數(shù)學(xué)學(xué)案：不等式的實際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修5第三章3。4不等式的實際應(yīng)用1．能把現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式問題，能運用不等式的知識和方法解決常見的實際問題(如比較大小，確定范圍，求最值等)．2．了解如何建立數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)知識和客觀實踐之間的相互關(guān)系，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)意識和情感態(tài)度．1．例題中的結(jié)論若b＞a＞0，m＞0，則eq\f（a＋m，b＋m)____eq\f(a,b)。另外，若a＞b＞0，m＞0時,則有eq\f（a＋m,b＋m)＜______成立．【做一做】已知a,b是正數(shù)，試比較eq\f(2,\f（1，a）＋\f（1,b)）與eq\r（ab)的大?。?．不等式解決實際問題的步驟(1）________：用字母表示題中的未知數(shù)．（2）__________:找出題中的不等量關(guān)系,列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組)．（3）______________:運用不等式知識求解不等式，同時要注意______________________________．（4)答：規(guī)范地寫出答案．在解決實際應(yīng)用問題時，首先要學(xué)會正確地梳理數(shù)據(jù)，從而為尋找數(shù)據(jù)之間的關(guān)系奠定良好的基礎(chǔ)，進而建立起相應(yīng)的能反映問題實質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,再利用不等式求解，即解實際應(yīng)用題的思路為：一、解應(yīng)用題的流程剖析：數(shù)學(xué)問題就是數(shù)學(xué)語言的理解問題,數(shù)學(xué)語言具有簡潔、準確的特點，但同時也具有豐富的內(nèi)涵,而數(shù)學(xué)應(yīng)用題多使用自然語言進行敘述，所以，對文字的理解就顯得非常重要,要正確理解應(yīng)用題的含義主要可以從以下幾個步驟入手：(1）略讀識大意．應(yīng)用題實際上是一篇說明文,一般文字比較多,信息量比較大．這就需要快速瀏覽一遍，理解題目的大意：題目敘述的是什么事，是什么問題（比如不等式問題,是求最值還是要解不等式得出結(jié)論等)．條件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一邊閱讀一邊寫下主要內(nèi)容,或者列表顯示主要條件和要求的結(jié)論．(2）細讀抓關(guān)鍵．題目中關(guān)鍵詞語和重要語句往往是重要的信息所在,將其辨析出來是實現(xiàn)綜合認知的出發(fā)點．因此,在略讀以后還要對題目進行逐字逐句地細讀，弄清具體含義及各量之間的關(guān)系．(3）精讀巧轉(zhuǎn)換．領(lǐng)會題意的關(guān)鍵是“內(nèi)部轉(zhuǎn)化”，即把一個抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為一個具體的內(nèi)容，把符號轉(zhuǎn)化為文字，把文字敘述轉(zhuǎn)化為符號或圖表，總之，大腦要有靈活的轉(zhuǎn)化思維．二、常見的不等式實際應(yīng)用類型剖析：常見的不等式實際應(yīng)用問題有以下幾種：(1)作差法解決實際問題作差法的依據(jù)是a－b＞0?a＞b，其基本步驟是：①理解題意,準確地將要比較的兩個對象用數(shù)學(xué)式子表示出來．②作差，分析差的符號．③將作差后的結(jié)論轉(zhuǎn)化為實際問題的結(jié)論．(2)應(yīng)用均值不等式解決實際問題①均值不等式:a，b∈R＋,eq\f（a＋b,2）≥eq\r(ab)（當且僅當a＝b時,等號成立）．當ab＝P(定值)，那么當a＝b時，a＋b有最小值2eq\r（P)；當a＋b＝S(定值），那么當a＝b時，ab有最大值eq\f(1，4)S2。②注意利用均值不等式必須有前提條件：“一正、二定、三相等”．為了創(chuàng)造利用均值不等式的條件，常用技巧有配湊因子、拆項或平方．(3)應(yīng)用一元二次不等式解決實際問題用一元二次不等式解決實際問題的操作步驟大致為:①理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；②建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；③解所列的一元二次不等式得到實際問題的解．在建立不等關(guān)系時,一定要弄清楚各種方法的適用范圍及未知量的取值范圍，不可盲目使用．題型一一元二次不等式的實際應(yīng)用【例1】某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車車速xkm/h有如下關(guān)系：s＝eq\f(1，20）x＋eq\f(1,180)x2.在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m,那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少(精確到0.01km/h)?分析：由剎車距離直接代入關(guān)系式就會得到一個關(guān)于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范圍，即汽車剎車前的車速范圍．反思：解答不等式應(yīng)用題,首先要認真審題，分清題意，建立合理的不等式模型．防止在解答此題時不考慮實際意義而忘記舍去x＜－88.94這一情況．題型二利用均值不等式解應(yīng)用題【例2】某種汽車，購車費用是10萬元，每年使用的保險費、養(yǎng)路費、汽油費約為0.9萬元，年維修費第一年是0。2萬元,以后逐年遞增0。2萬元．問這種汽車使用多少年時，它的年平均費用最少？分析:每年的保險費、養(yǎng)路費等是一個定數(shù)，關(guān)鍵是每年的維修費逐年遞增，構(gòu)成一個等差數(shù)列，只需求出x年的總費用（包括購車費)除以x年,即為平均費用y.列出函數(shù)關(guān)系式，再求解．反思：應(yīng)用兩個正數(shù)的均值不等式解決實際問題的方法步驟是：（1）先理解題意,設(shè)變量．設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)寫出正確答案．題型三易錯辨析【例3】甲、乙兩地水路相距skm，一條船由甲地逆流勻速行駛至乙地，水流速度為常量pkm/h,船在靜水中的最大速度為qkm/h(q＞p）．已知船每小時的燃料費用(元）與船在靜水中的速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為k.(1）把全程燃料費用y(元）表示為船在靜水中的速度v（km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程燃料費用最少，船的實際前進速度應(yīng)是多少？錯解：(1）依題意，船由甲地到乙地所用的時間為eq\f（s,v－p）h,則y＝k·v2·eq\f（s,v－p)＝eq\f(ks·v2,v－p）。故所求函數(shù)為y＝eq\f(ks·v2,v－p)，其定義域為v∈（p,q]．（2）依題意,k，s,v，p,q均為正數(shù)，且v－p＞0，故有eq\f(ks·v2，v－p)＝ks·eq\f(v2－p2＋p2,v－p)＝ks（v－p＋eq\f（p2，v－p）＋2p）≥ks（2p＋2p）＝4ksp，當且僅當v－p＝eq\f（p2，v－p)，即v＝2p時等號成立．所以當船的實際前進速度為pkm/h時，全程燃料費用最少．錯因分析：錯解中船在靜水中的速度v＝2pkm/h應(yīng)不超過qkm/h,事實上2p與q的大小關(guān)系并不明確，因此需分2p≤q和2p＞q兩種情況進行討論．1某居民小區(qū)收取冬季供暖費,根據(jù)規(guī)定，住戶可以從以下兩種方案中任選其一:(1）按照使用面積繳納，每平方米4元；（2）按照建筑面積繳納,每平方米3元．李明家的使用面積是60平方米．如果他家選擇第(2）種方案繳納的供暖費不多于按第(1)種方案繳納的供暖費，那么他家的建筑面積最多不超過()．A．70平方米B．80平方米C．90平方米D．100平方米2一元二次不等式ax2＋2x－1有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是()．A．｛a｜a＞1}B．{a｜a＜1且a≠0}C．{a|a＜－1｝D．{a｜a＞－1且a≠0｝3某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品x(百件）的成本為（3x－3）萬元,銷售總收入為（2x2－5)萬元，如果要保證該企業(yè)不虧本,那么至少生產(chǎn)該產(chǎn)品為______(百件)．4用兩種金屬材料做一個矩形框架，按要求長（較長的邊)和寬應(yīng)選用的金屬材料價格每1m分別為3元和5元，且長和寬必須是整數(shù)，現(xiàn)預(yù)算花費不超過100元，則做成矩形框架圍成的最大面積是______．5某商場預(yù)計全年分批購入每臺價值為2000元的電視機共3600臺，每批都購入x臺（x∈N＋)，且每批均需運費400元，貯存購入的電視機全年所付保管費與每批購入電視機的總價值（不含運費)成正比,若每批購入400臺,則全年需用去運輸和保管費用總計43600元,現(xiàn)在全年只有24000元資金可以用于支付這筆費用．請問:能否恰當安排每批進貨的數(shù)量，使資金夠用？求出結(jié)論，并說明理由．答案:基礎(chǔ)知識·梳理1．＞eq\f(a,b)【做一做】解:∵a＞0，b＞0,∴eq\f(1，a）＋eq\f（1，b)≥2eq\r（\f(1,ab））＞0.∴eq\f（2，\f(1,a)＋\f（1,b))≤eq\f(2，2\r(\f（1，ab）))＝eq\r(ab）.即eq\f（2，\f(1，a)＋\f(1,b）)≤eq\r(ab）(當且僅當a＝b時，等號成立）．2．（1）設(shè)未知數(shù)(2）列不等式(組)（3）解不等式（組)未知數(shù)在實際問題中的取值范圍典型例題·領(lǐng)悟【例1】解:設(shè)這輛汽車剎車前的車速至少為xkm/h。根據(jù)題意,有eq\f(1,20）x＋eq\f(1，180)x2＞39。5.移項整理,得x2＋9x－7110＞0.顯然Δ＞0，方程x2＋9x－7110＝0有兩個實數(shù)根,即x1≈－88.94，x2≈79.94.然后，畫出二次函數(shù)y＝x2＋9x－7110的圖象．由圖象得不等式的解集為｛x|x＜－88.94或x＞79.94｝．在這個實際問題中,x＞0，所以這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h?！纠?】解：設(shè)汽車使用的年數(shù)為x。由于“年維修費第一年是0。2萬元，以后逐年遞增0。2萬元”，可知汽車每年維修費構(gòu)成以0。2萬元為首項,0。2萬元為公差的等差數(shù)列．因此，汽車使用x年總的維修費用為eq\f（0。2＋0。2x,2)x萬元．設(shè)汽車的年平均費用為y萬元，則有y＝eq\f(10＋0。9x＋\f（0.2＋0。2x，2）x，x)＝eq\f(10＋x＋0.1x2，x)＝1＋eq\f（10，x)＋eq\f(x,10）≥1＋2eq\r（\f（10,x）·\f(x，10)）＝3。當且僅當eq\f（10,x）＝eq\f(x，10)，即x＝10時，等號成立，即y取最小值．答:汽車使用10年時年平均費用最少．【例3】正解：（1）同錯解(1)．（2)解題過程同錯解(2)．若2p≤q，則當v＝2p時，y取最小值，這時船的實際前進速度為pkm/h。若2p＞q，當v∈（p，q]時,eq\f(ks·v2，v－p)－eq\f(ks·q2,q－p）＝ks·eq\f(（q－v）(pq＋pv－qv），（v－p)（q－p)）。∵v－p＞0,q－p＞0，q－v≥0,pq＋pv－qv≥pv＋pv－qv＝(2p－q)v＞0，∴eq\f（ks·v2,v－p)≥eq\f(ks·q2，q－p)。當且僅當v＝q時等號成立，即當v＝q時，y取得最小值．此時船的實際前進速度為(q－p)km/h.隨堂練習(xí)·鞏固1．B根據(jù)使用面積應(yīng)該繳納的費用為60×4＝240元，設(shè)建筑面積為x平方米，則根據(jù)他所選擇的方案,知3x－240≤0，所以x≤80，即建筑面積不超過80平方米．2．D一元二次不等式有兩個不相等的實數(shù)根，其判別式Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1，且二次項系數(shù)不能為0,即a≠0。所以a的取值范圍是{a|a＞－1且a≠0}．3．2要不虧本只需收入不小于成本,即2x2－5－(3x－3)≥0，即2x2－3x－2≥0,解得x≤－eq\f(1，2)或x≥2,而產(chǎn)品件數(shù)不能是負數(shù)，所以x的最小值為2.4．40m2設(shè)長為xm,寬為ym，則根據(jù)條件知6x＋10y≤100,即3x＋5y≤50，且x≥y，再根據(jù)x，y都是整數(shù)的條件求xy的最大值,而xy＝eq\f（1,15)·3x·5y≤eq\f(1,15)（eq\f(3x＋5y,2))2，并且檢驗，知當x＝8