2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.3.1空間向量基本定理課后素養(yǎng)落實(shí)含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(二十三)空間向量基本定理(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知O、A、B、C為空間四點(diǎn)，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構(gòu)成空間的一組基，則()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線 B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共線C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線 D．O、A、B、C四點(diǎn)共面D[由eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構(gòu)成一組基知，eq\o(OA,\s\up7(→))、eq\o(OB,\s\up7(→))、eq\o(OC,\s\up7(→))三向量共面，所以肯定有O、A、B、C四點(diǎn)共面．]2．已知{a，b，c}是空間向量的一組基，p＝a＋b，q＝a－b，肯定可以與向量p，q構(gòu)成空間向量的另一組基的是()A．a(chǎn)B．bC．cD．eq\f(1,3)p－2qC[因?yàn)閍，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，則a，b，c共面，這與已知{a，b，c}是空間一組基沖突，故p，q，c不共面．]3．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)O為空間內(nèi)隨意一點(diǎn)，設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，則向量eq\o(OD,\s\up7(→))可用a，b，c表示為()A．a(chǎn)－b＋2c B．a(chǎn)－b－2cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD[eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c．選D．]4．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OC,\s\up7(→))C．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))D．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))D[由eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))，得eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，即eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以A，B，C，M四點(diǎn)共面．]5．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝－eq\f(1,4)C．eq\o(EG,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))D．cos〈eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))〉＝eq\f(2,3)C[eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))．故A錯(cuò)；設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c．則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，則a·b＝a·c＝b·c＝eq\f(1,2)．因?yàn)閑q\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up7(→))＝－a，所以eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4)，故B錯(cuò)；因?yàn)閑q\o(EG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c－a)，所以eq\o(EG,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a·b＋a·c－a2)＝0．故eq\o(EG,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))．因?yàn)閑q\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，所以cos〈eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(AG,\s\up7(→))·\o(CE,\s\up7(→)),|\o(AG,\s\up7(→))||\o(CE,\s\up7(→))|)＝－eq\f(2,3)，故D錯(cuò)．]二、填空題6．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，則x＝________．eq\f(1,6)[由于M∈平面ABC，所以x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝1，解得x＝eq\f(1,6)．]7．正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是底面A1C1和側(cè)面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up7(→))＋λeq\o(A1D,\s\up7(→))＝0(λ∈R)，則λ＝________．－eq\f(1,2)[如圖，連接A1C1，C1D，則E在A1C1上，F(xiàn)在C1D上，易知EF＝eq\f(1,2)A1D，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up7(→))，即eq\o(EF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up7(→))＝0，所以λ＝－eq\f(1,2)．]8．在四面體ABCD中，點(diǎn)O是△ABC的重心，eq\o(DO,\s\up7(→))可以用eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))表示為_(kāi)_______．[答案]eq\o(DO,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up7(→))＋\o(DB,\s\up7(→))＋\o(DC,\s\up7(→))))三、解答題9．如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up7(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up7(→))；(3)eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))．[解](1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b．(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c．(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c．10．已知平行六面體OABC-O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OC,\s\up7(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up7(→))＝c．(1)用a，b，c表示向量eq\o(AC′,\s\up7(→))；(2)設(shè)G，H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OO′,\s\up7(→))＝b＋c－a．(2)eq\o(GH,\s\up7(→))＝eq\o(GO,\s\up7(→))＋eq\o(OH,\s\up7(→))＝－eq\o(OG,\s\up7(→))＋eq\o(OH,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC′,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OO′,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq\f(1,2)(a＋b＋c＋c)＝eq\f(1,2)(c－b)．11．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up7(→))＝xeq\o(AB1,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＋zeq\o(AD1,\s\up7(→))，則x＋y＋z＝()A．3B．2C．eq\f(3,2)D．1C[eq\o(AC1,\s\up7(→))＝xeq\o(AB1,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＋zeq\o(AD1,\s\up7(→))＝xeq(\o(AB,\s\up7(→))＋\o(AA1,\s\up7(→)))＋y(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋zeq(\o(AD,\s\up7(→))＋\o(AA1,\s\up7(→)))＝(x＋y)eq\o(AB,\s\up7(→))＋(y＋z)eq\o(AD,\s\up7(→))＋(z＋x)eq\o(AA1,\s\up7(→))，又eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝eq\f(3,2)．]12．設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一組基，則不能作為空間一組基的向量組是()A．{x，y，z} B．{x，y，a}C．{b，c，z} D．{a，b，x}D[如圖作平行六面體ABCD-A1B1C1D1，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則eq\o(AC,\s\up7(→))＝x，eq\o(AD1,\s\up7(→))＝y(tǒng)，eq\o(AB1,\s\up7(→))＝z，由平行六面體的性質(zhì)知：向量x，y，z不共面；向量x，y，a不共面；向量b，c，z不共面．又由x＝a＋b可知，向量a，b，x共面．故選D．]13．(多選題)下列命題正確的是()A．若p＝xa＋yb，則p與a，b共面B．若p與a，b共面，則p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，則M，P，A，B共面D．若M，P，A，B共面，則eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))AC[A正確；B中若a，b共線，p與a不共線，則p＝xa＋yb就不成立；C正確；D中若M，A，B共線，點(diǎn)P不在此直線上，則eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))不正確．]14．(一題兩空)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括表面)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))＋zeq\o(AA1,\s\up7(→))，且0≤x≤y≤z≤1．則點(diǎn)P全部可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積是________；表面積是________．eq\f(1,6)1＋eq\r(2)[依據(jù)向量加法的幾何意義和空間向量基本定理，滿意0≤x≤y≤1的點(diǎn)P在三棱柱ACD－A1C1D1內(nèi)，滿意0≤y≤z≤1的點(diǎn)P在三棱柱AA1D1-BB1C1內(nèi)，故同時(shí)滿意0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的點(diǎn)P在這兩個(gè)三棱柱的公共部分(如圖)，即三棱錐A-A1C1D1內(nèi)，其體積是eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，其表面積是2×eq\f(1,2)×1×1＋2×eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝1＋eq\r(2)．]15．已知{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝2e1－e2＋3e3，eq\o(OA,\s\up7(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up7(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up7(→))＝e1＋e2－e3．(1)推斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面；(2)能否以{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}作為空間的一個(gè)基底？若能，試以這一組基表示eq\o(OP,\s\up7(→))；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解](1)假設(shè)P，A，B，C四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA