2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式1學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊

PAGE2．3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(1)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理、數(shù)學(xué)運算2.駕馭圖象法解一元二次不等式．3.會對含參數(shù)的一元二次不等式分類探討.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第24頁[教材提煉]學(xué)問點一一元二次不等式的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思索問題)我們知道，方程x2＝1的一個解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2＞1的解？你能舉出一個解嗎？你能寫出不等式x2＞1的解集嗎？學(xué)問梳理(1)一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式(quadricinequalityinoneunknown)．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.(2)一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．即一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點．學(xué)問點二二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思索問題)函數(shù)y＝x2－1的零點與方程x2－1＝0及不等式x2－1＞0解之間有什么關(guān)系？學(xué)問梳理(1)Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??(2)不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法eq\x(將原不等式化成ax2＋bx＋c＞0a＞0的形式)eq\x(計算Δ＝b2－4ac的值)Δ＞0eq\x(\a\al(方程ax2＋bx＋c＝0有,兩個不相等的實數(shù)根，,解得x1，x2x1＜x2))eq\x(\a\al(原不等式的解集為,{x|x＜x1，或x＞x2}))Δ＝0eq\x(\a\al(方程ax2＋bx＋c＝0有,兩個相等的實數(shù)根，解得x1＝,x2＝－\f(b,2a)))eq\x(\a\al(原不等式的解集為,{x|x≠－\f(b,2a)))Δ＜0eq\x(\a\al(方程ax2＋bx＋c＝0,沒有實數(shù)根))eq\x(原不等式的解集為R)[自主檢測]1．不等式x＞x2的解集是()A．{x|x＞1} B．{x|x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．R答案：C2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是()A．? B．RC．{x|x＞5} D．{x|x＜2}答案：A3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集為()A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3}C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜x＜2}答案：C4．不等式－x2＋x－2＜0的解集為________．答案：R授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第25頁探究一一元二次不等式的解法[例1]解下列不等式．(1)－x2＋2x－eq\f(2,3)＞0；(2)－eq\f(1,2)x2＋3x－5＞0；(3)4x2－18x＋eq\f(81,4)≤0.[解析](1)兩邊都乘以－3，得3x2－6x＋2＜0，∵3＞0，Δ＝36－24＝12＞0，且方程3x2－6x＋2＝0的根是x1＝1－eq\f(\r(3),3)，x2＝1＋eq\f(\r(3),3).∴原不等式的解集是{x|1－eq\f(\r(3),3)＜x＜1＋eq\f(\r(3),3)}．(2)不等式可化為x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0，∴原不等式的解集為?.(3)不等式可化為16x2－72x＋81≤0，即(4x－9)2≤0，∵4x－9＝0時，x＝eq\f(9,4).∴原不等式的解集為{x|x＝eq\f(9,4)}.解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；(2)計算對應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或依據(jù)判別式說明方程沒有實根；(4)依據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集.1．求不等式2x2－3x－2≥0的解集．解析：∵2x2－3x－2＝0的兩解為x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，且a＝2＞0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)，或x≥2)))).2．解不等式－x2＋2x－3＞0.解析：不等式可化為x2－2x＋3＜0.因為Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x2－2x＋3＝0無實數(shù)解，而y＝x2－2x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集是?.探究二含參數(shù)的一元二次不等式[例2]解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．[解析]原不等式可化為(x－a)(x－a2)＞0.當(dāng)a＜0時，a＜a2，原不等式的解集為{x|x＜a，或x＞a2}；當(dāng)a＝0時，x2＞0，原不等式的解集為{x|x≠0}；當(dāng)0＜a＜1時，a2＜a，原不等式的解集為{x|x＜a2，或x＞a}；當(dāng)a＝1時，a2＝a，原不等式的解集為{x|x≠1}；當(dāng)a＞1時，a＜a2，原不等式的解集為{x|x＜a，或x＞a2}．綜上所述：當(dāng)a＜0或a＞1時，原不等式的解集為{x|x＜a，或x＞a2}；當(dāng)0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|x＜a2，或x＞a}；當(dāng)a＝0時，解集為{x|x≠0}；當(dāng)a＝1時，解集為{x|x≠1}．解含參數(shù)的不等式，可以按常規(guī)思路進行：先考慮開口方向，再考慮判別式的正負，最終考慮兩根的大小關(guān)系，當(dāng)遇到不確定因素時再探討．將本例不等式變?yōu)椋航怅P(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R，a＞0)．解析：因為a＞0，所以原不等式等價于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.①當(dāng)a＝1時，eq\f(1,a)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0無解；②當(dāng)a＞1時，eq\f(1,a)＜1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，得eq\f(1,a)＜x＜1；③當(dāng)0＜a＜1時，eq\f(1,a)＞1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，得1＜x＜eq\f(1,a).綜上，a＞1時，不等式的解集為{x|eq\f(1,a)＜x＜1}；a＝1時，不等式的解集為?；0＜a＜1時，不等式的解集為{x|1＜x＜eq\f(1,a)}．探究三三個二次之間的關(guān)系[例3][教材P52例1、例2的拓展探究](1)已知解集求函數(shù)若不等式y(tǒng)＝ax2－x－c＞0的解集為(－2,1)，則函數(shù)的圖象為()[解析]因為不等式的解集為(－2,1)，所以a＜0，解除C，D；又與坐標(biāo)軸交點的橫坐標(biāo)為－2,1，故選B.[答案]B(2)已知方程的根或函數(shù)零點求不等式若函數(shù)y＝x2－ax＋1有負數(shù)零點，則a的范圍為________．[解析]有零點，∴Δ＝a2－4≥0，∴a≥2或a≤－2，∵f(0)＝1，要使x2－ax＋1＝0有負根，則對稱軸x＝eq\f(a,2)＜0，即a＜0.∴a≤－2.[答案]a≤－2(3)已知解集求不等式已知x2＋px＋q＜0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，解關(guān)于x的不等式qx2＋px＋1＞0.[解析]由已知得，x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的根，∴－p＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)，q＝－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,6)，q＝－eq\f(1,6).∵不等式qx2＋px＋1＞0，∴－eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,6)x＋1＞0，即x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3，故不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．應(yīng)用三個“二次”之間的關(guān)系解題的思想一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著親密的聯(lián)系，即給出了一元二次不等式的解集，則可知不等式二次項系數(shù)的符號和相應(yīng)一元二次方程的根．在解決詳細的數(shù)學(xué)問題時，要留意三者之間的相互聯(lián)系，并在肯定條件下相互轉(zhuǎn)換．授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第26頁分久必合——分類探討思想解含參數(shù)不等式eq\x(?邏輯推理)含有參數(shù)的一元二次不等式，因為含有參數(shù)，便大大增加了問題的困難程度．分類探討是解決這類問題的主要方法，確定分類探討的標(biāo)準(zhǔn)時，要著重處理好以下三點：(1)探討的“時刻”，即在什么時候才起先進行探討．要求轉(zhuǎn)化必到位，過早或過晚探討都會使問題更加困難化．(2)探討的“點”，即以哪個量為標(biāo)準(zhǔn)進行探討．若把握不好這一類，問題就不能順當(dāng)解決．(3)考慮要周到，即探討對象的各種狀況都要加以分析，給出結(jié)論．1．探討二次項系數(shù)型為主當(dāng)二次項系數(shù)為字母時，首先要探討二次項系數(shù)是否為0，若二次項系數(shù)為0，則該不等式變?yōu)橐淮尾坏仁?；若二次項系?shù)不為0，解集則與二次項系數(shù)的正負相關(guān)．[典例]解關(guān)于x的不等式，ax2＋(1－a)x－1＞0.[解析]原不等式化為(x－1)(ax＋1)＞0(1)當(dāng)a＝0時，原不等式為x－1＞0，∴x＞1，(2)當(dāng)a＞0時，原不等式為(x－1)(x＋eq\f(1,a))＞0.兩根為1與－eq\f(1,a)且1＞－eq\f(1,a)，∴得x＞1或x＜－eq\f(1,a)；(3)當(dāng)a＜0時，原不等式化為(x－1)(x＋eq\f(1,a))＜0兩根為1與－eq\f(1,a)，又∵當(dāng)－1＜a＜0時，－eq\f(1,a)＞1，∴得1＜x＜－eq\f(1,a).當(dāng)a＝－1時，不等式為(x－1)2＜0，解集為?，當(dāng)a＜－1時，－eq\f(1,a)＜1，∴得－eq\f(1,a)＜x＜1.綜上，當(dāng)a＞0時，解集為{x|x＞1，或x＜－eq\f(1,a)}；當(dāng)a＝0時，解集為{x|x＞1}；當(dāng)－1＜a＜0時，解集為{x|1＜x＜－eq\f(1,a)}；當(dāng)a＝－1，解集為?；當(dāng)a＜－1時，解集為{x|－eq\f(1,a)＜x＜1}．規(guī)律總結(jié)解二次項含參數(shù)的一元二次不等式肯定要對參數(shù)大于0，等于0和小于0綻開探討．2．探討判別式型為主當(dāng)二次不等式中有字母，且不易視察出所對應(yīng)方程是否有實根，此時應(yīng)對方程有無實根進行探討．[典例]解關(guān)于x的不等式：2x2＋ax＋2＞0.[解析]Δ＝a2－16＝(a－4)(a＋4)．(1)當(dāng)a＞4或a＜－4時，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的兩根為x1＝eq\f(1,4)(－a－eq\r(a2－16))，x2＝eq\f(1,4)(－a＋eq\r(a2－16))．原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,4)－a－\r(a2－16)或x＞\f(1,4)－a＋\r(a2－16))))).(2)當(dāng)a＝±4時，Δ＝0，方程只有一根x＝－eq\f(a,4)，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠－\f(a,4))))).(3)當(dāng)－4＜a＜4時，Δ＜0，方程無根，∴原不等式的解集為R.規(guī)律總結(jié)若一元二次方程判別式符號不確定，應(yīng)分Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0探討．3．探討根的大小型為主當(dāng)一元二次不等式中有字母，而導(dǎo)致根的大小不易區(qū)分時，應(yīng)通過作差法，由根的大小確定字母范圍．[典例]解關(guān)于x的不等式：x2－2x＋1－a2≥0.[解析]原不等式等價于(x－1－a)(x－1＋a)≥0.①當(dāng)a＞0時，1＋a＞1－a，所以原不等式的解集為{x|x≥1＋a，或x≤1－a}．②當(dāng)