數學學案：6正態(tài)分布

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。6正態(tài)分布學習目標重點、難點1．了解正態(tài)分布的廣泛應用性；2．能說出正態(tài)分布的參數μ，σ對正態(tài)分布曲線形狀與位置的影響；3．會用正態(tài)分布的幾個特殊概率值計算相關的概率并應用于實際問題.重點：認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的幾何意義．難點：求滿足標準正態(tài)分布的隨機變量X在某一范圍內的概率值。1．正態(tài)密度曲線在頻率分布直方圖中，若數據無限增多且組距無限縮小,那么頻率分布直方圖上的頻率折線就將趨于一條光滑的曲線，我們將此曲線稱為概率密度曲線．函數的表達式是，x∈R，此函數為正態(tài)分布密度函數．它所表示的曲線叫正態(tài)密度曲線．這里有兩個參數μ和σ，其中σ＞0,μ∈R，不同的μ和σ對應著不同的正態(tài)密度曲線．預習交流1正態(tài)分布密度曲線與μ,σ的關系是怎樣的？提示：①正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱；②當x＜μ時，曲線上升，當x＞μ時曲線下降；③曲線的形狀由σ確定，σ越大,正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡．2．正態(tài)分布密度函數的性質若X是一個隨機變量,則對任給區(qū)間(a，b］，P(a＜X≤b)恰好是正態(tài)密度曲線下方和x軸上(a，b］上方所圍成的圖形面積，我們稱隨機變量X服從參數為μ和σ2的正態(tài)分布，簡記為X~N（μ，σ2)．隨機變量X取值落在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ）上的概率約為68。3%，落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ）上的概率約為95。4％，落在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ）上的概率約為99。7％。預習交流2若X～N（μ，σ2）,則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)的幾何意義是什么？提示：表示X取值落在區(qū)間（μ－σ,μ＋σ）的概率和正態(tài)曲線與X＝μ－σ，X＝μ＋σ以及x軸所圍成的圖形的面積,大約是68.3%。在預習中,還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學困點我的學疑點1．正態(tài)分布密度函數下列函數中哪個是正態(tài)分布密度函數__________．①;②；③;④。思路分析：正態(tài)密度函數的表達式為，凡符合此表達式的均為正態(tài)分布密度函數．答案:②解析:①是錯誤的，錯在系數部分中的σ應在分母的根號外．②是正確的，它是正態(tài)分布密度函數，其中μ＝0，σ＝1。③是錯誤的，從系數部分看σ＝2，可從指數部分看σ＝eq\r（2)，不統(tǒng)一．④是錯誤的，指數部分缺少一個負號．設一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數的圖象，則這個正態(tài)總體的均值與方差分別是：μ＝__________,σ2＝__________.答案:104解析：對比正態(tài)密度函數知，μ＝10，σ2＝4.對于正態(tài)分布密度函數，x∈（－∞，＋∞），不但要熟記它的解析式，而且要知道其中字母是變量還是常量，還要注意指數上的σ和系數的分母上σ是一致的，且指數部分是一個負數。2．正態(tài)分布密度函數的性質設ξ～N（1,22)，求P(3＜ξ≤5）．思路分析：要求隨機變量ξ在某一范圍內的概率，只需借助于正態(tài)密度曲線的圖象性質以及常見的區(qū)間（μ－σ,μ＋σ)，（μ－2σ，μ＋2σ），(μ－3σ,μ＋3σ)的概率值進行轉化求值．解：∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1），∴P(3＜ξ≤5）＝eq\f(1，2）［P(－3＜ξ≤5）－P（－1＜ξ≤3）]＝eq\f(1,2)［P(1－4＜ξ≤1＋4）－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P（μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ＜ξ≤μ＋σ）]＝eq\f（1，2）×(0。954－0。683)＝0。1355。設ξ～N(1，22),則P(ξ≥5）＝__________.答案：0。023解析:∵P(ξ≥5)＝P（ξ≤－3），∴P(ξ≥5)＝eq\f（1，2)[1－P（－3＜ξ≤5）]＝eq\f(1,2）[1－P（1－4＜ξ≤1＋4）]＝eq\f(1，2）［1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2）×(1－0.954)＝0。023。解答此類題的關鍵在于充分利用正態(tài)分布曲線的對稱性,把待求區(qū)間的概率向已知區(qū)間(μ－σ,μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ)內的概率進行轉化．3．正態(tài)分布的實際應用在某次數學考試中，考生的成績X服從一個正態(tài)分布，即X～N(90，100）．（1）試求考試成績X位于區(qū)間(70，110)上的概率;（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在（80，100)內的考生大約有多少人?思路分析:正態(tài)分布已經確定，則總體的期望μ和方差σ就可以求出,根據正態(tài)分布在三個常見的區(qū)間上取值的概率進行求解．解：∵X～N(90，100），∴μ＝90,σ＝eq\r（100）＝10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間（μ－2σ，μ＋2σ)內取值的概率是0.954,而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110,于是考試成績X位于區(qū)間（70，110）內的概率為0.954.（2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內取值的概率為0。683，所以考試成績X位于區(qū)間（80，100)內的概率為0.683。一共有2000名考生，所以考試成績在（80,100)內的考生大約有2000×0。683＝1366（人）．某廠生產的圓柱形零件的外徑X～N（4，0.25)，質檢人員從該廠生產的1000件零件中隨機抽查一件，測得它的外徑為5.7,試問該廠生產的這批零件是否合格？解:由于圓柱形零件的外徑X～N（4,0。25)，由正態(tài)分布的特征可知,正態(tài)分布N(4，0.25)在區(qū)間(4－3×0.5,4＋3×0。5)即（2。5，5。5)之外的取值概率只有0.003，而5.7?(2。5,5.5），這說明在一次試驗中，出現了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，根據小概率事件原理,認為該廠的這批產品是不合格的．解答這類問題的關鍵是熟記正態(tài)變量的取值位于區(qū)間(μ－σ,μ＋σ）,（μ－2σ，μ＋2σ)，（μ－3σ，μ＋3σ）上的概率值，同時又要根據已知的正態(tài)分布確定所給區(qū)間．1．已知X~N(0，1)，則X在區(qū)間(－∞,－2）內取值的概率為__________．答案：0。023解析：∵X～N(0,1)，∴P（X≤－2)＝eq\f（1,2）[1－P(－2＜X＜2）]＝eq\f(1，2)［1－P(0－2×1＜X＜0＋2×1）]，又知P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954,∴P（X≤－2）＝eq\f(1，2）×（1－0。954)＝0.023。2．已知ξ～N(0，σ2)，且P（－2≤ξ≤0)＝0.4，則P（ξ＞2）＝__________。答案：0.1解析：由ξ～N（0,σ2)，知圖象關于x=0對稱．∴P(－2≤ξ≤0）＝P（0≤ξ≤2)＝0。4，而P(ξ≥0）＝0。5，∴P(ξ＞2)＝P(ξ≥0)－P(0≤ξ≤2)＝0。5－0.4＝0.1。3．已知X~N(1，σ2）,P(X≥2）＝0。1,則P（0＜X＜2)＝__________。答案:0.8解析：由X～N(1，σ2)可知，密度函數關于x=1對稱．∵X～N(1，σ2），故X落在(0,1)及（1，2)內的概率相同均為0。5－P(X≥2)=0.4,∴P(0＜X＜2）=P(0＜X＜1)+P(1＜X＜2）=0.4+0。4=0。8。4．隨機變量X～N（1,22），則Veq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)X））＝__________.答案:1解析：∵X~N(1，22)，∴V(X)＝22＝4?！郪eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）X)）＝eq\f（1,4）V（X)＝eq\f(1，4)×4＝1.5．某人騎自行車上班,第一條路線較短但擁擠,到達時間X（分鐘）服從正態(tài)分布N（5，1);第二條路較長不擁擠，X服從N（6,0.16）．有一天他出發(fā)時離點名時間還有7分鐘,問他應選哪一條路線?若離點名時間還有6。5分鐘,問他應選哪一條路線？解：還有7分鐘時，若選第一條路線，X服從N(5,1），能及時到達的概率P1＝P（X≤7）＝P（X≤5）＋P（5＜X＜7）＝eq\f（1，2)＋eq\f（1,2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ);若