2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊最短路徑問題同步練習(xí)含解析

最短路徑問題一、單選題（共10小題）1．如圖所示，某工廠有三個住宅區(qū)，A，B，C各區(qū)分別住有職工30人，15人，10人，且這三點(diǎn)在一條大道上（A，B，C三點(diǎn)在同始終線上），已知AB＝300米，BC＝600米．為了便利職工上下班，該廠的接送車準(zhǔn)備在此路段只設(shè)一個?？奎c(diǎn)，為使全部的人步行到停靠點(diǎn)的路程之和最小，那么該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．AB之間 D．BC之間【答案】A【解析】此題為數(shù)學(xué)學(xué)問的應(yīng)用，由題意設(shè)一個?？奎c(diǎn)，為使全部的人步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，確定要盡量縮短兩地之間的里程，就用到兩點(diǎn)間線段最短定理．【詳解】解：①以點(diǎn)A為?？奎c(diǎn)，則全部人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），②以點(diǎn)B為停靠點(diǎn)，則全部人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），③以點(diǎn)C為停靠點(diǎn)，則全部人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），④當(dāng)在AB之間?？繒r，設(shè)?？奎c(diǎn)到A的距離是m，則（0＜m＜300），則全部人的路程的和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500，⑤當(dāng)在BC之間?？繒r，設(shè)停靠點(diǎn)到B的距離為n，則（0＜n＜600），則總路程為30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500．∴該?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在點(diǎn)A；故選：A．【點(diǎn)睛】考查了比較線段的長短，此題為數(shù)學(xué)學(xué)問的應(yīng)用，考查學(xué)問點(diǎn)為兩點(diǎn)之間線段最短．2．已知村莊A和B分別在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN(假定河的兩岸彼此平行，且橋與河岸相互垂直)，下列示意圖中，橋的建立位置能使從村莊A經(jīng)橋過河到村莊B的路程最短的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖作AI∥MN，且AI=MN，連接BI，由兩點(diǎn)之間線段最短可知此時從A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最短，所以AM∥BN.【詳解】解：如圖，作AI∥MN，且AI=MN，連接BI，∴四邊形AMNI為平行四邊形，∴AM∥BN，此時從A點(diǎn)到B點(diǎn)距離最短.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路徑的問題，運(yùn)用到了兩點(diǎn)之間線段最短，平行四邊形等學(xué)問點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵在于嫻熟駕馭其學(xué)問點(diǎn).3．某公司員工分別住在A、B、C、D四個住宅區(qū)，A區(qū)有20人，B區(qū)有15人，C區(qū)有5人，D區(qū)有30人，四個區(qū)在同一條直線上，位置如圖所示．該公司的接送車準(zhǔn)備在此間設(shè)立一個?？奎c(diǎn)，為使全部員工步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么停靠點(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)置在（）A．D區(qū)B．A區(qū)C．AB兩區(qū)之間D．BC兩區(qū)之間【答案】D【解析】依據(jù)題意分別計算?？奎c(diǎn)分別在各點(diǎn)時員工步行的路程和，選擇最小的即可解答．【詳解】解：∵當(dāng)?？奎c(diǎn)在D區(qū)時，全部員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：20×800+15×400+5×200=23000m；當(dāng)?？奎c(diǎn)在A區(qū)時，全部員工步行到停靠點(diǎn)路程和是：15×400+5×600+30×800=33000m；當(dāng)?？奎c(diǎn)在AB兩區(qū)之間時，設(shè)距離B區(qū)x米，全部員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：20×（400-x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；當(dāng)?？奎c(diǎn)在BC兩區(qū)之間時，設(shè)距離B區(qū)x米，全部員工步行到?？奎c(diǎn)路程和是：20×（400+x）+15x+5×（200-x）+30×（400-x）=21000m．∴當(dāng)?？奎c(diǎn)在BC兩區(qū)之間時，全部員工步行到?？奎c(diǎn)路程和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)當(dāng)在BC兩區(qū)之間．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了比較線段的長短，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．要能把線段的概念在現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行應(yīng)用．4．如圖所示，從點(diǎn)A到點(diǎn)F的最短路途是()A．A→D→E→FB．A→C→E→FC．A→B→E→FD．無法確定【答案】C【解析】仔細(xì)分析圖形,要求點(diǎn)A到點(diǎn)F的最短路途,其中AB,EF的線路是固定的,則須要確定點(diǎn)B到點(diǎn)E之間的最短路途,由兩點(diǎn)之間,線段最短可得,點(diǎn)B到點(diǎn)E之間BE最短.【詳解】解:由圖中可以看出,從點(diǎn)A到點(diǎn)F,AB,EF是必需經(jīng)過的路途,點(diǎn)B到點(diǎn)E的路途中BE最短,所以點(diǎn)A到點(diǎn)F的最短路途為A→B→E→F,故答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的性質(zhì)，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定出點(diǎn)A到點(diǎn)F的最短路途是解題的關(guān)鍵．5．如圖，從A地到B地有①、②、③三條路途，每條路途的長度分別為l、m、n，則（）A．l＞m＞nB．l=m＞nC．m＜n=lD．l＞n＞m【答案】C【解析】分析：依據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，仔細(xì)視察圖形，可知①③都是相當(dāng)于走直角線，故①③相等，②走的是直線，最短．詳解：由題意可得：∵從C到B地有①②③條路途可以走，每條路途長分別為l，m，n，則AC+AB=l＞BC∴l(xiāng)=n＞m．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，要求學(xué)生充分利用兩點(diǎn)間線段距離最近．6．如圖，直線表示一條河，點(diǎn)，表示兩個村莊，想在直線的某點(diǎn)處修建一個向，供水的水站，現(xiàn)有如圖所示的四種鋪設(shè)管道的方案（圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道），則鋪設(shè)管道確定最短的是()A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路途長轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離即可．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交直線l于P．

依據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項A鋪設(shè)的管道最短．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路途問題，這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)狀況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．7．下列命題是真命題的是（）A．兩點(diǎn)之間的距離是這兩點(diǎn)間的線段B．墻上固定一根木條，至少須要兩根釘子，其依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”C．同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交和垂直三種D．同平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【解析】依據(jù)兩點(diǎn)間的距離的定義、垂線的性質(zhì)即可作出推斷．【詳解】A、兩點(diǎn)之間的距離是這兩點(diǎn)間的線段的長度，故錯誤；B、墻上固定一根木條，至少須要兩根釘子，其依據(jù)是“兩點(diǎn)可以確定一條直線”，故錯誤；C、同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有平行、相交兩種，故錯誤；D、同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故正確．故選：D．【點(diǎn)睛】主要考查命題的真假推斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．推斷命題的真假關(guān)鍵是要熟識課本中的性質(zhì)定理．8．小李同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)覺剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確說明這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)問是（）A．垂線段最短 B．經(jīng)過一點(diǎn)有多數(shù)條直線C．經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線 D．兩點(diǎn)之間線段最短【答案】D【解析】試題解析：由圖可知，剪掉一部分，相當(dāng)于用一條線段取代了連接原來兩點(diǎn)之間的曲線.依據(jù)線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短，所以剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小.故本題應(yīng)選D.點(diǎn)睛：直線公理是指兩點(diǎn)確定一條直線，而線段公理是指兩點(diǎn)之間線段最短，我們要清晰這兩者的區(qū)分.9．下列說法正確的是()A．兩點(diǎn)之間的連線中，直線最短B．若P是線段AB的中點(diǎn)，則AP＝BPC．若AP＝BP，則P是線段AB的中點(diǎn)D．兩點(diǎn)之間的線段叫做這兩點(diǎn)之間的距離【答案】B【解析】A中，兩點(diǎn)之間線段最短，故A錯誤；

B中，若P是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到A、B的距離相等，即AP=BP，故B正確；

C中，若AP=BP，點(diǎn)P不確定是線段AB的中點(diǎn)，如,故C錯誤；

D中，兩點(diǎn)之間的線段的長度叫做這兩點(diǎn)之間的距離，故D錯誤．

故選B．10．如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，若要用尺規(guī)在直線l上確定一點(diǎn)P，使得AP+BP最短，則下列作圖正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短可知選項C是正確的．故選C．二、解答題（共3小腿）11．如下圖所示.(1)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形；(2)在x軸上確定一點(diǎn)P,使得PA+PC最小.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）依據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)A1、B1、C1，然后順次連接即可；（2）依據(jù)軸對稱確定最短路途問題，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′的位置，然后連接A′B與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P【詳解】解：(1)如圖所示，△ABC即為所求；(2)如圖所示，點(diǎn)P即為所求（有兩種做法：作A或C的對稱點(diǎn)均可）.【點(diǎn)睛】此題考查作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路途問題，駕馭作圖法則是解題關(guān)鍵12．作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）如圖，A、B兩村在一條小河MN的同一側(cè)，要在河邊建一水廠向兩村供水．（1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，在圖1中用尺規(guī)作圖作出廠址P的位置．（2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，在圖2中作出廠址Q的位置．【答案】作圖見解析.【解析】試題分析：（1）依據(jù)中垂線的性質(zhì)知，作AB的中垂線，交于直線MN于點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)；（2）由三角形的三邊關(guān)系，三角形是隨意兩邊之和大于第三邊知，故作出點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)E，連接BE交于直線MN的點(diǎn)Q是所求的點(diǎn)．試題解析：（1）如圖所示：點(diǎn)P即為所求；（2）如圖所示：點(diǎn)Q即為所求.13．如圖，在游藝室的水平地面上，沿著地面的AB邊放一行球，參賽者從起點(diǎn)C起步，跑向邊AB任取一球，再折向D點(diǎn)跑去，將球放入D點(diǎn)的紙箱內(nèi)便完成任務(wù)，完成任務(wù)的時間最短者獲得成功，假如邀請你參與，你將跑去選取什么位置上的球？為什么？【答案】見解析【解析】試題分析：可過點(diǎn)D作關(guān)