浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學2025屆高二上數(shù)學期末考試模擬試題含解析

浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學2025屆高二上數(shù)學期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線的焦點與橢圓的下焦點重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.2．某地為應對極端天氣搶險救災，需調用A，B兩種卡車，其中A型卡車x輛，B型卡車y輛，以備不時之需，若x和y滿足約束條件則最多需調用卡車的數(shù)量為（）A.7 B.9C.13 D.143．已知直線過點，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.4．在中，內角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.5．甲烷是一種有機化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結構模型，已知任意兩個氫原子之間的距離（H-H鍵長）相等，碳原子到四個氫原子的距離（C-H鍵長）均相等，任意兩個H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個氫原子為頂點的四面體的體積為（）A. B.C. D.6．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.48．已知向量，且，則（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的左右焦點分別是和，點關于漸近線的對稱點恰好落在圓上，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.310．設，則有（）A. B.C. D.11．已知，是橢圓的兩焦點，是橢圓上任一點，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡為（）A.圓 B.兩個圓C.橢圓 D.兩個橢圓12．某考點配備的信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機以每分鐘50米的速度從設備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，，則_____________.14．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F(xiàn)構成一個斜三角形，則______15．若滿足約束條件，則的最大值為_________.16．若函數(shù)恰有兩個極值點，則k的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的四個頂點組成的四邊形的面積為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的下頂點為，如圖所示，點為直線上的一個動點，過橢圓的右焦點的直線垂直于，且與交于，兩點，與交于點，四邊形和的面積分別為，，求的最大值.18．（12分）在平面直角坐標系中，圓外的點在軸的右側運動，且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離，記的軌跡為（1）求的方程；（2）過點的直線交于，兩點，以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點，線段交于點，證明：是的中點19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱中點（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值20．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值21．（12分）數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點E是棱的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出橢圓的下焦點，即拋物線的焦點，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點為，即為拋物線焦點，∴，∴.故選：D.2、B【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】設調用卡車的數(shù)量為z，則，其中x和y滿足約束條件，作出可行域如圖所示：當目標函數(shù)經過時，縱截距最大，最大.故選：B3、D【解析】根據題意和直線的點方向式方程即可得出結果.【詳解】因為直線過點，且方向向量為，由直線的點方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D4、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構造方程求得結果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.5、A【解析】利用余弦定理求得，計算出正四面體的高，從而計算出正四面體的體積.【詳解】設，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A6、C【解析】取的中點，連接，易證平面，進一步得到線面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C7、D【解析】設公比為，然后由已知條件結合等比數(shù)列的通項公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設公比為，因為等比數(shù)列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D8、A【解析】利用空間向量共線的坐標表示即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：A9、B【解析】首先求出F1到漸近線的距離,利用F1關于漸近線的對稱點恰落在圓上,可得直角三角形,利用勾股定理得到關于ac的齊次式，即可求出雙曲線的離心率【詳解】由題意可設,則到漸近線的距離為.設關于漸近線的對稱點為M,F1M與漸近線交于A,∴MF1=2b,A為F1M的中點.又O是F1P的中點,∴OA∥F2M,∴為直角,所以△為直角三角形，由勾股定理得：，所以，所以，所以離心率故選:B.10、A【解析】利用作差法計算與比較大小即可求解.【詳解】因為，，所以，所以，故選：A.11、A【解析】設的延長線交的延長線于點，由橢圓性質推導出，由題意知是△的中位線，從而得到點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【詳解】是焦點為、的橢圓上一點為的外角平分線，，設的延長線交的延長線于點，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A12、C【解析】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，求得直線和圓的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結束，因為到的距離為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題設可得，應用累加法有，結合已知即可求.【詳解】由題設，，所以，又，所以.故答案為：.14、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據拋物線定義可得，應用數(shù)形結合及B在C上，求目標式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：應用拋物線的定義將轉化為，再由三角函數(shù)的定義及點在拋物線上求值.15、7【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結合圖象和直線在軸上的截距，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)可化為，當直線過點點時，此時直線在軸上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，即,所以目標函數(shù)的最大值為.故答案為：.16、【解析】求導得有兩個極值點等價于函數(shù)有一個不等于1的零點，分離參數(shù)得，令，利用導數(shù)研究的單調性并作出的圖象，根據圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，解得或，若函數(shù)有2個極值點，則函數(shù)與圖象在上恰有1個橫坐標不為1的交點，而，令，令或，故在和上單調遞減，在上單調遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）因為在橢圓上，所以，又因為橢圓四個頂點組成的四邊形的面積為，所以，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）可知，設，則當時，，所以，直線的方程為，即，由得，則，，，又，所以，由，得，所以，所以，當，直線，，，，，所以當時，.點睛：在圓錐曲線中研究最值或范圍問題時，若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關系；③利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設點，求得到圓上的最小距離為，根據題意得到，整理即可求得曲線的方程；（2）當直線的斜率不存在時，顯然成立；當直線的斜率存在時，設直線的方程，聯(lián)立方程組求得和，得到，結合拋物線的定義和方程求得，，結合，即可求解.【小問1詳解】解：設點，（其中），由圓，可得圓心坐標為，因為在圓外，所以到圓上的點的最小距離為，又由到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離，可得，即，整理得，即曲線的方程為【小問2詳解】解：當直線的斜率不存在時，可得點為拋物線的交點，點為坐標原點，點為拋物線的準線與軸的交點，顯然滿足是的中點；當直線的斜率存在時，設直線的方程，設，，，則，聯(lián)立方程組，整理得，因為，且，則，故，由拋物線的定義知，設，可得，所以，又因為，所以，解得，所以，因為在地物線上，所以，即，所以，即是的中點19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質易得、，再根據線面垂直的判定及性質證明結論；（2）構建空間直角坐標系，確定相關點坐標，進而求的方向向量、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設為面的法向量，則，令得，設與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結果；（2）先求兩個平面法向量，根據向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設平面一個法向量為令設平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和