數(shù)學同步優(yōu)化訓練：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)5分鐘訓練(預習類訓練，可用于課前）1.（高考遼寧卷，文1)函數(shù)y=sin（x+3)的最小正周期是()A.B。πC.2πD.4π解析：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的最小正周期為T=，該函數(shù)最小正周期為T==4π。答案：D2.（高考北京卷，文2)函數(shù)y=1+cosx的圖象（）A。關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱C。關(guān)于原點對稱D。關(guān)于直線x=對稱解析:函數(shù)y=1+cosx是偶函數(shù)，所以關(guān)于y軸對稱.答案：B3。如果函數(shù)f(x）=sin（πx+θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T，且當x=2時取得最大值，那么…（)A。T=2，θ=B.T=1，θ=πC.T=2,θ=πD.T=1，θ=解析：T==2，又當x=2時，sin(π·2+θ）=sin（2π+θ）=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=。答案:A4。若彈簧振子對平衡位置的位移x(cm）與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖1—圖1(1)求該函數(shù)的周期;（2）求t=10。5s時彈簧振子對平衡位置的位移。解：(1）由圖象可知該函數(shù)的周期為4s.(2)設(shè)x=f(t)，由函數(shù)的周期為4s,可知f（10。5)=f(2.5+2×4)=f（2.5）=—8.10分鐘訓練（強化類訓練,可用于課中）1。(2005高考浙江卷,文1）函數(shù)y=sin（2x+）的最小正周期是(）A。B.πC.2πD.4π解析：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的最小正周期T=。答案：B2。下列函數(shù)中，周期為π，圖象關(guān)于直線x=對稱的函數(shù)是（）A。y=2sin（+）B.y=2sin（—）C.y=sin(2x+）D。y=sin(2x-)解析：sin（ωx+φ)的周期為，對稱軸方程為ωx+φ=kπ+(k∈Z)，由周期為π，排除A、B;將x=代入2x+得,將x=代入2x—得，故選D.答案：D3.在下列各區(qū)間中，函數(shù)y=sin（x+）的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.[,π］B.[0，]C。［-π，0］D.[，]解析：y=sin（x+)的遞增區(qū)間是2kπ-≤x+≤2kπ+，即-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.當k=0時,區(qū)間是[—,］，已知區(qū)間［0，]是它的子區(qū)間，故應(yīng)選B。答案：B4.設(shè)函數(shù)f(x)=A+Bsinx，若B＜0時,f(x）的最大值是,最小值是，則A=_____________，B=_________________。解析：因為sinx的最大值是1,最小值是-1，根據(jù)題意,得解方程可得A、B值.答案：-15。求函數(shù)y=的定義域。解析:要使函數(shù)有意義，只需2sinx+≥0，即sinx≥-。如圖，在區(qū)間［—，］上，適合條件的x的范圍是—≤x≤.所以該函數(shù)的定義域是［2kπ—，2kπ+］，k∈Z。6.已知函數(shù)y=3sin(x-）.（1）用“五點法”作函數(shù)的圖象；（2)求函數(shù)的周期；（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(4）求此函數(shù)的對稱軸、對稱中心。解:（1)(2)因為3sin［（x+4π)-］=3sin(x-+2π)=3sin(x—），所以由周期函數(shù)的定義，知原函數(shù)的周期是4π；也可以直接用公式：T===4π.(3)x前的系數(shù)為正數(shù)，所以把x-視為一個整體，令-+2kπ≤x-≤+2kπ,解得［-+4kπ，+4kπ］，k∈Z，即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。（4)由于y=3sin（x—)是周期函數(shù),通過觀察圖象可知所有與x軸垂直并且通過圖象的最值點的直線都是此函數(shù)的對稱軸，即令x-=+kπ,解得直線方程為x=+2kπ，k∈Z。圖象與x軸的所有交點都是函數(shù)的對稱中心,所以對稱中心為點(+2kπ，0），k∈Z。30分鐘訓練（鞏固類訓練,可用于課后）1。使cosx=有意義的m的值為()A.m≥0B.m≤0C.—1＜m＜1D.m＜-1或m＞1解析:由|cosx｜≤1，得||≤1。解之，得m≤0.答案：B2.函數(shù)y=2sin2x+2cosx-3的最大值是（)A?！?B.C.D。-5解析:整理得y=-2（cosx）2。又∵-1≤cosx≤1，∴當cosx=時,ymax=.答案:C3.函數(shù)y=sin(2x+)在區(qū)間［0，π］內(nèi)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（)A。［0,］B.［，］C。［，］D。[，］解析：+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z)，∴+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).答案:B4。（2006高考安徽卷，文8)對于函數(shù)f(x）=(0＜x＜π），下列結(jié)論正確的是（）A.有最大值而無最小值B。有最小值而無最大值C.有最大值且有最小值D。既無最大值又無最小值解析：令t=sinx,t∈(0，1］，則函數(shù)f（x）=(0＜x＜π）的值域為函數(shù)y=,t∈（0,1］的值域，而y=，t∈（0，1］是一個減函數(shù)，故選B.答案：B5.（2006高考湖南卷，文8）設(shè)點P是函數(shù)f(x）=sinωx的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值為，則f(x)的最小正周期是（)A。2πB.πC.D。解析:因為圖象對稱中心與對稱軸的最短距離等于周期，所以T=4×=π.答案:B6。定義在R上的函數(shù)f(x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當x∈[0，］時，f(x）=sinx，則f（)的值為()A.B.C。D。解析：f()=f（—2π)=f(-)=f（)=sin=。答案：D7。sin300°、sin(—310°）、sin790°三個數(shù)值從小到大的排列順序為___________。解析：sin300°=sin(—60°）＜0，sin(-310°)=sin50°，sin790°=sin70°.由于y=sinx在（0°，90°)內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以sin（—310°)＜sin790°.答案：sin300°＜sin（—310°）＜sin790°8.函數(shù)f（x)=2sinωx（ω＞0）在［0,］上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，那么ω=____________________。解析：由已知得2sin（ω·)=3，即ω·=2kπ+，ω=8k+（k∈Z);已知函數(shù)在［0，］上單調(diào)遞增,說明此函數(shù)的最小周期是π,又T＞0，所以T=≥π.故ω=.答案：9。已知函數(shù)f(x）=2sin(kx+）的最小正周期T∈(1，3），則正整數(shù)k=_____________.解析：由題意得1＜＜3＜3＜k＜2π?！遦∈N＊,∴k=3，4，5,6,即正整數(shù)k的值是3,4，5，6.答案:3,4,5，610。已知f（x)的定義域為［0,1)，求f（cosx）的定義域.解：(1）0≤cosx＜12kπ—≤x≤2kπ+，且x≠2kπ(k∈Z）,∴所求函數(shù)的