數(shù)學(xué)學(xué)案：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修1-1第三章3。2。3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則能利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求較簡(jiǎn)單初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．初等函數(shù)由__________經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合構(gòu)成初等函數(shù)．不要求對(duì)由基本初等函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成的初等函數(shù)求導(dǎo)，即不要求對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)．【做一做1】下列函數(shù)不是初等函數(shù)的為（）A．y＝cB．y＝x2C．y＝xsinxD．y＝eq\f(1，x）2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則設(shè)f（x)，g(x）是可導(dǎo)的，則（1）函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：［f(x)±g(x)］′＝__________。即兩個(gè)函數(shù)的和(或差）的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)________．這個(gè)法則可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和(或差),即（f1±f2±…±fn)′＝f1′±f2′±…±fn′?！咀鲆蛔?】函數(shù)y＝x5＋x的導(dǎo)數(shù)為__________．(2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：［f（x）g（x）］′＝__________.即兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于________個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘上________個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【做一做3】[Cf（x）]′＝__________。(其中C為常數(shù)，f（x）可導(dǎo)）［Cf（x)]′＝Cf′（x）．此式可表述為：常數(shù)與函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則:eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（fx,gx)）)′＝____________（其中g(shù)(x)≠0)．【做一做4】eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(1，gx））)′＝__________.(其中g(shù)（x)可導(dǎo)且g（x)≠0)1．對(duì)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的理解．剖析：（1)若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),則它們的和、差、積、商必可導(dǎo)．這是因?yàn)楣街械拿總€(gè)函數(shù)要求在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，所以在其公共定義域內(nèi)可導(dǎo)，即在它們的和、差、積、商的定義域內(nèi)可導(dǎo)．例如，f(x）＝log3x＋x2,函數(shù)f（x)是h(x)＝log3x與g（x)＝x2的和，h(x）在其定義域(0,＋∞）內(nèi)可導(dǎo)，g（x)在其定義域R內(nèi)可導(dǎo)，則f(x）在其定義域(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)．(2)兩個(gè)函數(shù)不可導(dǎo)，但它們的和、差、積、商（分母不為零)可能可導(dǎo)．例如，設(shè)f（x)＝sinx＋eq\f（1，x)，g（x）＝cosx－eq\f(1，x)，則f(x），g(x）在x＝0處不可導(dǎo)，但它們的和f（x)＋g(x）＝sinx＋cosx在x＝0處可導(dǎo)．2．如何運(yùn)用運(yùn)算法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？剖析：要求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式．再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)．在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)．對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危?y＝cos2x，此函數(shù)不是基本初等函數(shù)也不具備求導(dǎo)法則的結(jié)構(gòu)形式，可對(duì)其進(jìn)行變形為y＝cos2x＝2sinxcosx,然后用積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)．題型一應(yīng)用求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1)y＝x4＋3x3－2x－5；(2)y＝xlog3x；（3）y＝eq\f(sinx,x);(4)y＝x－sineq\f（x，2）coseq\f（x，2）.分析：對(duì)于前三個(gè)函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過加減乘除四則運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)可直接運(yùn)用求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)．對(duì)于函數(shù)(4）不符合求導(dǎo)法則的公式結(jié)構(gòu)形式,先將其解析式運(yùn)用三角恒等變形公式進(jìn)行適當(dāng)變形，然后選用相應(yīng)的法則，結(jié)合求導(dǎo)公式求導(dǎo)．反思：運(yùn)用求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)的基本步驟:(1)分析所給函數(shù)y＝f(x）的結(jié)構(gòu)和特征，對(duì)于不符合求導(dǎo)法則公式結(jié)構(gòu)形式的可適當(dāng)進(jìn)行變形．(2）選擇恰當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)．(3)整理后得結(jié)果．題型二求曲線的切線【例2】(2010·天津高考）已知函數(shù)f（x）＝ax3－eq\f(3，2）x2＋1（x∈R)，其中a＝1.求曲線y＝f(x)在點(diǎn)（2，f（2))處的切線方程．分析：利用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則求出f′（2），再用點(diǎn)（2,f(2))在曲線上求得f(2)，即可求切線方程．反思：能夠利用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則準(zhǔn)確地對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)是解決問題的關(guān)鍵，因此要熟記導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則．【例3】(2010·陜西高考）已知函數(shù)f（x)＝eq\r（x)，g(x）＝alnx,a∈R。若曲線y＝f(x)與曲線y＝g（x)相交且在交點(diǎn)處有相同的切線,求a的值及該切線的方程．分析：利用交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式和兩曲線在交點(diǎn)處切線相同得到兩個(gè)方程，聯(lián)立，解得a＝eq\f(e，2)，x＝e2。進(jìn)一步可求切線方程．反思：在不知道切點(diǎn)的情況下,求切線方程時(shí)一般地先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),運(yùn)用已知條件列方程或方程組求切點(diǎn)坐標(biāo),然后求切線方程．1下列運(yùn)算正確的是（）A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x）′B．（sinx－2x2)′＝（sinx）′－(2)′(x2）′C．(cosxsinx)′＝(sinx）′cosx＋（cosx)′cosxD．［（3＋x2）(2－x3）］′＝2x(2－x3）＋3x2(3＋x2)2函數(shù)y＝x＋eq\f（1，x)的導(dǎo)數(shù)是（）A．1－eq\f(1，x2）B．1－eq\f(1,x）C．1＋eq\f(1,x2)D．1＋eq\f（1，x）3f(x）＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1）＝4，則a的值等于()A．eq\f（19，3）B．eq\f（16，3)C．eq\f（13,3)D．eq\f（10,3)4（2010·全國(guó)卷)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(）A．a(chǎn)＝1，b＝1B．a(chǎn)＝－1,b＝C．a(chǎn)＝1,b＝－1D．a(chǎn)＝－1，b＝－15若曲線f(x）＝ax5＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．基本初等函數(shù)【做一做1】C2．(1)f′(x)±g′（x)和（或差）【做一做2】y′＝5x4＋1（2)f′(x)g（x)＋f(x)g′(x)第一第二【做一做3】Cf′(x)Cf（x）是常數(shù)函數(shù)y＝C與函數(shù)f(x)的積，可直接應(yīng)用積的求導(dǎo)公式求解．［Cf（x)］′＝C′f(x）＋Cf′(x）＝Cf′（x),即[Cf（x)]′＝Cf′（x）．（3）eq\f(gxf′x－fxg′x，g2x）【做一做4】－eq\f（g′x，g2x)函數(shù)eq\f（1,gx)可以看成是常數(shù)函數(shù)y＝1與函數(shù)g(x)的商,可直接應(yīng)用商的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)．eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(1，gx)））′＝eq\f(gx×1′－1×g′x,g2x)＝eq\f（gx×0－g′x，g2x)＝－eq\f(g′x，g2x）.典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：（1）y′＝(x4＋3x3－2x－5)′＝(x4)′＋（3x3）′－(2x)′－5′＝4x3＋9x2－2.（2)y′＝(xlog3x）′＝x′log3x＋x(log3x)′＝log3x＋eq\f（x,xln3）＝log3x＋eq\f(1,ln3）。(3）y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（sinx,x）))′＝eq\f（xsinx′－x′sinx,x2)＝eq\f（xcosx－sinx，x2）。(4）先化簡(jiǎn)原式y(tǒng)＝x－sineq\f(x，2）coseq\f（x,2)＝x－eq\f(1，2）sinx,故y′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2）sinx)）′＝x′－eq\f(1，2）(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.【例2】解：∵a＝1，∴f（x）＝x3－eq\f(3,2)x2＋1,f（2）＝3，f′(x)＝3x2－3x,f′（2)＝6?！嗲€y＝f（x）在點(diǎn)（2，f(2))處的切線方程為y－3＝6（x－2），即y＝6x－9.【例3】解：f′（x）＝eq\f（1,2\r（x）），g′(x）＝eq\f(a，x)（x＞0)，由已知得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\r（x)＝alnx，,\f（1,2\r（x)）＝\f(a，x)，)）解得a＝eq\f(e，2)，x＝e2，∴兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2，e）．切線的斜率為k＝f′(e2)＝eq\f（1,2e），∴切線的方程為y－e＝eq\f(1,2e）(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.隨堂練習(xí)·鞏固1．A2．Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,x））)′＝(x)′＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，x）))′＝1－eq\f(1,x2）.3．Df′(x）＝3ax2＋6x，f′（－1）＝3a－6＝4，a＝eq\f(10，