2025屆湖南省邵東縣第十中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆湖南省邵東縣第十中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點，BE，DH的交點為G，則的化簡結(jié)果為（）A. B.C. D.2．命題“對任意，都有”的否定是（）A.對任意，都有 B.存在，使得C.對任意，都有 D.存在，使得3．已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.4．已知直線，若異面，，則的位置關(guān)系是（）A.異面 B.相交C.平行或異面 D.相交或異面5．在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個直角三角形的斜邊長等于則這個直角三角形周長的最大值為（）A. B.C. D.6．設(shè)分別為圓和橢圓上的點,則兩點間的最大距離是A. B.C. D.7．拋物線C：的焦點為F，P，R為C上位于F右側(cè)的兩點，若存在點Q使四邊形PFRQ為正方形，則（）A. B.C. D.8．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件9．已知空間三點，，在一條直線上，則實數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-210．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.11．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點坐標(biāo)為__________14．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實數(shù)的取值范圍為__________.15．函數(shù)在點處的切線方程是_________16．過直線上一動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值18．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線的方程.（2）若直線為曲線切線，且經(jīng)過坐標(biāo)原點，求直線的方程及切點坐標(biāo).19．（12分）設(shè)，已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)在處切線的方程；（2）求函數(shù)在上的最大值20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率，請再從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，完成下面的問題：①橢圓C過點；②以點為圓心，3為半徑的圓與以點為圓心，1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上（只能從①②中選擇一個作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點的直線l交橢圓C于M，N兩點，點N關(guān)于x軸的對稱點為，且，M，三點構(gòu)成一個三角形，求證：直線過定點，并求面積的最大值.21．（12分）雙曲線（，）的離心率，且過點.（1）求a，b的值；（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.22．（10分）如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運算法則即可求出結(jié)果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點，，，故選：D2、B【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題形式，可判斷正確答案.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“對任意，都有”的否定是“存在，使得”故選：B.3、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因為點在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D4、D【解析】以正方體為載體說明即可.【詳解】如下圖所示的正方體：和是異面直線，，；和是異面直線，，與是異面直線.所以兩直線與是異面直線，，則的位置關(guān)系是相交或異面.故選：D5、C【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故這個直角三角形周長的最大值為故選：C6、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當(dāng)時，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點睛】本題考查圓上點與橢圓上點的距離的最值問題，解題關(guān)鍵是圓上的點轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動點距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論7、A【解析】不妨設(shè)，不妨設(shè)，則，利用拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)列出的方程求得后可得結(jié)論【詳解】如圖所示，設(shè)，不妨設(shè)，則，由拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)可得，解得（正數(shù)舍去），所以故選：A8、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當(dāng)兩圓內(nèi)切時，，解得或所以當(dāng)，可得兩圓內(nèi)切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，不能得出（可能）故“”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件故選：B9、C【解析】根據(jù)三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數(shù)的值.【詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】先化簡函數(shù)表達式，然后再平移即可.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象.故選：A11、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】若，則，即或，推不出；反過來，若，可推出.故“”是“”的充分不必要條件故選：A.12、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】化成標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合焦點定義即可求解.【詳解】由，得，故拋物線的焦點坐標(biāo)為故答案為：14、【解析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：15、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線的點斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點處切線方程是，即故答案為：.16、【解析】當(dāng)圓心與點的距離最小時，切線長，最小，則四邊形的面積最小，此時是點到已知直線的垂線段.然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再結(jié)合弦長公式和面積公式進行計算即可.【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)圓心與點的距離最小時，切線長，最小，則四邊形的面積最小，此時是點到已知直線的垂線段.圓心到直線的距離為四邊形面積的最小值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，再逐個求解，，然后可證結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，因為直線與橢圓C相切，所以判別式，即，整理得，所以，故直線的方程為，因為，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組解得故點Q坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，化簡得設(shè)點因為判別式，得又，所以故，于是為定值.【點睛】直線與橢圓的相切問題一般是聯(lián)立方程，結(jié)合判別式為零求解；定值問題的求解一般結(jié)合目標(biāo)式中的項，逐個求解，代入驗證即可.18、(1)；(2)直線的方程為，切點坐標(biāo)為.【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式得結(jié)果，（2）設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點斜式得切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點解得結(jié)果.【詳解】（1）.所以在點處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設(shè)切點為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過點，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點坐標(biāo)為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19、（1）（2）當(dāng)0≤a<2時，f（x）max=8-5a；當(dāng)a≥2時，f（x）max=-a【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，求得兩極值點，然后討論極值點是否在所給區(qū)間內(nèi)，再結(jié)合比較區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小，可得答案.【小問1詳解】因為，所以，即a=0,所以，f（1）=1,所以切線方程：y-1=3（x-1），即.【小問2詳解】,令得,①當(dāng)a=0時，f（x）=x3在[0，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）max=f（2）=8；②當(dāng)時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以;③當(dāng)時，即0<a<3時，f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以f（x）=max{f（0），f（2）}，（i）若f（0）≥f（2），即2≤a<3，f（x）max=f（0）=-a，（ii）若f（0）<f（2），即0<a<2，f（x）max=f（2）=8-5a；綜上，當(dāng)0≤a<2時，f（x）max=f（2）=8-5a；當(dāng)a≥2時，f（x）max=f（0）=-a20、（1）（2）證明見解析，【解析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結(jié)合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，，，將直線方程代入橢圓方程中，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線的方程，令，求出，結(jié)合前面的式子化簡可得線過的定點，表示出的面積，利用基本不等式可求得其最大值【小問1詳解】若選①：由題意知，∴.所以橢圓C的方程為.若選②：設(shè)圓與圓相交于點Q.由題意知：.又因為點Q在橢圓上，所以，∴.又因為，∴，∴.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題易知直線MN斜率存在且不為0，因為，故設(shè)直線MN方程為，設(shè)，，，∴，∴，，因為點N關(guān)于x軸對稱點為，所以，所以直線方程為，令，∴.又，∴.所以直線過定點，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.所以面積的最大值為.21、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件建立關(guān)于a、b、c的方程組可解；（