2020高考真題匯編8：數(shù)列(文)

第頁2020高考真題匯編8：數(shù)列一、選擇題1．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】設(shè)是等比數(shù)列，且，，則()A．12B．24C．30D．322．【2020年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=()A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–13．【2020年高考北京】在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列()A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項4．【2020年高考浙江】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是()A．B．C．D．二、填空題5．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】數(shù)列滿足，前16項和為540，則.6．【2020年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1=?2，a2+a6=2，則S10=__________．7．【2020年高考浙江】我國古代數(shù)學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列．數(shù)列的前3項和是_______．8．【2020年高考江蘇】設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是________．9．【2020年新高考全國Ⅰ卷】將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．三、解答題10．【2020年新高考全國Ⅰ卷】已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．11．【2020年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項和．若，求m．12．【2020年高考浙江】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足．（Ⅰ）若{bn}為等比數(shù)列，公比，且，求q的值及數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若{bn}為等差數(shù)列，公差，證明：．13．【2020年高考天津】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．14．【2020年高考北京】已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.15．【2020年高考江蘇】已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

參考答案1．答案：D解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.2．答案：B解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.3．答案：B解析：由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B．4．答案：D解析：對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，B正確；對于C，，當時，，C正確；對于D，，，．當時，，∴即；當時，，∴即，所以，D不正確．故選：D.5．答案：解析：，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.設(shè)數(shù)列的前項和為，，.故答案為：.6．答案：解析：是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：可得：.故答案為：.7．答案：解析：因為，所以．即．故答案為：.8．答案：解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項和公式為，等比數(shù)列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.故答案為：.9．答案：解析：因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：.10．解析：（1）設(shè)的公比為．由題設(shè)得，．解得（舍去），．由題設(shè)得．所以的通項公式為．（2）由題設(shè)及（1）知，且當時，．所以．11．解析：（1）設(shè)的公比為，則.由已知得，解得.所以的通項公式為.（2）由（1）知故由得，即.解得（舍去），.12．解析：（Ⅰ）由得，解得．由得．由得．（Ⅱ）由得，所以，由，得，因此．13．解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得，從而的通項公式為．由，又，可得，解得，從而的通項公式為．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，故，，從而，所以．（Ⅲ）解：當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，．對任意的正整數(shù)，有，和．①由①得．②由①②得，從而得．因此，．所以，數(shù)列的前項和為．14．解析：(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；(Ⅱ)具有性質(zhì)①；具有性質(zhì)②；(Ⅲ)【解法一】首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負項，設(shè)，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由①知存在實數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.其次，證明：利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，最后，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列的前項成等比數(shù)列，不妨設(shè)，其中，（情況類似）由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.【解法二】假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當數(shù)列中的項數(shù)均為負數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負，不會同時出現(xiàn)正數(shù)和負數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.15．解析：（1）因為等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，也即，此式對一切正整數(shù)n均成立．若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾．所以．（此時，任意首項為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）（2）因為數(shù)列是“”數(shù)列，所以，即．因為，所以，則．令，則，即．解得，即，也即，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．因為，所以．則（3）設(shè)各項非負的數(shù)列為“”數(shù)列，則，即．因為，而，所以，則．令，則，即．（*）①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）②若，則（*）化為，因為，所以，則（*）只有一