（圓夢高考數(shù)學）專題5.2 誘導公式及三角恒等變換（含答案及解析）

專題5.2誘導公式及三角恒等變換題型一利用誘導公式進行化簡與求值題型二利用互余互補關系進行求值題型三三角恒等變換的簡單化簡與求值題型四輔助角公式的應用題型五給角求值型題型六給值求值型題型七給值求角型題型八三角恒等式的證明題型一 利用誘導公式進行化簡與求值例1．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學?？计谥校┮阎瑒t的值為（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·江蘇揚州·高一?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊為x的非負半軸，終邊經(jīng)過點．(1)求的值；(2)求的值．練習1．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學校考階段練習）（

）A． B． C． D．練習2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知，，且滿足，則（

）A． B． C． D．練習3．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則______．練習4．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學?？茧A段練習）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點.(1)求的值；(2)求的值.練習5．（2023春·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學?？计谥校┮阎c是角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．題型二 利用互余互補關系進行求值例3．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學校考期中）已知，則___________．例4．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學校考階段練習）若，則__________.練習6．（2021·高三課時練習）已知，則＝（）A． B． C． D．練習7．（2023春·浙江寧波·高三?？茧A段練習）已知，則等于（

）A． B． C． D．練習8．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．練習9．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）已知向量，，若，則等于（

）A． B．C． D．練習10．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為______.題型三 三角恒等變換的簡單化簡與求值例5．（2023春·浙江杭州·高三?？计谥校┫铝懈魇街校禐榈氖牵?/p>

）A． B． C． D．例6．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．練習11．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校聯(lián)考期中）已知，則的值為（

）A． B． C． D．練習12．（2023春·江蘇泰州·高三江蘇省口岸中學?？茧A段練習）（

）A． B． C． D．練習13．（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考二模）如圖，三個相同的正方形相接，則__________.練習14．（2023春·北京·高三北京八中校考期中）的值為____________.15．（甘肅省頂級名校2022-2023學年高三下學期期中考試數(shù)學試題）（

）A． B．4 C． D．2題型四 輔助角公式的應用例7．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）的值所在的范圍是（

）A． B． C． D．例8．（2023春·山東青島·高三?？计谥校┖瘮?shù)的最大值為__________.練習16．（2023春·廣東深圳·高三深圳中學校考期中）函數(shù)的最小正周期和振幅分別是（

）A． B． C． D．練習17．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）函數(shù)的最小正周期是______．練習18．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．練習19．（2023·北京·高三專題練習）若函數(shù)的最大值為2，則__________，的一個對稱中心為__________.練習20．（2021春·廣東深圳·高三紅嶺中學?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求的周期和最大值；(2)若，求的值.題型五 給角求值型例9．（2022春·高三課時練習）求________.例10．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學?？茧A段練習）（多選）下列各式中值為的是（

）A． B．C． D．練習21．（2022·全國·高一專題練習）的值為（）A． B． C． D．練習22．（2022·陜西西安·西安中學校考模擬預測）若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．練習23．（2022春·江蘇淮安·高三淮陰中學校考階段練習）（多選）下列式子成立的是（

）A． B．C． D．練習24．（2023春·湖北武漢·高三湖北省武昌實驗中學?？茧A段練習）計算：（）A． B． C． D．練習25．（2023春·重慶銅梁·高三銅梁中學校校考階段練習）（多選）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．題型六 給值求值型例11．（2023春·河南南陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．例12．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚中高級中學校聯(lián)考期中）已知都是銳角，.(1)求的值；(2)求的值.練習26．（2023春·福建三明·高三永安市第九中學?？茧A段練習）若＝2，則tan＝____________.練習27．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知，且，那______.練習28．（2023春·四川成都·高三成都七中統(tǒng)考階段練習）若，則（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2練習29．（2023春·湖南長沙·高三雅禮中學?？计谥校┤?，，，，則（

）A． B． C． D．練習30．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學校聯(lián)考模擬預測）若，，則（

）A． B． C． D．題型七 給值求角型例13．（2023春·江蘇泰州·高二江蘇省口岸中學校考階段練習）已知，且，.(1)求的值；(2)求的值.例14．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.練習31．（2022秋·四川·高三四川外國語大學附屬外國語學校?？计谥校懗鲆粋€使等式成立的的值為_______.練習32．（2022秋·湖北襄陽·高三襄陽五中校考階段練習）已知，，，，則（

）A．或 B．C． D．練習33．已知，且．(1)求的值；(2)求的值．練習34．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學?？计谥校┮阎?，.(1)求的值；(2)若，，求的值.練習35．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知，，且，．(1)求；(2)求角的大?。}型八 三角恒等式的證明例15．證明下列恒等式.（1）；（2）.例16．（2022·高一課時練習）證明下列恒等式.（1）；（2）；（3）.練習36．求證：．練習37．（2023春·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）求證：．練習38．（2023春·上海浦東新·高三?？茧A段練習）求證：(1)；(2)在非直角三角形ABC中，練習39.證明下列各恒等式：；；．練習40．證明：（1）求證：；（2）求證：;

專題5.2誘導公式及三角恒等變換題型一利用誘導公式進行化簡與求值題型二利用互余互補關系進行求值題型三三角恒等變換的簡單化簡與求值題型四輔助角公式的應用題型五給角求值型題型六給值求值型題型七給值求角型題型八三角恒等式的證明題型一 利用誘導公式進行化簡與求值例1．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導公式化簡，再根據(jù)商數(shù)公式弦化切即可得答案.【詳解】.故選：B.例2．（2023秋·江蘇揚州·高一?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，角的頂點為坐標原點，始邊為x的非負半軸，終邊經(jīng)過點．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義運算求解；（2）根據(jù)誘導公式化簡求值.【詳解】（1）由題知角終邊經(jīng)過點，則，∴，，故.（2）由（1）知，則，故.練習1．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學?？茧A段練習）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選：C.練習2．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結合誘導公式分析判斷.【詳解】因為，可得，結合，可得，又因為，，則，所以，整理得.故選：B.練習3．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則______．【答案】7【分析】由已知條件利用同角三角函數(shù)關系式求出，從而得出，再利用誘導公式，弦化切即可得結果.【詳解】因為，且，所以，所以．所以．故答案為：7.練習4．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學?？茧A段練習）已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)-1【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得的值；（2）方法：1：由（1）知，結合誘導公式和三角函數(shù)的基本關系式，化為齊次式，代入，即可求解；方法2：利用三角函數(shù)的定義求得，結合誘導公式，代入即可求解.【詳解】（1）解：因為角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點，由三角函數(shù)的定義，可得.（2）解：方法1：由（1）知，則.方法2：由角終邊過點，可得，則，，所以.練習5．（2023春·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學?？计谥校┮阎c是角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，再根據(jù)誘導公式計算得到答案.【詳解】點是角終邊上一點，故，.故選：D題型二 利用互余互補關系進行求值例3．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學?？计谥校┮阎瑒t___________．【答案】/【分析】由，再結合誘導公式，即可求解.【詳解】因為，故答案為：例4．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學?？茧A段練習）若，則__________.【答案】/【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導公式即可求解.【詳解】.故答案為：.練習6．（2021·高三課時練習）已知，則＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意利用誘導公式，求得要求式子的值．【詳解】∵，則，故選：B．練習7．（2023春·浙江寧波·高三?？茧A段練習）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過，利用誘導公式變形計算.【詳解】.故選：A.練習8．（2023春·浙江杭州·高三?？计谥校?）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）因為，所以，再由同角三角函數(shù)的基本關系結合二倍角公式可求出答案；（2）由誘導公式可將所求表達式化簡為，即可得出答案.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，所以.（2）.練習9．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預測）已知向量，，若，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，則，可求得，然后利用誘導公式求解即可.【詳解】因為，所以，即，則，所以.故選：B.練習10．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為______.【答案】【分析】根據(jù)誘導公式以及同角關系即可求解.【詳解】由可得，故答案為：題型三 三角恒等變換的簡單化簡與求值例5．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）下列各式中，值為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用和差角公式、二倍角公式化簡各選項，計算判斷作答.【詳解】對于A，，A不符合；對于B，，B不符合；對于C，，C符合；對于D，，D不符合.故選：C例6．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正切函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因為，所以.故選：A.練習11．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校聯(lián)考期中）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定得到，，展開計算得到答案.【詳解】，，，故，.故選：A練習12．（2023春·江蘇泰州·高三江蘇省口岸中學?？茧A段練習）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式及兩角和的正弦公式求解．【詳解】．故選：B．練習13．（2023·遼寧撫順·校聯(lián)考二模）如圖，三個相同的正方形相接，則__________.【答案】/【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，利用差角的正切求解作答.【詳解】依題意，，所以.故答案為：練習14．（2023春·北京·高三北京八中?？计谥校┑闹禐開___________.【答案】2【分析】由變形求解.【詳解】解：因為，所以，所以.故答案為：215．（甘肅省頂級名校2022-2023學年高三下學期期中考試數(shù)學試題）（

）A． B．4 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式和二倍角的正弦公式可求出結果.【詳解】．故選：B題型四 輔助角公式的應用例7．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）的值所在的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式變形，再探討角所在區(qū)間即可判斷作答.【詳解】，而，則，即有，所以的值所在的范圍是.故選：A例8．（2023春·山東青島·高三?？计谥校┖瘮?shù)的最大值為__________.【答案】【分析】利用誘導公式和輔助角公式化簡函數(shù)為，可得最大值.【詳解】，其中，所以的最大值為.故答案為：練習16．（2023春·廣東深圳·高三深圳中學?？计谥校┖瘮?shù)的最小正周期和振幅分別是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式化簡可得，結合最小正周期和振幅的概念即可求解.【詳解】，所以最小正周期為，振幅為1.故選：A.練習17．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）函數(shù)的最小正周期是______．【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡，即可由周期公式求解.【詳解】所以最小正周期為，故答案為：練習18．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用誘導公式和三角恒等變換化簡，得到，再對進行配湊，利用誘導公式和二倍角公式求解即可．【詳解】因為，，所以，．故選：A練習19．（2023·北京·高三專題練習）若函數(shù)的最大值為2，則__________，的一個對稱中心為__________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)輔助角公式求出A，再由余弦型函數(shù)求出對稱中心.【詳解】由知，，解得，所以，令，可得，即函數(shù)的對稱中心為，則滿足條件的點如，等都可以.故答案為：；（答案不唯一）練習20．（2021春·廣東深圳·高三紅嶺中學校考期中）已知函數(shù).(1)求的周期和最大值；(2)若，求的值.【答案】(1)，最大值(2)【分析】（1）將化為一般式，求周期與最大值；（2）將兩邊平方可求的值.【詳解】（1），周期，最大值，當時取最大值.（2）由得，兩邊平方得：，.題型五 給角求值型例9．（2022春·高三課時練習）求________.【答案】/0.5【分析】首先切化弦，然后輔助角公式、誘導公式及二倍角公式化簡求值即可.【詳解】故答案為：.例10．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學校考階段練習）（多選）下列各式中值為的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用二倍角余弦公式以及誘導公式可判斷A選項；利用誘導公式以及兩角差的正弦公式可判斷B選項；利用二倍角正弦公式以及輔助角公式可判斷C選項；利用兩角和的正切公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，；對于B選項，；對于C選項，，；對于D選項，因為，所以，.故選：BC.練習21．（2022·全國·高一專題練習）的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件逆用二倍角的正弦公式，再用誘導公式化簡即得.【詳解】.故選：A練習22．（2022·陜西西安·西安中學?？寄M預測）若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導公式化簡可得的值.【詳解】由已知可得.故選：A.練習23．（2022春·江蘇淮安·高三淮陰中學?？茧A段練習）（多選）下列式子成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)兩角和差的正切公式及同角三角函數(shù)的基本關系一一計算可得；【詳解】解：對于A：而，故A錯誤；對于B：，所以，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：BD練習24．（2023春·湖北武漢·高三湖北省武昌實驗中學校考階段練習）計算：（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角關系化簡即可.【詳解】因為，所以原式故選：C練習25．（2023春·重慶銅梁·高三銅梁中學校校考階段練習）（多選）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的二倍角的余弦和正切公式計算，即可判斷A，C；根據(jù)同角的三角函數(shù)關系以及誘導公式和二倍角公式化簡可判斷B；由兩角和的正切公式化簡可判斷D.【詳解】，A正確；，B正確；，C錯誤；因為，故，所以，D正確，故選：ABD題型六 給值求值型例11．（2023春·河南南陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導公式、倍角余弦公式有，將條件代入求值即可.【詳解】.故選：C例12．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚中高級中學校聯(lián)考期中）已知都是銳角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先確定的取值范圍，再利用同角三角函數(shù)的平方關系，求得和的值，然后根據(jù)，并結合兩角和的余弦公式，得解；（2）由，結合二倍角的余弦公式，即可得出答案．【詳解】（1）解：因為與都是銳角，所以，，又，所以，，所以，，所以；（2）因為，，，所以，解得：(負值舍去).練習26．（2023春·福建三明·高三永安市第九中學?？茧A段練習）若＝2，則tan＝____________.【答案】【分析】根據(jù)弦切互化可得，由正切的二倍角公式可得，進而利用正切的和角公式即可代入求值.【詳解】，解得，所以，故故答案為：練習27．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知，且，那______.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的關系求出，再利用誘導公式轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以.故答案為：.練習28．（2023春·四川成都·高三成都七中統(tǒng)考階段練習）若，則（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2【答案】A【分析】解法一：將與展開并用和差公式化簡得，從而求得值.解法二：令，則，代入條件利用和差公式化簡得，從而求得值.【詳解】解法一：由題得，所以，即，即，顯然，故.解法二：令，則，所以可化為，即，所以，即，所以，則，，所以，.故選：A.練習29．（2023春·湖南長沙·高三雅禮中學校考期中）若，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，結合角的范圍，即可得出，.然后根據(jù)兩角差余弦公式，即可得出答案.【詳解】因為，，所以，所以，.又，所以.所以，.故選：C.練習30．（2023·河南平頂山·葉縣高級中學校聯(lián)考模擬預測）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的范圍和，得到和的值，即可求出的值【詳解】由題意，，，∴，，∴，，∴，故選：D.題型七 給值求角型例13．（2023春·江蘇泰州·高二江蘇省口岸中學?？茧A段練習）已知，且，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關系式可求得，根據(jù)，利用兩角和的正弦公式可求得結果；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關系式可求得，由，結合兩角差的余弦公式和的范圍可求得結果.【詳解】（1），，，；（2），，，，，，.例14．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由兩角差公式可得，根據(jù)齊次式問題運算求解；（2）根據(jù)題意可得，根據(jù)兩角和差公式分析運算即可.【詳解】（1）因為，解得，所以.（2）因為，則，則，可得，所以，則，又因為，則，所以.練習31．（2022秋·四川·高三四川外國語大學附屬外國語學校?？计谥校懗鲆粋€使等式成立的的值為_______.【答案】（答案不唯一）【分析】利用通分，兩角和的正弦公式及正弦的二倍角公式化簡，找出條件關系，求出滿足條件的一個角即可【詳解】因為所以所以解得：當時，所以使等式成立的的一個值為：故答案為：（答案不唯一）練習32．（2022秋·湖北襄陽·高三襄陽五中?？茧A段練習）已知，，，，則（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角度范圍得到，，計算，得到答案.【詳解】，，，故，故；，，，，故，；，，故.故選：C練習33．已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用運算求解；（2）先求出，再分析得到，即得解.【詳解】（1）由題意可得：.（2）由（1）可知：，則，∵，，則，，可得，故練習34．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學?？计谥校┮阎?，.(1)求的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦及正切公式化簡求值即可；（2）結合角的范圍解一元二次方程得，然后根據(jù)兩角和正切公式求出，然后根據(jù)角的范圍確定角的大小.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以（2）因為，所以或.因為，所以，所以.所以因為，，所以，所以.練習35．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知，，且，．(1)求；(2)求角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）綜合利用同角間的三角函數(shù)的關系，二倍角公式和兩角和的余弦公式進行計算；（2）根據(jù)已知條件，利用兩角和差和倍角三角函數(shù)公式依