2024-2025學年高中數(shù)學第二章空間向量與立體幾何6距離的計算課時跟蹤訓練含解析北師大版選修2-1

PAGE其次章空間向量與立體幾何[A組基礎鞏固]1．已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2,1)，點A(－1，3,0)在α內(nèi)，則平面α外一點P(－2,1,4)到α的距離為()A．10 B．3C.eq\f(8,3) D.eq\f(10,3)解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,2，－4)，又平面α的一個法向量為n＝(－2，－2，1)，所以P到α的距離為|eq\f(1，2，－4·－2，－2，1,\r(4＋4＋1))|＝|eq\f(－2－4－4,3)|＝eq\f(10,3).答案：D2．如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動點P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長度的最小值是A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(5),3)解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．設點P的坐標為(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，點Q的坐標為(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，PQ＝eq\r(1－μ2＋μ－λ2＋4λ2)＝eq\r(2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,5)μ))2＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(5,9)))2＋\f(4,9))，當且僅當λ＝eq\f(1,9)，μ＝eq\f(5,9)時，線段PQ的長度取得最小值eq\f(2,3).答案：C3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為A.eq\r(2)a B.eq\r(3)aC.eq\f(\r(2),3)a D.eq\f(\r(3),3)a解析：A1C⊥平面AB1D1，以D為原點，以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則平面AB1D1的一個法向量為n＝(1，－1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，－a,0)，則兩平面間的距離為d＝|eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(a,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a.答案：D4.如圖，P-ABCD是正四棱錐，ABCD-A1B1C1D1是正方體，其中AB＝2，PA＝eq\r(6)，則B1到平面PAD的距離為()A．6 B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(3\r(2),2)解析：以A1B1為x軸，A1D1為y軸，A1A為z軸建立空間直角坐標系，設平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由題意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1，1,4).eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·n＝0，且eq\o(AP,\s\up6(→))·n＝0.∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．∵eq\o(B1A,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距離d＝eq\f(|\o(B1A,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(6\r(5),5).答案：C5．如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCDA．5 B．8C.eq\f(60,13) D.eq\f(13,2)解析：解法一：∵B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BCD1.從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求．如圖，過點B1作B1E⊥A1B于點E.∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，B1E的長即為點B1到平面A1BCD1的距離．在Rt△A1B1B中，B1E＝eq\f(A1B1·B1B,A1B)＝eq\f(12×5,\r(52＋122))＝eq\f(60,13)，∴直線B1C1到平面A1BCD1的距離為eq\f(60,13).解法二：以D為坐標原點，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0,12,0)，D1(0,0,5)．設B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x≠0)．設平面A1BCD1的法向量為n＝(a，b，c)，由n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(CD1,\s\up6(→))，得n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，n·eq\o(CD1,\s\up6(→))＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，∴a＝0，b＝eq\f(5,12)c，∴可取n＝(0,5,12)．又eq\o(B1B,\s\up6(→))＝(0,0，－5)，∴點B1到平面A1BCD1的距離為eq\f(|\o(B1B,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(60,13).∵B1C1∥平面A1BCD1，∴B1C1到平面A1BCD1的距離為eq\f(60,13).答案：C6．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則點D1到直線GF的距離為__________解析：如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在的直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則D1(0,0,2)，F(xiàn)(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有eq\o(GF,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，eq\o(GD1,\s\up6(→))＝(0，－2,1)，所以eq\f(\o(GF,\s\up6(→))·\o(GD1,\s\up6(→)),|\o(GF,\s\up6(→))|)＝eq\f(2－1,\r(3))＝eq\f(1,\r(3))，|eq\o(GD1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，所以點D1到直線GF的距離為eq\r(5－\f(1,3))＝eq\f(\r(42),3).答案：eq\f(\r(42),3)7．已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別是線段BB1，B1C1的中點，則直線MN到平面ACD1解析：如圖，以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．則平面ACD1的一個法向量為(1,1,1)，∵M(1,1，eq\f(1,2))，A(1,0,0)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝(0,1，eq\f(1,2))，∴點M到平面ACD1的距離為d＝eq\f(|0，1，\f(1,2)·1，1，1|,\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又eq\o(MN,\s\up6(→))綊eq\f(1,2)eq\o(AD1,\s\up6(→))，MN?平面ACD1.故MN∥平面ACD1，故MN到平面ACD1的距離也為d＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)8．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，則點A到平面A1BC的距離為________解析：建立如圖所示的空間直角坐標系．A(0,0,0)，B(eq\r(3)，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,1)，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，－1)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0,2，－1)．設平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1C,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)y，,z＝2y，))令y＝3，則n＝(eq\r(3)，3,6)，n0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2))).又eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,1)，∴d＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))·n0|＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)9．已知單位正方體ABCD-A1B1C1D1，求點A到平面BDC1的距離解析：以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由題設可知B(1,1,0)，C1(0,1,1)．設平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝0,n·\o(DC1,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0,y＋z＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－y，,z＝－y.))令y＝－1，則平面BDC1的法向量為n＝(1，－1,1)．取平面BDC1內(nèi)的點D(0,0,0)，則eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，∴點A到平面BDC1的距離為d＝|eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(\r(3),3).10.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，求平面AMN與平面EFBD解析：如圖所示，建立空間直角坐標系D－xyz，則A(4,0,0)，M(2,0,4)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(xiàn)(2,4,4)，N(4,2,4)，從而eq\o(EF,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,4)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2,0,4)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，∴EF∥MN，AM∥BF.又EF∩BF＝F，MN∩AM＝M，∴平面AMN∥平面EFBD.設n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(MN,\s\up6(→))＝2x＋2y＝0,n·\o(AM,\s\up6(→))＝－2x＋4z＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2z,y＝－2z))，取z＝1，得n＝(2，－2,1)為平面AMN的一個法向量．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))在n上的投影為eq\f(n·\o(AB,\s\up6(→)),|n|)＝eq\f(－8,\r(4＋4＋1))＝－eq\f(8,3)，平面AMN與平面EFBD間的距離記為d，∴d＝eq\f(|n·\o(AB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(8,3).[B組實力提升]1．已知ABC-A1B1C1是各條棱長均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點，則點C到平面AB1D的距離為A.eq\f(\r(2),4)a B.eq\f(\r(2),8)aC.eq\f(3\r(2),4)a D.eq\f(\r(2),2)a解析：連接A1B交AB1于點E，連接ED，A1D，DB，易證A1B⊥AB1，A1B⊥ED.∴A1B⊥平面AB1D，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))是平面AB1D的一個法向量．∴點C到平面AB1D的距離為d＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(A1B,\s\up6(→))|,|\o(A1B,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(A1A,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))|,\r(2)a)＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(A1A,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))|,\r(2)a)＝eq\f(|0＋a×a×cos60°|,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),4)a.答案：A2．在空間直角坐標系中，定義平面α的一般方程為：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同時為零)，點P(x0，y0，z0)到平面α的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．2 D．5解析：作出正四棱錐P－A′B′C′D′，如圖，以底面中心O為坐標原點，建立空間直角坐標系O－xyz，則A′(1,1,0)，B′(－1,1,0)，P(0,0,2)，設平面PA′B′的方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，將以上3個坐標代入計算得A＝0，B＝－D，C＝－eq\f(1,2)D，所以平面PA′B′的方程為－Dy－eq\f(1,2)Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以點O到側(cè)面的距離d＝eq\f(|2×0＋0－2|,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5).答案：B3．如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD＝3，AD＝2，若M是AB的中點，則點M到平面PAC的距離為________．解析：如圖建系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，則M(2,1,0)，設n＝(x，y，z)為平面PAC的一個法向量，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2,0，－3)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,2，－3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3z＝0，,2y－3z＝0))?x＝y(tǒng)＝eq\f(3z,2)，取z＝2，則x＝y(tǒng)＝3，n＝(3,3,2)，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(0，－1,0)，d＝eq\f(|n·\o(MA,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(3,\r(22))＝eq\f(3\r(22),22)，所以點M到平面PAC的距離為eq\f(3\r(22),22).答案：eq\f(3\r(22),22)4．如圖，四面體A－BCD中，O，E分別為BD，BC的中點，AB＝AD＝2，CA＝CB＝CD＝BD＝2eq\r(2)，AO⊥平面BCD，則點D到平面ABC的距離為__________．解析：以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0，eq\r(2))，B(eq\r(2)，0,0)，C(0，eq\r(6)，0)，D(－eq\r(2)，0,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，－eq\r(2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，eq\r(6)，0)．設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·n＝0,\o(BC,\s\up6(→))·n＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x－\r(2)z＝0,－\r(2)x＋\r(6)y＝0))，令y＝1，得n＝(eq\r(3)，1，eq\r(3))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，0，－eq\r(2))，∴點D到平面ABC的距離h＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－\r(2)×\r(3)－\r(2)×\r(3)|,\r(3＋1＋3))＝eq\f(2\r(42),7).答案：eq\f(2\r(42),7)5．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1的中點(1)求證：AD∥平面A1EFD1；(2)求AD到平面A1EFD1的距離．解析：(1)證明：如圖，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，則A(a,0,0)，A1(a,0，a)，D(0，0,0)，D1(0,0，a)，E(a，a，eq\f(a,2))，F(xiàn)(0，a，eq\f(a,2))．∵eq\o(DA,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝(a,0,0)．∴DA∥D1A1，而D1A1平面A1EFD1，DA平面A1EFD1，∴DA∥平面A1EFD1.(2)由(1)知eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(0，a，－eq\f(a,2))，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0,0，a)．設n＝(x，y，z)是平面A1EFD1的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1F,\s\up6(→))＝ay－\f(a,2)z＝0，,n·\o(D1A1,\s\up6(→))＝ax＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\f(1,2)z.))取z＝1得n＝(0，eq\f(1,2)，1)，∴eq\o(DD1