山西省長(zhǎng)治市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

山西省長(zhǎng)治市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為（）A.16 B.18C.20 D.222．定義在R上的函數(shù)與函數(shù)在上具有相同的單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.4．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是A. B.C D.6．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓所截得的弦最短時(shí)的直線的方程為（）A. B.C. D.7．過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.8．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.9．已知對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點(diǎn)，使，則雙曲線的焦點(diǎn)（）A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時(shí)在軸上 D.當(dāng)時(shí)在軸上10．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.12．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某圓錐的高為4，體積為，則其側(cè)面積為_(kāi)_______14．如圖是用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為_(kāi)_____.15．將數(shù)列{n}按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，則第22組中的第一個(gè)數(shù)是_________16．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列中，，，(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）給出以下三個(gè)條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并完成作答．若選擇多個(gè)條件分別作答，以第一個(gè)作答計(jì)分已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，______（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知直線，圓.（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；（2）若直線l的傾斜角為，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng).20．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.22．（10分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)斜率為的直線與圓C相交于M，N，兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因?yàn)橹本€分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)，則，因?yàn)?，所以三角形OAB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以?xún)?nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因?yàn)楸硎緝?nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.2、B【解析】判定函數(shù)單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性列式計(jì)算作答.【詳解】由函數(shù)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則在R上單調(diào)遞減，于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，，即，而在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，所以k的取值范圍是.故選：B3、B【解析】求出圓、的圓心和半徑，再由兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，因圓、沒(méi)有公共點(diǎn)，則有或，即或，又，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B4、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B5、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，并得出，然后分別在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，由于函?shù)為上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得.綜上所述，使得成立的的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.6、C【解析】當(dāng)是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長(zhǎng)最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)被圓所截得的弦最短，此時(shí)，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，掌握垂徑定理是求解圓弦長(zhǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵7、B【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.8、C【解析】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長(zhǎng)與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.9、B【解析】設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用，求解時(shí)要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn)，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力10、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A11、A【解析】先由求出的值，進(jìn)而可得的解析式，對(duì)求導(dǎo)，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù)，符合題意，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.12、D【解析】由已知設(shè)拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)拋物線方程為，則，得，所以?huà)佄锞€方程為，故選：D，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由圓錐的體積V＝πr2h，可解得r的值，再由勾股定理求得圓錐的母線長(zhǎng)l，而側(cè)面積S＝πrl，代入數(shù)據(jù)即可得解【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，圓錐的體積V＝πr2h＝πr2×4＝12π，解得r＝3∴圓錐母線長(zhǎng)l＝＝5，∴側(cè)面積S＝πrl＝15π故答案為：15π【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積的計(jì)算，理解圓錐的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關(guān)系可求出，進(jìn)而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.15、【解析】由已知，第組中最后一個(gè)數(shù)即為前組數(shù)的個(gè)數(shù)和，由此可求得第21組的最后一個(gè)數(shù)，從而就可得第22組的第一個(gè)數(shù).【詳解】由條件可知，第21組的最后一個(gè)數(shù)為，所以第22組的第1個(gè)數(shù)為.故答案為：16、【解析】由空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到軸的距離為計(jì)算可得【詳解】解：空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）略（2）【解析】（1）題中條件，而要證明的是數(shù)列是等差數(shù)列，因此需將條件中所給的的遞推公式轉(zhuǎn)化為的遞推公式：，從而，，進(jìn)而得證；（2）由（1）可得，，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，故可考慮采用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和，即有：①，①得：②，②-①得.試題解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴則是為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.18、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選②，則根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選③，則根據(jù)，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d選擇①，由題意得，又，則，所以；選擇②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，或（舍去），所以；選擇③，由，得，解得，所以【小問(wèn)2詳解】由題意知，∴①②①－②得∴，即.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）直線方程變形后令的系數(shù)等于0消去參數(shù)即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).（2）先求出圓心C到直線l距離，然后用勾股定理即可求得弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】，聯(lián)立得：即直線l過(guò)定點(diǎn)（.【小問(wèn)2詳解】由題意直線l的斜率，即，∴，圓，圓心，半徑，圓心C到直線l的距離，所以直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為.20、（1）（2）【解析】（1）首先分別求出、為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再由為真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依題意是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，即可得到不等式組，解得即可；【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，解得，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，即，解得：，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為因，所以，即；【小問(wèn)2詳解】解：由，即，所以，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，則，解得；21、（1）（2），【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷f(x)的單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)性即可求最大值和最小值.【小問(wèn)1詳解】，切點(diǎn)為(1，－2)，∵，∴切線斜率，切線方程為；【小問(wèn)2詳解】令，解得，1200極大值極小值2∵，，