2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.4.3第3課時余弦定理正弦定理應用舉例練習含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第六章6.46.4.3第3課時A級——基礎過關練1．某視察站C與兩燈塔A，B的距離分別為300米和500米，測得燈塔A在視察站C的北偏東30°方向上，燈塔B在視察站C的正西方向上，則兩燈塔A，B間的距離為()A．500米 B．600米C．700米 D．800米【答案】C【解析】由題意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，所以AB＝700米．故選C．2．(2024年衡水期中)在△ABC中，a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C的對邊，若滿意條件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有兩個，則b的長度范圍是()A．(0,2) B．(2,4)C．(2eq\r(3)，4) D．(4，＋∞)【答案】C【解析】因為滿意條件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有兩個，所以csinB＜b＜c，即2eq\r(3)<b<4，即b的取值范圍為(2eq\r(3)，4)．故選C．3．(多選)在△ABC中，已知(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，給出下列結論，其中正確結論是()A．由已知條件，這個三角形被唯一確定B．△ABC肯定是鈍三角形C．sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3D．若b＋c＝8，則△ABC的面積是eq\f(15\r(3),2)【答案】BC【解析】∵(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，∴設a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k＞0)，得a＝eq\f(7,2)k，b＝eq\f(5,2)k，c＝eq\f(3,2)k，則a∶b∶c＝7∶5∶3，則sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，故C正確．由于三角形ABC的邊長不確定，則三角形不確定，故A錯誤．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(25,4)k2＋\f(9,4)k2－\f(49,4)k2,2×\f(5,2)×\f(3,2)k2)＝－eq\f(1,2)＜0，則A是鈍角，即△ABC是鈍角三角形，故B正確．若b＋c＝8，則eq\f(5,2)k＋eq\f(3,2)k＝4k＝8，則k＝2，即b＝5，c＝3，A＝120°，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)，故D錯誤．故選BC．4．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點20m，則建筑物高度為()A．20m B．30mC．40m D．60m【答案】C【解析】如圖，設O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，在△ABD中，易知∠A＝30°，∠ADB＝60°－30°＝30°，∴△ABD為等腰三角形，即AB＝BD＝40(m)．5．(2024年讓胡路區(qū)校級月考)在△ABC中，D為BC邊上的一點，滿意BD＝33，sinB＝eq\f(5,13)，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，則AD的長為()A．30 B．35C．20 D．25【答案】D【解析】由cos∠ADC＝eq\f(3,5)＞0，則∠ADC＜eq\f(π,2)，又由已知D為BC邊上的一點，得B＜∠ADC，得B＜eq\f(π,2)，由sinB＝eq\f(5,13)，得cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(12,13).同理由cos∠ADC＝eq\f(3,5)，得sin∠ADC＝eq\f(4,5).則sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).由正弦定理eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，得AD＝eq\f(BD,sin∠BAD)×sinB＝eq\f(33×\f(5,13),\f(33,65))＝25.故選D．6．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長________千米．【答案】eq\r(2)【解析】如圖，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．7．如圖所示，在高速馬路建設中須要確定隧道的長度，工程技術人員已測得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點間的距離為________km.【答案】eq\r(3)【解析】在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)(km)．8．一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過eq\r(3)h，該船實際航程為________km.【答案】6【解析】如圖所示，在△ACD中，AC＝2eq\r(3)，CD＝4eq\r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2eq\r(3)×4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝36.∴AD＝6.即該船實際航程為6km.9．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且cosB＝eq\f(4,5)，b＝2.(1)當A＝eq\f(π,6)時，求a的值；(2)若△ABC的面積為3，求a＋c的值．解：(1)因為cosB＝eq\f(4,5)>0，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).所以sinB＝eq\f(3,5).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,sin\f(π,6))＝eq\f(10,3)，解得a＝eq\f(5,3).(2)由△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB，得eq\f(1,2)ac×eq\f(3,5)＝3，得ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－eq\f(8,5)ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40.所以a＋c＝2eq\r(10).10．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，求兩條船之間的距離．解：如圖所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30m，∴BC＝30m.在Rt△ABD中，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即兩船相距30m.B級——實力提升練11．如圖所示，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是()A．240(eq\r(3)－1)mB．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)mD．30(eq\r(3)＋1)m【答案】C【解析】由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m)．12．(2024年德州期中)中華人民共和國國歌有84個字，37小節(jié)，奏唱須要46秒，某校周一實行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最終一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最終一排的距離為10eq\r(2)米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在同一個水平面上．要使國歌結束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應為()A．eq\f(3\r(3),23)米/秒B．eq\f(5\r(3),23)米/秒C．eq\f(7\r(3),23)米/秒D．eq\f(8\r(3),23)米/秒【答案】B【解析】如圖所示，依題意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)，∴AC＝eq\f(10\r(2),sin30°)×sin45°＝20(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(米)．∵國歌長度約為46秒，∴升旗手升旗的速度應為eq\f(10\r(3),46)＝eq\f(5\r(3),23)(米/秒)．故選B．13．(2024年北京期末)已知等邊△ABC邊長為3，點D在BC邊上，且BD＞CD，AD＝eq\r(7).下列結論中錯誤的是()A．eq\f(BD,CD)＝2 B．eq\f(S△ABD,S△ACD)＝2C．eq\f(cos∠BAD,cos∠CAD)＝2 D．eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝2【答案】C【解析】在△ACD中，由余弦定理有AD2＝CD2＋AC2－2CD·AC·cos60°，即7＝CD2＋9－3CD，解得CD＝1或CD＝2.又BD＞CD，故CD＝1，BD＝2，∴eq\f(BD,CD)＝2，即選項A正確.eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(BD,CD)＝2，故選項B正確．在△ABD中，由余弦定理有cos∠BAD＝eq\f(9＋7－4,2×3×\r(7))＝eq\f(2\r(7),7)，在△ACD中，由余弦定理有cos∠CAD＝eq\f(9＋7－1,2×3×\r(7))＝eq\f(5\r(7),14)，∴eq\f(cos∠BAD,cos∠CAD)＝eq\f(\f(2\r(7),7),\f(5\r(7),14))＝eq\f(4,5)，故選項C錯誤．sin∠BAD＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(7),7)))2)＝eq\f(\r(21),7)，sin∠CAD＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(7),14)))2)＝eq\f(\r(21),14)，∴eq\f(sin∠BAD,sin∠CAD)＝2，故選項D正確．綜上，錯誤的是選項C．故選C．14．如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A，B．燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停岸著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°，與A相距3eq\r(2)海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5海里的C處，此時乙船與燈塔A之間的距離為______海里，兩艘輪船之間的距離為______海里．【答案】5eq\r(13)【解析】連接AC，由題意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，可得AC＝5，∠BAC＝60°.在△ACD中，∠CAD＝45°，依據(jù)余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos∠CAD＝25＋18－2×5×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝13.故乙船與燈塔A之間的距離為5海里，兩艘輪船之間的距離為eq\r(13)海里．15．(2024年廣州月考)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距30eq\r(2)海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心馬上把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為________．【答案】eq\f(\r(17),17)【解析】在△ABC中，AB＝30eq\r(2)，AC＝20，∠BAC＝135°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos135°＝3400，所以BC＝10eq\r(34).由正弦定理得sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(3\r(34),34).由∠BAC＝135°知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝eq\f(5\r(34),34).故cosθ＝cos(∠ACB＋45°)＝cos∠ACB·cos45°－sin∠ACBsin45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(34),34)－\f(3\r(34),34)))＝eq\f(\r(17),17).16．(2024年南陽期末)如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝c(sinB＋cosB)．(1)求∠ACB的大??；(2)若∠ABC＝∠ACB，D為△ABC外一點，DB＝2，DC＝1，求四邊形ABDC面積的最大值．解：(1)在△ABC中，∵a＝c(sinB＋cosB)，∴sinA＝sinC(sinB＋cosB)．∴sin(π－B－C)＝sinC(sinB＋cosB)．∴sin(B＋C)＝sinC(sinB＋cosB)．∴sinBcosC＋cosBsinC＝sinBsinC＋sinCcosB．∴sinBcosC＝sinBsinC．又∵B∈(0，π)，故sinB≠0，∴cosC＝sinC，即tanC＝1.又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).(2)在△BCD中，DB＝2，DC＝1，∴BC2＝12＋22－2×1×2×cosD＝5－4cosD．又∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ACB＝eq\f(π,4)，∴△ABC為等腰直角三角形．∴S△ABC＝eq\f(1,2)×BC×eq\f(1,2)×BC＝eq\f(1,4)BC2＝eq\f(5,4)－cosD．又∵S△BDC＝eq\f(1,2)×BD×DC×sinD＝sinD，∴S四邊形ABDC＝eq\f(5,4)－cosD＋sinD＝eq\f(5,4)＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(D－\f(π,4))).∴當D＝eq\f(3π,4)時，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為eq\f(5,4)＋eq\r(2).17．(2024年上海月考)如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的馬路a經(jīng)過三個景點A，B，C，景區(qū)管委會又開發(fā)了風景美麗的景點D，經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30°方向8km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km.(1)景區(qū)管委會打算由景點D向景點B修建一條筆直的馬路，不考慮其他因素，求出這條馬路的長；(結果精確到0.1km)(2)求景點C與景點D之間的距離．(結果精確到0.1km)參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(6)≈2.449.解：(1)如圖，過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F.在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×8＝4.∴DF＝eq\r(AD2－AF2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AB2－AF2)＝eq\r(52－42)＝3，∴BD＝DF－BF＝4eq\r(3)－3≈3.9