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人教版七7年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末解答題壓軸題含答案一、解答題1.如圖,用兩個(gè)面積為的小正方形紙片剪拼成一個(gè)大的正方形.(1)大正方形的邊長(zhǎng)是________;(2)請(qǐng)你探究是否能將此大正方形紙片沿著邊的方向裁出一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形紙片,使它的長(zhǎng)寬之比為,若能,求出這個(gè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)和寬,若不能,請(qǐng)說明理由.2.如圖1,用兩個(gè)邊長(zhǎng)相同的小正方形拼成一個(gè)大的正方形.(1)如圖2,若正方形紙片的面積為1,則此正方形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為dm.(2)如圖3,若正方形的面積為16,李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為12的長(zhǎng)方形紙片,使它的長(zhǎng)和寬之比為3∶2,他能裁出嗎?請(qǐng)說明理由.3.已知在的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)計(jì)算圖①中正方形的面積與邊長(zhǎng).(2)利用圖②中的正方形網(wǎng)格,作出面積為8的正方形,并在此基礎(chǔ)上建立適當(dāng)?shù)臄?shù)軸,在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)和.4.如圖是一塊正方形紙片.(1)如圖1,若正方形紙片的面積為1dm2,則此正方形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為dm.(2)若一圓的面積與這個(gè)正方形的面積都是2πcm2,設(shè)圓的周長(zhǎng)為C圓,正方形的周長(zhǎng)為C正,則C圓C正(填“=”或“<”或“>”號(hào))(3)如圖2,若正方形的面積為16cm2,李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為12cm2的長(zhǎng)方形紙片,使它的長(zhǎng)和寬之比為3:2,他能裁出嗎?請(qǐng)說明理由?5.如圖,用兩個(gè)邊長(zhǎng)為15的小正方形拼成一個(gè)大的正方形,(1)求大正方形的邊長(zhǎng)?(2)若沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形,能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4:3,且面積為720cm2?二、解答題6.已知點(diǎn)C在射線OA上.(1)如圖①,CDOE,若∠AOB=90°,∠OCD=120°,求∠BOE的度數(shù);(2)在①中,將射線OE沿射線OB平移得O′E'(如圖②),若∠AOB=α,探究∠OCD與∠BO′E′的關(guān)系(用含α的代數(shù)式表示)(3)在②中,過點(diǎn)O′作OB的垂線,與∠OCD的平分線交于點(diǎn)P(如圖③),若∠CPO′=90°,探究∠AOB與∠BO′E′的關(guān)系.7.(1)(問題)如圖1,若,,.求的度數(shù);(2)(問題遷移)如圖2,,點(diǎn)在的上方,問,,之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由;(3)(聯(lián)想拓展)如圖3所示,在(2)的條件下,已知,的平分線和的平分線交于點(diǎn),用含有的式子表示的度數(shù).8.如圖,直線,點(diǎn)是、之間(不在直線,上)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如圖1,若與都是銳角,請(qǐng)寫出與,之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由;(2)把直角三角形如圖2擺放,直角頂點(diǎn)在兩條平行線之間,與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),點(diǎn)在線段上,連接,有,求的值;(3)如圖3,若點(diǎn)是下方一點(diǎn),平分,平分,已知,求的度數(shù).9.汛期即將來(lái)臨,防汛指揮部在某水域一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈,便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況.如圖1,燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn),燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視.若燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒,燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒,且、滿足.假定這一帶水域兩岸河堤是平行的,即,且.(1)求、的值;(2)如圖2,兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng),在燈射出的光束到達(dá)之前,若兩燈射出的光束交于點(diǎn),過作交于點(diǎn),若,求的度數(shù);(3)若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒,燈射出的光束才開始轉(zhuǎn)動(dòng),在燈射出的光束到達(dá)之前,燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒,兩燈的光束互相平行?10.如圖,已知直線射線CD,.P是射線EB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PQEC交射線CD于點(diǎn)Q,連接CP.作,交直線AB于點(diǎn)F,CG平分.(1)若點(diǎn)P,F(xiàn),G都在點(diǎn)E的右側(cè),求的度數(shù);(2)若點(diǎn)P,F(xiàn),G都在點(diǎn)E的右側(cè),,求的度數(shù);(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在這樣的情形,使?若存在,求出的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.三、解答題11.(1)光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象,同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象,如圖1,光線a從空氣中射入水中,再?gòu)乃猩淙肟諝庵校纬晒饩€b,根據(jù)光學(xué)知識(shí)有,請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行,并說明理由.(2)光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象,由光學(xué)知識(shí),入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等,如圖2有一口井,已知入射光線與水平線的夾角為,問如何放置平面鏡,可使反射光線b正好垂直照射到井底?(即求與水平線的夾角)(3)如圖3,直線上有兩點(diǎn)A、C,分別引兩條射線、.,,射線、分別繞A點(diǎn),C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)時(shí)間為t,在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi),是否存在某時(shí)刻,使得與平行?若存在,求出所有滿足條件的時(shí)間t.12.(1)學(xué)習(xí)了平行線以后,香橙同學(xué)想出了過一點(diǎn)畫一條直線的平行線的新方法,她是通過折紙做的,過程如(圖1).①請(qǐng)你仿照以上過程,在圖2中畫出一條直線b,使直線b經(jīng)過點(diǎn)P,且,要求保留折紙痕跡,畫出所用到的直線,指明結(jié)果.無(wú)需寫畫法:②在(1)中的步驟(b)中,折紙實(shí)際上是在尋找過點(diǎn)P的直線a的線.(2)已知,如圖3,,BE平分,CF平分.求證:(寫出每步的依據(jù)).13.已知兩條直線l1,l2,l1∥l2,點(diǎn)A,B在直線l1上,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,點(diǎn)C,D在直線l2上,且滿足.(1)如圖①,求證:AD∥BC;(2)點(diǎn)M,N在線段CD上,點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊且滿足,且AN平分∠CAD;(Ⅰ)如圖②,當(dāng)時(shí),求∠DAM的度數(shù);(Ⅱ)如圖③,當(dāng)時(shí),求∠ACD的度數(shù).14.如圖1,,在、內(nèi)有一條折線.(1)求證:;(2)在圖2中,畫的平分線與的平分線,兩條角平分線交于點(diǎn),請(qǐng)你補(bǔ)全圖形,試探索與之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)在(2)的條件下,已知和均為鈍角,點(diǎn)在直線、之間,且滿足,,(其中為常數(shù)且),直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.15.如圖所示,已知,點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合),BC、BD分別平分和,分別交射線AM于點(diǎn)C、D,且(1)求的度數(shù).(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化?若不變化,請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系,并說明理由;若變化,請(qǐng)寫出變化規(guī)律.(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使時(shí),求的度數(shù).四、解答題16.在△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),將△ABD沿AD翻折后得到△AED,邊AE交BC于點(diǎn)F.(1)如圖①,當(dāng)AE⊥BC時(shí),寫出圖中所有與∠B相等的角:;所有與∠C相等的角:.(2)若∠C-∠B=50°,∠BAD=x°(0<x≤45).①求∠B的度數(shù);②是否存在這樣的x的值,使得△DEF中有兩個(gè)角相等.若存在,并求x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.17.如圖①,將一副直角三角板放在同一條直線AB上,其中∠ONM=30°,∠OCD=45°.(1)將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置,MN與CD相交于點(diǎn)E,求∠CEN的度數(shù);(2)將圖①中的三角板OMN繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使∠BON=30°,如圖③,MN與CD相交于點(diǎn)E,求∠CEN的度數(shù);(3)將圖①中的三角板OMN繞點(diǎn)O按每秒30°的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,在第____________秒時(shí),直線MN恰好與直線CD垂直.(直接寫出結(jié)果)18.模型與應(yīng)用.(模型)(1)如圖①,已知AB∥CD,求證∠1+∠MEN+∠2=360°.(應(yīng)用)(2)如圖②,已知AB∥CD,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)為.如圖③,已知AB∥CD,則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度數(shù)為.(3)如圖④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分線M1O與∠CMnMn-1的角平分線MnO交于點(diǎn)O,若∠M1OMn=m°.在(2)的基礎(chǔ)上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1的度數(shù).(用含m、n的代數(shù)式表示)19.如圖,在中,與的角平分線交于點(diǎn).(1)若,則;(2)若,則;(3)若,與的角平分線交于點(diǎn),的平分線與的平分線交于點(diǎn),,的平分線與的平分線交于點(diǎn),則.20.已知在中,,點(diǎn)在上,邊在上,在中,邊在直線上,;(1)如圖1,求的度數(shù);(2)如圖2,將沿射線的方向平移,當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),求度數(shù);(3)將在直線上平移,當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),直接寫出度數(shù).【參考答案】一、解答題1.(1)4;(2)不能,理由見解析.【分析】(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長(zhǎng)即可;(2)先設(shè)未知數(shù)根據(jù)面積=14(cm2)列方程,求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng),將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與正方形邊長(zhǎng)比較大小再解析:(1)4;(2)不能,理由見解析.【分析】(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長(zhǎng)即可;(2)先設(shè)未知數(shù)根據(jù)面積=14(cm2)列方程,求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng),將長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與正方形邊長(zhǎng)比較大小再判斷即可.【詳解】解:(1)兩個(gè)正方形面積之和為:2×8=16(cm2),∴拼成的大正方形的面積=16(cm2),∴大正方形的邊長(zhǎng)是4cm;故答案為:4;(2)設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為2xcm,寬為xcm,則2x?x=14,解得:,2x=2>4,∴不存在長(zhǎng)寬之比為且面積為的長(zhǎng)方形紙片.【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根,能夠根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵.2.(1);(2)不能,理由見解析【分析】(1)由正方形面積,可求得正方形邊長(zhǎng),然后利用勾股定理即可求出對(duì)角線長(zhǎng);(2)利用方程思想求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊,然后與正方形邊長(zhǎng)比較大小即可.【詳解】解:解析:(1);(2)不能,理由見解析【分析】(1)由正方形面積,可求得正方形邊長(zhǎng),然后利用勾股定理即可求出對(duì)角線長(zhǎng);(2)利用方程思想求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊,然后與正方形邊長(zhǎng)比較大小即可.【詳解】解:(1)∵正方形紙片的面積為,∴正方形的邊長(zhǎng),∴.故答案為:.(2)不能;根據(jù)題意設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為和.∴長(zhǎng)方形面積為:,解得:,∴長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊為.∵,∴他不能裁出.【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根在長(zhǎng)方形和正方形面積中的應(yīng)用,靈活的進(jìn)行算術(shù)平方根計(jì)算及無(wú)理數(shù)大小比較是解題的關(guān)鍵.3.(1)正方形的面積為10,正方形的邊長(zhǎng)為;(2)見解析【分析】(1)利用正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積即可求出正方形的面積,然后根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出邊長(zhǎng);(2)根據(jù)(1)的方法畫解析:(1)正方形的面積為10,正方形的邊長(zhǎng)為;(2)見解析【分析】(1)利用正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積即可求出正方形的面積,然后根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出邊長(zhǎng);(2)根據(jù)(1)的方法畫出圖形,然后建立數(shù)軸,根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可表示出結(jié)論.【詳解】解:(1)正方形的面積為4×4-4××3×1=10則正方形的邊長(zhǎng)為;(2)如下圖所示,正方形的面積為4×4-4××2×2=8,所以該正方形即為所求,如圖建立數(shù)軸,以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心,正方形的邊長(zhǎng)為半徑作弧,分別交數(shù)軸于兩點(diǎn)∴正方形的邊長(zhǎng)為∴弧與數(shù)軸的左邊交點(diǎn)為,右邊交點(diǎn)為,實(shí)數(shù)和在數(shù)軸上如圖所示.【點(diǎn)睛】此題考查的是求網(wǎng)格中圖形的面積和實(shí)數(shù)與數(shù)軸,掌握算術(shù)平方根的意義和利用數(shù)軸表示無(wú)理數(shù)是解題關(guān)鍵.4.(1);(2)<;(3)不能;理由見解析.【分析】(1)由正方形面積,易求得正方形邊長(zhǎng),再由勾股定理求對(duì)角線長(zhǎng);(2)由圓面積公式,和正方形面積可求周長(zhǎng),比較兩數(shù)大小可以采用比商法;(3)采解析:(1);(2)<;(3)不能;理由見解析.【分析】(1)由正方形面積,易求得正方形邊長(zhǎng),再由勾股定理求對(duì)角線長(zhǎng);(2)由圓面積公式,和正方形面積可求周長(zhǎng),比較兩數(shù)大小可以采用比商法;(3)采用方程思想求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊,與正方形邊長(zhǎng)比較大小即可.【詳解】解:(1)由已知AB2=1,則AB=1,由勾股定理,AC=;故答案為:.(2)由圓面積公式,可得圓半徑為,周長(zhǎng)為,正方形周長(zhǎng)為4.;即C圓<C正;故答案為:<(3)不能;由已知設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬為3xcm和2xcm∴長(zhǎng)方形面積為:2x?3x=12解得x=∴長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊為3>4∴他不能裁出.【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根在正方形、圓、長(zhǎng)方形面積中的應(yīng)用,靈活的進(jìn)行算術(shù)平方根的計(jì)算與無(wú)理數(shù)大小比較是解題的關(guān)鍵.5.(1)30;(2)不能.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積,即可求出邊長(zhǎng);(2)先求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng),再判斷即可.【詳解】解:(1)∵大正方形的面積是:∴大正解析:(1)30;(2)不能.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的面積,即可求出邊長(zhǎng);(2)先求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng),再判斷即可.【詳解】解:(1)∵大正方形的面積是:∴大正方形的邊長(zhǎng)是:=30;(2)設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為4xcm,寬為3xcm,則4x?3x=720,解得:x=,4x==>30,所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形,不能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4:3,且面積為720cm2.故答案為(1)30;(2)不能.【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根,解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出算式.二、解答題6.(1)150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOE的度數(shù),再根據(jù)直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數(shù);(2)解析:(1)150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOE的度數(shù),再根據(jù)直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數(shù);(2)如圖②,過O點(diǎn)作OF∥CD,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得∠OCD、∠BO′E′的數(shù)量關(guān)系;(3)由已知推出CP∥OB,得到∠AOB+∠PCO=180°,結(jié)合角平分線的定義可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB,根據(jù)(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB,進(jìn)而推出∠AOB=∠BO′E′.【詳解】解:(1)∵CD∥OE,∴∠AOE=∠OCD=120°,∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α.證明:如圖②,過O點(diǎn)作OF∥CD,∵CD∥O′E′,∴OF∥O′E′,∴∠AOF=180°-∠OCD,∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-(∠OCD+∠BO′E′)=α,∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′.證明:∵∠CPO′=90°,∴PO′⊥CP,∵PO′⊥OB,∴CP∥OB,∴∠PCO+∠AOB=180°,∴2∠PCO=360°-2∠AOB,∵CP是∠OCD的平分線,∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB,∵由(2)知,∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB,∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB,∴∠AOB=∠BO′E′.【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì),平移的性質(zhì),直角的定義,角平分線的定義,正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.7.(1)90°;(2)∠PFC=∠PEA+∠P;(3)∠G=α【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可求解;(2)過P點(diǎn)作PN∥AB,則PN∥CD,可得∠FPN=∠PEA+∠FPE,進(jìn)而可得∠PF解析:(1)90°;(2)∠PFC=∠PEA+∠P;(3)∠G=α【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可求解;(2)過P點(diǎn)作PN∥AB,則PN∥CD,可得∠FPN=∠PEA+∠FPE,進(jìn)而可得∠PFC=∠PEA+∠FPE,即可求解;(3)令A(yù)B與PF交點(diǎn)為O,連接EF,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠GEF+∠GFE=∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE,由(2)得∠PEA=∠PFC-α,由∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC可求解.【詳解】解:(1)如圖1,過點(diǎn)P作PM∥AB,∴∠1=∠AEP.又∠AEP=40°,∴∠1=40°.∵AB∥CD,∴PM∥CD,∴∠2+∠PFD=180°.∵∠PFD=130°,∴∠2=180°-130°=50°.∴∠1+∠2=40°+50°=90°.即∠EPF=90°.(2)∠PFC=∠PEA+∠P.理由:過P點(diǎn)作PN∥AB,則PN∥CD,∴∠PEA=∠NPE,∵∠FPN=∠NPE+∠FPE,∴∠FPN=∠PEA+∠FPE,∵PN∥CD,∴∠FPN=∠PFC,∴∠PFC=∠PEA+∠FPE,即∠PFC=∠PEA+∠P;(3)令A(yù)B與PF交點(diǎn)為O,連接EF,如圖3.在△GFE中,∠G=180°-(∠GFE+∠GEF),∵∠GEF=∠PEA+∠OEF,∠GFE=∠PFC+∠OFE,∴∠GEF+∠GFE=∠PEA+∠PFC+∠OEF+∠OFE,∵由(2)知∠PFC=∠PEA+∠P,∴∠PEA=∠PFC-α,∵∠OFE+∠OEF=180°-∠FOE=180°-∠PFC,∴∠GEF+∠GFE=(∠PFC?α)+∠PFC+180°?∠PFC=180°?α,∴∠G=180°?(∠GEF+∠GFE)=180°?180°+α=α.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定,靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.8.(1)見解析;(2);(3)75°【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解.(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和平角的定義解答即可.(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義以解析:(1)見解析;(2);(3)75°【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解.(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和平角的定義解答即可.(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和解答即可.【詳解】解:(1)∠C=∠1+∠2,證明:過C作l∥MN,如下圖所示,∵l∥MN,∴∠4=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∵l∥MN,PQ∥MN,∴l(xiāng)∥PQ,∴∠3=∠1(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∴∠3+∠4=∠1+∠2,∴∠C=∠1+∠2;(2)∵∠BDF=∠GDF,∵∠BDF=∠PDC,∴∠GDF=∠PDC,∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°,∴∠CDG+2∠PDC=180°,∴∠PDC=90°-∠CDG,由(1)可得,∠PDC+∠CEM=∠C=90°,∴∠AEN=∠CEM,∴,(3)設(shè)BD交MN于J.∵BC平分∠PBD,AM平分∠CAD,∠PBC=25°,∴∠PBD=2∠PBC=50°,∠CAM=∠MAD,∵PQ∥MN,∴∠BJA=∠PBD=50°,∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM,由(1)可得,∠ACB=∠PBC+∠CAM,∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行找出角度之間的關(guān)系.9.(1),;(2)30°;(3)15秒或82.5秒【分析】(1)解出式子即可;(2)根據(jù),用含t的式子表示出,根據(jù)(2)中給出的條件得出方程式,求出t的值,進(jìn)而求出的度數(shù);(3)根據(jù)燈B的解析:(1),;(2)30°;(3)15秒或82.5秒【分析】(1)解出式子即可;(2)根據(jù),用含t的式子表示出,根據(jù)(2)中給出的條件得出方程式,求出t的值,進(jìn)而求出的度數(shù);(3)根據(jù)燈B的要求,t<150,在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)A可以轉(zhuǎn)3次,分情況討論.【詳解】解:(1).又,.,;(2)設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒,如圖,作,而,,,,,,(3)設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒,兩燈的光束互相平行.依題意得①當(dāng)時(shí),兩河岸平行,所以兩光線平行,所以所以,即:,解得;②當(dāng)時(shí),兩光束平行,所以兩河岸平行,所以所以,,解得;③當(dāng)時(shí),圖大概如①所示,解得(不合題意)綜上所述,當(dāng)秒或82.5秒時(shí),兩燈的光束互相平行.【點(diǎn)睛】這道題考察的是平行線的性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用.根據(jù)平行線的性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角列出方程是解題的關(guān)鍵.10.(1)40°;(2)65°;(3)存在,56°或20°【分析】(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,即可得到∠PCG的度數(shù);(2)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,即可得到∠ECG=∠G解析:(1)40°;(2)65°;(3)存在,56°或20°【分析】(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,即可得到∠PCG的度數(shù);(2)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,即可得到∠ECG=∠GCF=25°,再根據(jù)PQ∥CE,即可得出∠CPQ=∠ECP=65°;(3)設(shè)∠EGC=4x,∠EFC=3x,則∠GCF=4x-3x=x,分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí),②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí),依據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可.【詳解】解:(1)∵∠CEB=100°,AB∥CD,∴∠ECQ=80°,∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF,∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°;(2)∵AB∥CD∴∠QCG=∠EGC,∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°,∴∠EGC+∠ECG=80°,又∵∠EGC-∠ECG=30°,∴∠EGC=55°,∠ECG=25°,∴∠ECG=∠GCF=25°,∠PCF=∠PCQ=(80°-50°)=15°,∵PQ∥CE,∴∠CPQ=∠ECP=65°;(3)設(shè)∠EGC=4x,∠EFC=3x,則∠GCF=∠FCD=4x-3x=x,①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí),則∠ECG=x,∠PCF=∠PCD=x,∵∠ECD=80°,∴x+x+x+x=80°,解得x=16°,∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°;②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí),則∠ECG=∠GCF=x,∵∠CGF=180°-4x,∠GCQ=80°+x,∴180°-4x=80°+x,解得x=20°,∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°,∴∠PCQ=∠FCQ=60°,∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),解題時(shí)注意:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.三、解答題11.(1)平行,理由見解析;(2)65°;(3)5秒或95秒【分析】(1)根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行即可判定a∥b;(2)根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反解析:(1)平行,理由見解析;(2)65°;(3)5秒或95秒【分析】(1)根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行即可判定a∥b;(2)根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1=∠2,然后根據(jù)平角等于180°求出∠1的度數(shù),再加上40°即可得解;(3)分①AB與CD在EF的兩側(cè),分別表示出∠ACD與∠BAC,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等列式計(jì)算即可得解;②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè),分別表示出∠DCF與∠BAC,然后根據(jù)兩直線平行,同位角相等列式計(jì)算即可得解;③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè),分別表示出∠DCF與∠BAC,然后根據(jù)兩直線平行,同位角相等列式計(jì)算即可得解.【詳解】解:(1)平行.理由如下:如圖1,∵∠3=∠4,∴∠5=∠6,∵∠1=∠2,∴∠1+∠5=∠2+∠6,∴a∥b(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行);(2)如圖2:∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等,∴∠1=∠2,∵入射光線a與水平線OC的夾角為40°,b垂直照射到井底,∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°,∴∠1=×50°=25°,∴MN與水平線的夾角為:25°+40°=65°,即MN與水平線的夾角為65°,可使反射光線b正好垂直照射到井底;(3)存在.如圖①,AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí),∵∠BAF=105°,∠DCF=65°,∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°,∠BAC=105°-t°,要使AB∥CD,則∠ACD=∠BAC,即115-3t=105-t,解得t=5;如圖②,CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí),∵∠BAF=105°,∠DCF=65°,∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°,∠BAC=105°-t°,要使AB∥CD,則∠DCF=∠BAC,即295-3t=105-t,解得t=95;如圖③,CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí),∵∠BAF=105°,∠DCF=65°,∴∠DCF=3t°-(180°-65°+180°)=3t°-295°,∠BAC=t°-105°,要使AB∥CD,則∠DCF=∠BAC,即3t-295=t-105,解得t=95,此時(shí)t>105,∴此情況不存在.綜上所述,t為5秒或95秒時(shí),CD與AB平行.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),光學(xué)原理,讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,(3)要注意分情況討論.12.(1)①見解析;②垂;(2)見解析【分析】(1)①過點(diǎn)折紙,使痕跡垂直直線,然后過點(diǎn)折紙使痕跡與前面的痕跡垂直,從而得到直線;②步驟(b)中,折紙實(shí)際上是在尋找過點(diǎn)的直線的垂線.(2)先根據(jù)解析:(1)①見解析;②垂;(2)見解析【分析】(1)①過點(diǎn)折紙,使痕跡垂直直線,然后過點(diǎn)折紙使痕跡與前面的痕跡垂直,從而得到直線;②步驟(b)中,折紙實(shí)際上是在尋找過點(diǎn)的直線的垂線.(2)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,再利用角平分線的定義得到,然后根據(jù)平行線的判定得到結(jié)論.【詳解】(1)解:①如圖2所示:②在(1)中的步驟(b)中,折紙實(shí)際上是在尋找過點(diǎn)的直線的垂線.故答案為垂;(2)證明:平分,平分(已知),,(角平分線的定義),(已知),(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),(等量代換),(等式性質(zhì)),(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.也考查了平行線的性質(zhì)與判定.13.(1)證明見解析;(2)(Ⅰ);(Ⅱ).【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,再根據(jù)角的和差可得,然后根據(jù)平行線的判定即可得證;(2)(Ⅰ)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,從而可得,再根據(jù)角的和差可得解析:(1)證明見解析;(2)(Ⅰ);(Ⅱ).【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,再根據(jù)角的和差可得,然后根據(jù)平行線的判定即可得證;(2)(Ⅰ)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,從而可得,再根據(jù)角的和差可得,然后根據(jù)即可得;(Ⅱ)設(shè),從而可得,先根據(jù)角平分線的定義可得,再根據(jù)角的和差可得,然后根據(jù)建立方程可求出x的值,從而可得的度數(shù),最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得.【詳解】(1),,又,,;(2)(Ⅰ),,,,由(1)已得:,,;(Ⅱ)設(shè),則,平分,,,,,由(1)已得:,,即,解得,,又,.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角的和差、角平分線的定義、一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.14.(1)見解析;(2);見解析;(3)【分析】(1)過點(diǎn)作,根據(jù)平行線性質(zhì)可得;(2)由(1)結(jié)論可得:,,再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得;(3)由(2)結(jié)論可得:.【詳解】(1)證明:如圖1,過解析:(1)見解析;(2);見解析;(3)【分析】(1)過點(diǎn)作,根據(jù)平行線性質(zhì)可得;(2)由(1)結(jié)論可得:,,再根據(jù)角平分線性質(zhì)可得;(3)由(2)結(jié)論可得:.【詳解】(1)證明:如圖1,過點(diǎn)作,∵,∴,∴,,又∵,∴;(2)如圖2,由(1)可得:,,∵的平分線與的平分線相交于點(diǎn),∴,∴;(3)由(2)可得:,,∵,,∴,∴;【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn):平行線性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用.熟練運(yùn)用平行線性質(zhì)和判定是關(guān)鍵.15.(1);(2)不變化,,理由見解析;(3)【分析】(1)結(jié)合題意,根據(jù)角平分線的性質(zhì),得;再根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算,即可得到答案;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì),得,;結(jié)合角平分線性質(zhì),得,即可完成求解解析:(1);(2)不變化,,理由見解析;(3)【分析】(1)結(jié)合題意,根據(jù)角平分線的性質(zhì),得;再根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算,即可得到答案;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì),得,;結(jié)合角平分線性質(zhì),得,即可完成求解;(3)根據(jù)平行線的性質(zhì),得;結(jié)合,推導(dǎo)得;再結(jié)合(1)的結(jié)論計(jì)算,即可得到答案.【詳解】(1)∵BC,BD分別評(píng)分和,∴,∴又∵,∴∵,∴∴;(2)∵,∴,又∵BD平分∴,∴;∴與之間的數(shù)量關(guān)系保持不變;(3)∵,∴又∵,∴,∵∴由(1)可得,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線、平行線的性質(zhì),從而完成求解.四、解答題16.(1)∠E、∠CAF;∠CDE、∠BAF;(2)①20°;②30【分析】(1)由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角;由等角代換即可得與∠C相等的角;(2)①由三角形內(nèi)角和定理可得,解析:(1)∠E、∠CAF;∠CDE、∠BAF;(2)①20°;②30【分析】(1)由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角;由等角代換即可得與∠C相等的角;(2)①由三角形內(nèi)角和定理可得,再由根據(jù)角的和差計(jì)算即可得∠C的度數(shù),進(jìn)而得∠B的度數(shù).②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形外角及三角形內(nèi)角和定理,用含x的代數(shù)式表示出∠FDE、∠DFE的度數(shù),分三種情況討論求出符合題意的x值即可.【詳解】(1)由翻折的性質(zhì)可得:∠E=∠B,∵∠BAC=90°,AE⊥BC,∴∠DFE=90°,∴180°-∠BAC=180°-∠DFE=90°,即:∠B+∠C=∠E+∠FDE=90°,∴∠C=∠FDE,∴AC∥DE,∴∠CAF=∠E,∴∠CAF=∠E=∠B故與∠B相等的角有∠CAF和∠E;∵∠BAC=90°,AE⊥BC,∴∠BAF+∠CAF=90°,∠CFA=180°-(∠CAF+∠C)=90°∴∠BAF+∠CAF=∠CAF+∠C=90°∴∠BAF=∠C又AC∥DE,∴∠C=∠CDE,∴故與∠C相等的角有∠CDE、∠BAF;(2)①∵∴又∵,∴∠C=70°,∠B=20°;②∵∠BAD=x°,∠B=20°則,,由翻折可知:∵,,∴,,當(dāng)∠FDE=∠DFE時(shí),,解得:;當(dāng)∠FDE=∠E時(shí),,解得:(因?yàn)?<x≤45,故舍去);當(dāng)∠DFE=∠E時(shí),,解得:(因?yàn)?<x≤45,故舍去);綜上所述,存在這樣的x的值,使得△DEF中有兩個(gè)角相等.且.【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定及其性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等角代換,解題的關(guān)鍵是熟知圖形翻折的性質(zhì)及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí).17.(1)105°;(2)135°;(3)5.5或11.5.【分析】(1)在△CEN中,用三角形內(nèi)角和定理即可求出;(2)由∠BON=30°,∠N=30°可得MN∥CB,再根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角解析:(1)105°;(2)135°;(3)5.5或11.5.【分析】(1)在△CEN中,用三角形內(nèi)角和定理即可求出;(2)由∠BON=30°,∠N=30°可得MN∥CB,再根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠CEN的度數(shù).(3)畫出圖形,求出在MN⊥CD時(shí)的旋轉(zhuǎn)角,再除以30°即得結(jié)果.【詳解】解:(1)在△CEN中,∠CEN=180°-∠ECN-∠CNE=180°-45°-30°=105°;(2)∵∠BON=30°,∠N=30°,∴∠BON=∠N,∴MN∥CB.∴∠OCD+∠CEN=180°,∵∠OCD=45°∴∠CEN=180°-45°=135°;(3)如圖,MN⊥CD時(shí),旋轉(zhuǎn)角為360°-90°-45°-60°=165°,或360°-(60°-45°)=345°,所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒時(shí),直線MN恰好與直線CD垂直.【點(diǎn)睛】本題以學(xué)生熟悉的三角板為載體,考查了三角形的內(nèi)角和、平行線的判定和性質(zhì)、垂直的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),前兩小題難度不大,難點(diǎn)是第(3)小題,解題的關(guān)鍵是畫出適合題意的幾何圖形,弄清求旋轉(zhuǎn)角的思路和方法,本題的第一種情況是將旋轉(zhuǎn)角∠DOM放在四邊形DOMF中,用四邊形內(nèi)角和求解,第二種情況是用周角減去∠DOM的度數(shù).18.(1)證明見解析;(2)900°,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)°【詳解】【模型】(1)證明:過點(diǎn)E作EF∥CD,∵AB∥CD,∴EF∥AB,∴∠1+∠MEF解析:(1)證明見解析;(2)900°,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)°【詳解】【模型】(1)證明:過點(diǎn)E作EF∥CD,∵AB∥CD,∴EF∥AB,∴∠1+∠MEF=180°,同理∠2+∠NEF=180°∴∠1+∠2+∠MEN=360°【應(yīng)用】(2)分別過E點(diǎn),F(xiàn)點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,L3,L4平行于AB,利用(1)的方法可得∠1+∠
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