材料力學(xué)：彎曲正應(yīng)力

材料力學(xué)：彎曲正應(yīng)力對(duì)稱彎曲的概念及計(jì)算簡(jiǎn)圖梁的剪力和彎矩?剪力圖和彎矩圖梁橫截面上的正應(yīng)力?梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖梁的合理設(shè)計(jì)返回§4-4梁截面上的正應(yīng)力?梁的強(qiáng)度條件當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩

M

，又有剪力

Fs

。mmFsM只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFs=dA

才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力mmFsmmM

一、純彎曲梁截面上的正應(yīng)力

FFaaCD++FF+Fa簡(jiǎn)支梁CD

段任一橫截面上，剪力等于零，而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是

純彎曲

。若梁在某段內(nèi)各橫截面上的彎矩為常量

，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。推導(dǎo)公式時(shí)，要綜合考慮

幾何，物理

和

靜力學(xué)

三方面

。取一純彎曲梁來(lái)研究。推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。1.幾何方面以及橫向線相垂直的一系列的縱向線（如aa

，bb等）。mmnnaabb梁在加力前先在其側(cè)面上畫上一系列的橫向線（如mm

，nn等）mm（1）變形前相互平行的縱向直線（aa

，bb等），變形后均為圓弧線（a’a’

，b’b’等)，且靠上部的縮短靠下部的伸長(zhǎng)。梁變形后觀察到的現(xiàn)象mmnnaabba’a’b'b'mmmmnnaabb（2）變形前垂直于縱向直線的橫向線（mm,nn等）變形后仍為直線（m’m’,n’n’等），但相對(duì)轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與彎曲后的縱向直線垂直。m’m’n’n’a’a’b'b'平面假設(shè)

：梁在受力彎曲后，原來(lái)的橫截面仍為平面，它繞著該橫截面上的某一軸

旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且仍垂直于梁彎曲后的軸線。由平面假設(shè)可知，在梁彎曲時(shí)，這兩個(gè)橫截面將相對(duì)地旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度d

。用兩個(gè)橫截面從梁中假想地截取長(zhǎng)為dx

的一段。d

（3）公式推導(dǎo)d

橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)將使梁的凹邊的縱向線段縮短，凸邊的縱向線段伸長(zhǎng)。由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向線段O1O2無(wú)長(zhǎng)度改變。此層稱為中性層

。O1O2的長(zhǎng)度為dx

。O1O2dxd

O1O2dx中性軸與橫截面的對(duì)稱軸成正交。中性層與橫截面的交線稱為中性軸

。d

O1O2dx中性層中性軸橫截面橫截面的對(duì)稱軸d

O1O2dxyZx將梁的軸線取為x

軸。橫截面的對(duì)稱軸取為

y

軸。中性軸取為

z

軸。d

O1O2dx作O2B1

與

O1A

平行。在橫截面上取距中性軸為y

處的縱向線

AB。

為中性層上的縱向線段O1O2

變彎后的曲率半徑。

AByB1

d

d

O2B1的長(zhǎng)度為y

。yd

O1O2dx

AByB1

d

d

yAB1為變形前AB

的長(zhǎng)度B1B

為AB1的伸長(zhǎng)量

AB1

為A點(diǎn)的縱向線應(yīng)變。dxd

O1O2dx

AByB1

d

d

中性層的曲率為因?yàn)?/p>

是個(gè)非負(fù)的量于是dxyd

O1O2dx

AByB1

d

d

dxy因而，橫截面上到中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。變

該式說(shuō)明，

和y

坐標(biāo)成正比,而與中性軸z坐標(biāo)無(wú)關(guān)。，dxd

O1O2dx

AByB1

d

d

dxydxxyZOy2.物理方面純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)處的處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉，壓彈性模量相等。由單軸應(yīng)力狀態(tài)下的

胡克定律可得物理關(guān)系假設(shè)：

=E上式為橫截面上

正應(yīng)力變化規(guī)律的表達(dá)式。上式說(shuō)明，橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離

y

成正比；OxyZy1在距中性軸為y的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均相等。yM需要解決的問(wèn)題如何確定中性軸的位置？如何計(jì)算1/

?中性軸

彎曲正應(yīng)力yZxOM3.靜力學(xué)方面在橫截面上法向內(nèi)力元素

dA

構(gòu)成了空間平行力系。dAZydAdA

1dAyZxOMdAZydAdA

1dA該空間平行力系簡(jiǎn)化為x軸方向的主矢對(duì)y軸和z

軸主矩因?yàn)樵摿憾问羌儚澢虼薋N

和My均等于零，而Mz就是上橫截面的彎矩M

。yZxOMdAZydAdA

1dA中性軸必通過(guò)橫截面的形心中性軸過(guò)截面形心且與橫截面的對(duì)稱軸y垂直yyCZCZ中性軸中性軸中性軸將橫截面分為受拉和受壓兩部分。MMyyCZCZ中性軸中性軸拉拉壓壓因?yàn)閥軸是橫截面的對(duì)稱軸，所以Iyz

一定為零。該式自動(dòng)滿足中性軸是橫截面的形心主慣性軸EIz稱為截面的抗彎剛度M

橫截面上的彎矩。該式為等直梁純彎曲

時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處正應(yīng)力的計(jì)算公式y(tǒng)

求應(yīng)力點(diǎn)的y

坐標(biāo)。式中：橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。Iz4.討論

（1）應(yīng)用公式時(shí)，一般將

M

，y

以絕對(duì)值代入。根據(jù)梁變形

的實(shí)際情況直接判斷

的正，負(fù)號(hào)。以中性軸為界

梁變形后凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（

為負(fù)號(hào)）梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力（

為正號(hào)）（2）橫截面中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力最小。且

min=0MMyyCZCZ中性軸中性軸（3）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處

中性軸為對(duì)稱軸ZyCM

tmax

Cmax壓拉用ymax

表示最大拉（壓）應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離。ZyCM

tmax

Cmax壓拉WZ稱為抗彎截面模量。ZyCM

tmax

Cmax壓拉中性軸是對(duì)稱軸的梁橫截面上最大正應(yīng)力的計(jì)算公式為yzhb矩形截面的抗彎截面系數(shù)圓形截面的抗彎截面系數(shù)dyzM矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力分部圖zy

對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面M

tmax

Cmax應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離ytmax

和

yCmax

直接代入公式。求得相應(yīng)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。zyM

tmax

CmaxzyM

tmax

Cmax當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí)，橫截面上既又彎矩

又有

剪力。梁在此種情況下的彎曲稱為

橫力彎曲。二、純彎曲理論的推廣橫力彎曲

時(shí)，梁的橫截面上既有正應(yīng)力

，又有切應(yīng)力

。切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力純彎曲時(shí)所作的

平面假設(shè)

和

各縱向線段間互不擠壓的假設(shè)都不成立。但工程中常用的梁，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力可以精確的計(jì)算公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力。等直梁橫力彎曲時(shí)，某一橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置。三、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在

最大彎矩的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處。該處的切應(yīng)力都等于零，縱截面上由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可略去不計(jì)。因此，可將橫截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，看作

單軸應(yīng)力狀態(tài)

。梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：梁的橫截面上最大工作正應(yīng)力

max

不得超過(guò)材料的許用彎曲正應(yīng)力[]

即1.對(duì)于中性軸為對(duì)稱軸的截面Wz

稱為抗彎截面系數(shù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件為2.對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的截面比如鑄鐵等

脆性材料

制成的梁，由于材料的（兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上）且梁橫截面的中性軸

一般也不是對(duì)稱軸，所以梁的要求梁上最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力分別不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力

和

許用壓應(yīng)力

。正應(yīng)力強(qiáng)度條件為可對(duì)梁按正應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核3.正應(yīng)力強(qiáng)度條件解決三方面問(wèn)題（中性軸是對(duì)稱軸）（中性軸不是對(duì)稱軸）選擇梁的截面確定梁的許可荷載例題1：長(zhǎng)為l

的矩形截面梁，在自由端作用有集中力F。已知：

h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F(xiàn)=1.5kN。求C

截面上K點(diǎn)的正應(yīng)力。ABCFalyKbhzABCFalMC=-Fa=-3kN.m解：（+）yKbhzz12.556021166a例題2：圖示簡(jiǎn)支梁由

56a工字鋼制成，其橫截面見圖,

F=

150kN。求:(1)梁上的最大正應(yīng)力

max(2)同一截面上翼緣與腹板交界處a

點(diǎn)的應(yīng)力BACF10m5mz12.556021166a解：支座反力為+375kN.m作彎矩圖BACF10m5mz12.556021166a查型鋼表，56a

工字鋼中間截面為危險(xiǎn)截面。

最大彎矩為+375kN.mz12.556021166a(1)梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面距中性軸最遠(yuǎn)的上，下邊緣各點(diǎn)處，即+375kN.m(2)危險(xiǎn)截面上a

點(diǎn)的正應(yīng)力a點(diǎn)到中性軸的距離為所以a

點(diǎn)的正應(yīng)力為z12.556021166a+375kN.m例題3:跨長(zhǎng)l=2m

的鑄鐵梁受力如圖所示。已知材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為[

t]=30MPa，[

C]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求：（1）確定T字形截面梁橫截面的一個(gè)尺寸

。（2）校核梁的強(qiáng)度。AB1m2mF=80kN220y60280z解：AB梁各截面彎矩均為正值，且中間截面是危險(xiǎn)截面。假設(shè)截面形心位置如圖所示，z軸為中性軸。要使截面最合理，必須使同一截面的oz220y60280z已知：oz220y60280z

tmax

Cmaxoz220y60280z

tmax

Cmax以上邊緣為參考邊oz220y60280z

tmax

Cmax12220y60280z12220y60280z(2)校核梁的強(qiáng)度12220y60280zoz220y60280z

tmax

Cmax例題4:一槽形截面鑄鐵梁如圖所示。已知，b=2m，

Iz=5493104mm4

，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[

t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

C]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]。bCbDAFb-+解：彎矩圖如圖所示。最大負(fù)彎矩在B

截面上，最大正彎矩在C

上。bCbDAFby202013486120180z40Cy1y2梁的截面圖如圖所示，中性軸到上，下邊緣的距離分別為C截面y202013486120180z40Cy1y2-+C截面的強(qiáng)度條件由最的拉應(yīng)力控制。y202013486120180z40Cy1y2-+B截面y202013486120180z40Cy1y2-+y202013486120180z40Cy1y2-+取其中較小者，得該梁的許可荷載為y202013486120180z40Cy1y2-+由80y1y22020120z例題5：T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的抗拉