湖南省郴州市第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

湖南省郴州市第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.2．設(shè)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.C. D.93．已知函數(shù)，那么的值為（）A. B.C. D.4．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離5．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.（0,2） B.（0,1）C.（2,0） D.（1,0）6．若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.7．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.58．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.9．已知，若與的展開式中的常數(shù)項(xiàng)相等，則（）A.1 B.3C.6 D.910．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，過點(diǎn)作軸的垂線與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.11．閱讀如圖所示程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于（）A.2 B.6C.14 D.3012．已知數(shù)列{}滿足，且，若，則＝（）A.－8 B.－11C.8 D.11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________14．圓和圓的公切線的條數(shù)為______15．在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和記作，若，則______16．已知直線過點(diǎn)，，且是直線的一個(gè)方向向量，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．（12分）甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)某一目標(biāo)射擊，已知甲、乙能擊中的概率分別為，求：（1）甲、乙恰好有一人擊中的概率；（2）目標(biāo)被擊中的概率19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，，，對(duì)任意的正數(shù)，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由.20．（12分）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?21．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長都是，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值22．（10分）已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解2、B【解析】由雙曲線的的定義可得，于是將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，由得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的由焦點(diǎn)為，且點(diǎn)A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào).故選：B3、D【解析】直接求導(dǎo)，代入計(jì)算即可.【詳解】，故.故選：D.4、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.5、D【解析】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是我們要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握6、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點(diǎn)平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D7、C【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析求解.【詳解】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分區(qū)域，由得，它表示斜率為縱截距為的直線系，當(dāng)直線平移到點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，最大.聯(lián)立直線方程得得.所以.故選：C8、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，依題意即過切點(diǎn)的切線恰好與直線平行，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最小，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是；故選：D9、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求出【詳解】的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，而的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，所以，又，所以故選：B10、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A11、C【解析】模擬運(yùn)行程序，直到得出輸出的S的值.【詳解】運(yùn)行程序框圖，，，；，，；，，；，輸出.故選：C12、C【解析】利用遞推關(guān)系，結(jié)合取值，求得即可.【詳解】因?yàn)?，且，，故可得，解得（舍?；同理求得，，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】解：由在數(shù)列中，若，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.14、3【解析】判斷出兩個(gè)圓的位置關(guān)系，由此確定公切線的條數(shù).內(nèi)含關(guān)系0條公切線，內(nèi)切關(guān)系1條公切線，相交關(guān)系2條公切線，外切關(guān)系3條公切線，外離關(guān)系4條公切線?！驹斀狻坑深}知圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，所以，，所以兩圓外切，所以兩圓共有3條公切線.故答案為：315、16【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)以及通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以；故答案為?6、【解析】由題得，解方程組即得解.【詳解】解：由題得，因?yàn)槭侵本€的一個(gè)方向向量，所以，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；（2）分和兩種情況分析求解，當(dāng)時(shí)，不等式變形為在，上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解的最小值，即可得到答案【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無極大值.【小問2詳解】因?yàn)樵谏嫌薪?，所以在上有解，?dāng)時(shí)，不等式成立，此時(shí)，當(dāng)時(shí)在上有解，令，則由（1）知時(shí)，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題或有解問題的策略為：通常構(gòu)造新函數(shù)或參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值從而求得參數(shù)的取值范圍18、（1）；（2）.【解析】（1）分為甲擊中且乙沒有擊中，和乙擊中且甲沒有擊中兩種情況，進(jìn)而根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求得答案；（2）先考慮甲乙都沒有擊中，進(jìn)而根據(jù)對(duì)立事件概率公式和獨(dú)立事件概率公式求得答案.【小問1詳解】設(shè)甲、乙分別擊中目標(biāo)為事件，，易知，相互獨(dú)立且，，甲、乙恰好有一人擊中的概率為.【小問2詳解】目標(biāo)被擊中的概率為.19、（1）極小值為：，無極大值（2），，【解析】（1）先求導(dǎo)求單調(diào)性，再判斷極值點(diǎn)求極值即可；（2）易知，只需要為函數(shù)和的公切線即可，求出公切線，代入后分別證明和成立即可.【小問1詳解】由題意知：，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，即極小值為：，無極大值.【小問2詳解】設(shè)，易知，所以點(diǎn)是和的公共點(diǎn)，要使成立，只需要為函數(shù)和的公切線即可，由（1）知，，所以在點(diǎn)處的切線為：，同理可得在點(diǎn)處的切線為：，由題意知為同一條直線，所以解得，即等價(jià)于；下面證明這個(gè)式子成立：首先證明等價(jià)于，設(shè)，所以，恒成立，所以單調(diào)遞增，易知，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，故不等式成立，即成立；再證明：等價(jià)于，設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，故不等式成立，即成立；綜上所述，存在，，使得成立.故：，，.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.20、（1）甲分廠加工出來的級(jí)品的概率為，乙分廠加工出來的級(jí)品的概率為；（2）選甲分廠，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出；（2）根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇【詳解】（1）由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為，乙廠加工出來的一件產(chǎn)品為級(jí)品的概率為；（2）甲分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以甲分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件；乙分廠加工件產(chǎn)品的總利潤為元，所以乙分廠加工件產(chǎn)品的平均利潤為元每件故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù)【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，由平面幾何得，再根據(jù)線面平行的判定可得證；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得結(jié)果.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接交于，連接，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面；【小問2詳解】平面，，