山西省運(yùn)城市新絳縣第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

山西省運(yùn)城市新絳縣第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意，都有成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C D.2．向量，向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.1C. D.3．若點(diǎn)，在拋物線上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.4．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.05．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（）A.3 B.4C.6 D.116．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.107．若拋物線x2=8y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為9，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）A. B.C.6 D.78．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件9．已知是公差為3的等差數(shù)列.若，，成等比數(shù)列，則的前10項(xiàng)和（）A.165 B.138C.60 D.3010．已知F是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.11．點(diǎn)A是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.12．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某商場對(duì)華為手機(jī)近28天的日銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時(shí)間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數(shù)據(jù)___________.14．已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，則周長的最小值是__________.15．如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,且,則異面直線與所成的角的余弦值為______,點(diǎn)到平面的距離等于______.16．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的焦點(diǎn)，過F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，且的內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為4的正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線EP與平面AEF所成角的正弦值.18．（12分）計(jì)算：（1）求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)（2）已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍19．（12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）線段上是否存在點(diǎn)F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說明理由.20．（12分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨(dú)立的，那么（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.21．（12分）如圖，四邊形是某半圓柱的軸截面（過上下底面圓心連線的截面），線段是該半圓柱的一條母線，點(diǎn)為線的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若，且點(diǎn)到平面的距離為1，求線段的長22．（10分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】對(duì)任意，都有成立，即令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增不等式即，即因?yàn)椋运?，，解得，所以不等式的解集為故選：C.2、C【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量，若，則，解得：，故選：C.3、A【解析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長，根據(jù)角度求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設(shè)等邊三角形的邊長為，則，解得根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，且，設(shè)點(diǎn)在軸上方，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A4、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B5、A【解析】利用橢圓的定義可得，再結(jié)合條件即求.【詳解】由橢圓的定義可知，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以.故選：A.6、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答【詳解】因?yàn)?，則由組合數(shù)性質(zhì)有，即，所以n的值為10.故選：D7、D【解析】設(shè)出P的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：拋物線準(zhǔn)線方程為，P點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，設(shè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則，解得：.故選：D8、C【解析】討論橢圓焦點(diǎn)的位置，根據(jù)離心率分別求出參數(shù)m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.9、A【解析】由等差數(shù)列的定義與等比數(shù)列的性質(zhì)求得首項(xiàng)，然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，解得，所以故選：A10、B【解析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出，的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線段的中點(diǎn)到軸的距離【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程，設(shè)，，，解得，線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】動(dòng)點(diǎn)在曲線，則找出曲線上某點(diǎn)的斜率與直線的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩?duì)求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：解得：故選：A12、B【解析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線方程求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：114、##【解析】利用拋物線的定義結(jié)合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，過點(diǎn)作，垂足為，則，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.15、①.②.【解析】因?yàn)榈酌媸橇庑?可得,則異面直線與所成的角和與所成的角相等,即可求得異面直線與所成的角的余弦值.在底面從點(diǎn)向作垂線,求證垂直平面,即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意畫出其立體圖形:如圖底面是菱形,則異面直線與所成的角和直線與所成的角相等平面,平面又,底面是菱形即故:異面直線與所成的角的余弦值為:在底面從點(diǎn)向作垂線平面,平面,平面故是到平面的距離故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查了求異面直線的夾角和點(diǎn)到面距離,解題關(guān)鍵是掌握將求異面直線夾角轉(zhuǎn)化為共面直線夾角的解法,考查了分析能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.16、##【解析】，作出漸近線圖像，由題可知的內(nèi)切圓圓心在x軸上，過內(nèi)心作OA和AB的垂線，可得幾何關(guān)系，據(jù)此即可求解.【詳解】雙曲線漸近線OA與OB如圖所示，OA與OB關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)△OAB的內(nèi)切圓圓心為，則M在的平分線上，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)于，由，則四邊形為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為得，又，∴，且，∴，∴，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】（1）連接，證明，即可證明平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接，是正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槭沁呴L為4的正三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以直線EP與平面AEF所成角的正弦值為.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得答案;（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合基本不等式求得導(dǎo)數(shù)的取值范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，求得答案.【小問1詳解】由題意得：；【小問2詳解】,由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，則P處的切線的斜率，由為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角可得，由于，故的取值范圍為：.19、（1）（2）存在，1【解析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面向量的法向量和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)面距離公式即可求得點(diǎn)面距離（2）假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在且滿足，由題意得到關(guān)于的方程，解方程即可確定滿足題意的點(diǎn)是否存在【小問1詳解】解：如圖所示，取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槿切问堑妊苯侨切?，所以，因?yàn)槊婷?，面面面，所以平面，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形，可得，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：據(jù)此可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令可得，從而，又，故求點(diǎn)到平面的距離【小問2詳解】解：假設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題意，點(diǎn)在線段上，則，即：，，，，，據(jù)此可得：，，從而，，，，設(shè)與平面所成角所成的角為，則，整理可得：，解得：或（舍去）據(jù)此可知，存在滿足題意的點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即20、（1）甲獲得錄取的可能性大；（2）【解析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式求出甲、乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結(jié)果.（2）應(yīng)用對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率求法，結(jié)合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.【小問1詳解】記“甲通過筆試”為事件，“甲通過面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件A，“乙通過筆試”為事件，“乙通過面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件B，則，，即，所以甲獲得錄取的可能性大.【小問2詳解】記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C，則.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）先證明，，利用判定定理證明平面，從而得到；（2）設(shè)，利用等體積法，由由，解出a.【詳解】（1）證明：由題意可知平面，平面∴∵所對(duì)為半圓直徑∴∴和是平面內(nèi)兩條相交直線∴平面平面∴（2）設(shè)，因?yàn)?，且所以，設(shè)，在等腰直角三角形中，取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,則，取BC1的中點(diǎn)為P，連結(jié)DP，∵，∴，又為的中點(diǎn)，∴,∴，即的高為∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距離為1，而由，即解得：，即.【