數(shù)學(xué)學(xué)案：導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修1-1第三章3。3.3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．會利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題．2．體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用．1．最優(yōu)化問題在經(jīng)濟(jì)生活中,人們經(jīng)常遇到最優(yōu)化問題．例如，為使經(jīng)營利潤最大、生產(chǎn)效率最高，或?yàn)槭褂昧ψ钍?、用料最少、消耗最省等?需要尋求相應(yīng)的________或________,這些都是最優(yōu)化問題．導(dǎo)數(shù)是解決這類問題的方法之一．【做一做1】下列問題不是最優(yōu)化問題的是（)A．利潤最大B．用料最省C．求導(dǎo)數(shù)D．用力最省2．求實(shí)際問題的最大（小)值的步驟（1）建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f（x)，注明定義域．(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），解方程________，確定極值點(diǎn)．（3）比較函數(shù)在________和________處的函數(shù)值的大小，最大(?。┱邽閷?shí)際問題的最大（小）值．實(shí)際問題中的變量是有范圍的，即應(yīng)考慮實(shí)際問題的意義,注明定義域．【做一做2】求實(shí)際問題的最值與求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的主要區(qū)別是________________．利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注意什么?剖析：(1）寫出變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)后一定要寫出定義域．(2）求實(shí)際問題的最值,一定要從問題的實(shí)際意義去分析，不符合實(shí)際意義的極值點(diǎn)應(yīng)舍去．(3)在實(shí)際問題中，一般地，f′（x)＝0在x的取值范圍內(nèi)僅有一個(gè)解，即函數(shù)y＝f（x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則該點(diǎn)處的值就是問題中所指的最值．題型實(shí)際問題中最值的求法【例1】某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批商品，若該商品的售價(jià)定為p元，則銷售量Q(單位：件）與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系:Q＝8300－170p－p2.問該商品零售價(jià)定為多少時(shí)利潤最大，最大利潤是多少？分析：建立銷售利潤關(guān)于零售價(jià)的函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值．反思：根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定,有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問題,一般指的是單峰函數(shù)，也就是說在實(shí)際問題中，如果遇到函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，且該函數(shù)在這點(diǎn)取得極大(小)值，那么不與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較，就可以知道這就是實(shí)際問題的最大(小)值．【例2】將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問怎樣截能使正方形與圓的面積之和最?。糠治觯涸O(shè)其中一段長為xcm，則另一段長為(100－x）cm,然后用x表示出正方形與圓的面積之和S，求出方程S′＝0的根，該根即為所求．反思：在求最值時(shí)，往往需要建立函數(shù)關(guān)系式,若問題中給出的量較多時(shí)，一定要通過建立各個(gè)量之間的關(guān)系，通過消元法達(dá)到建立函數(shù)關(guān)系式的目的．1要做一個(gè)圓錐形漏斗,其母線長為20cm,要使其體積最大，則其高應(yīng)為（)A．eq\f（20\r(3),3）cmB．100cmC．20cmD．eq\f（20,3）cm2某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元,已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(400x－\f（1,2）x20≤x≤400，,80000x〉400，)）則總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量是（）A．100單位B．150單位C．200單位D．300單位3把長40cm的鐵絲圍成矩形，當(dāng)長為__________cm，寬為__________cm時(shí)，矩形面積最大．4將長為52cm的鐵絲剪成2段，各圍成一個(gè)長與寬之比為2∶1及3∶2的矩形,那么面積之和的最小值為__________．5某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品則損失100元，已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝eq\f（3x，4x＋32）(x∈N＊）．（1)將該廠的日盈利額T（元)表示為日產(chǎn)量x（件)的函數(shù)__________；(2）為獲得最大盈利,該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為__________．答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．最佳方案最佳策略【做一做1】C2．（2)f′（x)＝0(3）區(qū)間端點(diǎn)極值點(diǎn)【做一做2】求實(shí)際問題的最值需先建立數(shù)學(xué)模型,寫出變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，并寫出定義域典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：設(shè)利潤為L(p),由題意可得L（p）＝(p－20)·Q＝（p－20）(8300－170p－p2）＝－p3－150p2＋11700p－166000(p＞0），∴L′(p）＝－3p2－300p＋11700.令L′（p）＝0，得p＝30或p＝－130（舍去）．則L（30）＝23000?！?＜p＜30時(shí)，L′（p）＞0；p＞30時(shí)，L′（p)＜0，∴p＝30時(shí),L（p）取得極大值．根據(jù)實(shí)際問題的意義知,L（30）就是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，利潤最大,最大利潤為23000元．【例2】解:設(shè)彎成圓的一段鐵絲長為xcm，則另一段長為（100－x）cm，記正方形與圓的面積之和為Scm2，則正方形的邊長a＝eq\f(100－x，4)，圓的半徑r＝eq\f（x,2π).∴S＝πeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（x,2π)))2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（100－x,4)）)2＝eq\f(x2，4π）＋eq\f（x2，16）－eq\f（25，2)x＋625（0＜x＜100)．又S′＝eq\f（x,2π）＋eq\f（x,8）－eq\f(25，2)。令S′＝0,則x＝eq\f（100π，4＋π）。當(dāng)0＜x＜eq\f(100π，4＋π）時(shí)，S′＜0；當(dāng)eq\f(100π，4＋π）＜x＜100時(shí)，S′＞0。所以當(dāng)x＝eq\f(100π,4＋π）時(shí)，S取得極小值，也為最小值．故當(dāng)彎成圓的鐵絲長度為eq\f(100π，4＋π）cm時(shí)，正方形和圓的面積之和最?。S堂練習(xí)·鞏固1．A設(shè)圓錐的高為hcm，則V（h）＝eq\f(π，3）(400－h(huán)2）h，h∈（0，20)．令V′（h）＝eq\f（π,3）(400－3h2)＝0，得h＝eq\f（20\r(3）,3)。2．D當(dāng)x＞400時(shí)，利潤f(x)＝80000－20000－100x，∴當(dāng)x＞400時(shí),f(x）＜20000.當(dāng)0≤x≤400時(shí),f（x）＝R(x）－20000－100x＝－eq\f(1，2)x2＋300x－20000＝－eq\f(1，2）(x－300)2＋25000.∴當(dāng)x＝300單位時(shí),利潤為最大．3．10104．78cm2設(shè)剪成的2段中其中一段為xcm，則另一段為(52－x）cm，圍成兩個(gè)矩形的面積和為Scm2。依題意知，S＝eq\f（x，6）×eq\f（2x，6)＋eq\f(352－x,10）×eq\f(252－x，10)＝eq\f(1，18)x2＋eq\f(3,50）（52－x)2,S′＝eq\f（1,9）x－eq\f(3，25)(52－x）,令S′＝0，解得x＝27。則另一段為52－27＝25（cm）．此時(shí)Smin＝78cm2。5．(1）T＝eq\f(2564x－x2，x＋8）（2)16件(1）由題意知，每日生產(chǎn)的次品數(shù)為px件，正品數(shù)為（1－p）x件，∴T＝200(1－p)x－100px＝200x－300px＝200x－eq\f(900x2,4x＋32)