàn)AD1與B1D所成角的余弦值為_(kāi)_.14．已知橢圓，A，B是橢圓C上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)，若，則直線(xiàn)AB的方程為_(kāi)_____15．已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，，若，則兩圓圓心的距離___________16．直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面.（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點(diǎn)，滿(mǎn)足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）某城市地鐵公司為鼓勵(lì)人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過(guò)地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過(guò)12站的地鐵票價(jià)如下表：乘坐站數(shù)票價(jià)（元）246現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過(guò)12站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性是相同的.（1）若甲、乙兩人共付費(fèi)6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？（2）若甲、乙兩人共付費(fèi)8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？21．（12分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.22．（10分）年月日，中國(guó)向世界莊嚴(yán)宣告，中國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下萬(wàn)農(nóng)村貧困人口全部脫貧，個(gè)貧困縣全部摘帽，萬(wàn)個(gè)貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對(duì)貧困的艱巨任務(wù)，困擾中華民族幾千年的絕對(duì)貧困問(wèn)題得到了歷史性的解決！為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合種植、兩種經(jīng)濟(jì)作物，可以通過(guò)種植這兩種經(jīng)濟(jì)作物鞏固脫貧成果，通過(guò)大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量約為公斤，其收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨勢(shì)，最近五年的價(jià)格如下表：年份編號(hào)年份單價(jià)（元/公斤）經(jīng)濟(jì)作物的收購(gòu)價(jià)格始終為元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）若經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號(hào)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出關(guān)于的回歸直線(xiàn)方程，并估計(jì)年經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)；（2）用上述頻率分布直方圖估計(jì)經(jīng)濟(jì)作物的平均畝產(chǎn)量（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），若不考慮其他因素，試判斷年該村應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物還是經(jīng)濟(jì)作物？并說(shuō)明理由附：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對(duì)于A，由，所以，，共面；對(duì)于B，由，所以，，共面；對(duì)于D，，所以，，共面，故選：C.2、D【解析】為中點(diǎn)，連接，易得為平行四邊形，進(jìn)而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)確定線(xiàn)線(xiàn)垂直，在直角三角形中應(yīng)用勾股定理求相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)，即可得△為直角三角形，最后應(yīng)用等體積法求點(diǎn)面距即可.【詳解】若為中點(diǎn)，連接，又E為PA的中點(diǎn)，所以，，又，，則且，所以為平行四邊形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，則面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；綜上，，故，又，則.所以B到平面PCD的距離為.故選：D3、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A4、C【解析】首先根據(jù)拋物線(xiàn)焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線(xiàn).雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，解得.故選：C5、D【解析】由，得到為遞增數(shù)列，又由，得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，得，即，又由是的前項(xiàng)和，則.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求和問(wèn)題，關(guān)鍵在于由已知條件得出，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和法.6、B【解析】設(shè)D(x，y，z)，根據(jù)求出D(，，0)，再根據(jù)CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【詳解】設(shè)D(x，y，z)，則＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故選：B【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算和空間向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2).7、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，即所以，由雙曲線(xiàn)的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B8、D【解析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁是錯(cuò)誤的，看能否推出矛盾，進(jìn)而推導(dǎo)出答案.【詳解】假設(shè)甲的結(jié)論錯(cuò)誤，根據(jù)丙和丁的結(jié)論，該圓的半徑為6，與乙的結(jié)論矛盾；假設(shè)乙的結(jié)論錯(cuò)誤，圓心到點(diǎn)的距離與圓心到點(diǎn)的距離不相等，不成立；假設(shè)丙的結(jié)論錯(cuò)誤﹐點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于，不成立；假設(shè)丁的結(jié)論錯(cuò)誤，圓心到點(diǎn)的距離等于，成立.故選：D9、A【解析】求得圓心到直線(xiàn)的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.【詳解】因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離，故要滿(mǎn)足題意，只需，解得.故選：A.10、B【解析】利用正弦定理得到，進(jìn)而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿(mǎn)足條件的有且只有一個(gè).故選：B11、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：A.12、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)?、，直線(xiàn)，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，的坐標(biāo)，由向量夾角公式可得答案.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸的正方向建立如圖的坐標(biāo)系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，則，，則，，則cos＜，＞＝＝，即AD1與B1D所成角的余弦值為，故答案為：.14、【解析】由已知可得為的中點(diǎn)，再由點(diǎn)差法求所在直線(xiàn)的斜率，即可求得直線(xiàn)的方程【詳解】由，可得為的中點(diǎn)，且在橢圓內(nèi)，設(shè)，，，，則，，，則，即所在直線(xiàn)的斜率為直線(xiàn)的方程為，即故答案為：15、【解析】欲求兩圓圓心的距離，將它放在與球心組成的三角形中，只要求出球心角即可，通過(guò)球的性質(zhì)構(gòu)成的直角三角形即可解得【詳解】∵，球半徑為4，∴小圓的半徑為，∵小圓中弦長(zhǎng)，作垂直于，∴，同理可得，在直角三角形中，∵，，∴，∴，∴故答案為：.16、【解析】由直線(xiàn)的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，解得，即換線(xiàn)的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)的傾斜角的求解問(wèn)題，其中解答中熟記直線(xiàn)的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，、所在的直線(xiàn)為、軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于面的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（2）計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量法可求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，、所在的直線(xiàn)為、軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于面的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，則，故，因?yàn)槠矫?，平面，則，若，則，故、、、，則，，.因此，若，則與所成角的余弦值為.【小問(wèn)2詳解】解：若，則、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.18、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】（1）研究當(dāng)時(shí)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可討論得到的單調(diào)性；（2）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a的范圍分類(lèi)討論即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】，且.①當(dāng)時(shí)，由（1）可知當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，則，符合題意.②當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.③當(dāng)時(shí)，令，則，則，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，，∵，∴，又∵底面四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由，，，即，∴，，，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)線(xiàn)垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，建立空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）24（種）（2）21（種）【解析】（1）先根據(jù)共付費(fèi)6元得一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，再確定人與乘坐站數(shù)，即可得結(jié)果；（2）先根據(jù)共付費(fèi)8元得一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)6元或兩人都付費(fèi)4元，再求甲比乙先下地鐵的方案數(shù).【小問(wèn)1詳解】由已知可得：甲、乙兩人共付費(fèi)6元，則甲、乙一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)4元，又付費(fèi)2元的乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，付費(fèi)4元的乘坐站數(shù)有4，5，6，7四種選，所以甲、乙下地鐵的方案共有（3×4）×2=24（種）.【小問(wèn)2詳解】甲、乙兩人共付費(fèi)8元，則甲、乙一人付費(fèi)2元一人付費(fèi)6元或兩人都付費(fèi)4元；當(dāng)甲付費(fèi)2元，乙付費(fèi)6元時(shí)，甲乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，乙乘坐站數(shù)有8，9，10，11，12五種選擇，此時(shí)，共有35=15（種）方案；當(dāng)兩人都付費(fèi)4元時(shí)，若甲在第4站下地鐵，則乙可在第5，6，7站下地鐵，有3種方案；若甲在第5站下地鐵，則乙可在第6，7站下地鐵，有2種方案；若甲在第6站下地鐵，則乙可在第7站下地鐵，有1種方案；綜上，甲比乙先下地鐵的方案共有（種）.21、（1）;（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義求出a，再由關(guān)系求b，即可得解；（2）分直線(xiàn)斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計(jì)算出，根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算，即可證明成等差數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè).當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，其方程為，代入，可