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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精§5離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.通過實(shí)例,理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值的概念,能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值.2.通過實(shí)例,理解取有限值的離散型隨機(jī)變量方差的概念,能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差。重點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望),離散型隨機(jī)變量的方差.難點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望),離散型隨機(jī)變量的方差的求法。1.離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為a1,a2,…,ar,取ai的概率為pi(i=1,2,…,r),即X的分布列為P(X=ai)=pi(i=1,2,…,r).X的均值為:a1P(X=a1)+a2P(X=a2)+…+arP(X=ar)=a1p1+a2p2+…+arpr,即隨機(jī)變量X的取值ai乘上取值為ai的概率P(X=ai)再求和.X的均值也稱作X的數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望),它是一個(gè)數(shù),記為EX,即EX=a1p1+a2p2+…+arpr.均值EX刻畫的是X取值的“中心位置".兩點(diǎn)分布的均值為p,二項(xiàng)分布的均值為p(1-p).預(yù)習(xí)交流1離散型隨機(jī)變量的均值一定是在試驗(yàn)中出現(xiàn)概率最大的值嗎?提示:不一定,如X01P0.50.5,EX=0.5,在試驗(yàn)中不能出現(xiàn),均值刻畫的是X取值的“中心位置”.2.離散型隨機(jī)變量的方差一般地,設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,我們用E(X-EX)2來衡量X與EX的平均偏離程度,E(X-EX)2是(X-EX)2的期望,并稱之為隨機(jī)變量X的方差,記為DX.方差越小,則隨機(jī)變量的取值就越集中在均值周圍,反之,方差越大,則隨機(jī)變量的取值就越分散,兩點(diǎn)分布的方差為p(1-p),二項(xiàng)分布的方差為npq。預(yù)習(xí)交流2隨機(jī)變量的方差與樣本方差有何聯(lián)系和區(qū)別?提示:隨機(jī)變量的方差是常數(shù),樣本方差是隨機(jī)變量,對(duì)于簡(jiǎn)單的隨機(jī)樣本,隨著樣本容量的增加,樣本方差越接近于總體方差.一、離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6。(1)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)X的期望;(2)求重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)Y的期望.思路分析:(1)X只能取0,1這兩個(gè)值,列出分布列再求期望;(2)Y~B(5,0.6)利用公式進(jìn)行求解.解:(1)投籃一次,命中次數(shù)X的分布列為X01P0.40。6,則EX=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(5,0。6),則EY=np=5×0。6=3。在添加劑的搭配使用中,為了找到最佳的配方方案,需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較.在試制某種牙膏新品種時(shí),需要選用不同的添加劑.現(xiàn)有芳香度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用.根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)學(xué)原理,通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn).用X表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和.(1)寫出X的分布列;(2)求X的數(shù)學(xué)期望EX.解:(1)X的分布列為:X123456789Peq\f(1,15)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)eq\f(1,15)(2)由EX的定義得:EX=(1+2+8+9)×eq\f(1,15)+(3+4+6+7)×eq\f(2,15)+5×eq\f(1,5)=5.求離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)一般分為兩個(gè)步驟:(1)列出離散型隨機(jī)變量的分布列;(2)利用公式求出均值(數(shù)學(xué)期望).二、離散型隨機(jī)變量的方差甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為X,Y,X和Y的分布列如下:X012Peq\f(6,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.思路分析:對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較:一是比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下生產(chǎn)出次品數(shù)的平均值,即期望;二是看次品數(shù)的波動(dòng)情況,即方差的大?。猓汗と思咨a(chǎn)出次品數(shù)X的期望和方差分別為:EX=0×eq\f(6,10)+1×eq\f(1,10)+2×eq\f(3,10)=0。7,DX=(0-0。7)2×eq\f(6,10)+(1-0.7)2×eq\f(1,10)+(2-0.7)2×eq\f(3,10)=0。81;工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的期望和方差分別為:EY=0×eq\f(5,10)+1×eq\f(3,10)+2×eq\f(2,10)=0.7,DY=(0-0.7)2×eq\f(5,10)+(1-0。7)2×eq\f(3,10)+(2-0。7)2×eq\f(2,10)=0.61。易得,EX=EY,所以兩人生產(chǎn)出次品數(shù)的均值相同,技術(shù)水平相當(dāng),但DX>DY,可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.已知X的分布列為:X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(1)求DX;(2)設(shè)Y=2X-EX,求DY.解:(1)∵EX=0×eq\f(1,3)+10×eq\f(2,5)+20×eq\f(1,15)+50×eq\f(2,15)+60×eq\f(1,15)=16,∴DX=(0-16)2×eq\f(1,3)+(10-16)2×eq\f(2,5)+(20-16)2×eq\f(1,15)+(50-16)2×eq\f(2,15)+(60-16)2×eq\f(1,15)=384。(2)∵Y=2X-EX,∴Y的分布列為:Y-1642484104Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)∴EY=-16×eq\f(1,3)+4×eq\f(2,5)+24×eq\f(1,15)+84×eq\f(2,15)+104×eq\f(1,15)=16,∴DY=(-16-16)2×eq\f(1,3)+(4-16)2×eq\f(2,5)+(24-16)2×eq\f(1,15)+(84-16)2×eq\f(2,15)+(104-16)2×eq\f(1,15)=1536。已知分布列求離散型隨機(jī)變量的方差時(shí),首先計(jì)算數(shù)學(xué)期望,然后代入方差公式DX=E(X-EX)2求方差,在實(shí)際問題中方差反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與波動(dòng)情況,在均值相等或相差不大的情況下,方差越小,說明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定,波動(dòng)情況越?。?.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=eq\f(1,4)(k=1,2,3,4),則EX=().A.eq\f(5,2) B.3.5 C.0。25 D.2答案:A解析:EX=1×eq\f(1,4)+2×eq\f(1,4)+3×eq\f(1,4)+4×eq\f(1,4)=eq\f(5,2).2.一批產(chǎn)品中次品率為eq\f(1,3),現(xiàn)在連續(xù)抽查4次,用X表示次品數(shù),則DX=().A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3) C.eq\f(8,9) D.eq\f(1,9)答案:C解析:∵X~B(4,eq\f(1,3)),∴DX=np(1-p)=4×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(8,9)。3.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),且EX=1。6,DX=1.28,則().A.n=4,p=0.4 B.n=8,p=0。2 C.n=5,p=0。32 D.n=7,p=答案:B解析:∵X~B(n,p),∴EX=np,DX=np(1-p).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np=1.6,,np(1-p)=1。28,))解得n=8,p=0。2.4.若隨機(jī)變量X的分布列如表:X01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10)若EX=1.1,則DX=______。答案:0。49解析:由eq\f(1,5)+p+eq\f(3,10)=1,得p=eq\f(1,2).∴EX=0×eq\f(1,5)+1×eq\f(1,2)+x×eq\f(3,10)=1.1,解得x=2?!郉X=(0-1.1)2×eq\f(1,5)+(1-1。1)2×eq\f(1,2)+(2-1。1)2×eq\f(3,10)=0。49。5.海關(guān)大樓頂端鑲有A,B兩面大鐘,它們的日走時(shí)誤差分別為X1,X2(單位:s),其分布列為:X1-2-1012P0.050。050。80。050。05X2-2-1012P0.10。20。40。20。1根據(jù)這兩面大鐘日走時(shí)誤
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