數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：平面向量的正交分解坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.2平面向量的正交分解2。3。3坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。若向量a=(3，2）,b=(0,—1),則向量2b—a的坐標(biāo)是（)A.（3，—4）B.（—3，4）C.(3，4）D。（—3，—4)解析:2b—a=2（0，-1）—（3，2）=(0，—2)-(3，2）=(—3，-4).答案：D2。已知作用在A點(diǎn)的三個力F1=(3,4），F(xiàn)2=(2，—5），F(xiàn)3=（3，1)且A（1，1）,則合力F=F1+F2+F3的終點(diǎn)坐標(biāo)為__________________________.解析：F=(3，4)+(2,-5）+(3,1）=（8，0).設(shè)終點(diǎn)為D(x,y），則：F=，即（8,0)=（x-1，y-1)，所以所以終點(diǎn)為（9,1).答案：(9,1）3.已知x軸的正方向與a的方向的夾角為60°，且|a｜=4，則a的坐標(biāo)為________________.解析：設(shè)a=(x，y),x=｜a|cos60°=4×=2，y=｜a｜sin60°=4×.答案：(2，）4。已知平行四邊形ABCD的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（—2，1），一組對邊AB、CD的中點(diǎn)分別為M(3，0)，N(-1，—2），求平行四邊形的各個頂點(diǎn)坐標(biāo).解：設(shè)其余三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為B(x1，y1）,C（x2,y2)，D（x3，y3)。因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以3=，0=。解得x1=8，y1=-1.設(shè)MN的中點(diǎn)O′（x0，y0），則x0==1，y0==-1，而O′既是AC的中點(diǎn),又是BD的中點(diǎn)，所以x0=，y0=,即1=，-1=。解得x2=4,y2=-3。同理，x3=—6，y3=-1.所以B（8，—1），C(4，—3)，D(-6，—1）。10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.若向量a=（1,1），b=(1，-1)，c等于（—1,2),則c等于（）A.a+bB。a-bC.abD.a+b解析：根據(jù)平面內(nèi)任一向量可用該平面內(nèi)一組基底唯一線性表示的結(jié)論，再結(jié)合待定系數(shù)法可求。答案：B2。已知ABCD中,=(3，7)，=（—2，3）,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,則的坐標(biāo)為（)A。(，5)B.（，5）C.（,—5）D.（，—5)解析：如圖所示,=(-2，3)+(3,7)=(1，10).∴==(，5）.∴=（,-5）.答案：C3。已知點(diǎn)A（，1），B（0，0），C（，0).設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于點(diǎn)E,那么有=λ,其中λ等于()A。2B.C?！?D。—解析:∵AE為∠BAC的平分線，∴==2。∴=.∴.答案:C4.若將向量a=（，1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為_________________。解析：由三角函數(shù)的定義，可知a與x軸正向的夾角為，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置，易知|OP｜=2，∠xOP=120°。根據(jù)三角函數(shù)的定義，OA=2cos120°=-1,AP=2sin120°=，所以b=（-1，）。答案：(-1,）5.已知邊長為單位長的正方形ABCD，若A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸的正向上，則向量的坐標(biāo)為___________________.解析：根據(jù)題意建立坐標(biāo)系如圖,則A(0，0），B(1,0)，C（1，1），D（0，1).∴=（1，0)，=(0,1),=(1，1）?！?(2,0)+(0,3)+（1，1)=(3,4）.答案：(3，4）6.已知點(diǎn)O(0，0），A(1，2)，B(4,5）及.求：(1）t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限?（2）四邊形OABP能否構(gòu)成平行四邊形？若能,求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由。解:（1）=（1+3t，2+3t)，若P在x軸上，只需2+3t=0,所以t=;若P在y軸上，只需1+3t=0，所以t=-；若P在第二象限，只需∴＜t＜-.（2)因?yàn)?（1,2)，=(3-3t，3—3t),若OABP為平行四邊形，則.由于無解，故四邊形OABP不能構(gòu)成平行四邊形.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.在△ABC中，已知A(2，3)、B(8，—4)，G(2,—1)是中線AD上的一點(diǎn)，且｜｜=2｜|，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(—4，2)B.(—4，—2）C.（4，—2）D。（4,2)解析:設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y),由于G是△ABC的重心，則2=，∴x=—4；-1=，∴y=—2。答案:B2。已知A（—2，4)、B(3，—1)、C(—3，—4），且,試求點(diǎn)M、N和的坐標(biāo)。解:∵A（-2，4），B（3，—1)，C（-3，—4），∴=（—2+3，4+4）=(1，8)，=（3+3,—1+4)=（6，3)。于是=3（1，8）=（3，24)，=2(6，3)=（12,6)。設(shè)M（x，y），則有=(x+3,y+4），∴解之,得即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,20）。同理,可求得N（9,2）.因此=(9-0，2—20）=（9，-18）。故所求的點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（0,20)，（9，2），的坐標(biāo)為(9，-18）.3.如圖2—3-圖2-3解：∵A（7，8)、B（3，5)、C(4，3），∴=(3—7，5—8）=（-4，—3)，=（4-7,3—8)=(—3，-5).又∵D是的中點(diǎn)，∴=（）=(，—4)。又∵M(jìn)、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴F為AD的中點(diǎn).∴==(，2).4。用坐標(biāo)法證明=0.證明：設(shè)A（a1，a2）,B（b2，b2），C（c1，c2),則=(b1-a1，b2—a2），=（c1-b1,c2—b2），=（a1-c1，a2-c2）.∴=（b1-a1，b2-a2)+(c1-b1，c2—b2)+(a1-c1，a2—c2）=（0，0)=0?！?0。5。已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，4),C(7，10），若(λ∈R），試求λ為何值時，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上?點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y），則=（x，y）-(2,3)=（x—2，y-3),+λ=（5，4）—（2,3)+λ[(7，10)—(2，3）］=(3，1)+λ(5，7）=(3，1）+(5λ，7λ)=（3+5λ，1+7λ)?！撸?x-2，y—3）=(3+5λ，1+7λ)。∴∴∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5+5λ，4+7λ).(1）若點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上,則5+5λ=4+7λ，∴λ=.(2）若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，則∴∴λ＜—1，即只要λ＜—1時，點(diǎn)P便在第三象限內(nèi).6.已知向量u=(x,y）與向量v=(y，2y—x)的對應(yīng)關(guān)系可用v=f（u）表示。(1）證明對于任意向量a、b及常數(shù)m、n，恒有f（ma+nb）=mf(a)+nf（b)成立；（2）設(shè)a=(1，1)，b=(1，0），求向量f(a）及f(b）的坐標(biāo)；(3）求使f（c)=(3,5）成立的向量c.答案：（1）證明：設(shè)向量a=（x1，y1），b=(x2，y2）,則f（mx1+nx2，my1+ny2）=(my1+ny2，2my1+2ny2—mx1-nx2)，又mf(a）=（my1，2my1-mx1），nf（b)=（ny2,2ny2—nx2),所以mf(a)+nf（b)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1—nx2）.所以f（ma+nb)=mf(a)+nf(b）。(2)解：f(a)=（1,1），f(b）=（0，—1)。(3)解：由得所以c=（1，3).7.如圖2-圖2-3解：（1)當(dāng)平行四邊形為ABCD時，因?yàn)?，所以?，1）=(x+2，y—1)。所以x=2，y=2，即D（2，2)。(2）當(dāng)平行四邊形為ACDB時，因?yàn)椋裕?1,-2）=(3—x，4—y）。所以x=4，y=6，即D(4，6)。（3)當(dāng)平行四邊形為DACB時，因?yàn)?，所以（?—x，1—y）=（4，1）.所以x=-6，y=0,即D（—6,0）。8.如圖2-3-10，已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=150°，∠BOC=90°。設(shè)=a,=b，=c，且｜a｜=2，｜b｜=1，｜c(diǎn)｜=3，試用a和b表示c圖2解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立