古典概型、概率的基本性質(zhì)

高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊(cè))

10.1.3-10.1.4古典概型、概率的基本性質(zhì)

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率

對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件彳的概率用PU)表示.

考點(diǎn)二古典概型

一般地，若試驗(yàn)F具有以下特征：

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；

⑵等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.

稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.

考點(diǎn)三古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗(yàn)￡是古典概型，樣本空間。包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事件彳包含其中的a個(gè)樣本點(diǎn)，則定義

事件力的概率0(⑷=-=—~~4—.

nnQ

考點(diǎn)四概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)任意的事件4都有P")三0.

性質(zhì)2必然事件的概率為工，不可能事件的概率為。，即P(O)=1,^(0)=0.

性質(zhì)3如果事件4與事件8互斥,那么H/U夕=P(U+P(8.

性質(zhì)4如果事件4與事件8互為對(duì)立事件，那么P(B)=1一0。),P")=1一"(夕.

性質(zhì)5如果4UB,那么P(A)WP(B).

性質(zhì)6設(shè)48是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有。(40/=。(，+。(而一。(409.

【題型歸納】

題型一：基本事件

1.（2021?天津河西?高一期末）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2）,2個(gè)

綠色球（標(biāo)號(hào)為3和4）,從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則該試驗(yàn)的樣本空間所包含的基本事件的個(gè)數(shù)為

（）

A.6B.9C.12D.16

2.（2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí)）將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次，得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a,b,設(shè)事件M為“方程+

法+1=0有實(shí)數(shù)解”，則事件M中含有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.17C.19D.21

3.（2019?全國(guó)?高一）同時(shí)投擲兩枚大小完全相同的骰子，用3y）表示出現(xiàn)的結(jié)果，其中x,y分別為兩枚骰子向

上的點(diǎn)數(shù)，則該事件的所有結(jié)果種數(shù)為

A.11B.22C.36D.66

題型二：古典概型

4.（2020?全國(guó)?高一）下列是古典概型的是（）

A.任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)時(shí)

B.求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)時(shí)

C.從甲地到乙地共"條路線，求某人正好選中最短路線的概率

D.拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止

5.（2020?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）下列試驗(yàn)是古典概型的為（）

①?gòu)?名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大?。?/p>

②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙兩人相鄰的概率.

A.①②B.②④C.①0④D.③④

6.（2020.全國(guó).高一）下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）

①?gòu)募希鹸eR|14x410｝中任取一個(gè)數(shù)，求取到4的概率；

②從集合｛xeZ|lW10｝中任取一個(gè)數(shù)，求取到4的概率；

③從裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球的盒子中任取2個(gè)球（除顏色外其他均相同），求取到一白一紅的概率;

④向上拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，求出現(xiàn)正面向上的概率.

A.1B.2C.3D.4

題型三：有放回和無(wú)放回的概率問(wèn)題

7.（2021?福建省福州第一中學(xué)高一期末）從三個(gè)白球和一個(gè)黑球中任意抽取兩球，分別采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、

不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽到的兩球都是白球的概率分別是（）

.9?19?52「25

A.—,—B.—,—C.一,—D.—,—

1622168338

8.（2021.湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高一期末）從分別寫有“1,2,3,4,5”的5張卡片中，隨機(jī)抽取一張不放回，再

隨機(jī)抽取一張，則抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)的概率是（）

433

A.—B.—C.-D.—

55510

9.（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只藍(lán)色6只紅色，小朋友花花想

從袋子里取到一只紅色小球，第一次從袋子里隨機(jī)取出一只小球，卻是藍(lán)色，不放回，再取第二次.則小朋友花花第

二次取到紅色小球的概率是（）

A.-B.-C.|D.-

5533

題型四：古典概型經(jīng)典類型問(wèn)題

10.（2022?遼寧?高一期中）從3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者參加社區(qū)核酸檢測(cè)秩序管理工作，則至少有

1名女性志愿者參加的概率為（）

11.（2022.陜西?寶雞市陳倉(cāng)區(qū)教育體育局教學(xué)研究室高一期中）寶雞市在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”活動(dòng)中大力加強(qiáng)垃圾

分類投放宣傳.某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”、"可回收垃圾”、"其它垃圾”、"有害垃圾”四種不同的垃圾桶.一天，

居民小陳提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機(jī)每桶投一袋，則恰好有兩袋垃圾投對(duì)的概率為（）

12.（2022?江西新余?高一期末）從2,3,4,5中任意選取兩個(gè)不同數(shù)字組成兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)能被4整除的

概率為（）

1

BC.一D.—

A.\-5612

題型五：互斥事件概率公式的應(yīng)用

13.（2021?江蘇常州?高一期末）甲、乙兩個(gè)同學(xué)下棋，若甲獲勝的概率為0.2,甲不輸?shù)母怕蕿?.7,則甲、乙下成和

棋的概率為（）

A.0.5B.0.7C.0.9D.0.4

14.（2020.江蘇蘇州.高一期末）圍棋盒子中有若干粒黑子和白子，從中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率為

2

都是白子的概率為尚，則取出的2粒顏色不同的概率為（）

A.*B,1C,1D,1

531515

15.（2021?吉林?長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即先贏2局者為

勝?根據(jù)以往二人的比賽數(shù)據(jù)分析，甲在每局比賽中獲勝的概率為:，則本次比賽中甲獲勝的概率為（）

題型六：對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用

16.（2021?安徽?六安一中高一期末）下列敘述錯(cuò)誤的是（）

A.互斥事件不一定是對(duì)立事件，但是對(duì)立事件一定是互斥事件

B.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為;,甲獲勝的概率是!，則甲不輸?shù)母怕蕿槎?/p>

C.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件

7

D.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率為正

17.（2020?廣東?郁南縣連灘中學(xué)高一階段練習(xí)）口袋中有100個(gè)大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球45個(gè)，

從口袋中摸出一個(gè)球，摸出白球的概率為0.23,則摸出黑球的概率為（）

A.0.45B.0.67

C.0.64D.0.32

18.（2019?廣東湛江?高一期末）已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，，7-

64

且三人錄取結(jié)果相互之間沒(méi)有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿?/p>

題型七：互斥、對(duì)立事件與古典概型的綜合應(yīng)用

19.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))擲一枚骰子，下列事件：A="出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B="出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)"，C="點(diǎn)數(shù)小于3"，￡>="點(diǎn)

數(shù)大于2"，E="點(diǎn)數(shù)是3倍數(shù)”.求：

(l)AnB,BC及相應(yīng)的概率

(2)AUB,B+C及相應(yīng)的概率：

(3)記H為事件H的對(duì)立事件，求方,ZC,月uC,方+后及相應(yīng)的概率.

20.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))某品牌計(jì)算機(jī)售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計(jì)算機(jī)在

使用一年內(nèi)需要維修1次的占15%,需要維修2次的占6%,需要維修3次的占4%.

(1)某人購(gòu)買了一臺(tái)這個(gè)品牌的計(jì)算機(jī)，設(shè)&="一年內(nèi)需要維修上次“，Z=0,1,2,3,請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?/p>

事件4AA2A,

概率

事件4,A，&是否滿足兩兩互斥？是否滿足等可能性？

(2)求下列事件的概率：

①4="在1年內(nèi)需要維修“；

②B="在1年內(nèi)不需要維修”；

③C="在1年內(nèi)維修不超過(guò)1次”.

21.(2020?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))根據(jù)某省的高考改革方案，考生應(yīng)在3門理科學(xué)科(物理、化學(xué)、生物)和3門文

科學(xué)科(歷史、政治、地理)的6門學(xué)科中選擇3門學(xué)科參加考試.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，1位同學(xué)選擇生物的概率為

0.5,選擇物理但不選擇生物的概率為0.2,考生選擇各門學(xué)科是相互獨(dú)立的.

(1)求1位考生至少選擇生物、物理兩門學(xué)科中的1門的概率；

(2)某校高二段400名學(xué)生中，選擇生物但不選擇物理的人數(shù)為140,求1位考生同時(shí)選擇生物、物理兩門學(xué)科的

概率.

【雙基達(dá)標(biāo)】

一、單選題

22.（2022?陜西?武功縣普集高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的

成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“，如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)

選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是

A.—B.—C.—D.—

12141518

23.（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）從分別寫有1,234,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的

第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為

1c3c3-2

A.—B.—C.—D.一

105105

24.（2021?廣東茂名?高一期末）在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1

張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為（）

A.-B.-C.1D.\

6323

25.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）10張獎(jiǎng)券中有4張“中獎(jiǎng)”獎(jiǎng)券，甲乙兩人先后參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人從中不放回抽取

一張獎(jiǎng)券，甲先抽，乙后抽，在甲中獎(jiǎng)條件下，乙沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率為（）

A.-B.-C.-D.—

53415

26.（2022?全國(guó)?高一）齊王有上等、中等、下等馬各一匹，田忌也有上等、中等、下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)

于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊

王的下等馬.現(xiàn)在從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，若有優(yōu)勢(shì)的馬一定獲勝，則齊王的馬獲勝得概率為

27.（2019?河南?南陽(yáng)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知數(shù)據(jù)1,2,3,4,x（0<x<5）的平均數(shù)與中位數(shù)相等，從這5個(gè)數(shù)中

任取2個(gè)，則這2個(gè)數(shù)字之積大于5的概率為

A.-B.JC.-D.—

52510

28.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3+1+2”模式即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英

語(yǔ)必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，一名同學(xué)隨機(jī)選擇

3門功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的概率為（）

A.-B.-C.；D.-

4323

29.（2022.湖南?高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為“，再由乙猜甲剛才所想

的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為數(shù)其中子6€乩2,3,45,6},^\a-b\<l

,就稱“甲、乙心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()

1274

A.9-B.9-一D.9-

18

30.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)下列命題：

①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(AUB)=P(A)+P(B)；③若事件A,B,C彼此互斥,

則P(A)+P(B)+P(C)=1；④若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A與B是對(duì)立事件.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【高分突破】

一：?jiǎn)芜x題

31.(2021?全國(guó)?高一)2021年某省新高考將實(shí)行“3+1+2”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)必選，物理、歷史二選一，政

治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式.某同學(xué)已選了物理，記事件A：“他選擇政治和地理“，事件B：

“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件8()

A,是互斥事件，不是對(duì)立事件B.是對(duì)立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是對(duì)立事件D.既不是互斥事件也不是對(duì)立事件

32.(2022?陜西?西北農(nóng)林科技大學(xué)附中高一期中)保險(xiǎn)柜的密碼由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四個(gè)數(shù)字

組成，假設(shè)一個(gè)人記不清自己的保險(xiǎn)柜密碼，只記得密碼全部由奇數(shù)組成且按照遞增順序排列，則最多輸入2次就

能開(kāi)鎖的概率是()

33.（2021?重慶?高一期末）口袋中裝有編號(hào)為①、②的2個(gè)紅球和編號(hào)為①、②、③、④、⑤的5個(gè)黑球，小球除

顏色、編號(hào)外形狀大小完全相同，現(xiàn)從中取出1個(gè)小球，記事件A為“取到的小球的編號(hào)為②”，事件8為“取到的小

球是黑球“，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.A與8互斥B.A與8對(duì)立C.P（A+8）=qD.P（AB）號(hào)

34.（2021?河南?濟(jì)源市第五中學(xué)高一期末）我國(guó)西部一個(gè)地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間的概率如下表所示:

年降水量

[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]

（mm）

概率0.210.160.130.12

則年降水量在[200,300]（mm）范圍內(nèi)的概率為（）A.0.29B.0.41C.0.25

D.0.63

35.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）從1,2,3,30這30個(gè)數(shù)中任意摸出一個(gè)數(shù)，則事件“摸出的數(shù)是偶數(shù)或能被

5整除的數(shù)”的概率是（）

36.（2020?甘肅省岷縣第二中學(xué)高一期末）袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則

①恰有1個(gè)白球和全是白球；

②至少有1個(gè)白球和全是黑球；

③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；

④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球.

在上述事件中，是互斥事件但不是對(duì)立事件的為（）

A.②B.①C.③D.@

37.（2020.陜西.西安中學(xué)高一期中）從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，則與事件“兩球都

為白球”互斥而非對(duì)立的事件是以下事件“①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至多有一個(gè)白球”中的哪

幾個(gè)（）

A.①③B.②③C.①②D.①②③

38.（2021?全國(guó)?高一）從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A=｛抽到一等品｝,事件3=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽

到三等品｝,且已知P（A）=0.7,P（B）=0.2,P（C）=0.1.則事件“抽到的不是一等品”的概率為（）

A.0.7B.0.2C.0.1D.0.3

39.（2021?甘肅?蘭州一中高一期中）袋中裝有3個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)紅球，從中任取兩個(gè)，互斥而不對(duì)立的事

件是（）

A.“至少有一個(gè)黑球”和“沒(méi)有黑球”B.“至少有一個(gè)白球”和“至少有一個(gè)紅球”

C.“至少有一個(gè)白球”和“紅球黑球各有一個(gè)"D.“恰有一個(gè)白球”和“恰有一個(gè)黑球”

40.（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解出這個(gè)問(wèn)題的概率,，乙解出這個(gè)問(wèn)題的概率

4

是那么其中至少有1人解出這個(gè)問(wèn)題的概率是

A.-B.-C.-D.-

4888

41.（2022?天津?高一期中）盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè).若從中隨機(jī)取出2

個(gè)球，則所取出的2個(gè)球顏色相同的概率等于（）

二、多選題

42.（2021?全國(guó)?高一）下列有關(guān)古典概型的說(shuō)法中，正確的是（）

A.試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限

B.每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等

C.每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等

D.已知樣本點(diǎn)總數(shù)為〃，若隨機(jī)事件A包含4個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率尸（A）=K

n

43.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）甲、乙兩人在5次體育測(cè)試中的成績(jī)（成績(jī)?yōu)檎麛?shù)，滿分為100分）如下表，其中

乙的第5次成績(jī)的個(gè)位數(shù)被污損，用x代替，則

第1次第2次第3次第4次第5次

甲9186889293

乙878586999x

A.甲的平均成績(jī)?yōu)?1分

B.從甲的5次成績(jī)中任取2次成績(jī)，均大于甲的平均成績(jī)的概率是二3

C.當(dāng)x=3時(shí)，甲、乙兩人的平均成績(jī)相等

3

D.乙的平均成績(jī)低于甲的平均成績(jī)的概率是而

44.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）某次數(shù)學(xué)考試的一道多項(xiàng)選擇題，要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選

對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.”已知某選擇題的正確答案是C。，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不

會(huì)做，下列表述正確的是（）

A.甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得3分的概率是:

B.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，能得5分的概率是,

C.丙同學(xué)隨機(jī)至少選擇一個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是g

D.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是L

45.（2022?全國(guó)?高一）下列說(shuō)法正確的為（）

A.在袋子中放有2白2黑大小相同的4個(gè)小球，甲乙玩游戲的規(guī)則是從中不放回的依次隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，如兩

球同色則甲獲勝，否則乙獲勝，那么甲獲勝的概率為

B.做〃次隨機(jī)試驗(yàn)，事件4發(fā)生的頻率可以估計(jì)事件A發(fā)生的概率?

C.必然事件的概率為1.

D.在適宜的條件下種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽，這個(gè)試驗(yàn)為古典概型.

46.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：

投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)

1005518

記該籃球運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录?投中三分球?yàn)槭录?,沒(méi)投中為事件C,用頻率估計(jì)概率的

方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（）A.P（A）=0.55B.P（B）=0.18

C.P（C）=0.27D.P（B+C）=0.55

47.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、音樂(lè)3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39,32,33個(gè)成

員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖所示.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)成員，則（)

A.他只屬于音樂(lè)小組的概率為］B.他只屬于英語(yǔ)小組的概率為］Q

313

C.他屬于至少2個(gè)小組的概率為《D.他屬于不超過(guò)2個(gè)小組的概率為百

48.（2021?湖南?高一期末）下列說(shuō)法中正確的是

A.若事件A與事件B是互斥事件，貝”（AnB）=O

B.若事件A與事件8是對(duì)立事件：則P（AuB）=l

C.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件”至多有一次中靶”是對(duì)立事件

D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是

紅牌''是互斥事件

三、填空題

49.（2022?廣西欽州?高一期末）調(diào)查某高中1000名學(xué)生的肥胖情況，得到的數(shù)據(jù)如表:

偏瘦正常肥胖

女生人數(shù)88175y

男生人數(shù)126211Z

若y2193,z>194,則肥胖學(xué)生中男生不少于女生的概率為.

50.（2022?江西?景德鎮(zhèn)一中高一期末）我國(guó)古代的一些數(shù)字詩(shī)精巧有趣，又飽含生活的哲學(xué)，如清代鄭板橋的《題

畫竹》》：“一兩三枝竹竿，四五六片竹葉，自然淡淡疏疏，何必重重疊疊現(xiàn)從1,2,3,4,5,6中隨機(jī)選取2個(gè)

不同的數(shù)字組成1咆*（。工1）,則恰好能使得1強(qiáng)/<1的概率是.

51.（2022?遼寧?大連二十四中高一期末）己知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)

該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命

中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組

隨機(jī)數(shù)：

137960197925271815952683829436730257

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.

52.（2022?江蘇?南京市秦淮中學(xué)高一期中）一個(gè)三位數(shù)，百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次記為。，b,c（a,b,c

互不相同），當(dāng)且僅當(dāng)〃，〃，c中有兩個(gè)數(shù)字的和等于剩下一個(gè)數(shù)字時(shí)，稱這個(gè)三位數(shù)為“等和數(shù)”（如358等）.現(xiàn)從1,

2,3,4這四個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)為“等和數(shù)”的概率為.

53.（2020.天津一中高一期末）擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為，，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”,

事件8表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則一次試驗(yàn)中，事件AU豆（豆表示事件5的對(duì)立事件）發(fā)生的概率為.

54.（2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件A=''取

出的兩球同色“，8="取出的2球中至少有一個(gè)黃球“，C="取出的2球至少有一個(gè)白球"，3=”取出的兩球不同色”,

E="取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號(hào)為.

①A與。為對(duì)立事件；②8與C是互斥事件；③C與E是對(duì)立事件：④P（CU?=1；⑤P（8）=P（C）.

四、解答題

55.（2022?廣東?紅嶺中學(xué)高一期中）2021年廣東省高考實(shí)行“3+1+2”模式.“3+1+2”模式是指："3”為全國(guó)統(tǒng)考科

目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在高中學(xué)業(yè)水平考試的物理、歷史科目中選擇1科；

“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理4個(gè)科目中選擇2科，共計(jì)6個(gè)考試科目.并規(guī)定：化學(xué)、生物、

政治、地理4個(gè)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為仇（7+,（?,。+,。,￡八個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確

定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,7%,16%,24%/6%,7%,3%,選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的

考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100],[81,90],[71,80],|61,70],[51,60],[41,50],[31,40],

[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).

考蝌目：地理

考試成績(jī)：61分

成績(jī)區(qū)間：（”等級(jí)

（轉(zhuǎn)區(qū)換間分?jǐn)?shù)區(qū)：5間8?：6粉1?7啰

原始成績(jī)區(qū)間向等級(jí)成績(jī)區(qū)間的投影

69-6170-JT

假設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績(jī)?yōu)?分,則回=刁,所以X=63.45,63（四舍五入取整），小明最終成績(jī)?yōu)?3

分.某校2019級(jí)學(xué)生共1000人，以期末考試成績(jī)?yōu)樵汲煽?jī)轉(zhuǎn)換了本校的等級(jí)成績(jī)，為學(xué)生合理選科提供依據(jù),

其中化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)A的學(xué)生原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下:

成績(jī)93919088878685848382

人數(shù)1142433327

設(shè)化學(xué)成績(jī)獲得A等的學(xué)生原始成績(jī)?yōu)闊o(wú)分，xe{82,83,84,85,86,87,88,90,91,93},等級(jí)成績(jī)?yōu)閂

93—x100—V0

分,由題意得該分?jǐn)?shù)段的轉(zhuǎn)換公式為：口TE，即產(chǎn)1T(>82)+91.

(1)求化學(xué)獲得等級(jí)A的學(xué)生等級(jí)成績(jī)的平均分(四舍五入取整數(shù));

(2)從化學(xué)原始成績(jī)不小于90分的學(xué)生中任取2名同學(xué)，求2名同學(xué)等級(jí)成績(jī)不相等的概率.

56.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)某校在一次期末數(shù)學(xué)測(cè)試中，為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨

機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績(jī)，被測(cè)學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?5分到145分之間(滿分150分)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式

分成八組：第一組［65,75),第二組［75,85),L第八組［135,145］,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方

(1)根據(jù)圖表，計(jì)算第七組的頻率，并估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值);

(2)若從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率.

57.(2022?安徽?高一)2021年9月15日，安徽省舉行新聞發(fā)布會(huì)，正式公布了高考綜合改革方案.按照方案的要

求，高考選科采用“3+1+2”的模式：“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績(jī)；“1”指考生從物

理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分計(jì)入高考成績(jī)；“2”指考生從政治、地理、化學(xué)、生物四門學(xué)科中“再

選，，兩門學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績(jī).某校對(duì)其高一學(xué)生的首選學(xué)科意向進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格:

科目性別物理歷史合計(jì)

男46040500

女340160500

合計(jì)8002001000

(1)令4="從選歷史的同學(xué)中任選一人，求此人是女生"，3=“從選物理的同學(xué)中任選一人，求此人是女生“，判斷

隨機(jī)事件42的概率尸(A),P(8)的大小關(guān)系；

(2)按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃分為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí)，各等

級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：

等級(jí)ABCDE

人數(shù)比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間[86,1001[71,85][56,70][41,55][30,40]

Y-YT-T

將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為￡-7=半一彳，其

中匕，匕分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，(，n分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高分，丫表示考生的

原始分，r表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為Y時(shí)，等級(jí)分為T，原始分為丫/寸，等級(jí)分為心，計(jì)算結(jié)果四舍五入

取整.該校某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為98,呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如圖所示:

①按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)等級(jí)的原始分區(qū)間；

②用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績(jī)的原始分為90分，試計(jì)算其等級(jí)分.

58.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))袋中有9個(gè)大小相同顏色不全相同的小球，分別為黑球、黃球、綠球，從中任意取一

球，得到黑球或黃球的概率是?5，得到黃球或綠球的概率是2:，試求：

(1)袋中黑球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別是多少？

(2)從所有黑球、黃球中任取兩個(gè)球，黑球與黃球各得一個(gè)得概率是多少？

(3)從中任取兩個(gè)球，得到的兩個(gè)球顏色不相同的概率是多少？

59.(2022?全國(guó)?高一)已知某大學(xué)的一個(gè)圖書室中只有中文版和英文版的書，現(xiàn)從該圖書室中任選一本書，設(shè)A=｛選

到一本數(shù)學(xué)書),8=｛選到一本中文版的書｝,C=｛選到一本2010年后出版的書｝.

(DApIBnC,Ac(加元)分別指什么事件?

(2)在什么條件下有An8nc=A?

(3)如果那么是否意味著圖書室中所有的數(shù)學(xué)書都是英文版的？并說(shuō)明理由.

【答案詳解】

1.A

【解析】

【分析】

樣本數(shù)量少，可以通過(guò)列舉法.

【詳解】

解：由題意，該試驗(yàn)的樣本空間所包含的基本事件有：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）共6個(gè),

故選：A.

2.C

【解析】

【分析】

根據(jù)從24.可得隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù).

【詳解】

；方程/+8+1=0（”0）有實(shí)數(shù)解，A=b2-4a>0,

則“含有的樣本點(diǎn)為：

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）；

（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）,

共19個(gè),

故選：C.

3.C

【解析】

根據(jù)題意，列舉投擲兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的全部情況即可得結(jié)果.

【詳解】

先后投擲兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況有:

(1,1),(I,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

共有36種可能結(jié)果,

故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查列舉法的應(yīng)用，注意正確列舉全部的基本事件，做到不重不漏.

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)古典概型的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】

A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；

B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)是無(wú)限的，故B不是；

C項(xiàng)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；

D項(xiàng)中樣本點(diǎn)既不是有限個(gè)也不具有等可能性，故D不是.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的判斷，屬簡(jiǎn)單題；注意古典概型中基本事件的等可能性和有限性即可.

5.C

【解析】

根據(jù)古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，且每個(gè)基本事件等可能這兩個(gè)特點(diǎn)逐一判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】

①②④中的基本事件都是有限個(gè)，且每個(gè)基本事件都是等可能的，符合古典概型的定義和特點(diǎn)；③不是古典概型,

因?yàn)椴环系瓤赡苄?，受多方面因素影?

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的判斷，理解古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)古典概型的定義判斷，即試驗(yàn)結(jié)果個(gè)數(shù)是不是有限的，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)是不是等可能的.

【詳解】

解題提示：判斷一個(gè)概率模型是否為古典概型，關(guān)鍵是考查它是否滿足兩個(gè)條件：①有限性；②等可能性.

解析：①不是古典概型.因?yàn)閺膮^(qū)間口，10］內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，雖滿足等可能性，但由于區(qū)間內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)象可取，所

以它不具備“有限性''這個(gè)條件.

②是古典概型.因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果只有10個(gè)，并且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，所以它不僅具備“有限性”,而且還具備“等

可能性

③是古典概型，任取2球的試驗(yàn)結(jié)果只有10個(gè)，并且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等，.

④不是古典概型，雖然試驗(yàn)的結(jié)果只有2種，但是這枚硬幣的質(zhì)地不均勻，故它不具備“等可能性

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的定義，緊緊抓住兩個(gè)條件：有限性和等可能性即可判斷.

7.A

【解析】

【分析】

分別利用獨(dú)立事件概率的乘法公式求解即可.

【詳解】

從三個(gè)白球和一個(gè)黑球中任意抽取兩球，采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽到的兩球都是白球的概率是=J；

4416

從三個(gè)白球和一個(gè)黑球中任意抽取兩球，采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽到的兩球都是白球的概率是:321

故選：A.

8.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，列出所有可能結(jié)果，結(jié)合古典概率計(jì)算即可.

【詳解】

根據(jù)題意可知，所有抽取結(jié)果如下:

(1,2),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),

(1,3),(2,3),(3,2),(4,2),(5,2),

(1,4),(2,4),(3,4),(4,3),(5,3),

(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,4),

共20種結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)有12種,

故抽得的兩張卡片上的數(shù)字一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)的概率為1為2=：3

故選：B.

9.C

【解析】

【分析】

先分析第二次摸球時(shí)袋子里小球情況，直接求概率即可.

【詳解】

第一次從袋子里隨機(jī)取出一只藍(lán)球，不放回，還剩下9個(gè)小球，其中藍(lán)球3個(gè)，紅球6個(gè),

所以第二次取到紅色小球的概率P=1=|,

故選：C

10.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意列舉樣本空間，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，其中符合題意得樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為7,代入公式計(jì)算.

【詳解】

將3名男性志愿者分別設(shè)為訪b,C,2名女性志愿者分別設(shè)為d,e,這個(gè)實(shí)驗(yàn)的樣本空間可記為

Q={(a,Z>),(a,c),(a,J),(a,e),(&,c),(/7,J),(/7,e),(c,t/),(c,^),(t/,e)),共包含10個(gè)樣本點(diǎn),

記事件A為至少有1名女性志愿者參加，則4={(凡4),(“6),伍,4),伍,6),(64),(0*),(40},A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

為7,

所以尸(4)=(?

故選：D.

11.D

【解析】

【分析】

對(duì)4個(gè)垃圾桶編號(hào)，4袋垃圾編號(hào)，利用列舉法結(jié)合古典概率公式計(jì)算作答.

【詳解】

記“廚余垃圾可回收垃圾”、"其它垃圾”、"有害垃圾'’的垃圾桶分別為1,2,3,4,

小陳提的“廚余垃圾”、"可回收垃圾，“其它垃圾”、“有害垃圾”分別為a,b,

每桶投一袋的不同投法有:

(〃1,b2,c3,d4),(〃1,b2,c4,d3),⑷，b3,c2,J4),(al,b3,c4fd2),(〃1,M,c3fdl),(〃1,b4,C29d3).

(a2fc3,d4).(〃2,bl,c4,d3),(〃2,b3,cl,J4),(?2,63,c4,JI),(a2fM,c3,dl),(a2,b4,cl,J3),

(a3,bl,cl,t/4),(〃3,bl,c4,J2),33,bl,cl,J4),(。3,b2,c4,JI),33,M,cl,J2),33,c2,dl).

(“4,bT,c3,d2)f(〃4,bl,c2,d3),(〃4,b2,c3,dT),(〃4,b2,c\,d3),(〃4,b3.c\,t/2),(〃4,b3,c2,d\),

共24個(gè)，它們等可能,

恰好有兩袋垃圾投對(duì)的事件A有：

(al,bl,c,4,43),(al,b3,cl,J4),(al,M,c3,d2),(a2,bl,c3,<74),(a3,b2,cl,44),(a4,b2,c3,t/l).

共6個(gè)，

所以恰好有兩袋垃圾投對(duì)的概率為P(A)=(=：

故選：D

12.B

【解析】

【分析】

利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，從2,3,4,5中任意選取兩個(gè)不同數(shù)字組成兩位數(shù)為：

23,24,25,32,34,35,42,43,45,52,53,54,共有12個(gè)不同的數(shù)字，

其中這個(gè)兩位數(shù)能被4整除的為：24,32,52,共有3個(gè)，

所以這個(gè)兩位數(shù)能被4整除的概率P=2=

124

故選：B.

13.A

【解析】

【分析】

利用互斥事件的概率加法公式即可得出.

【詳解】

解：?甲不輸包含甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝，

且甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝是互斥事件，

二甲、乙下成和棋的概率P=0.7-0.2=0.5.

故選：A.

14.D

【解析】

【分析】

先計(jì)算2粒都是黑子或2粒都是白子的概率，而取出的2粒顏色不同的對(duì)立事件是2粒都是黑子或2粒都是白子，

利用對(duì)立事件的概率公式求得答案.

【詳解】

2粒都是黑子或2粒都是白子的概率為g+福=￡,

取出的2粒顏色不同的概率為1-5=*

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了互斥事件的概率加法公式，和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可知甲獲勝情況有三種：第一局勝、第二局勝，第一局勝、第二局負(fù)、第三局勝，第一局負(fù)、第二局勝、

第三局勝，由互斥事件概率加法運(yùn)算即可求解.

【詳解】

甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝，甲在每局比賽中獲勝的概率為:，

則甲獲勝有以下三種情況：

224

第一局勝、第二局勝，則甲獲勝概率為=

4

21?=-

第一局勝、第二局負(fù)、第三局勝，則甲獲勝概率為5X3X3

274

1?2=一