福建省華安縣某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊開學(xué)模擬考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年度開學(xué)模擬考試

高三數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（每題8分）

1.設(shè)集合"窗/"},，={x|2x<a},若/U8=N,則“的取值范圍是（）

A.（fTB.ST

C[1，+8）D.[4,+°°）

2+i

z-

2.若復(fù)數(shù)加T的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

3已知X~N（〃,〃），且尸（X>3+f）=尸（X<3_）=0.2,則尸（3-<X<3）=（

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

￡b=[^\c=l0glicos1

4.若。=22,,I§,則()

A.a>b>cB.b>a>cQa>c>bD.b>c>a

22

5+4=1（。>6>0）

5.橢圓。b2的短軸長是2,長軸是短軸的2倍，那么橢圓的右焦點(diǎn)到直線

c的距離是（）

3」26

A.E

B.3C.3

勿一口儂。）71

f(x)=sin3

X——且/G）在（0,兀）上恰有兩個

6.已知函數(shù)在6處取得最值,

極值點(diǎn)，則。=()

A.4B.10C.-2D.-8

7.已知雙曲線府=1缶>°力>°）,若一過焦點(diǎn)廠的斜率％=2近的直線與雙曲線交

于/、8兩點(diǎn)（/、8在同一支上），且滿足萬=3而，則雙曲線的離心率e=（）

33a3G2A/3

A.2B.丁c.FD.3

8.王，工2為函數(shù)/（x）=|bg，M-3的兩個零點(diǎn)，其中網(wǎng)<9，則下列說法錯誤的是（）

A.X1X2=1B玉+工2>2

C.巧+以2的最小值為4D.4再+々的最小值為4

二、多選題（每題6分）

9.設(shè)."｝是首項為多，公差為"的等差數(shù)列；｛2｝是首項為4，公比為q的等比數(shù)列.已

知數(shù)歹[]｛%+"｝的前〃項和S，="_"+2"T,〃eN*,則（）

A.%=-2B.

Cd+q=4D."=1

10.已知△“SC內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,外接圓半徑為R.若。=1,且

sin/-6sinB=(c+b)sinC則()

sin3

A.2B.△N3C面積的最大值為4

cT

D.8c邊上的高的最大值為6

11.如圖，在棱長為2的正方體/BC。-4qG2中，E為BC的中點(diǎn)，若一點(diǎn)尸在底面

N8CO內(nèi)（包括邊界）移動，且滿足與尸則（）

￡

A.0也與平面CCQQ的夾角的正弦值為3

4^/2

B.4點(diǎn)到QE的距離為3

C.線段男尸的長度的最大值為2亞

一_

D.方與近的數(shù)量積的范圍是15,-

第II卷（非選擇題）

三、填空題每題5分

G+2Y

12.<"的展開式中一項的系數(shù)是.

13.已知若2x+y+孫=7,則x+2了的最小值為

14.已知正方形尸QRS的邊長為2拒，兩個不同的點(diǎn)n,8都在直線。S的同側(cè)（但N,B

與尸在直線0s的異側(cè)），A,3關(guān)于直線尸R對稱，若苒?麗=0,貝心尸公面積的取值范圍

是.

四、解答題(1315151717=77分)

15.如圖，已知四棱錐S-48C。中，S/L平面/BCD,ZCDA=ZDCB=90°,

BC=2AD=2CD=4

（1）求證：平面"C,平面S4B；

V6

⑵若平面WB與平面SCO所成角的余弦值為6,求線段”的長.

2

f,.=x-+x+a

16.已知x=T是函數(shù)e工的極小值點(diǎn).

⑴求/G）的單調(diào)性；

⑵討論/（X）在區(qū)間"十⑸的最大值.

17.拋物線「「=2"（。＞°）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M（1,-2）,焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且傾斜角為。的

直線/與拋物線「交于點(diǎn)A,B,如圖.

(1)求拋物線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵當(dāng)3時，求弦|4用的長；

⑶己知點(diǎn)尸(2，°),直線力尸，8P分別與拋物線「交于點(diǎn)C,D.證明：直線CD過定點(diǎn).

18.口袋中共有7個質(zhì)地和大小均相同的小球，其中4個是黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式

每次從口袋中隨機(jī)抽取一個小球，直到將4個黑球全部取出時停止.

⑴記總的抽取次數(shù)為X,求E(X)；

(2)現(xiàn)對方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個球分裝在甲乙兩個口袋中，甲袋裝3個小球，其中2個是

黑球；乙袋裝4個小球，其中2個是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個

小球，當(dāng)甲袋的2個黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋的2

個黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為匕求并從實(shí)際意義解釋

E(y)與(1)中的E(X)的大小關(guān)系.

19.設(shè)任意一個無窮數(shù)列w｝的前〃項之積為九若V〃eN*,則稱包｝是7數(shù)

列.

⑴若｛“"｝是首項為-2,公差為1的等差數(shù)列，請判斷｛“/是否為T數(shù)列？并說明理由；

⑵證明：若｛"」的通項公式為則｛與｝不是T數(shù)列；

(3)設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項%=5,公比為4(4>0),若｛%｝是T數(shù)列，求"的值.

參考答案:

1.A【詳解】，=(-8，-2卜[2,+8),'[°0司;由=4可以推出所以

_2+i_(m+i)(2+i)_2加-1+(加+21

Z==二2

2.D【詳解】由題意可得m-[(加+i)(m-i)機(jī)+1,

2/w-l_m+2

故蘇+1m2+1,解得加=3,故選：D

3+Z+3—/

3.B【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，由尸。>3+。=尸得“—-4

再由總體密度曲線，數(shù)形結(jié)合知：P*T<X<3)=0.3.故選：B.

八兀,,冗人兀3o

0<cos—<1則c=log］COS/<0又0=25>23=S)=20>2.828

4.A【詳解】由5

0<6=但］<［四］=1.62=2.56

且<2>,所以。>6>J故選：A.

22

5+4=1(〃>6>0)

5.D【詳解】橢圓。一b2的短軸長是2,長軸是短軸的2倍

\2b=2Ja=2

則12。=必,解得〔6=1因為‘2=/一/可得c=g=g所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為°)直線

a

x--4_4G46_百_G

方程為。百3所以右焦點(diǎn)到直線的距離為亍一一行故選:D

6.C【詳解】由題意可知，6V2,ksZ,

?！肛Ｘ！?/p>

COX--G---,(DTI---

解得。=6左+4,左eZ,當(dāng)。>0時，由％6(0,兀)，得6166人

3兀兀5兀58

——<(DU--<———<CD<—

由題意，得262,解得33,所以。不存在，

71(兀兀、

COX——GCDTI——,——

當(dāng)。<0時，由xe(0,7T),得6<66人由題意，

5兀―7i3TI7z4

---COTI-----<---------------

得262,解得33,所以。=-2.故選：c.

7.A【詳解】假設(shè)尸為右焦點(diǎn)，

/「

靛下=1

=在V2

根據(jù)題意，設(shè)直線方程為"一4'+C,/（占，%），86/2）,由x=y+c

4，消X得到

-b2-a2)y2+—b2cy+b4=0

812,易知A>0,由韋達(dá)定理得

2

M+%------，%%=

-b2-a2-b2-a2

88又因為N=3而，所以（。一%,-%）=3（工2_。,力），得

_2__

%%=%2_/2?2c66b2c

至將必二一3%代入8~a,得到％=F二百'"=一盧卡,

b4

2而-6后2c必%=~-

招=-o---7?V1=-----7—b-Cl、'、

將b—Sab—Sa代入8,得到3c=8a—b,

_c_3

又2,所以4c2=9/,得到e_q_5,故選：A.

8.C【詳解】函數(shù)/（"）=設(shè)8“*卜3的定義域為（0,+8）,。＞0且awl,

由"x）=。，得|log.x卜3,因此直線片3與函數(shù)V=|log“x|的圖象有兩個公共點(diǎn),

其橫坐標(biāo)為占，%,。比1大還是小對的圖象沒有影響，可令。＞1,

而當(dāng)0＜x＜］時，V=T°g.x遞減，當(dāng)x＞l時，V=l°g°X遞增，于是0＜玉＜1＜%

對于A,由ggaxJ=|l°g"X2|,得一10g“網(wǎng)=log,％,即XR=1,A正確；

11

玉+%2=X2V=XH——

對于B,%,而函數(shù)x在（1,+8）上單調(diào)遞增，

X]+工2=F工？>2

因此*2,B正確；

1.1

X\+4A%2=h4工2y=4x+—

對于C,%,函數(shù)%在(L+8)上單調(diào)遞增,

，1/u

%+4%2=--F4^2〉5

因此3,C錯誤；

4西+9=1+x2>4

對于D,,當(dāng)且僅當(dāng)“2=2時取等號，D正確.

故選：c.

?_?(?-!)..d2[d}

Sn=H----------d+Yiby——YI+[%+/?[——In

9.BC,不合題意;

+正為+々（力

1-dd+紅

S”==5"-2+的一萬

當(dāng)"i時,2i-q21一9

r1

%一5二一1

_A=i

i-q

4=i

2

■.■Sn=n-n+2"-l.l-g,.?嗎=0,d=2,4=1,q=2,

所以"+g=4,故選:BC.

【詳解】在A/BC中，由sin/-6sinB=(c+6)sinC

10.AD得a-b2=c2+bc,

.b2+c2—a212兀

T999cosA=--------------=—A=—

而"1,則。=b+c+bc9由余弦定理得2bc2,而0<4<兀，解得3,

.A百

sinA=——

對于A,2,A正確；

c1人?彳/百

o——besinA<—

79ARC-

對于B,顯然1=6+c+6cN36c,當(dāng)且僅當(dāng)6=c時取等號，“212,B

錯誤；

1a1G

KD.-----------——廣—

對于C,2sin/J33,c錯誤；

1,/e“百

.—ah—Sc\—/z<—

對于D,令8C邊上的高為力，則2ARC—12,解得6,D正確.

故選：AD

11.ABD【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，優(yōu)00分別為軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

ZA

則A（2,0,0）,E（1,2,0）,4（2,0,2）,B,（2,2,2）,D,（0,0,2）,設(shè)P（x,y,0）,x,ye[0,2]

可得率=（x_2,y_2,-2）,屏=（1,2,-2）,

若"PLQE,貝°用.9=x_2+2（y_2）+4=0,可得x=2-2y,

（0<2-2y<2

則,解得04”l,即尸（2-2%%0）”[0,1]

元.屏1_1

cos為㈤￡=

1^3-3

對于選項A：可知平面32。的法向量方=°，°，°)

則I4M

￡

所以"E與平面CG3。的夾角的正弦值為故A正確；對于選項B：因為

對于選項D：因為尸"=(2"%0),尸E=(2yT,2-y,0),則

4

方.而二2?(2尸1)_“27)=5_2

5且"[°」],可知當(dāng)'5時，蘇?麗取到

_4

最小值一^;當(dāng)時，方?麗取到最大值1；

所以再與近的數(shù)量積的范圍是15'」，故D正確；故選：ABD.

12.112

63k

Tk+l=C[(?r⑶=2"C：?x'-

【詳解】展開式的通項公式,令16-3左=10可得,

k=2

則一項的系數(shù)為2。=4x28=112.故答案為：1]2.

_7-2x

13.6拒-5［詳解］由x,yeR+,且2x+y+肛=7,可得二一x+1,

x+2y=x+2x^^-■?-3x+14

貝?。輝+1x+1設(shè)f=x+l,可得x=t-l且f>l,

x221O/1o

-3x+14Z-5Z+18=t+--5>2Jt---5=6y/2-5

可得x+1

_18__

當(dāng)且僅當(dāng)‘一7時，即f=3a時，等號成立，所以無+2^的最小值為60-5.

故答案為：6人-5.

14.(2,4)U(4,+?>)

【詳解】以尸R為x軸，QS為夕軸建系，則PT，。)，尺(2,0),

設(shè)/(x,P),B(x,-y)；且x>0,yw。，所以尸/=(x+2)),RB=(x-2,-y)

因為蘇.麗=0,所以(x+2)(x_2)_j?=0,

即A位于雙曲線/一/=%V*0)的右支上，漸近線方程為y=x^y=-xt

設(shè)點(diǎn)/到直線尸S的距離為人又直線夕與直線尸5的距離為3,點(diǎn)(2,0)到直線尸5的

距離為2亞，

則//€3,2/片@后,+?））又以〃=?PS1x〃=V^e（2,4）U（4,+co）

所以AP/S面積的取值范圍是（2,4）U（4,+8）.

故答案為：（2,4）U（4,+=O）

15.【詳解】（1）證明：設(shè)8c中點(diǎn)為￡,連接NE,如圖，

因為/。/14=/。。8=90。，且/D=CD,

故四邊形NOCE為正方形，而/C=也2+2?=2后,AE=2,AB=A/22+22=272,

所以8c+所以4814C,因為s/工平面/BCD,/Cu平面/BCD,所以

SAIAC,又",/8u平面,SAnAB=At所以/CJ_平面”8,

因為/Cu平面&4C,所以平面"CL平面X48.

（2）解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4E、4D、4S所在直線分別為無、V、z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系"小，設(shè)"=a（a>0）,則C（2,2,0）,0（0,2,0）,以2,-2,0）,

S（0,0,a）

所以防=（0,2,-“），皮=（2,0,0）,

-、

萬?SD=0（2y-az=0

設(shè)平面SCD的法向量為￡=（x，y，z）,貝=即12x=°,

令z=2,所以"=（°42）,由（］）知，平面”8的法向量為"0=（2,2,0）,

cos3=近'

設(shè)平面S/8與平面SCD所成角為6,則6,

IRM|2?|展

11國同2V2x5/o2+22+a26

解得"&或"-也（舍去），所以NS=也.

—x2+x—a+1

/'3=

16.【詳解】（1）,（X）的定義域為R,e

當(dāng)"-1時，/'（T）=e（-"1）/O,x=-l不是/（x）的極值點(diǎn).

rf（x）__X+X+2_0

當(dāng)〃=-1時，令/W=一?—二,得/=T,%=2.

/（無）在（-8,7）小于0,在區(qū)間（T2）大于o,在（2，+°°）小于°,

故/（X）在（一叫T）單調(diào)遞減，在區(qū)間（一1乂）單調(diào)遞增，在（2,+00）單調(diào)遞減，此時X=-1是

/（“）的極小值點(diǎn)，符合題意.

綜上，/卜）在（一8，一1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（T2）單調(diào)遞增，在（2，+°°）單調(diào)遞減.

（2）由（1）可知：/（*）在（-°°「1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（T2）單調(diào)遞增，在（2,+00）單調(diào)遞

減.分類討論.當(dāng)加+6WT,即加〈-J退時，"x）在區(qū)間［%，"+石］單調(diào)遞減，故最大

值為八冽）；當(dāng)t-石＜加＜-1時，/（X）在［加,-1）單調(diào)遞減，在r“+8］單調(diào)遞增，

故最大值為maxWjM孫

當(dāng)-1＜加＜2-不時，”x）在區(qū)間［%加+問單調(diào)遞增，故最大值為小+石）；

當(dāng)2-石＜加＜2時，"x）在［%,2）單調(diào)遞增，在（2,加+逐］單調(diào)遞減，故最大值為

42）=1.

當(dāng)加＞2時，“X）在區(qū)間［小+石］單調(diào)遞減，故最大值為"a）.

17.【詳解】⑴曲線/=2/圖象經(jīng)過點(diǎn)M（l,-2）,所以（-2）2=2。，所以。=2,

所以拋物線「的標(biāo)準(zhǔn)方程為r=4x.

口一兀兀W

（2）由⑴知尸（⑼，當(dāng)一3時，叱一，所以/的方程為尸例xT）,

〃=石（1）10Nb|16

聯(lián)立,彳導(dǎo)3-。7=。，則…2］,由網(wǎng)=X1+x*F,所以弦

Mg.

（3）由（1）知尸（L°）,直線的斜率不為0,設(shè)直線43的方程為欠=機(jī)y+1,

/（4乃）,。（三,%）,O（x4,y4）

Ix=my+1

聯(lián)立［y2=4x得j?_4"9一4=0,A=16W2+16>0,

因止匕%+%=4m,%%=-4.

（x=ny+2

設(shè)直線4c的方程為x=〃P+2,聯(lián)立J、?得歹2_4行_8=0,

-8

%=—

貝『?=16/+32>0,因此M+%=4",%力=-8,得必，

k_4_4_%一一1

一述8X3-X4/yl%+九及+Y2（M+%）2m

同理可得力，所以44%%.

因此直線CD的方程為x=2〃?（y-%）+x3,由對稱性知，定點(diǎn)在X軸上，令>=0得，

y2-8]1-8丫

x——2my3+七=-2加歹3—~二—2m1——

4必4（了"

=咽+為=竺3+與=4+4陞+金]=4+4.里『=4

“芳必M5y'>乂，所以，直線CD過定點(diǎn)

（4,0）

18.【詳解】（1）X可能取值為4,5,6,7,

尸(X=4)f$N=5)亳W,P(X=6)fU，(X=7)=&||

32

E（X）=4x±+5x±+6xi2+7xa￡

353535355

（2）丫可能取值為4,5,6,7,設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為刀和為，

r1C11

產(chǎn)?=4)=尸(4=2)尸0=2)=百苣=值

尸(八5)=尸(4=2)尸0=3)+/0=3)尸&=2)=1■.圣+圣.34

'-/3'^-/4'-z3^41"

產(chǎn)(1=6)=尸0=2)尸&=4)+尸。=3)尸(73)筆.旨+言.常［

'-z3^4^3'-z4