2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之銳角三角函數(shù)

選擇題（共10小題）

1.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則NA8C的正切值是（）

2.如圖，ZXABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,。是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CO+恪2。

的最小值是（）

A.2V5B.4V5C.5V3D.10

3.如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為（)

2V5

4.如圖，點(diǎn)A為Na邊上的任意一點(diǎn)，作ACLBC于點(diǎn)C,CD,42于點(diǎn)。，下列用線段比表示cosa的

B

BDBCADCD

A.—B.—C.—D.—

BCABACAC

5.小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則NA08的正弦值是（）

3V1011Vio

A.-------B.-C.一D.-----

102310

ZA=35°,則直角邊3C的長(zhǎng)是（）

mm

C.---------D.---------

sm35°cos35°

若角A,3滿足|cosA-纖(1-tanB)2=0,

7.在△ABC中,則NC的大小是（

A.45°B.60°C.75°D.105°

8.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,A8=AC,點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，OEJ_8C于點(diǎn)E,連接3。，貝Utan

NDBC的值為（）

34

9.如圖，AABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos/ABC等于（）

10.如圖，在△ABC中，AC±BC,NABC=30°，點(diǎn)。是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，5.BD^BA,則tan/ZMC

的值為（)

A

C.3+V3D.3V3

二.填空題(共5小題)

11.在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A,B,C,。都在格點(diǎn)處，A8與C。

相交于。，貝Utan/BOD的值等于.

B

1

12.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8.若NBPC=^ZBAC,貝I]tan/8PC=

13.如圖,P(12,a)在反比例函數(shù)y=苧圖象上,PH_L無(wú)軸于H,則tan/尸。”的值為

,NB=45°,AC=2?則AB的長(zhǎng)為.

,坡頂?shù)钠降谺C上有一棵小樹AB,當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線夾角成60°

時(shí)，測(cè)得小樹的在坡頂平地上的樹影BC=3米，斜坡上的樹影CD=W米,則小樹AB的高

是

三.解答題（共5小題）

16.如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°,沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰

角為45°,已知04=100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i=l：2,且。、A、8在同一條

直線上.求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度.（測(cè)傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根

號(hào)形式）

17.如圖，是△A8C的中線，tanB=cosC=芋AC=V2.求:

(1)BC的長(zhǎng);

(2)sin/AOC的值.

18.如圖,在△ABC中，ZC=150°,AC=4,tanB=

（1）求BC的長(zhǎng)；

（2）利用此圖形求tanl5°的值（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：V2~1.4,V3~1.7,V5?2.2）

19.如圖，在正方形ABCD中，M是的中點(diǎn)，BE=3AE,試求sin/ECM的值.

20.如圖，△ABC中，AD1.BC,垂足是。，若BC=14,AD=12,tanZBAD=求sinC的值.

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之銳角三角函數(shù)（2024年7月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則NA8C的正切值是（）

1

D.

2

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；勾股定理的逆定理.

【專題】壓軸題；網(wǎng)格型.

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、A8的長(zhǎng)，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案.

【解答】解：如圖:

由勾股定理，得

AC=五,AB=20,BC^V10,

...△ABC為直角三角形，

tanZJ5=第=

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、A8的長(zhǎng)，再求正切函數(shù).

2.如圖，ZXABC中，4B=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,。是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則。。+甯8。

的最小值是（）

A

A.2V5B.4V5C.5V3D.10

【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用.

【答案】B

【分析】如圖，作。于孫CM_L4B于M.由tanA=黑=2,設(shè)BE=2a,利用勾股定

理構(gòu)建方程求出。，再證明推出CD+恪由垂線段最短即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，作于H,CM_LAB于

AZAEB=90°,

RF

VtanA==2,設(shè)AE=〃，BE=2a,

則有：100=〃2+4/，

/.〃2=20,

???〃=2遙或-2遙（舍棄），

BE=2（2=4V5,

9

：AB=ACfBELAC,CM±AB,

:?CM=BE=4?。ǖ妊切蝺裳系母呦嗟龋?

?：NDBH=NABE,/BHD=/BEA,

?./nouDHAE75

■■smZDBH=BD=AB=T'

：.DH=~BD,

：.CD+CD+DH,

：.CD+DH>CM,

.?.CZ）+造8024底

：.CD+^-BD的最小值為4V5.

V5

方法二：作于交BE于點(diǎn)、D,則點(diǎn)。滿足題意.通過(guò)三角形相似或三角函數(shù)證得三

DM,從而得到CO+殺。=。1/=4后

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用

輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

3.如圖，己知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上則cosA的值為（）

:?___Ck：____：?___：?____：?：;

■>1111?,

V3V52V32V5

A.—B.一C.D.

3535

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理;勾股定理的逆定理.

【專題】網(wǎng)格型.

【答案】D

【分析】過(guò)8點(diǎn)作AC,得43的長(zhǎng)，4。的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)得結(jié)果.

【解答】解：過(guò)B點(diǎn)作3DLAC,如圖，

由勾股定理得，

AB=V12+32=V10,

AD=V22+22=2V2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)和勾股定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)

鍵.

4.如圖，點(diǎn)A為Na邊上的任意一點(diǎn)，作AC,8。于點(diǎn)C,CD,A3于點(diǎn)。，下列用線段比表示cosa的

BDBCADCD

A.—B.—C.—D.—

BCABACAC

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【答案】c

【分析】利用垂直的定義以及互余的定義得出Na=NACD,進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

【解答】解：VACXBC,CDLAB,

：.Na+N3C￡)=ZACD+ZBCD,

：.Za=ZACD,

cosa=cos/AC￡>=器=骼=胎

只有選項(xiàng)。錯(cuò)誤，符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，得出Na=NACD是解題關(guān)鍵.

5.如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A、B、O都在格點(diǎn)上，則NAO8的正弦值是（）

11V10

A.-----B.C.一D.-----

102310

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理.

【專題】網(wǎng)格型.

【答案】D

【分析】取格點(diǎn)C，連接AC,BC,觀察圖象可知，O,B,C共線，NACO=90°,利用勾股定理求得

AC和A。的長(zhǎng)，根據(jù)正弦的定義即可求解.

【解答】解：取格點(diǎn)C,連接AC,BC,觀察圖象可知，。，B,C共線，ZACO=9Q°,

V2,A0=V22+42=V20=2A/5,

AC_y/2

sinXAOB=

而=貓=W

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰

邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.

ZA=35°,則直角邊8C的長(zhǎng)是（）

mm

C.---------D.---------

stn35°cos35°

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦定義：把銳角A的對(duì)邊。與斜邊c的比叫做NA的正弦可得答案.

【解答】解：sin/A=第，

'：AB=m,NA=35°,

BC=msin35°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握正弦定義.

7.在△ABC中，若角A,8滿足|cosA—亨|+（1-tanB）2=0,則NC的大小是（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方.

【答案】D

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出cosA=號(hào)，tanB=l,求出NA和的度數(shù)，繼而可求得NC的度數(shù).

【解答】解：由題意得，cosA=字，tanB=l,

則NA=30°,ZB=45°,

則/C=180°-30°-45°=105°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值.

8.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，OEL8C于點(diǎn)E,連接BZ）,則tan

NDBC的值為（）

1

A.-B.V2-1C.2-V3D.-

34

【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰直角三角形.

【答案】A

E=EC=^-DC,然后通過(guò)解直角△DBE

【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC=V2AC,D

來(lái)求tanZDBC的值.

【解答】解：：在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,

：.ZABC=ZC=45°,BC=V2AC.

又：點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，

，AD=DC=1AC.

EJ_BC于點(diǎn)E,

:./CDE=/C=45°,

:.DE=EC=孝。C=^AC.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì).通過(guò)解直角三角形，可求出相關(guān)的

邊長(zhǎng)或角的度數(shù)或三角函數(shù)值.

9.如圖，AABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cos/ABC等于（）

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】壓軸題；網(wǎng)格型.

【答案】B

【分析】找到NA3C所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得/A8C的鄰邊與斜邊之

比即可.

【解答】解：由格點(diǎn)可得NABC所在的直角三角形的兩條直角邊為2,4,

斜邊為〃22+4?=2"\/^.

cosNABC=

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】難點(diǎn)是構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求得NABC所在的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是

理解余弦等于鄰邊比斜邊.

10.如圖，在△ABC中，AC±BC,ZABC=30°，點(diǎn)。是C8延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，MBD=BA,貝UtanND4c

【考點(diǎn)】解直角三角形.

【答案】A

【分析】通過(guò)解直角△ABC得到AC與BC、A2間的數(shù)量關(guān)系，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求tan/

D4c的值.

【解答】解：如圖，?.?在△A8C中，AC±BC,ZABC=30°,

：.AB=2AC,BC=-^5=V3AC.

L/Ci＞，CVz

'：BD=BA,

：.DC=BD+BC=(2+V3)AC,

,+/r\\r-DC_(2+V5)ZC_與

??tanND4C==------------=2o+A/3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的概念解直角三角形問(wèn)題.

二.填空題(共5小題)

11.在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A,B,C,。都在格點(diǎn)處，與C。

相交于O,貝I]tan/BOQ的值等于3.

【考點(diǎn)】解直角三角形.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)以及勾股定理，通過(guò)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想可以求得tan/3。。的值,

本題得以解決.

【解答】解：方法一：平移C。到C'D,交AB于。'，如圖所示，

則N80'D'=/BOD,

tanZBOD=tanZBO'D',

設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a,

則B=Ja2+(2a)2=逐a,O'D'=V(2a)2+(2a)2=2V2a,BD'=3a,

作BE，。'D'于點(diǎn)E,

BD'-O'F_3a-2a_3g

則BE=O'D'=272^=-2-

222

：.O'E=^O'B-BE=J(V5a)-(號(hào)與2=學(xué),

FBE窄&

tanBOfE=阮=亙=3,

r

tanZB0￡)=3,

故答案為：3.

方法二：連接AM、NL,

在△CA”中，AC=AH,

則AALLCH,

同理，在AMNH中,NM=NH,

則NL1MH,

：.ZAMO=ZNLO=90°,

ZAOM^ZNOL,

：.AAOMsANOL,

.AMOM

??一,

NLOL

設(shè)圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a,

則AM=2缶，NL=42a,

.AM2y[2a

??―=2,

NLV2a

OM

-----=2,

OL

.OL1

??—―,

LM3

■:NL=LM,

NL

—=3,

OL

：.tanZBOD=tanZNOL=黑=3,

故答案為：3.

方法三：連接AE、EF,如圖所示,

則AE■〃處

/.ZFAE=ZBOD,

設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a,

則AE=V2a,AF=2V5a,EF=3近a,

V(V2a)2+(3V2a)2=(2V5a)2,

...△砌￡是直角三角形，ZFEA=90°,

../"人口_EF_3j2a_

??tanFAE一人廠—7=—3,

AEV2a

即tanZBOD—3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用勾股定理和等

積法解答.

14

12.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,8c=8.若NBPC="BAC,則tan/BPC=1.

/3

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

1

【分析】先過(guò)點(diǎn)A作AEJ_BC于點(diǎn)E,求得N8AE=W/8AC,故NBPC=/BAE.再在RtZkBAE中,

由勾股定理得AE的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)的定義，求得tan/BPC=tan/BAE=黑=彳

【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE_L8c于點(diǎn)E,

111

：.BE=Jx8=4,/BAE=^/BAC,

1

ZBPC=專NBAC,

：.ZBPC=ZBAE.

在RtZ\B4E中，由勾股定理得

AE=7AB2-BE2=V52-42=3,

RF4

tanZBPC=tanZBAE=器=/

4

故答案為：-.

【點(diǎn)評(píng)】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過(guò)設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或

者利用同角(或余角)的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值.

13.如圖，P(12,a)在反比例函數(shù)y=如圖象上，PH_Lx軸于H,貝Utan/POH的值為三.

%TZ

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義求解，tan/尸。"為/尸。"的對(duì)邊比鄰邊，求出即可.

【解答】解：TP(12,〃)在反比例函數(shù)y=三圖象上，

?_60__

??a-12-3,

軸于H,

:.PH=5,08=12,

：.tanZPOH=

故答案為：卷.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形

中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.

14.如圖，在△ABC中，ZA=30°,ZB=45°,AC=2V3,則AB的長(zhǎng)為3+遮.

【考點(diǎn)】解直角三角形.

【專題】幾何圖形問(wèn)題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】過(guò)C作于。，求出推出2D=C。，根據(jù)含30度角的直角三角形求出

CD,根據(jù)勾股定理求出A。，相加即可求出答案.

【解答】解：過(guò)C作于。，

VZB=45°,

：.ZBCD^ZB^45°,

:.CD=BD,

VZA=30°,AC=2V3,

CD=V3,

：.BD=CD=V3,

由勾股定理得：AD=y/AC2-CD2=3,

：.AB=AD+BD=3+43.

故答案為：3+V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)

用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目.

15.如圖，坡面的坡比為1：V3,坡頂?shù)钠降厣嫌幸豢眯銩3,當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線夾角成60°

時(shí)，測(cè)得小樹的在坡頂平地上的樹影BC=3米,斜坡上的樹影8=百米,則小樹AB的高是4舊米.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.

【專題】幾何綜合題；壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】此題是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，首先根據(jù)題意作圖(如圖)，得RtA

CED,然后由RtZ\CE。，和坡面CD的坡比為1：V3,求出CE和即，再由RtZWfD和三角函數(shù)求出

AF.進(jìn)而求出A3.

【解答】解：由已知得RtZiAFD,RtAC￡Z),如圖，且得：ZADF=60°,FE=BC,BF=CE,

在RtzXCED中，設(shè)CE=x米，由坡面8的坡比為1：V3,得：

DE=<3x,則根據(jù)勾股定理得：

X2+(V3X)2=(V3)2，

得天=土冬-苧不合題意舍去，

所以，上=空米，貝！J,￡。=泳

■2Q

那么，F(xiàn)D=FE+ED=BC+ED=3+]=喬,

在RtZXAfD中，由三角函數(shù)得：

AF

—=tanZADF,

FD

：.AF=FDnm6Q°=2乂遍=孥米，

：.AB=AF-BF=AF-CE=竽一孚=4百米,

故答案為：4百米.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解

直角三角形問(wèn)題，由

RtAAFZ）,RtZkCE。求出AB.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°,沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰

角為45°,已知。4=100米，山坡坡度（豎直高度與水平寬度的比）i=l：2,且。、A、8在同一條

直線上.求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度.（測(cè)傾器高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根

號(hào)形式）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題；壓軸題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】在圖中共有三個(gè)直角三角形，即RtAAOC>RtAPC尸、RtAE4￡,利用60°、45°以及坡度比,

分別求出C。、CF、PE,然后根據(jù)三者之間的關(guān)系，列方程求解即可解決.

【解答】解：作PEL08于點(diǎn)E,PFLC。于點(diǎn)尸，

在RtZXAOC中，40=100,ZCAO=60°,

.?.CO=AO?tan60°=100A/3（米）.

設(shè)PE=X米，

PF1

VtanXPAB=荏=2,

.\AE=2x.

在Rt2\PC尸中，NCPF=45°,CF=100V3-x,PF=OA+AE=100+2xf

?;PF=CF,

1?100+2x=100V3—x,

解得嗎zD

答：電視塔oc高為100b米，點(diǎn)P的鉛直高度為（米）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)

合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

17.如圖，是△ABC的中線，tanB=cosC=孝，AC=V2.求：

(1)的長(zhǎng)；

(2)sin/AOC的值.

A

RDC

【考點(diǎn)】解直角三角形.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AELBC于點(diǎn)E，根據(jù)cosC=￥，求出/C=45°,求出AE=CE=1,根據(jù)tan8=

I，求出BE的長(zhǎng)即可；

(2)根據(jù)A。是△ABC的中線，求出2。的長(zhǎng)，得到。E的長(zhǎng)，得到答案.

【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作AE_L8C于點(diǎn)E,

.._42

?cosOr—2，

：.ZC=45°,

在RtZiACE中，CE=AC?cosC=l,

.\AE=CE=1,

[AE1

在RtAABE中，tanB=即一=

3BE3

：.BE=3AE=3f

：.BC=BE+CE=4；

(2),??A。是△ABC的中線，

1

:.CD=7C=2,

：.DE=CD-CE=\,

*：AELBC,DE=AE,

：.ZADC=45°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角

三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用.

18.如圖，在△A3C中，ZC=150°,AC=4,tanB=j.

(1)求3C的長(zhǎng)；

(2)利用此圖形求tanl5°的值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：V2?1.4,V3?1.7,V5?2.2)

Bc

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)過(guò)A作AOLBC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)由含30°的直角三角形性質(zhì)得AD=±AC=2,

由三角函數(shù)求出C￡)=2W，在中，由三角函數(shù)求出BD=16,即可得出結(jié)果；

(2)在8C邊上取一點(diǎn)使得CN=AC,連接AM■，求出NAMC=/AMC=15°,tanl5°=tanZAMD=

銘即可得出結(jié)果.

【解答】解：(1)過(guò)A作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,如圖1所示：

在中，AC=4,

VZACB=150°,

AZACD=30°,

1

：.AD=加C=2,

CD=AC-cos30°=4x^=2后

AH21

在Rt^ABO中，tan5=^=麗=6

：.BD=16,

：.BC=BD-CD=16-2V3；

(2)在8。邊上取一點(diǎn)M,使得CM=AC,連接AM,如圖2所示:

VZACB=150°,

ZAMC=ZMAC=15°,

tanl5°=tan/AMO=鐳=^=^=2—皆皿3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)、含30°的直角三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)

等知識(shí)；熟練掌握三角函數(shù)運(yùn)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

19.如圖，在正方形ABC。中，M是AD的中點(diǎn)，BE=3AE,試求sin/ECM的值.

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；正方形的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】依題意設(shè)AE=x,則BE=3x,BC=4x,AM^2x,C￡)=4x,先證明△CEM是直角三角形，再

利用三角函數(shù)的定義求解.

【解答】解：設(shè)A￡=x,則BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,

EC=J(3久尸+(4久尸=5x,

EM—y/x2+(2x)2=V5x,

CM=J(2x)2+(4久/=2V5X,

:.EM2+CM2=CE2,

...△CEM是直角三角形，

sinAECM==洛.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)值的求法.關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理證明直角三角形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)

化到直角三角形中求解.

20.如圖，△A8C中，ADLBC,垂足是。，若BC=14,AD=12,tanZBA￡>=求sinC的值.

4

【專題】計(jì)算題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)tan/A4O=梳，求得2。的長(zhǎng)，在直角△AC￡>中由勾股定理得AC,然后利用正弦的定義

求解.

【解答】解：：在直角△A3。中，tan/54O=盥=',

3

：.BD=ADnmZBAD=12x^=9,

4

：.CD=BC-BD=14-9=5,

：.AC=y/AD2+CD2=V122+52=13,

AD12

..SinC==TTT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系.

考點(diǎn)卡片

1.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為。時(shí)，則其中的每一項(xiàng)

都必須等于0.

2.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負(fù)性.

任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.

3.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)y="x1為常數(shù)，20)的圖象是雙曲線，

①圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值匕即肛=%

②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

③在y="x圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|川.

4.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

5.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么次+62=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的