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材料力學(xué):彎曲正應(yīng)力對(duì)稱(chēng)彎曲的概念及計(jì)算簡(jiǎn)圖梁的剪力和彎矩?剪力圖和彎矩圖梁橫截面上的正應(yīng)力?梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖梁的合理設(shè)計(jì)返回§4-4梁截面上的正應(yīng)力?梁的強(qiáng)度條件當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí),一般情況下,梁的橫截面上既又彎矩
M
,又有剪力
Fs
。mmFsM只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素
dFN=dA
才能合成彎矩只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dFs=dA
才能合成剪力所以,在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力,又有切應(yīng)力mmFsmmM
一、純彎曲梁截面上的正應(yīng)力
FFaaCD++FF+Fa簡(jiǎn)支梁CD
段任一橫截面上,剪力等于零,而彎矩為常量,所以該段梁的彎曲就是
純彎曲
。若梁在某段內(nèi)各橫截面上的彎矩為常量
,剪力為零,則該段梁的彎曲就稱(chēng)為純彎曲。推導(dǎo)公式時(shí),要綜合考慮
幾何,物理
和
靜力學(xué)
三方面
。取一純彎曲梁來(lái)研究。推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式。1.幾何方面以及橫向線相垂直的一系列的縱向線(如aa
,bb等)。mmnnaabb梁在加力前先在其側(cè)面上畫(huà)上一系列的橫向線(如mm
,nn等)mm(1)變形前相互平行的縱向直線(aa
,bb等),變形后均為圓弧線(a’a’
,b’b’等),且靠上部的縮短靠下部的伸長(zhǎng)。梁變形后觀察到的現(xiàn)象mmnnaabba’a’b'b'mmmmnnaabb(2)變形前垂直于縱向直線的橫向線(mm,nn等)變形后仍為直線(m’m’,n’n’等),但相對(duì)轉(zhuǎn)了一個(gè)角度,且與彎曲后的縱向直線垂直。m’m’n’n’a’a’b'b'平面假設(shè)
:梁在受力彎曲后,原來(lái)的橫截面仍為平面,它繞著該橫截面上的某一軸
旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度,且仍垂直于梁彎曲后的軸線。由平面假設(shè)可知,在梁彎曲時(shí),這兩個(gè)橫截面將相對(duì)地旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度d
。用兩個(gè)橫截面從梁中假想地截取長(zhǎng)為dx
的一段。d
(3)公式推導(dǎo)d
橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)將使梁的凹邊的縱向線段縮短,凸邊的縱向線段伸長(zhǎng)。由于變形的連續(xù)性,中間必有一層縱向線段O1O2無(wú)長(zhǎng)度改變。此層稱(chēng)為中性層
。O1O2的長(zhǎng)度為dx
。O1O2dxd
O1O2dx中性軸與橫截面的對(duì)稱(chēng)軸成正交。中性層與橫截面的交線稱(chēng)為中性軸
。d
O1O2dx中性層中性軸橫截面橫截面的對(duì)稱(chēng)軸d
O1O2dxyZx將梁的軸線取為x
軸。橫截面的對(duì)稱(chēng)軸取為
y
軸。中性軸取為
z
軸。d
O1O2dx作O2B1
與
O1A
平行。在橫截面上取距中性軸為y
處的縱向線
AB。
為中性層上的縱向線段O1O2
變彎后的曲率半徑。
AByB1
d
d
O2B1的長(zhǎng)度為y
。yd
O1O2dx
AByB1
d
d
yAB1為變形前AB
的長(zhǎng)度B1B
為AB1的伸長(zhǎng)量
AB1
為A點(diǎn)的縱向線應(yīng)變。dxd
O1O2dx
AByB1
d
d
中性層的曲率為因?yàn)?/p>
是個(gè)非負(fù)的量于是dxyd
O1O2dx
AByB1
d
d
dxy因而,橫截面上到中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn),其線應(yīng)變相等。變
該式說(shuō)明,
和y
坐標(biāo)成正比,而與中性軸z坐標(biāo)無(wú)關(guān)。,dxd
O1O2dx
AByB1
d
d
dxydxxyZOy2.物理方面純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)處的處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。材料在線彈性范圍內(nèi)工作,且拉,壓彈性模量相等。由單軸應(yīng)力狀態(tài)下的
胡克定律可得物理關(guān)系假設(shè):
=E上式為橫截面上
正應(yīng)力變化規(guī)律的表達(dá)式。上式說(shuō)明,橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離
y
成正比;OxyZy1在距中性軸為y的同一橫線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均相等。yM需要解決的問(wèn)題如何確定中性軸的位置?如何計(jì)算1/
?中性軸
彎曲正應(yīng)力yZxOM3.靜力學(xué)方面在橫截面上法向內(nèi)力元素
dA
構(gòu)成了空間平行力系。dAZydAdA
1dAyZxOMdAZydAdA
1dA該空間平行力系簡(jiǎn)化為x軸方向的主矢對(duì)y軸和z
軸主矩因?yàn)樵摿憾问羌儚澢?,因此FN
和My均等于零,而Mz就是上橫截面的彎矩M
。yZxOMdAZydAdA
1dA中性軸必通過(guò)橫截面的形心中性軸過(guò)截面形心且與橫截面的對(duì)稱(chēng)軸y垂直yyCZCZ中性軸中性軸中性軸將橫截面分為受拉和受壓兩部分。MMyyCZCZ中性軸中性軸拉拉壓壓因?yàn)閥軸是橫截面的對(duì)稱(chēng)軸,所以Iyz
一定為零。該式自動(dòng)滿足中性軸是橫截面的形心主慣性軸EIz稱(chēng)為截面的抗彎剛度M
橫截面上的彎矩。該式為等直梁純彎曲
時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處正應(yīng)力的計(jì)算公式y(tǒng)
求應(yīng)力點(diǎn)的y
坐標(biāo)。式中:橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。Iz4.討論
(1)應(yīng)用公式時(shí),一般將
M
,y
以絕對(duì)值代入。根據(jù)梁變形
的實(shí)際情況直接判斷
的正,負(fù)號(hào)。以中性軸為界
梁變形后凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力(
為負(fù)號(hào))梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力(
為正號(hào))(2)橫截面中性軸上各點(diǎn)的正應(yīng)力最小。且
min=0MMyyCZCZ中性軸中性軸(3)最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處
中性軸為對(duì)稱(chēng)軸ZyCM
tmax
Cmax壓拉用ymax
表示最大拉(壓)應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離。ZyCM
tmax
Cmax壓拉WZ稱(chēng)為抗彎截面模量。ZyCM
tmax
Cmax壓拉中性軸是對(duì)稱(chēng)軸的梁橫截面上最大正應(yīng)力的計(jì)算公式為yzhb矩形截面的抗彎截面系數(shù)圓形截面的抗彎截面系數(shù)dyzM矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力分部圖zy
對(duì)于中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸的橫截面M
tmax
Cmax應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離ytmax
和
yCmax
直接代入公式。求得相應(yīng)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。zyM
tmax
CmaxzyM
tmax
Cmax當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí),橫截面上既又彎矩
又有
剪力。梁在此種情況下的彎曲稱(chēng)為
橫力彎曲。二、純彎曲理論的推廣橫力彎曲
時(shí),梁的橫截面上既有正應(yīng)力
,又有切應(yīng)力
。切應(yīng)力使橫截面發(fā)生翹曲橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力純彎曲時(shí)所作的
平面假設(shè)
和
各縱向線段間互不擠壓的假設(shè)都不成立。但工程中常用的梁,純彎曲時(shí)的正應(yīng)力可以精確的計(jì)算公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力。等直梁橫力彎曲時(shí),某一橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置。三、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在
最大彎矩的橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處。該處的切應(yīng)力都等于零,縱截面上由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可略去不計(jì)。因此,可將橫截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài),看作
單軸應(yīng)力狀態(tài)
。梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為:梁的橫截面上最大工作正應(yīng)力
max
不得超過(guò)材料的許用彎曲正應(yīng)力[]
即1.對(duì)于中性軸為對(duì)稱(chēng)軸的截面Wz
稱(chēng)為抗彎截面系數(shù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件為2.對(duì)于中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸的截面比如鑄鐵等
脆性材料
制成的梁,由于材料的(兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上)且梁橫截面的中性軸
一般也不是對(duì)稱(chēng)軸,所以梁的要求梁上最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力分別不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力
和
許用壓應(yīng)力
。正應(yīng)力強(qiáng)度條件為可對(duì)梁按正應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核3.正應(yīng)力強(qiáng)度條件解決三方面問(wèn)題(中性軸是對(duì)稱(chēng)軸)(中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸)選擇梁的截面確定梁的許可荷載例題1:長(zhǎng)為l
的矩形截面梁,在自由端作用有集中力F。已知:
h=0.18m,b=0.12m,y=0.06m,a=2m,F(xiàn)=1.5kN。求C
截面上K點(diǎn)的正應(yīng)力。ABCFalyKbhzABCFalMC=-Fa=-3kN.m解:(+)yKbhzz12.556021166a例題2:圖示簡(jiǎn)支梁由
56a工字鋼制成,其橫截面見(jiàn)圖,
F=
150kN。求:(1)梁上的最大正應(yīng)力
max(2)同一截面上翼緣與腹板交界處a
點(diǎn)的應(yīng)力BACF10m5mz12.556021166a解:支座反力為+375kN.m作彎矩圖BACF10m5mz12.556021166a查型鋼表,56a
工字鋼中間截面為危險(xiǎn)截面。
最大彎矩為+375kN.mz12.556021166a(1)梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面距中性軸最遠(yuǎn)的上,下邊緣各點(diǎn)處,即+375kN.m(2)危險(xiǎn)截面上a
點(diǎn)的正應(yīng)力a點(diǎn)到中性軸的距離為所以a
點(diǎn)的正應(yīng)力為z12.556021166a+375kN.m例題3:跨長(zhǎng)l=2m
的鑄鐵梁受力如圖所示。已知材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為[
t]=30MPa,[
C]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求:(1)確定T字形截面梁橫截面的一個(gè)尺寸
。(2)校核梁的強(qiáng)度。AB1m2mF=80kN220y60280z解:AB梁各截面彎矩均為正值,且中間截面是危險(xiǎn)截面。假設(shè)截面形心位置如圖所示,z軸為中性軸。要使截面最合理,必須使同一截面的oz220y60280z已知:oz220y60280z
tmax
Cmaxoz220y60280z
tmax
Cmax以上邊緣為參考邊oz220y60280z
tmax
Cmax12220y60280z12220y60280z(2)校核梁的強(qiáng)度12220y60280zoz220y60280z
tmax
Cmax例題4:一槽形截面鑄鐵梁如圖所示。已知,b=2m,
Iz=5493104mm4
,鑄鐵的許用拉應(yīng)力[
t]=30MPa,許用壓應(yīng)力[
C]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]。bCbDAFb-+解:彎矩圖如圖所示。最大負(fù)彎矩在B
截面上,最大正彎矩在C
上。bCbDAFby202013486120180z40Cy1y2梁的截面圖如圖所示,中性軸到上,下邊緣的距離分別為C截面y202013486120180z40Cy1y2-+C截面的強(qiáng)度條件由最的拉應(yīng)力控制。y202013486120180z40Cy1y2-+B截面y202013486120180z40Cy1y2-+y202013486120180z40Cy1y2-+取其中較小者,得該梁的許可荷載為y202013486120180z40Cy1y2-+由80y1y22020120z例題5:T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的抗拉
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