2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用4.1.1利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在學(xué)案含解析北師大版必修1

PAGE§1函數(shù)與方程1.1利用函數(shù)性質(zhì)推斷方程解的存在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系．2.會(huì)推斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性．3.初步理解函數(shù)與方程思想.精確數(shù)學(xué)概念加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合恰當(dāng)?shù)葍r(jià)轉(zhuǎn)化授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第66頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P115－116，思索并完成以下問題)結(jié)合所學(xué)的基本初等函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))，思索是否全部的函數(shù)都有零點(diǎn)？并說明理由．提示：不肯定．因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)就是方程的根，但不是全部的方程都有根，所以說不是全部的函數(shù)都有零點(diǎn)．如：指數(shù)函數(shù)，其圖像都在x軸的上方，與x軸沒有交點(diǎn)，故指數(shù)函數(shù)沒有零點(diǎn)；對數(shù)函數(shù)有唯一一個(gè)零點(diǎn)．學(xué)問梳理函數(shù)的零點(diǎn)(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)，使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(3)結(jié)論：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．學(xué)問點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)存在性的推斷eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)結(jié)合教材P116例3，你認(rèn)為求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法有哪些？提示：法一：利用方程的根，轉(zhuǎn)化為解方程，方程有幾個(gè)根相對應(yīng)的函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn)．法二：利用函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．法三：結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連綿不斷的曲線，利用f(a)·f(b)＜0，結(jié)合單調(diào)性可判定y＝f(x)在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．法四：轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題．學(xué)問梳理函數(shù)零點(diǎn)的判定假如函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的圖像是連綿不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．思索：1.函數(shù)的零點(diǎn)是“點(diǎn)”嗎？提示：函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)是使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x，它不是點(diǎn)，而是個(gè)實(shí)數(shù)．從圖像上分析，零點(diǎn)是相應(yīng)函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．f(x)＝eq\f(1,x)，f(1)＝1＞0，f(－1)＝－1＜0，所以f(x)在(－1,1)上存在零點(diǎn)對嗎？為什么？提示：不對．因?yàn)閒(x)的圖像在(－1,1)上不連續(xù)，是間斷的，不符合零點(diǎn)存在的條件．3．若f(x)在[a，b]上是連綿不斷的函數(shù)，且f(a)·f(b)＞0，則該函數(shù)在[a，b]上肯定不存在零點(diǎn)嗎？提示：不肯定．如f(x)＝x2，x∈[－1,1]，明顯f(－1)·f(1)＝1＞0，但該函數(shù)在[－1,1]上存在零點(diǎn)0.[自我檢測]1．已知函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)，下列說法不正確的是()A．f(0)＝0B．方程f(x)＝0有實(shí)根C．函數(shù)f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)D．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)＝0的根解析：函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)，且函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即是方程f(x)＝0的根．故B、C、D都正確；A不正確，因?yàn)閒(0)不肯定為0.答案：A2．下列圖像表示的函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是()解析：B、C、D的圖像均與x軸有交點(diǎn)，故函數(shù)均有零點(diǎn)，A的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，故函數(shù)沒有零點(diǎn)．答案：A3．函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a沒有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．解析：由題意Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.答案：(1，＋∞)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第67頁探究一求函數(shù)的零點(diǎn)[例1]推斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，假如存在，懇求出零點(diǎn)：(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝1＋log3x；(3)f(x)＝4x－16；(4)f(x)＝eq\f(x2＋4x－12,x－2).[思路點(diǎn)撥]可通過解方程f(x)＝0求得函數(shù)的零點(diǎn)．[解析](1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－eq\f(1,8)或x＝1.所以函數(shù)的零點(diǎn)為x＝－eq\f(1,8)和x＝1.(2)令1＋log3x＝0，則log3x＝－1，解得x＝eq\f(1,3).所以函數(shù)的零點(diǎn)為x＝eq\f(1,3).(3)令4x－16＝0，則4x＝42，解得x＝2.所以函數(shù)的零點(diǎn)為x＝2.(4)因?yàn)閒(x)＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)＝eq\f(x＋6x－2,x－2)，令eq\f(x＋6x－2,x－2)＝0，解得x＝－6.所以函數(shù)的零點(diǎn)為x＝－6.方法技巧因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，求函數(shù)的零點(diǎn)通常有兩種方法：一是代數(shù)法：令f(x)＝0，通過解方程f(x)＝0的根求得函數(shù)的零點(diǎn)；二是幾何法：畫出函數(shù)y＝f(x)的圖像，圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．跟蹤探究1.已知函數(shù)f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零點(diǎn)是1和2，求函數(shù)y＝logn(mx＋1)的零點(diǎn)．解析：由題意知f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的兩個(gè)零點(diǎn)為1和2，則1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的兩個(gè)實(shí)根．所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－3m＋1，,1×2＝n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝2.))所以函數(shù)y＝logn(mx＋1)的解析式為y＝log2(－2x＋1)．令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.所以函數(shù)y＝log2(－2x＋1)的零點(diǎn)為0.探究二推斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)[例2]求函數(shù)f(x)＝ln(x－1)＋0.01x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．[思路點(diǎn)撥]解答本題可利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理或采納數(shù)形結(jié)合的方法．[解析]法一：因?yàn)閒(3)＝ln2＋0.03＞0，f(1.5)＝－ln2＋0.015＜0，所以f(3)·f(1.5)＜0，說明函數(shù)f(x)＝ln(x－1)＋0.01x在區(qū)間(1.5,3)內(nèi)有零點(diǎn)．又因?yàn)閥＝ln(x－1)與y＝0.01x在(1，＋∞)上都是增函數(shù)，所以該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．法二：令ln(x－1)＋0.01x＝0，則ln(x－1)＝－0.01x.在同一坐標(biāo)系下，作出y1＝ln(x－1)和y2＝－0.01x的圖像，如圖，易看出它們有一個(gè)交點(diǎn)，所以f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．延長探究在本例中若把解析式改為“f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，試推斷該函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解析：法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零點(diǎn)．又明顯f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．法二：令2x＋lg(x＋1)－2＝0，則lg(x＋1)＝2－2x，在同一坐標(biāo)系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖．由圖像知g(x)＝lg(x＋1)的圖像和h(x)＝2－2x的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個(gè)零點(diǎn)．方法技巧推斷函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法主要有：(1)解方程f(x)＝0，方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)方程f(x)＝0不能解時(shí)，可以利用零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)的存在性，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性推斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐標(biāo)系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖像，則兩圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．跟蹤探究2.推斷函數(shù)f(x)＝x－3＋lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解析：法一：令f(x)＝x－3＋lnx＝0，則lnx＝3－x.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出函數(shù)y＝lnx與y＝－x＋3的圖像，如圖所示．由圖可知函數(shù)y＝lnx與y＝－x＋3的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)＝x－3＋lnx只有一個(gè)零點(diǎn)．法二：因?yàn)閒(3)＝ln3＞0，f(2)＝－1＋ln2＝lneq\f(2,e)＜0，所以f(3)·f(2)＜0，說明函數(shù)f(x)＝x－3＋lnx在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)．又f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以原函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．探究三推斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間[例3]方程2x＝eq\f(1,x)的解所在的區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))[解析]令f(x)＝2x－eq\f(1,x).∵f(x)＝2x－eq\f(1,x)，且f(1)＝2－1＝1＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2)－2＜0，∴f(1)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0.∴f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)存在零點(diǎn)．[答案]B方法技巧1.關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間(1)推斷零點(diǎn)所在區(qū)間有兩種方法：一是利用零點(diǎn)存在定理，二是利用函數(shù)圖像．(2)要正確理解和運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)在函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的推斷中的應(yīng)用，若f(x)圖像在[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)＜0，則f(x)在(a，b)上必有零點(diǎn)，若f(a)·f(b)＞0，則f(x)在(a，b)上不肯定沒有零點(diǎn)．2．關(guān)于二次函數(shù)的零點(diǎn)分布(1)在解決二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題時(shí)要結(jié)合草圖考慮以下四個(gè)方面：①Δ與0的關(guān)系；②對稱軸與所給端點(diǎn)值的關(guān)系；③端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系；④開口方向．(2)設(shè)x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1，x2的分布范圍與一元二次方程系數(shù)之間的關(guān)系如下表所示.根的分布圖像等價(jià)條件x1＜x2＜keq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,fk＞0,－\f(b,2a)＜k))k＜x1＜x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,fk＞0,－\f(b,2a)＞k))x1＜k＜x2f(k)＜0x1，x2∈(k1，k2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,fk1＞0,fk2＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))x1，x2(x1≠x2)中有且僅有一個(gè)在(k1，k2)內(nèi)f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜－eq\f(b,2a)＜eq\f(k1＋k2,2)或f(k2)＝0，eq\f(k1＋k2,2)＜－eq\f(b,2a)＜k2跟蹤探究3.關(guān)于x的方程x2－2ax＋4＝0的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：法一：(應(yīng)用求根公式)方程x2－2ax＋4＝0的兩根為x＝eq\f(2a±\r(4a2－16),2)＝a±eq\r(a2－4)，要使兩根均大于1，只需較小根a－eq\r(a2－4)＞1即可．解得2≤a＜eq\f(5,2).即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).法二：(應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系)設(shè)x1，x2為方程x2－2ax＋4＝0的兩根，則有x1＋x2＝2a，x1x2＝4.①要使原方程x2－2ax＋4＝0的兩根x1，x2均大于1，則需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－1＋x2－1＞0，,x1－1x2－1＞0，,Δ≥0.))將①代入上述不等式組，解得2≤a＜eq\f(5,2).即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).法三：(應(yīng)用二次函數(shù)的圖像)設(shè)f(x)＝x2－2ax＋4，圖像如圖所示．由圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f1＞0，,－\f(－2a,2)＞1，))解得2≤a＜eq\f(5,2).即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).4．關(guān)于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a為何值時(shí)：(1)函數(shù)f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)方程的一根大于1，一根小于1.解析：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，方程變?yōu)椋?x－1＝0，即x＝－eq\f(1,2)，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，方程為一元二次方程，由題意知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝12a＋4＝0.解得a＝－eq\f(1,3).綜上可知，當(dāng)a＝0或a＝－eq\f(1,3)時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．(2)因?yàn)榉匠逃幸桓笥?，一根小于1，所以圖像大致如圖所示．令f(x)＝ax2－2(a