高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）基本不等式（學(xué)生版+解析）

專題05基本不等式（核心考點精講精練）

考情探究

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新I卷，第22題第二問,8分基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合

2022年新I卷，第18題第二問,6分基本不等式求最值正余弦定理解三角形

2022年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)

2021年新I卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)

2020年新I卷，第20題第二問,6分基本不等式求最值空間向量及立體幾何

2020年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值指對函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識點命題可變性多，學(xué)生易

上手學(xué)習(xí)，但高考常作為壓軸題考查，難度較難，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

2.能正確處理常數(shù)“1”求最值

3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用與函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基本不等式求最

值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。

考點梳理

知識講解

1.基本不等式

a>0,力>0=>而《巴心當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時取等號

2.

其中土吆叫做正數(shù)。，b的算術(shù)平均數(shù)，

2

叫做正數(shù)。，匕的幾何平均數(shù)

通常表達為：a+b>14ab（積定和最小）

應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

（1）基本不等式的推論1

a>0,b>GnabW（a+b）（和定積最大）

4

當(dāng)且僅當(dāng)a=人時取等號

（2）基本不等式的推論2

Va,beR=>a"+b?2lab

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時取等號

（3）其他結(jié)論

修+圻2(">0).

$笄>0,6>0).

③已知a,b,x,y為正實數(shù)，

(1

(ax+by)—I—

若〃%+力=1,則有，+,=I，=a+b+^-+—>a+b+2\lab=(yla+y[b)2.

xyxy

(7A

/、

(x+y)4—I—b

若3十2=1,則有x+y=I*=a+b+^-+^>a+b+2y/ab=(y[a+y[b)2.

注意1.使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.

注意2.“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立”的含義是“a=6”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往

往會導(dǎo)致解題錯誤.

注意3.連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致.

考點一、直接用基本不等式求最值

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?安徽滁州?安徽省定遠中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)a>0,6>0,a+6=l,則2〃+2,的最小值為

2.（2023?湖北孝感?校聯(lián)考模擬預(yù)測）I+3（五+44）的最小值為______.

W.r川

☆即時檢測

31m

1.（2023?山西大同?大同市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a>0,6>。，若不等式一+一〒恒成立，貝I］加的

aba+3b

最大值為.

2.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)x,y滿足/+2/-2孫=4,則孫的最大值為.

考點二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值

☆典例引領(lǐng)

1

1.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）若正數(shù)無?滿足尤+2y=2,則上y+一的最小值為（）

%y

LL5

A.V2+1B.2V2+1C.2D.-

a二

2.（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考二模）若a>0,b>0,a+b=9,則一+：的最小值為_____.

ab

☆即時檢測

12

1.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）已知。>0力>0,2a+b=2,則—+的最小值是___________.

ab

2.（2023?山西晉中?統(tǒng)考三模）設(shè)％且x+2y=l,則二7+工的最小值為________.

x+1y

21

3.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考一模）已知％+k4,且%>y>。，則---+一的最小值為______.

x-yy

4.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？家荒＃┤簦?且6+2=9,貝畀+四的最小值為（）

ba

A.9B.3C.1

考點三、變形為分式的“分母”形式求最值

☆典例引領(lǐng)

1.2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知則a+—的最小值為（）

a-1

A.8B.9C.10D.11

8

2.（2023?山西忻州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a>2,則2〃+的最小值是（

a—2

A.6B.8C.10D.12

即時檢測

41

1.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預(yù)測）已知尤,V都是正數(shù)，且x+y=2,則--+—；的最小值為

x+2y+1

4

2.（2023?廣東肇慶??？寄M預(yù)測）已知%>〃，若％+——的最小值大于7,寫出滿足條件的一個〃的值：

x-a

2Q

3.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）已知a>0,b>0,且a+b=2,則一；+丁二的最小值是（）

a+1b+1

9

A.2B.4C.-D.9

2

4.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）已知實數(shù)。>0>>，且。-6=5,則工+，的最小值為___________.

a+12-b

考點四、兩次應(yīng)用基本不等式求最值

☆典例引領(lǐng)

Z41

1.（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)x,y,z>0,滿足孫+_=2,則當(dāng)一+一取得最

xyz

小值時，y+z的值為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

即時檢測

1.（2023?吉林長春?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若a,6eR,他>0,則4/+/+4的最小值為___________.

ab

2.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知〃為非零實數(shù)，b,。均為正實數(shù)，則:“十：。2的最大值為（）

4a+b+c

A1R^2CA/2V3

2424

考點五、條件等式變形求最值

☆典例引領(lǐng)

1.（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）若無，y滿足Y+V一孫=1,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>]

2.（2020年新高考全國n卷數(shù)學(xué)真題）已知a>0,b>0,且a+b=l,則（）

A.a2+b2>-B.T-h>-

22

C.log2a+log2fe>-2D.4a+-Jb<72

3.（2023?海南?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知x>0,y>0,若2x+y+盯=6,則2尤+y的最小值為

2.（2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考二模）若。，b,c均為正數(shù)，且滿足"+3"+3ac+96c=18,貝U2。+3人+3。的最

小值是（）

A.6B.4A/6C.672D.65/3

即時檢測

1.（2023?湖北襄陽?襄陽四中校考模擬預(yù)測）若a,6,c均為正數(shù)，且滿足/+2必+3℃+6歷=1，則2a+26+3c

的最小值是（）

A.2B.1C.72D.25/2

2.（2023?遼寧沈陽凍北育才雙語學(xué)校?？家荒＃┤簟?gt;0,b>0,2ab+a+2b=3,則a+2Z>的最小值是

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知a",c均為正數(shù)，且滿足a+b+4c=2,則文上上吵的最小值為

考點六、構(gòu)造法或換元法求最值

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?江蘇常州?常州市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知。>0,b>0,ol,a+2b=2,貝1+羨］。+告

的最小值為（）

921

A.—B.2C.6D.—

22

117

+

2.（2023?吉林?長春H高校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x,y滿足兀+y=《，則^x+yx+2y的小值為

即時檢測

4Y1

1.（2023?遼寧,鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式一+—^24對任意x>2恒成立，則正實數(shù)。

ax-2

的取值集合為.

2.（2023?山東日照?山東省日照實驗高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)羽，滿足e23+3-3;c=eX+y,則

y1

2+-的最小值為.

%y

3.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若尤>0,y>0,則苫2；；；9+4的最大值為.

考點七、利用基本不等式判斷或證明不等式關(guān)系

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)。力,c滿足。<b<c且必c<0,則下列不等關(guān)系一定正確的是

（）

A.ac<bcB.ab<ac

bcba?

C.-+->2D.—+—>2

cbab

2.（2023?湖南長沙?長郡中學(xué)?？家荒＃┮阎?加=3〃=6,則如〃不可熊滿足的關(guān)系是（）

A.m+n>4B.mn>4

C.m2+n2<8D.（m—I）2+（zz—I）2>2

即時檢測

1.（多選）（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知。,6eR,則下列不等式成立的是（

A.小而a+b

DD.----

22

2aba+b

C.--<----d

a+b2T

2.（多選）（2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知b<a<0,則下列不等式正確的是（）

A.b2>abB.ClH—--

ba

ba

C.—+—>2D.a1+—<Z?2+-

abab

考點八、基本不等式的實際應(yīng)用問題

典例引領(lǐng)

1.（2023?江蘇常州?校考一模）甲、乙兩名司機的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300

元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的

油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次

來說，甲、乙誰更合算（）

A.甲更合算B.乙更合算

C.甲乙同樣合算D.無法判斷誰更合算

即時檢測

1.（2023?遼寧,校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種方式.現(xiàn)有如圖所示圖

形，在等腰直角三角形AABC中，點O為斜邊48的中點，點O為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)AD=a,

BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

A.“；"(a>0,6>0)B.(a>0,/?>0)

C.等44^^（a>0,b>0）D.cr+b2>2^（a>0,b>0）

2.（多選）（2023?安徽淮北?統(tǒng)考二模）設(shè)a,6為兩個正數(shù)，定義a,%的算術(shù)平均數(shù)為A（a,。）=手，幾

何平均數(shù)為G（a,6）=瘋.上個世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了"Lehmer均值"，即

4（°,?=°丁其中p為有理數(shù).下列結(jié)論正確的是（）

八ap+bp

A.Zt）5（6z,Z?）<Ll（^,&）B.Z0（tz,Z?）<G（?,Z?）

C.4（a,Z?）<A（tz,&）D.Ln+l（a,b）<Ln（a,b）

考點九、基本不等式多選題綜合

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知a,b為實數(shù)，且&>揚，則下列不等式正確的是（）

A.a2>b2B.

即時檢測

1.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a,b滿足“+4b=2,貝U（）

A.ab<—B.2a+16b>4C.—1-->—D.-j~a+2y/b>4

4ab2

2.（2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)。均為正數(shù)，且/+〃2+4。2=1,則（）

A.ab+2bc+2ca<1B.當(dāng)時，a=b=c可能成立

6

C.ctb<-D.-yT—yH-----大29

2a1b24c2

3.（2023?江蘇?二模）已知a>0,b>0,且/+8=1,則（）

A.a+y[b<V2B.-<2a~^<2

2

C.loga+log4b>-12

22D.a-b>-l

好題沖關(guān)

【基礎(chǔ)過關(guān)】

1.（2023?湖南衡陽?衡陽市八中校考模擬預(yù)測）己知實數(shù)為V,滿足Y+xy+3y2=3,則x+y的最大值為（）

A3^/lT口6A/1T「A/3+1n6+3

H1133

2.（2023?海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若正實數(shù)無，>滿足x+3y=l.則”+工的最小值為（）

xy

A.12B.25C.27D.36

3.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知%>04>0,個+2%-產(chǎn)10,則％+丁的最小值為（）

A.2V2-IB.2立C.472D.472-1

4.（2023?吉林四平?四平市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正實數(shù)則“2a+b=4”是“而22”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

5.（2023?廣東汕頭?金山中學(xué)?？既＃┤?。>0/>0,，+人=4,則下列不等式對一切滿足條件。/恒成立的

是()

A.y[ab<2B.y[a+y[b<2

2111

C.—+Z?2>4D.—+—>1

3ab

6.（2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知人va<0,則下列不等式正確的是（）

A.b2>abB.

ba

ba

C.-+->2D.+—<Z72+—

abab

7.（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考三模）Q力￡R,則下列命題中，正確的有（）

,什，e〃b

A.右a>b,貝U—^>一^B.若ab=4,貝!I-2+/N8

cc

C.若a>b,則次?v/D.若a>b,c>d,則—c

三、填空題

91

8.（2023?吉林延邊?統(tǒng)考二模）設(shè)。>0,Z?>1,若a+b=2,則—+「取最小值時4的值為_____.

ab-\

9.（2023?浙江寧波?鎮(zhèn)海中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知a,b為兩個正實數(shù)，且。+46=1,則&+2揚的最大值

為.

19

10

-（2023?安徽安慶?安慶一中?？既＃┘褐秦?fù)數(shù)滿足x+y=l,則17T+1的最小值是

【能力提升】

1.（2023?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)無,y滿足工+2=1,貝|2孫-2x-y的最小值為

xy

（）

A.2B.4C.8D.9

2.（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測）若4也。均為正數(shù),且滿足42+2必+3℃+6歷=1,則24+2。+3°

的最小值是（）

A.2B.1C.V2D.2A/2

二、多選題

3.（2023?山東濟寧?統(tǒng)考二模）已知根〉0,〃>0,且根+〃=2w,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.mn>1B.m+n<亞C.m2+n2>2D.2m+n>3+2>/2

4.（2023?湖南長沙?長沙市明德中學(xué)?？既＃┤簟?>0,且〃+6=1,貝IJ（）

A.\Ja+y[b<A/2B.—F—>9

ab

C.cr+4b2>-D.—+—>1

4ab

5.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模）已知a>0,6>0且4a+Z?=2,貝!]（）

A.ab的最大值為3B.26+歷的最大值為2

C.2+：的最小值為6D.4"+2〃的最小值為4

ab

三、填空題

6.（2023?山東濟南?統(tǒng)考三模）已知正數(shù)滿足4尤+2y=u,則x+2y的最小值為.

221

7.（2023?山東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)。>26>0,貝山一+7+%一石的最小值為_____.

abaya-Zb）

OQ

8.（2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考二模）若0va<4,則一+一的值可以是_________.

a4-a

1912

9.（2023?山西大同?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知〃>0,b>0,a>-+-/?>-+-,則a+b的最小值為_______.

ab9ba

10.（2023?湖南郴州?安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知x>0,y>0,且2x+y=l,則爐+9丁的最小值

為.

【真題感知】

1.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知不F?是橢圓C：5+1=1的兩個焦點，點/在C上，貝小崢閭

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

2.（2020.全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線』與雙曲線C：（，=1（。>0,“0）的兩條漸近線分

別交于，E兩點，若AODE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

二、填空題

3.（2021.天津.統(tǒng)考高考真題）若。>。">0,則/言+〃的最小值為.

4.（2020?江蘇?統(tǒng)考高考真題）已知5//+丫4=1（羽”尺），則f+y2的最小值是.

11Q

5.（2020?天津?統(tǒng)考［Wj考真題）已知a>0,b>0,且成>=1,則--1—-H-------的最小值為___________

2a2ba+b

三、解答題

6.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，底面48CD設(shè)平面與

平面PBC的交線為/.

（1）證明：平面POC；

（2）已知尸。=4。=1,。為/上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

7.（2。22?全國?統(tǒng)考高考真題）記■C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知^^\葭言

⑴若C=m27r，求a

⑵求《42的最小值.

8.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點（0,￡|的距離，記動

點尸的軌跡為W.

⑴求W的方程；

（2）已知矩形A8CD有三個頂點在W上，證明：矩形A8CD的周長大于3山.

專題05基本不等式（核心考點精講精練）

考情探究

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2023年新I卷，第22題第二

基本不等式求最值圓錐曲線大題綜合

問,8分

2022年新I卷，第18題第二

基本不等式求最值正余弦定理解三角形

問,6分

2022年新n卷，第12題,5分基本不等式求最值三角換元及三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)

2021年新I卷，第5題,5分基本不等式求最值橢圓方程及其性質(zhì)

2020年新I卷，第20題第二

基本不等式求最值空間向量及立體幾何

問,6分

2020年新II卷，第12題,5分基本不等式求最值指對函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，本身知識點命題可變

性多，學(xué)生易上手學(xué)習(xí)，但高考常作為壓軸題考查，難度較難，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握基本不等式及其推論，會使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

2.能正確處理常數(shù)“1”求最值

3.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值

4.能熟練掌握基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)用與函數(shù)和解析幾何的求解過程中求最值

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會結(jié)合條件等式考查拼湊思想來使用基

本不等式求最值，或者和其他版塊關(guān)聯(lián)，難度中等偏上。

考點梳理

知識講解

2.基本不等式

a>0,b>0=>4ab<竺當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號

2

其中”2叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，

2

4ab叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)

通常表達為：a+b>14ab（積定和最小）

應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”

（4）基本不等式的推論1

a〉0,b>0nabM（"b）（和定積最大）

4

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時取等號

（5）基本不等式的推論2

V。，beR=a2+n2ab

當(dāng)且僅當(dāng)〃=Z?時取等號

（6）其他結(jié)論

就+"2(ab>0).

(。>0,Z?>0).

③已知a,b,x,y為正實數(shù)，

（11）

（6cv+by）—I—

若以+勿=1,則有:+；=I，=a+b+^+^>a+b+2y[ab=（yla+y[b）2.

/、ab

（x+y）—I—

若。+g=1,貝1J有x+y=I*=a+b+^+^>a+b+2yjab=（y[a+y[b）2.

注意1.使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可.

注意2.“當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立”的含義是％=b”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重

要，忽略它往往會導(dǎo)致解題錯誤.

注意3.連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致.

考點一、直接用基本不等式求最值

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?安徽滁州?安徽省定遠中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)。>0,6>0,。+6=1,則2"+2”

的最小值為.

【答案】2夜

【分析】運用基本不等式求和的最小值即可.

【詳解】回a>0,b>Ofa+b=l,

團2a+2“N2,2“x2"=2萬^"=2忘,當(dāng)且僅當(dāng)2"=2"即。=匕=1■時取等號.

故答案為：2日

2.（2023?湖北孝感?校聯(lián)考模擬預(yù)測）+3（?+4/）的最小值為_____.

I"y/yj

【答案】9

【分析】利用基本不等式解出最小值即可.

/、

所以（五+4^7）的最小值為9.

故答案為：9

即時檢測

31nr

1.（2023?山西大同?大同市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知。>0力>。，若不等式一+;之一-

aba+3b

恒成立，則加的最大值為.

【答案】12

【分析】根據(jù)將加分離出來，基本不等式求最值即可求解.

【詳解】由3得般（“+33仔+]=藝+?+6.

aba+3b\ab）ab

X—+7+6>2A/9+6=12,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)丶串?dāng)a=36時等號成立，

abab

0m<12,El機的最大值為12.

故答案為：12

2.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)%,>滿足/+2/_2孫=4,則孫的最大值

為.

【答案】2V2+2/2+2V2

【分析】利用重要不等式，轉(zhuǎn)化為不等式，求舊的最大值.

【詳解】Hx2+2y2>2\[2xy,所以2虎孫-2盯W4,

即孫<合=忘+

22當(dāng)x=0y時，等號成立,

所以犯的最大值是20+2.

故答案為：2及+2

考點二、巧用“1”或常數(shù)關(guān)系求最值

☆典例引領(lǐng)

y1

1.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）若正數(shù)滿足尤+2y=2,則二+一的最小值為（）

xy

LL5

A.V2+1B.20+1C.2D.y

【答案】A

【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為正數(shù)工，'滿足x+2y=2,

所以三至=1.

2

所以上+3+仝-*巨+i=0+i,

xyx2yx2yx2y

22

fx=2y「

當(dāng)且僅當(dāng)彳，即x=2&-2,y=2-0時，取等號，

[x+2y=2

當(dāng)x=20-2,y=2-&時，^+―取得的最小值為V2+1.

故選：A.

2.（2023?湖南邵陽?統(tǒng)考二模）若a>0,b>0,a+b=9,則變+:的最小值為_____

ab

【答案】8

【分析】由已知條件變形史+:=如土：=4+竺+=,然后利用基本不等式求解.

ababab

【詳解】若a>0,b>0,a+b=9,

則型+區(qū)=4（。+3+區(qū)=4+竺+烏24+2、/竺-4=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=6力=3時取等號,

ababab\ab

El364曰［/±

則---1"丁的取小值為8.

ab

故答案為：8.

即時檢測

...........

12

1.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）已知々＞0,。＞0,2々+匕=2,則—十7的最小值是__________.

ab

【答案】4

【分析】把上1+：?化為2F+2再利用“1〃的妙用，結(jié)合基本不等式即可得到答案.

ab2ab

［詳解］-+|=y-+|=|（2?+z?）f7-+|＞|=（2?+Z7）fy-+|＞|=2+T~+T-2+2^'=4'

ab2ab2\2abJ\2ab）2ab

當(dāng)且僅當(dāng)與=當(dāng)即6=1,:時，取等號，

2ab2

1?

故上+：的最小值是4,

ab

故答案為：4.

2.（2。23?山西晉中?統(tǒng)考三模）設(shè)"-1-＞。且尤+2卜1,則占+；的最小值為--------

【答案】三

1

【分析】由已知條件可知x+l＞。，且x+l+2y=2,再展開在+—=(x+l+2y)

y2

并利用基本不等式求其最小值.

【詳解】因為%＞Ty＞。,

所以x+l>0,-^->0,—>0,

x+1y

因為x+2y=l,所以x+l+2y=2,

所以:+1=：(；+L](x+l+2y)=；[3+W+W]2；(3+20),

x+1y21%+lyJ2(x+1yJ2

當(dāng)且僅當(dāng)二七二土已，即x=2&-3,y=2-&時取得最小值.

x+1y

故答案為：.吟

21

3.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考一模）已知％+y=4,且%,y＞0,則——+一的

x-yy

最小值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)基本不等式湊項法和"1"的巧用即可求得最值.

［詳解］因為彳+/=4,所以(％_y)+2y=4,又x>y>0,所以無_y>0

則

2+L12+口心7)+2升工/2+工+0+2］義4［4+2/2—"2

x-y>(尤-yy尸」41x-yyJ4IVx-yyI4

4yx—y

當(dāng)且僅當(dāng)一上=—21且x+y=4,即x=3,y=l時，等號成立，

x-yy

21

所以----+一的最小值為2.

%一yy

故答案為：2.

4.(2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)校考一模)若a,6e(O,y),且&+金=9,則"邁的

ba

最小值為()

1

A.9B.3C.1D.-

3

【答案】C

【分析】由基本不等式得［+乎之9,進而結(jié)合已知條件得6+g的最小值為1.

【詳解】解：因為a,6e(O,y),所以。夜>0,±如>。，

ab

因為布+?=9

b

所以+巫］］&+勺=5+6&+逑25+2/&.^5=9,即+邁］29,

ab)ab\ab(a,

當(dāng)且僅當(dāng)匕后=+，即a=9,b=］時等號成立，

ab3

所以6+漁川，即6+五的最小值為1.

aa

故選：C

考點三、變形為分式的“分母”形式求最值

典例引領(lǐng)

...........

1.2023,浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知。>1,則。+々的最小值為（）

a—\

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【分析】運用基本不等式的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】因為

所以由0+也=0-1+巨+122/（°-1>一^-+1=9,當(dāng)且僅當(dāng)。-1=工時取等號，即

a-\a-\Va-\a-\

a=5時取等號，

故選：B

Q

2.（2023?山西忻州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知。>2,則2a+-^的最小值是（）

a-2

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為a>2,所以°-2>0

所以2<2+—^—=2（”2）+”一+4力2屈+4=12,

a—2?！?

Q

當(dāng)且僅當(dāng)2（a-2）=匚p即“=4時，