新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)人教A版必修1全冊(cè)導(dǎo)學(xué)案及答案

§1.1.1集合的含義及其表示

［自學(xué)目標(biāo)］

1.認(rèn)識(shí)并理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法；

2.了解屬于關(guān)系和集合相等的意義，初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義；

3.初步掌握集合的兩種表示方法一列舉法和描述法,并能正確地表示一些簡(jiǎn)單的集合.

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.集合和元素

(1)如果。是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合A,記作aeA;

(2)如果a不是集合A的元素,就說(shuō)a不屬于集合A,記作a^A.

2.集合中元素的特性:確定性;無(wú)序性;互異性.

3.集合的表示方法:列舉法;描述法;Venn圖.

4.集合的分類:有限集;無(wú)限集;空集.

5.常用數(shù)集及其記法：自然數(shù)集記作N,正整數(shù)集記作N*或N+，整數(shù)集記作Z,有理數(shù)集記作。，實(shí)數(shù)集記作/?.

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例L下列的研究對(duì)象能否構(gòu)成--個(gè)集合?如果能,采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎舅?

(1)小于5的自然數(shù)；

(2)某班所有高個(gè)子的同學(xué)；

(3)不等式2x+l>7的整數(shù)解；

(4)所有大于0的負(fù)數(shù)；

(5)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，第一、三象限的平分線上的所有點(diǎn).

分析：判斷某些對(duì)象能否構(gòu)成集合，主要是根據(jù)集合的含義,檢查是否滿足集合元素的確定性.

例2.已知集合M={a,b,c］中的三個(gè)元素可構(gòu)成某一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng),那么此三角形

一定是()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

例3.設(shè)aeN,此N,a+b=2,A={(x,刈(x-+(y-a)?=5可，若(3,2)eA,求兄。的值.

分析：某元素屬于集合A,必具有集合A中元素的性質(zhì)p,反過(guò)來(lái),只要元素具有集合A中元素的性質(zhì)p,就一定屬于集

合A.

例4.已知M={2,a,b},%={2。,2,〃},且"=N,求實(shí)數(shù)的值.

［課內(nèi)練習(xí)］

1.下列說(shuō)法正確的是()

(A)所有著名的作家可以形成一個(gè)集合

⑻0與{0}的意義相同

(C)集合A=，xx=，,〃eN+1是有限集

n

(D)方程/+2x+l=0的解集只有一個(gè)元素

2.下列四個(gè)集合中，是空集的是)

A.{xlx+3=3}B.{(x,y)ly2=-x2,x,ye/?)

C.{x\x2<0}D.{xIx2-x+1=0}

fx+y=2

3.方程組=0的解構(gòu)成的集合是()

A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}.

4.已知A={-2,—1,0,1},6={yIy=eA},貝ijB=

5.若4={—2,2,3,4},B={x\x=t\teA},用列舉法表示B=.

［歸納反思］

1.本課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容是集合的含義及其表示方法，難點(diǎn)是元素與集合間的關(guān)系以及集合元素的三個(gè)重要特性的正確使

用；

2.根據(jù)元素的特征進(jìn)行分析，運(yùn)用集合中元素的三個(gè)特性解決問(wèn)題，叫做元素分析法。這是解決有關(guān)集合問(wèn)題的一種

重要方法；

3.確定的對(duì)象才能構(gòu)成集合.可依據(jù)對(duì)象的特點(diǎn)或個(gè)數(shù)的多少來(lái)表示集合,如個(gè)數(shù)較少的有限集合可采用列舉法,而其

它的?般采用描述法.

4.要特別注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)的規(guī)范使用.

［鞏固提高］

1.已知下列條件：①小于60的全體有理數(shù)；②某校高一年級(jí)的所有學(xué)生；③與2相差很小的數(shù)：④方程/=4的所有

解。其中不可以表示集合的有--------------------（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列關(guān)系中表述正確的是---------——（）

2

A0e{x=0}B.0e{（°，°）}cOe0］）.0wN

3.下歹U表述中正確的是----------------------------------------------（）

A.{0}=。B.乩2}={2，1}c.{0}=0口.。斜

4.已知集合A={"-3,2aT，/-l},若一3是集合A的一個(gè)元素，則”的取值是（）

A.0B.-1C.1D.2

x=3+2y

V

5.方程組15x+y=4的解的集合是----------------------------------------（）

A{（LT}B{（—U）}C{（XMKLT）}DHO

2x+4>0

<

6.用列舉法表示不等式組U+xN2x-l的整數(shù)解集合為：____________________________

—G|X|X2-ax--=ol|x|x2--x-a=ol

7.設(shè)212J,則集合〔2J中所有元素的和為：

8、用列舉法表示下列集合：

⑴{(x，y)|x+y=3,xeN,yeN}

⑵{y|x+y=3”N,yeN}

9.已知片{1,2,f—5x+9},后{3,9+a/+a},如果片{1,2,3},2EB,求實(shí)數(shù)a的值.

.A-[n\neZ,\n\<3)?,5=(y|y=x2-1,xe

10.設(shè)集合一"?集合J,

C={(x)，)}=d_i集合，試用列舉法分別寫出集合A、B、C.

LI.2子集、全集、補(bǔ)集

［自學(xué)目標(biāo)］

1.了解集合之間包含關(guān)系的意義.2.理解子集、真子集的概念.3.了解全集的意義,理解補(bǔ)集的概念.

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.子集的概念：如果集合A中的任意??個(gè)元素都是集合B中的元素(若awA,則ae8),那么稱集合A為集合B的子

集(subset),記作Aq8或83A,?/

Aq8還可以用Venn圖表示.(8CD)

我們規(guī)定：0=A.即空集是任何集合的子集.、--------,

根據(jù)子集的定義，容易得到：

⑴任何一個(gè)集合是它本身的子集,即AqA.

⑵子集具有傳遞性,即若A=B且BqC,則AqC.

2.真子集：如果A=8且AW8,這時(shí)集合A稱為集合B的真子集(propersubset).

記作：A緊B

⑴規(guī)定：空集是任何非空集合的真子集.

⑵如果A^B,B豆C,那么上C

3.兩個(gè)集看口等：/果A=8章>=A同時(shí)成立,那么A,8中的元素是一樣的，即4=8.

4.全集：如果集合S包含有我們所要研究的各個(gè)集合，這時(shí)S可以看作一個(gè)全集(Universalset),全集通常記作U.

5.補(bǔ)集：設(shè)A=S,由$中不屬于人的所有元素組成的集合稱為s的子集A的補(bǔ)集

(complementaryset),記作:dsA(讀作A在S中的補(bǔ)集)，即

dsA=｛X|XGS,目/eA｝.

補(bǔ)集的Venn圖表示：

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.判斷以下關(guān)系是否正確：

⑴｛"｝=,｝；⑵｛1,2,3｝=｛3,2,1｝；⑶。={0}:

⑷。。｛。｝：⑸。，｛。｝;⑹。=｛。｝;

例2.設(shè)4={x|-1<x<3,xeZ},寫出A的所有子集.

例3.已知集合M=[a,a+d,a+2d],N-^a,aq,aq~^,其中a*0且M=N，求q和d的值(用a表示).

例4設(shè)全集U={設(shè)3,履+2a—3},A={%-1|,2},QA={5},求實(shí)數(shù)a的值.

例5.已知A=｛x|x<3｝,8=｛x|x<a｝.

⑴若6qA,求。的取值范圍；

⑵若A=8,求a的取值范圍；

⑶若gA緊求a的取值范圍.

[課內(nèi)練習(xí)]

1.下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為()

?0G{0},②中￡{0},③{0,1}1{(0,1)},@{(a,b)}={(b,a)}

J)1(8)2(03(〃)4

2.集合{2,4,6,8}的真子集的個(gè)數(shù)是()

(A)16(B)15(C)14(D)13

3.集合A={正方形},B=株巨形},C=｛平行四邊形｝,D=｛梯形｝,則下面包含關(guān)系中不正確的是()

(A)B(B)BQC(C)CcD(D)A^C

4.若集合，貝山=

5.已知M={x|-2WxW5},N={xa+KxW2a-l}.

(I)若M=N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(H)若MqN,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[歸納反思]

1.這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合之間包含關(guān)系及補(bǔ)集的概念,重點(diǎn)理解子集、真子集,補(bǔ)集的概念,注意空集與全集的相關(guān)知

識(shí),學(xué)會(huì)數(shù)軸表示數(shù)集.

2.深刻理解用集合語(yǔ)言敘述的數(shù)學(xué)命題，并能準(zhǔn)確地把它翻譯成相關(guān)的代數(shù)語(yǔ)言或幾何語(yǔ)言，抓住集合語(yǔ)言向文字語(yǔ)

言或圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化是打開(kāi)解題大門的鑰匙，解決集合問(wèn)題時(shí)要注意充分運(yùn)用數(shù)軸和韋恩圖，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的思想方法

的巨大威力。

[鞏固提高]

1.四個(gè)關(guān)系式：①0u{O}；②0€{0}：③0e{O}；④0={0}.其中表述正確的是[]

A.①，②B.①，③C.①，(4)D.②，④

2.若上卜|x是三角形},P={xIx是直角三角形},則---------------------[]

A.{x|x是直角三角形}B.{x|x是銳角三角形}

C.{x|x是鈍角三角形}D.{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}

3.下列四個(gè)命題：①0={0}；②空集沒(méi)有子集；③任何一個(gè)集合必有兩個(gè)子集；④空集是任何一個(gè)集合的子集.其

中正確的有-----------------------------------------------------[]

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

4.滿足關(guān)系{1,2}cAm{1,2,3,4,5}的集合A的個(gè)數(shù)是-------------------------[]

A.5B.6C.7D.8

5.若x,yeR,A={(x,y)|y=x},8=上=1},則A,6的關(guān)系是---[]

A.A拿BB.A靈BC.A=6D.A^B

6.設(shè)A={x|x45,xwN},B={x|1<x<6,xwN},則C.B=

7.U={x|x2_8x+15=0,xeH},則U的所有子集是

8.已知集合A=*1a<x<5},B={x\x^2},且滿足A=B,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

9.已知集合P={xIx2+x-6=0,xeR},S={xIax+1=O,xe7?},

若SqP,求實(shí)數(shù)a的取值集合.

10.已知M={xIx>0,xe/?},N={x[x>a,xeR}

(1)若N,求a得取值范圍；

(2)若M=N,求a得取值范圍；

(3)若CRM呈C\N,求。得取值范圍.

交集、并集

［自學(xué)目標(biāo)］

1.理解交集、并集的概念和意義

2.掌握了解區(qū)間的概念和表示方法

3.掌握有關(guān)集合的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.交集定義：ACB={x定GA且xGB}

運(yùn)算性質(zhì)：(DACBqA,AABcB

(2)AAA=A,API6=3

(3)AAB=BAA

(4)AqB=AAB=A

2.并集定義：AUB={x|xGA或xGB)

運(yùn)算性質(zhì)：⑴Ac(AUB),Ba(AUB)(2)AUA=A,AU<1>=A

(3)AUB=BUA(4)A=BoAUB=B

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

1.設(shè)人=收}>—2},B={x|x<3},求AC1B和AUB

2.已知全集11=收|x取不大于30的質(zhì)數(shù)},A、B是U的兩個(gè)子集，且ACGB=

{5,13,23},CLAnB={ll,19,29},C5CCuB={3,7},求A,B.

3.設(shè)集合A={|a+l|,3,5},集合B={2a+La+2a,a2+2a—1}當(dāng)ADB={2,3}時(shí),

求AUB

[課內(nèi)練習(xí)]

1.設(shè)A=(-l,3],B=[2,4),求AAB

2.設(shè)A=(0,l],B={0},求AUB

3.在平面內(nèi)，設(shè)A、B、0為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，則下列集合表示什么圖形

(1){P|PA=PB}(2){P|P0=l}

4.設(shè)A={(x,y)|y=—4x+b),B={(x,y)|y=5x—3},求AAB

5.設(shè)A={x|x=2k+1,kGZ},B={x|x=2k一1,k「Z},C={x|x=2k,k〉Z},

求APB,AUC,AUB

［歸納反思］

1.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，可以借助數(shù)軸，還可以借助文氏圖，它們都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)

2.分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想法，明確分類討論思想，掌握分類討論思想方法。

［鞏固提高］

1.設(shè)全集1)=匕，b,c,d,e},N={b,d,e}集合M={a,c,d},則G(MUN)

等于___________________________________

2.設(shè)A={x|xV2},B={x|x>l},求AAB和AUB

3.已知集合A=［l,4),B=(-oo,a),若AJ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

4.求滿足{1,3}UA={1,3,5}的集合A

5.設(shè)人二小鼠?一x—2=0},B=(-2,2],求ADB

6、設(shè)A={(x,y)|4x+my=6},B={(x,y)|y=nx一3}AnB={(1,2)},

貝ijm=n=

7、已知A={2,—1,x2—x+1},B={2y,—4,x+4},C={-1,7}且AAB=C,求x,y的值

8、設(shè)集合A={x12x'+3px+2=0},B={x2x'+x+q=0},其中p,q,xGR,且ACB={L}時(shí)，求p的值和AUB

2

9、某車間有120人，其中乘電車上班的84人，乘汽車上班的32人，兩車都乘的18人，求：⑴只乘電車的人數(shù)⑵

不乘電車的人數(shù)⑶乘車的人數(shù)⑷只乘?種車的人數(shù)

10、設(shè)集合集{x，+2(a+1)x+a—1=0},B={x|x2+4x=0}

⑴若ADB=A,求a的值

⑵若AUB=A,求a的值

集合復(fù)習(xí)課

［自學(xué)目標(biāo)］

1.加深對(duì)集合關(guān)系運(yùn)算的認(rèn)識(shí)

2.對(duì)含字母的集合問(wèn)題有一個(gè)初步的了解

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.數(shù)軸在解集合題中應(yīng)用

2.若集合中含有參數(shù)，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

1.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為2［］,也可表示為{/,4+6,o},求小助+/或

2.已知集合A={xlx<—1或x〉2},集合B={xl4x+p<0},當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍

3.已知全集上{1,3,x3+3x2+2x},A={1,2x—11},若GA={0},則這樣的實(shí)數(shù)x是否存在，若存在，求出x

的值，若不存在，說(shuō)明理山

［課內(nèi)練習(xí)］

1.已知A={x|x<3},B={x|x<a}

(1)若B=A,求a的取值范圍

(2)若A=B,求a的取值范圍

(3)若&A惠B,求a的取值范圍

2.若P={y|y=x2,xGR},Q={y|y=x2+l,xGR},貝iJPAQ=

3.若P={y|y=x2,x6R},Q={(x,y)|y=x?,xWR},貝lJPCQ=

4.滿足{a,b}g,Ac{a,b,c,d,e}的集合A的個(gè)數(shù)是

［歸納反思］

1.由條件給出的集合要明白它所表示的含義，即元素是什么？

2.含參數(shù)問(wèn)題需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時(shí)要求既不重復(fù)也不遺漏。

［鞏固提高］

1.已知集合乂=以除3—2x2—x+2=O},則下列各數(shù)中不屬于M的一個(gè)是()

A.—1B.1C.2D.12

2.設(shè)集合A={x|—lWx<2},B={x|x<a},若AABW小，則a的取值范圍是()

A.a<2B.a>—2C.a>—1D.—lWaW2

3.集合A、B各有12個(gè)元素，APB中有4個(gè)元素，則AUB中元素個(gè)數(shù)為

|kI

4.數(shù)集M={x|x=k+—,AeN},N={xx=---，左eN},則它們之間的關(guān)系是

424

5.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x—y=4},那么集合MGN=

6.設(shè)集合A={x|x?—px+15=0},B={xIx2—5x+q=0},若AUB={2,3,5},貝(IA=

B=________________

7.已知全集U=R,A={x|xW3},B={x0<xW5},求(CuA)AB

8.已知集合A={x|x-‘一3x+2=0},B={x|x2-mx+(m—1)=0},且B呈A,求實(shí)數(shù)m的值

9.已知A={x|x'+x—6=0},B={x|mx+l=0},且AUB=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍

10.已知集合A={x|—2<x<一1或x>0},集合B={x|aWxWb},滿足ACB={x|0VxW2},AUB={x|x>一2},求a、

b的值

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象(1)

［自學(xué)目標(biāo)］

1.體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，理解函數(shù)的概念;

2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素有定義域、值域與對(duì)應(yīng)法則；

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.函數(shù)的定義：y=/(x),xeA.

2.函數(shù)概念的三要素：定義域、值域與對(duì)應(yīng)法則.

3.函數(shù)的相等.

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)：

2八

(1)x-一，XKO,xwR;

X

(2)x—>y，這里y2=x,xwN,yeR.

補(bǔ)充：(1)A=R,B={x&RIx>0},/:x—>y=|x|；

(2)A-B-N,f:xy=\x-3\；

(3)A={xeRIx>0},B=R,f:xTy=±G；

(4)A={x|OWxW6},8={x|0WxW3}J:x.,='1?

分析：判斷是否為函數(shù)應(yīng)從定義入手，其關(guān)鍵是是否為單值對(duì)應(yīng)，單值對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵是元素對(duì)應(yīng)的存在性和唯?性。

例2.下列各圖中表示函數(shù)的是-------------------------------------------［］

例3.在下列各組函數(shù)中,/(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是一]

A./(x)=l,g(x)=x°B.y=x與y=\[x^

C.y=，與y=(x+l)2D.f(x)=Ix],g(x)=JP"

3x-6(x)0)

例4已知函數(shù)/(x)求/⑴及/"⑴]

x+5(x<0),

［課內(nèi)練習(xí)］

1.下列圖象中表示函數(shù)y=f(x)關(guān)系的有---------------------------------()

A.(1)(2)(4)B.(1)(2)

C.⑵⑶(4)

D.⑴(4)

2.下列四組函數(shù)中，表示同

一函數(shù)的是-----------------------------------()

A.y=-12x+9和y=|3-2x|B.y=Y和y=x|x|

C.y=x^Ay=D.y=y=(Vxj

3.下列四個(gè)命題

(1)f(x)=Jx-2+Jl-x有意義；

(2)/(x)表示的是含有x的代數(shù)式

(3)函數(shù)y=2x(xwN)的圖象是一直線；

x~X20

(4)函數(shù)y=('"的圖象是拋物線，其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

-x2,x<0

A.1B.2C.3D.0

[x2-l(x>l)J3

4.已知f(x)=/\貝ijf(")=___________________；

[1-f(x<1)3

5.已知f滿足f(a?=f(a)+f\b),且f(2)=p,/⑶=q那么/(72)=

［歸納反思］

1.本課時(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容是函數(shù)的定義與函數(shù)記號(hào)/（*）的意義，難點(diǎn)是函數(shù)概念的理解和正確應(yīng)用；

2.判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)，是函數(shù)概念的一個(gè)重要應(yīng)用，要能緊扣函數(shù)定義的三要素進(jìn)行分析，從而正確地

作出判斷.

［鞏固提高］

1.下列各圖中，可表示函數(shù)y=/（x）的圖象的只可能是--------------------［］

值域是___________________

g好1)73

7.已知/*)=",則入牛）=

1-x2(|x|<1)

8.設(shè)/(x)=d+i,求〃/"(0)]｝的值

19

9.已知函數(shù)/*)=一%+3,求使/(不)￡(一,4)的x的取值范圍

28

10.若/(x)=2x2+l,g(x)=x—l,求/［g(x)］，g［f(x)］

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象(2)

［自學(xué)目標(biāo)］

掌握求函數(shù)定義域的方法以及步驟；

［知識(shí)要點(diǎn)］

1、函數(shù)定義域的求法：

(1)由函數(shù)的解析式確定函數(shù)的定義域；

(2)由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)的定義域；

(3)不給出函數(shù)的解析式，而由/(%)的定義域確定函數(shù)/［g(x)］的定義域。

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.求下列函數(shù)的定義域：

(I)/(x)=VT+X-X(2)(3)f(x)=-^r-(4)/(X)=A/5-X+-^―

x-兇1+￡2-x

X

分析：如果/(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集H；如果/,(X)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母工0的實(shí)數(shù)

的集合；如果/(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的表達(dá)式的實(shí)數(shù)的集合?！镒⒁舛x域的表示可以

是集合或區(qū)間。

例2.周長(zhǎng)為/的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如圖)，若矩形底邊長(zhǎng)為2x,求此框架圍成的面積y與

x的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域

例3.若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋垡豢冢?/p>

(1)求函數(shù)/(x+1)的定義域；

(2)求函數(shù)y=f(x+；)+/(X-；)的定義域。

[課內(nèi)練習(xí)]

1.函數(shù)〃司=丁、的定義域是----------------------------------()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.[0,+oo)D.R

2.函數(shù)f(x)的定義域是則y=f(3-x)的定義域是-----------------()

2

A[0,1]B[2,-]C[0,-]D~,3)

22

3.函數(shù)〃x)=(l—x)°+"=的定義域是：

4.函數(shù)/'(x)=lg(x-5)的定義域是

5.函數(shù)/(》)=3三+1。83(》+1)的定義域是____________________________

x-1

[歸納反思]

1.函數(shù)定義域是指受限制條件下的自變量的取值；

2.求函數(shù)的定義域常常是歸結(jié)為解不等式和不等式組；

[鞏固提高]__________

1.函數(shù)y=Jl—x2+J》2—1的定義域是---------------------------[]

A.[—1,1]B.(—oo,—1]U[1,+8)C.[0,1]D.{-1,1)

2.已知/(%)的定義域?yàn)閇一2,2],則/(1一2元)的定義域?yàn)?---------[]

A.[—2,2]B.[—,—]C.[—1,3]D.[—2,—]

222

3.函數(shù)y的定義域是一一[]

A.^x|x>OjB.|x|x<01C.D.

4.函數(shù)的定義域是_____________________________

X

5.函數(shù)/(x)=|x+1的定義域是.；值域是

6.函數(shù)的定義域是：.

1-rl

7.求下列函數(shù)的定義域

Jl-X

(1)y=j2x+3；(2)y=-------------y=

(l-2x)(x+l)x+5

8.若函數(shù)〃x)的定義域?yàn)閤e[-3,1],則產(chǎn)(x)=/(%)+4—x)的定義域.

9.用長(zhǎng)為30cm的鐵絲圍成矩形，試將矩形面積S(cm?)表示為矩形一邊長(zhǎng)x(c〃?)的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象.

10.已知函數(shù)/(x)=ax2+bx+c,若/(0)=0,/(x+1)=/(x)+x+1,求/(X)的表達(dá)式.

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象（3）

［自學(xué)目標(biāo)］

掌握求函數(shù)值域的基本求法；

［知識(shí)要點(diǎn)］

函數(shù)值域的求法

函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則確定的，因此，要求函數(shù)的值域，一般要從函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則入手分

析，常用的方法有：

（1）觀察法；（2）圖象法；（3）配方法；（4）換元法。

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.求下列函數(shù)的值域：

（1）y=2x+l,xe{1,2,3,4,5}；

(2)y=Vx+1;

x

(3)y=7

x+1

1-x2

(4)

(5)y=-x2-2x+3變題：y=—x2-2x+3(-5<xW-2)；

(6)y-x+J2x-1

分析：求函數(shù)的值域，一種常用的方法就是將函數(shù)的解析式作適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)觀察或利用熟知的基本函數(shù)（如一次

函數(shù)、二次函數(shù)等）的值域，從而逐步推出所求函數(shù)的值域（觀察法）；或者也可以利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值域。

25

例2.若函數(shù)y=x?-3x-4的定義域?yàn)椋?,〃?］,值域?yàn)椋?---,-4］,求〃?的取值范圍

4

［課堂練習(xí)］

2

1.函數(shù)y=-j——'(x〉。)的值域?yàn)?)

A.[0,2]B.(0,2]C.(0,2)D.[0,2)

2.函數(shù)y=2x'-4x-3,0Wx<3的值域?yàn)?

A(-3,3)B(-5,-3)C(-5,3)D(-5,+0°)

2

3.函數(shù)y=—e[―4,—1]的最大值是)

A.2B.—C.—1D.—4

2

4.函數(shù)y=x2(xW-2)的值域?yàn)?/p>

5.求函數(shù)y=x+Jl-2x的定義域和值域

[歸納反思]

求函數(shù)的值域是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，方法靈活多樣，初學(xué)時(shí)只要掌握幾種常用的方法，如觀察法、圖象法、配方法、

換元法等，在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)有一些新的方法(例如運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、配方法、分段討論法、不等式法等等)，可

以逐步地深入和提圖°

[鞏固提高]

1.函數(shù)y=L(X>1)的值域是---------------------------------------[]

X

A.(-oo,0)U(0,+oo)B.RC.(0,1)D.(1,+8)走

2.下列函數(shù)中，值域是(0,+oo)的是-------------------------------[]

A.y=7x2-3x+lB.y=2x+l(x>0)C.y=x2+x+\D.y=\

x-

3.已知函數(shù)〃x)的值域是[—2,2],則函數(shù)y=〃x+l)的值域是-----[]

A.[—1,3]B.[—3,1]C.[―2,2]D.[—1,1]

4.f(x)=x2—W，xe{±1,±2,±3},則/(x)的值域是:.

5.函數(shù)y=x—2m+2的值域?yàn)?.

6.函數(shù)y=—~!---的值域?yàn)?_________________________.

x—2x+2

7.求下列函數(shù)的值域

(1)y=yfx-1(2)y=-2廠—x—1(3)y=x~(—2<x<3)

y2_11I7V

(4)y=----(5)y=2x-vx-1(6)y=-----

x2+\l-3x

8.當(dāng)xe[l,3]時(shí)，求函數(shù)/(x)=2——6x+c的值域

§2.1.1函數(shù)的概念與圖象(4)

［自學(xué)目標(biāo)］

1.會(huì)運(yùn)用描點(diǎn)法作出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象，從“形”的角度進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的理解；

2.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象的描繪和研究，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.函數(shù)圖象的概念

將自變量的一個(gè)值將作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值/(X。)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)(Xoj(x。)).當(dāng)自變

量取遍函數(shù)定義域A中的每?個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn).所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)為｛(x,/(x))|xeA｝,

即｛(x,y)|y=所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)y=/(x)的圖象.

2.函數(shù)圖象的畫法

畫函數(shù)的圖象，常用描點(diǎn)法，其基本步驟是：⑴列表；⑵描點(diǎn)；⑶連線.在畫圖過(guò)程中，一定要注意函數(shù)的定義域和

值域.

3.會(huì)作圖，會(huì)讀(用)圖

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

例1.畫出下列函數(shù)的圖象，并求值域：

(l)y=3x-l,xG［1,2］；(2)y-(-1)x,xe(0,1,2,3)；

⑶y=|x|；變題：y=|x-l|；(4)y=x2-?\x\-2

例2.直線尸3與函數(shù)產(chǎn)||圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

(1)4個(gè)(皮3個(gè)(O2個(gè)(。)1個(gè)

例3.下圖中的A.B.C.D四個(gè)圖象中，用哪三個(gè)分別描述下列三件事最合適，并請(qǐng)你為剩下的一個(gè)圖象寫出一件事。

(1)我離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，停下來(lái)想了一會(huì)還是返回家取了作業(yè)本再上學(xué);

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；

（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來(lái)為了趕時(shí)間加快了速度。

［課堂練習(xí)］

1.下列四個(gè)圖像中，是函數(shù)圖像的是（）

A、（1）B、（1）、（3）＞（4）C、（1）、（2）、（3）D、（3）、（4）

2.直線x=a（aeR）和函數(shù)y=Y+i的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（）

A至多一個(gè)B至少有一個(gè)C有且僅有一個(gè)D有一個(gè)或兩個(gè)以上

3.函數(shù)y=|x+l|+l的圖象是（）

4.某企業(yè)近幾年的年產(chǎn)值如圖，則年增長(zhǎng)率最高的是（）（年增長(zhǎng)率=年增

長(zhǎng)值/年產(chǎn)值）

A）97年B）98年

C）99年D）00年

5.作出函數(shù)y=x2-2x-3（x?-l或x〉2）的圖象；

［歸納反思］

1.根據(jù)函數(shù)的解析式畫函數(shù)的圖象，基本方法是描點(diǎn)法,但值得指出的是：一要注意函數(shù)的定義域，二要注意對(duì)函

數(shù)解析式的特征加以分析，充分利用已知函數(shù)的圖象提高作圖的速度和準(zhǔn)確性；

2.函數(shù)的圖象是表示函數(shù)的一種方法，通過(guò)函數(shù)的圖象可以直觀地表示x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及兩個(gè)變量變化過(guò)程中

的變化趨勢(shì)，以后我們會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用函數(shù)解析式與函數(shù)圖象兩者的有機(jī)結(jié)合來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì).

［鞏固提高］

1.某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開(kāi)始就跑步，等跑累了再走作余下的路，在下圖中縱軸表示離學(xué)校

距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下圖中較符合學(xué)生走法的是（）

（1）前三年中，產(chǎn)量增

長(zhǎng)的速度越來(lái)越快；

（2）前三年中，產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；

（3）第三年后，年產(chǎn)量保持不變；

（4）第三年后，年產(chǎn)量逐步增長(zhǎng).

其中說(shuō)法正確的是()

A.（2）與（3）B.（2）與（4）C.（1）與（3）D.(1)與(4)

3.下列各圖象中，哪一個(gè)不可能是函數(shù)y=/（X）的圖象()

%

0

8.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)和"2,1),則此函數(shù)的解析式為

9.若二次函數(shù)y--x2+2mx-m2+3的圖象的對(duì)稱軸為x--2,則=

10.在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)/(x)=(x—l)2與g(x)=|x—l|的圖象

(1)問(wèn)：y=g(x)的圖象關(guān)于什么直線對(duì)稱？

(2)已知X］<X2<1,比較大?。篻(X1)g(x2)

§2.1.2函數(shù)的表示方法

［自學(xué)目標(biāo)］

1.了解表示函數(shù)有三種基本方法:圖象法、列表法、解析法;理解函數(shù)關(guān)系的三種表示方法具有內(nèi)在的聯(lián)系，在一定的

條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的.

2.了解求函數(shù)解析式的一些基本方法,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的解析式.

3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)的特點(diǎn)以及應(yīng)用.

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.表第鹵馥的方法,常用的有:解析法,列表法和圖象法.

在表示函數(shù)的基本方法中，列表法就是直接列表表示函數(shù)，圖象法就是直接作圖表示函數(shù),而解析法是通過(guò)函數(shù)解析式

表示函數(shù).

2.求函數(shù)的解析式，一般有三種情況

⑴根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)的關(guān)系式；

⑵已知函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式；

⑶運(yùn)用換元法求函數(shù)的解析式；

3.分段函數(shù)

在定義域內(nèi)不同部分上,有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)；

注意：

①分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不是兒個(gè)函數(shù)；

②分段函數(shù)的定義域是x的不同取值范圍的并集;其值域是相應(yīng)的y的取值范圍的并集

［例題分析］

例L購(gòu)買某種飲料X聽(tīng)，所需錢數(shù)為y元.若每聽(tīng)2元，試分別用解析法、列表法、圖象法將y表示x(xw{1,2,3,4})

成的函數(shù)，并指出該函數(shù)的值域.

例2.(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=4x-l,求f(x)的表達(dá)式;

(2)已知f(2x-3)=x2+x+l,求f(x)的表達(dá)式；

例3.畫出函數(shù)/(x)=W的圖象，并求八一3)，/(3),/(-1),/(1),/(/(-2))

變題①作出函數(shù)/(x)=|x+l|/(x)=|x—2|的圖象

變題②作出函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的圖象

變題③求函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的值域

變題④作出函數(shù)f(x)=|x+1|+Ix-2|的圖象，是否存在x0使得f(x0)=2&?

通過(guò)分類討論，將解析式化為不含有絕對(duì)值的式子.

-2x+l,XV-1,

f(x)=|x+l|+|x-2|=<3,-1<x<2,

2x-l,x>2

作出f(x)的圖象

由圖可知，/(X)的值域?yàn)椋?,+8),而2后<3,故不存在/,使/(%)=20

X4~5,X—1,

例4.已知函數(shù)/(x)=<一

2x,x>1.

(1)求f(-3)、f［f(-3)］；(2)若f(a)=,，求a的值.

2

［課堂練習(xí)］

1.用長(zhǎng)為30cm的鐵絲圍成矩形，試將矩形面積S(cm2)表示為矩形?邊長(zhǎng)x(cm)的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象.

2.若f(f(x))=2x—l,其中f(x)為一次函數(shù),求f(x)的解析式.

3.已知f(x-3)=x?+2x+1,求f(x+3)的表達(dá)式.

4.如圖,根據(jù)y=f(x)(xeR)的圖象,寫出y=f(x)的解析式.

［歸納反思］

1.函數(shù)關(guān)系的表示方法主要有三種：解析法,列表法和圖象法.這三種表示方法各有優(yōu)缺點(diǎn),千萬(wàn)不能誤認(rèn)為只有解析

式表示出來(lái)的對(duì)應(yīng)關(guān)系才是函數(shù)；

2.函數(shù)的解析式是函數(shù)的對(duì)常用的表示方法,要求兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要

求出函數(shù)的定義域；

3.無(wú)論運(yùn)用哪種方法表示函數(shù)，都不能忽略函數(shù)的定義域;對(duì)于分段函數(shù)，還必須注意在不同的定義范圍內(nèi)，函數(shù)有不

同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,必須先分段研究,再合并寫出函數(shù)的表達(dá)式.

［鞏固提高］

1.函數(shù)f(x)=|x+3|的圖象是-------------------------------------------------------------()

2.已知〃2x)=2x+3,則“X)等于--()

3x

A.xH—B.x+3C.—F3D.2尤+3

22

3.已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)以及(0,1),則此一次函數(shù)的解析式為------()

A.y=-x+lB.y=x+lC.y=x-1D.y=-x-l

x+2(x<-l)

4.已知函數(shù)>=/(》)=卜2(_1<》<2),且"")=3,則實(shí)數(shù)a的值為---()

2x(x>2)

A.1B.1.5C.-V3D.g

5.若函數(shù)/(x)=x1+--1,則/(一5)=

6.某航空公司規(guī)定，乘機(jī)所攜帶行李的重量(依)與其運(yùn)費(fèi)(元)由如圖的一次函y(元)

數(shù)圖象確定，那么乘客免費(fèi)可攜帶行李的最大重量為

xx>0,

7.畫出函數(shù)f(x)=1,的圖象，

xx<0,

并求f(省+2)+f(0一2的值.

8.畫出下列函數(shù)的圖象

x2+1,x<0

⑴y=x—|1—x|⑵>'

-2.x,x>

9.求函數(shù)y=l一|1-x|的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積.

10.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P,它沿著折線

BCDA由點(diǎn)B(起點(diǎn))向A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,

△APB的面積為y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表示式，并指出定義域;

(2)畫出y=f(x)的圖象.

函數(shù)的單調(diào)性(一)

［自學(xué)目標(biāo)］

1.掌握函數(shù)的單調(diào)性的概念2.掌握函數(shù)單調(diào)性的證明方法與步驟

［知識(shí)要點(diǎn)］

1.發(fā)判而簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性⑴直接法⑵圖象法

2.會(huì)用定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性：(取值，作差，變形，定號(hào)，判斷)

3.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的聯(lián)系與區(qū)別

［預(yù)習(xí)自測(cè)］

1.畫出下列函數(shù)圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間：

,1

(1)y=-x'+2(2)y--(xW0)

x

2.證明/(x)=-J7在定義域上是減函數(shù)

3.討論函數(shù)y=Y的單調(diào)性

［課內(nèi)練習(xí)］

1.判斷/(x)=x2-l在(0,+8)上是增函數(shù)還是減函數(shù)

2.判斷/*)=--+2x在(一8,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)

3.下列函數(shù)中，在(0,2)上為增函數(shù)的是()

(A)y=-(B)y=2x-l(C)y=l-x(D)y=(2x-l)2

X

4.函數(shù)y='-l的單調(diào)遞區(qū)間為

X

,1

5.證明函數(shù)f(x)=一0廠+x在(一，+oo)上為減函數(shù)

2

［歸納反思］

1.要學(xué)會(huì)從“數(shù)”和“形”兩方面去理解函數(shù)的單調(diào)性

2.函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)區(qū)間而言的，它反映的是函數(shù)的局部性質(zhì)

［鞏固提高］

1.已知f(X)=(2k+lx+l在(-8,4-CO)上是減函數(shù)，貝Ij()

(A)k>-(B)k<-(C)k>--(Dk<--

2222

2.在區(qū)間(0,+8)上不是增函數(shù)的是()

2

(A)y=2x+l(B)y=3x2+1(C)y=—(D)y=3x2+x+1