無窮級(jí)數(shù)課件.ppt(PPT 103頁)

1、 級(jí) 數(shù) 第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性第二節(jié) 冪級(jí)數(shù) 第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)第1頁，共103頁。一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性 1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1 設(shè)給定一個(gè)數(shù)列 則表達(dá)式 （111） 稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記作 即 其中第n 項(xiàng) 稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性第2頁，共103頁。例如，級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng)為又如級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為 簡(jiǎn)言之，數(shù)列的和式稱為級(jí)數(shù).定義2 設(shè)級(jí)數(shù)（111）的前項(xiàng)之和為 稱Sn為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和當(dāng)依次取1，2，3，時(shí)， 第3頁，共103頁。新的數(shù)列 ， ，數(shù)列 稱為級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列若此數(shù)列的極限存在，即 (常數(shù)),則S 稱為 的和，記作此時(shí)稱級(jí)數(shù) 收斂如果數(shù)列

2、沒有極限，則稱級(jí)數(shù) 發(fā)散，這時(shí)級(jí)數(shù)沒有和 第4頁，共103頁。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其部分和 是級(jí)數(shù)和S的近似值，稱 為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記作 ，即 例1 判定級(jí)數(shù) 的斂散性.解 已知級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和是：第5頁，共103頁。因?yàn)?,所以這個(gè)級(jí)數(shù)收斂,其和為1.例2 判定級(jí)數(shù)的斂散性第6頁，共103頁。解 已知級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和是因?yàn)?， 所以這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.例3 討論等比級(jí)數(shù)（也稱幾何級(jí)數(shù)）的斂散性. 第7頁，共103頁。解 (1) 前n項(xiàng)和當(dāng) 時(shí)， ，所以級(jí)數(shù) 收斂，其和當(dāng) 時(shí)， 所以級(jí)數(shù) 發(fā)散.(2) 當(dāng) 時(shí)， 于是 第8頁，共103頁。所以級(jí)數(shù) 發(fā)散. 當(dāng) 時(shí)， ，其前n項(xiàng)和顯然，當(dāng)n時(shí)，Sn沒有極限.所以，

3、級(jí)數(shù) 發(fā)散.綜上所述，等比級(jí)數(shù) ，當(dāng) 時(shí)收斂, 當(dāng)時(shí)發(fā)散. 第9頁，共103頁。例如，級(jí)數(shù)1+2+4+8+2n-1+是公比為2的幾何級(jí)數(shù), 由于 ，所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的級(jí)數(shù) 是公比為-1的幾何級(jí)數(shù), 由于 ，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散.注意 幾何級(jí)數(shù) 的斂散性非常重要.無論是用比較判別法判別級(jí)數(shù)的斂散性，還是用間接法將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，都經(jīng)常以幾何級(jí)數(shù)斂散性為基礎(chǔ).第10頁，共103頁。例4 把循環(huán)小數(shù) 化為分?jǐn)?shù).解 把 化為無窮級(jí)數(shù)這是公比為 的幾何級(jí)數(shù)，由等比數(shù)列求和公式第11頁，共103頁。所以這個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和為 ，即 2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù) 收斂，其和為s, k為常數(shù)，則級(jí)數(shù) 也收斂，

4、其和為ks；如果級(jí)數(shù) 發(fā)散，當(dāng)k0時(shí)，級(jí)數(shù) 也發(fā)散.由此可知，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)后，其斂散性不變. . 第12頁，共103頁。性質(zhì)2 若級(jí)數(shù) 與 分別收斂于與 ，則級(jí)數(shù) ，收斂于性質(zhì)3 添加、去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)的斂散性不變.性質(zhì)4 若級(jí)數(shù) 收斂，則對(duì)其各項(xiàng)間任意加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變.應(yīng)當(dāng)注意，性質(zhì)4的結(jié)論反過來并不成立.即如果加括號(hào)后級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)未必收斂. . 第13頁，共103頁。例如級(jí)數(shù) （1-1）+（1-1）+（1-1）+顯然收斂于零，但級(jí)數(shù)1+1-1+1-1+卻是發(fā)散的.性質(zhì)5（兩邊夾定理） 如果 且 和 都收斂，則 也收斂 第14頁，共103

5、頁。性質(zhì)6（級(jí)數(shù)收斂的必要條件） 若級(jí)數(shù) 收斂，則 例5判別級(jí)數(shù) 的斂散性解 因?yàn)樗约?jí)數(shù) 發(fā)散. 例6判別級(jí)數(shù) 的斂散性. 第15頁，共103頁。解 級(jí)數(shù) 與級(jí)數(shù) 都收斂，故由性質(zhì)2知，級(jí)數(shù) 收斂.注意 性質(zhì)6可以用來判定級(jí)數(shù)發(fā)散：如果級(jí)數(shù)一般項(xiàng)不趨于零，則該級(jí)數(shù)必定發(fā)散.應(yīng)當(dāng)看到，性質(zhì)6只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件，也就是說，即使 ，也不能由此判定級(jí)數(shù) 收斂.下面的例9正說明了這一點(diǎn)： ，但級(jí)數(shù) 發(fā)散. 第16頁，共103頁。例7 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散級(jí)數(shù).證 調(diào)和級(jí)數(shù)部分和 如圖，考察曲線 第17頁，共103頁。 ，所圍成的曲邊梯形的面 積S與陰影表示的階梯形面積An

6、之間的關(guān)系. 所以，陰影部分的總面積為它顯然大于曲邊梯形的面積S，即有第18頁，共103頁。而 ，表明A的極限不存在，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散.第19頁，共103頁。二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性如果 0（n=1,2,3），則稱級(jí)數(shù) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù) 定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界.例1 證明正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是收斂的證 因?yàn)橛谑菍?duì)任意的有 第20頁，共103頁。即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，故級(jí)數(shù) 收斂.定理2（比較判別法） 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 (1)若級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù) 也收斂； (2)若級(jí)數(shù) 發(fā)散，則級(jí)數(shù) 也發(fā)散. 第21頁，共103頁。例2 討論 級(jí)數(shù) （ ）的斂散性 解 當(dāng) 時(shí)， ，因

7、為 發(fā)散，所以由比較判別法知，當(dāng) 時(shí)，發(fā)散.當(dāng) 時(shí)，順次把 級(jí)數(shù)的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)到第3項(xiàng)，4到7項(xiàng)，8到15項(xiàng)，加括號(hào)后得它的各項(xiàng)顯然小于級(jí)數(shù) 第22頁，共103頁。對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)，而所得級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)，其公比為 ，故收斂，于是當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂.綜上所述， 級(jí)數(shù) 當(dāng) 時(shí)發(fā)散，當(dāng) 時(shí)收斂.注意 級(jí)數(shù)在判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性方面經(jīng)常用到，因此有關(guān) 級(jí)數(shù)斂散性的結(jié)論必須牢記. 第23頁，共103頁。 例3判定級(jí)數(shù) 的斂散性. 解 因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng) 滿足而級(jí)數(shù)是p2的 級(jí)數(shù)，它是收斂的，所以原級(jí)數(shù)也是收斂的.第24頁，共103頁。例4 判別級(jí)數(shù) 的斂散性.解 因?yàn)?而 是由調(diào)和級(jí)數(shù)去掉前兩項(xiàng)后所得的級(jí)數(shù)，

8、它是發(fā)散的，所以由比較判別法知級(jí)數(shù) 發(fā)散. 第25頁，共103頁。重要參照級(jí)數(shù):等比級(jí)數(shù), p-級(jí)數(shù)。定理3 比較判別法的極限形式:注:須有參照級(jí)數(shù). 比較審斂法的不方便第26頁，共103頁。解發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.第27頁，共103頁。定理4（達(dá)朗貝爾比值判別法） 設(shè) 是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且 ，則 (1)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； (2)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散； (3)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.例6 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 (1) ； (2) 第28頁，共103頁。 解 (1) 所以級(jí)數(shù) 發(fā)散； (2)所以級(jí)數(shù) 收斂. 第29頁，共103頁。解解第30頁，共103頁。定理6(根值判別法，柯西判別法)設(shè)

9、為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且（1）當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能 發(fā)散第31頁，共103頁。注意:第32頁，共103頁。解解比值審斂法失效.根值審斂法也一定失效.改用比較審斂法第33頁，共103頁。要判別一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，通常按下列步驟進(jìn)行：(1)用級(jí)數(shù)收斂的必要條件如果 ，則級(jí)數(shù)發(fā)散，否則需進(jìn)一步判斷. (2)用比值判別法 如果 ，即比值判別法失效，則改用比較判別法.(3)用比較判別法用比較判別法必須掌握一些斂散性已知的級(jí)數(shù)，以便與要判定的級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，經(jīng)常用來作為比較的級(jí)數(shù)有等比級(jí)數(shù)， 級(jí)數(shù)等. 第34頁，共103頁。三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性級(jí)數(shù) 稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)

10、.定理4（萊布尼茲判別法） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) 滿足萊布尼茲(Leibniz)條件: (1) (2) 則級(jí)數(shù) 收斂，其和 S ，其余項(xiàng) 第35頁，共103頁。例6 判定交錯(cuò)級(jí)數(shù) 的斂散性.解 此交錯(cuò)級(jí)數(shù) ，滿足： (1) ； (2) 由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂.四、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義3 對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù) ,若 收斂，則稱 是絕對(duì)收斂的；若 收斂，而 發(fā)散，則稱 是條件收斂的.第36頁，共103頁。定理5 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必是收斂的.事實(shí)上，如果 收斂， 由于 故從性質(zhì)1及性質(zhì)5知 也是收斂的. 例7 判定級(jí)數(shù) 的斂散性.解 因?yàn)?， 而級(jí)數(shù) 收斂，故由比較判別法可知級(jí)數(shù) 收斂，從而原級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂

11、.第37頁，共103頁。例8 判別級(jí)數(shù) 的斂散性，說明是否絕對(duì)收斂. 解 因?yàn)?故由比值判別法可知級(jí)數(shù) 收斂，所以原級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂.第38頁，共103頁。例9 判別級(jí)數(shù) 是否絕對(duì)收斂. 解 因?yàn)?故由比值判別法可知級(jí)數(shù) 發(fā)散，從而原級(jí)數(shù) 不是絕對(duì)收斂. 第39頁，共103頁。例10 證明級(jí)數(shù) 條件收斂. 證 由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù) 收斂，而 為調(diào)和級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的，故所給級(jí)數(shù)條件收斂.第40頁，共103頁。 第二節(jié) 冪級(jí)數(shù) 一、冪級(jí)數(shù)的概念1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) ( 11.2) 的各項(xiàng)都是定義在某個(gè)區(qū)間I上的函數(shù)，則稱該級(jí)數(shù)（2.2）為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，un(x)稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng).當(dāng)x在I中取某個(gè)特

12、定值 時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)( 2.2）就是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).如果這個(gè)級(jí)數(shù)收斂，則稱點(diǎn) 為這個(gè)級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn)。若發(fā)散，則稱點(diǎn) 為這個(gè)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域. 對(duì)于收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一個(gè)收斂的常數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)，因此有一個(gè)確定的和 S，在收斂域內(nèi)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) 第41頁，共103頁。S(x)，通常稱S(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，即 其中 x 是收斂域內(nèi)的任一點(diǎn).將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和記作 ，則在收斂域上有 2.冪級(jí)數(shù)的概念 形如 (11.3)第42頁，共103頁。的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為 的冪級(jí)數(shù)，其中常數(shù) 稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 當(dāng) 0時(shí)，（11.3

13、）冪級(jí)數(shù)變?yōu)?(11.4)稱為 x 的冪級(jí)數(shù). (1)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 x 的冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值，則得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)第43頁，共103頁。由比值判斂法其中 當(dāng) 時(shí)，若 ，即 ，則級(jí)數(shù)(11.4)收斂，若 即 ，則級(jí)數(shù)（11.4）發(fā)散.這個(gè)結(jié)果表明，只要 就會(huì)有一個(gè)對(duì)稱開區(qū)間（-，），在這個(gè)區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，在這個(gè)區(qū)間外冪 第44頁，共103頁。級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng) x =R 時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.稱 為冪級(jí)數(shù)（11.4）的收斂半徑.當(dāng) 時(shí)， ，則級(jí)數(shù)（11.4）對(duì)一切實(shí)數(shù) x都絕對(duì)收斂，這時(shí)收斂半徑 . 如果冪級(jí)數(shù)僅在 x0一點(diǎn)處收斂，則收斂半徑R0. 定理1 如果x的冪級(jí)數(shù)（11.4）的系數(shù)滿

14、足 則 (1)當(dāng) 時(shí)， 第45頁，共103頁。 (2)當(dāng) 時(shí)， (3)當(dāng) 時(shí)， (2)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 若冪級(jí)數(shù)(11.4)的收斂半徑為 R，則（-R，R）稱為該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂，把收斂區(qū)間的端點(diǎn)xR 代入級(jí)數(shù)中，判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性后，就可得到冪級(jí)數(shù)的收斂域.第46頁，共103頁。例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域 (1) (2) (3)解 (1) 因?yàn)?所以冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .所以該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?，+）；第47頁，共103頁。 (2)因?yàn)?所以所給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1.因此該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，1）當(dāng)x1時(shí)，級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散 ；當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)為交

15、錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂 故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1) . 第48頁，共103頁。(3) 因?yàn)樗运o冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .因此沒有收斂區(qū)間，收斂域?yàn)?，即只在 處收斂.第49頁，共103頁。例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑解 所給級(jí)數(shù)缺少偶次方項(xiàng)，根據(jù)比值法求收斂半徑 當(dāng) ，即 時(shí)，所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)，即 時(shí)，所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 因此，所給級(jí)數(shù)的收斂半徑 .第50頁，共103頁。二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)，即若 ，x（-R，R）則 在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù). 性質(zhì)2 設(shè) 記 ，則在（-R,R）內(nèi)有如下運(yùn)算法則： (1)加（減）法運(yùn)算 第51頁，共103頁。(2)乘法運(yùn)算 性質(zhì)3（微分運(yùn)算）

16、設(shè) ，收斂半徑為 R ，則在 （-R , R）內(nèi)這個(gè)級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，即且收斂半徑仍為 R . 第52頁，共103頁。性質(zhì)4（積分運(yùn)算）設(shè) ，收斂半徑為 R ，則在（-R ,R）內(nèi)這個(gè)級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分，即且收斂半徑仍為.例3 已知 ，利用逐項(xiàng)積分的性質(zhì)，可以得到 第53頁，共103頁。當(dāng) x = -1 時(shí)， 收斂； 當(dāng) x = 1 時(shí)， 發(fā)散.故收斂域?yàn)?1,1) ，即第54頁，共103頁。例4 求 的和函數(shù) 解 設(shè) 兩端求導(dǎo)得 兩端積分得即 第55頁，共103頁。 當(dāng) x = -1時(shí)， 收斂； 當(dāng) x = 1時(shí)， 收斂， 所以 第56頁，共103頁。三、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 1泰勒公式與麥克勞

17、林公式(1) 泰勒公式定理2（泰勒中值定理） 如果函數(shù) f(x) 在x0 的某鄰域內(nèi)有直至 n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)此鄰域內(nèi)任意點(diǎn)x，有 的 n 階泰勒公式 第57頁，共103頁。成立，其中 為階泰勒公式的余項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)，它是比 高階的無窮小，余項(xiàng) 的拉格朗日型表達(dá)式為 (2) 麥克勞林公式在泰勒公式中當(dāng)時(shí)，則有麥克勞林公式第58頁，共103頁。其中， 2、泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)設(shè) f(x)在所討論的鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù) 稱級(jí)數(shù)第59頁，共103頁。為 在 處的泰勒級(jí)數(shù)，其系數(shù) 稱為 在 處的泰勒系數(shù).其前 n+1項(xiàng)和 由泰勒公式得：第60頁，共103頁。因此當(dāng) 時(shí)，必有 即泰勒級(jí)數(shù)收斂，其和函數(shù)為

18、.反之，如果級(jí)數(shù)收斂于 于是得到下面的定理. 第61頁，共103頁。 定理3 如果在 的某個(gè)鄰域內(nèi)，函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù) 的泰勒級(jí)數(shù)（11.6）收斂于 的充分必要條件是： 當(dāng) 時(shí)泰勒余項(xiàng) 如果 在 處的泰勒級(jí)數(shù)收斂于 ，就說 在 處可展開稱泰勒級(jí)數(shù)，則(11.6)式為 在 處的泰勒展開式，也稱 關(guān)于 的 冪級(jí)數(shù)，也記為 第62頁，共103頁。當(dāng) 時(shí)，（11.6）式成為稱為函數(shù) f (x) 的麥克勞林展開式，也記為第63頁，共103頁。3、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法 (1)直接展開法 把 f (x)展開成的冪級(jí)數(shù)，可按下列步驟進(jìn)行：求出f (x) 的各階導(dǎo)數(shù) 計(jì)算f (x) 及其各階導(dǎo)數(shù)在

19、x0處的值， 第64頁，共103頁。 寫出冪級(jí)數(shù) 并求出它的收斂區(qū)間；考察當(dāng)x在收斂區(qū)間內(nèi)時(shí)，余項(xiàng) 的極限是否為零，如果為零，則由上式所求得的冪級(jí)數(shù)就是f (x) 的冪級(jí)數(shù)的展開式. 第65頁，共103頁。 例1 將函數(shù) 展開成 x 的冪級(jí)數(shù) 解 因?yàn)?n=1，2，3，所以， n =1，2，3， 又, f (0)=1因此得級(jí)數(shù) ，它的收斂區(qū)間為 . 對(duì)于任何實(shí)數(shù) x，有 第66頁，共103頁。因 是收斂級(jí)數(shù) 的通項(xiàng)，所以 而 是有限正實(shí)數(shù)，因此 即 ,因此從而得到 的冪級(jí)數(shù)展開式 第67頁，共103頁。例2 將函數(shù) 展開成x的冪級(jí)數(shù) 解 因?yàn)?，n1，2，3 而f(n)(0)順次循環(huán)取四個(gè)數(shù)1

20、，0，-1，0，所以得級(jí)數(shù)對(duì)于任何有限實(shí)數(shù)，第68頁，共103頁。于是得的冪級(jí)數(shù)展開式類似地，還可以得到下述函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式： （-1，1）第69頁，共103頁。當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí)， 它的收斂半徑R=1，在 處展開式是否成立，要根據(jù)m的數(shù)值，看右端級(jí)數(shù)是否收斂而定.例如 當(dāng)m =-1時(shí) (-1,1)第70頁，共103頁。(2)間接展開法 間接展開法是指從已知函數(shù)的展開式出發(fā)，利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則得到所求函數(shù)的展開式的方法. 例3 將函數(shù) 展開成x的冪級(jí)數(shù) 解 已知 （-，+） 第71頁，共103頁。而 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，得到 （-，+）第72頁，共103頁。 例4 將函數(shù) 展開成x 的冪級(jí)數(shù) 解

21、已知 （-1，1）將上式從0到 x 逐項(xiàng)積分，得到 第73頁，共103頁。這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1當(dāng)x1時(shí)，右端級(jí)數(shù)成為這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂級(jí)數(shù).當(dāng)x-1時(shí)，右端級(jí)數(shù)成為 這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù).因此 第74頁，共103頁。四、冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用 1.函數(shù)值的近似計(jì)算例5 計(jì)算的 e 近似值解：e 的值就是函數(shù)e 的展開式在x=1時(shí)的函數(shù)值，即 e取e則誤差第75頁，共103頁。第76頁，共103頁。故若要求精確到 ，則只需 即 即可.例如要精確到 ，由于 ，所以取 即e 讀者可以在計(jì)算機(jī)上求此值 (e ). 例6 制作四位正余弦函數(shù)表 解 由于 只需制作 的正余弦表就行了. 第77頁，共103頁。 我們使用

22、正余弦的展開式.注意這兩個(gè)級(jí)數(shù)都是滿足萊布尼茨條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù),去掉前若干項(xiàng)之后剩余項(xiàng)仍為滿足萊布尼茨條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù).由萊布尼茨判定定理就可知,若取這兩個(gè)級(jí)數(shù)的前若干項(xiàng)作為近似時(shí),誤差不超過所棄項(xiàng)中的第一項(xiàng).因?yàn)樗砸?的四位正余弦表只需要取到至多 項(xiàng),即取 作表時(shí)須注意x以弧度為單位. 第78頁，共103頁。2.求極限 例7 求 解 把 cosx 和 的冪級(jí)數(shù)展開式代入上式，有第79頁，共103頁。 第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù) 在本節(jié)中，將討論另一類重要的、應(yīng)用廣泛的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù). 三角級(jí)數(shù)也稱為傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù).所謂三角級(jí)數(shù)，就是除常數(shù)項(xiàng)外，各項(xiàng)都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的級(jí)數(shù)，它的

23、一般形式為 (1)其中 都是常數(shù)，稱為系數(shù).特別當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)只含正弦項(xiàng)，稱為正弦級(jí)數(shù).當(dāng) 時(shí)， 級(jí)數(shù)只含常數(shù)項(xiàng)和 第80頁，共103頁。余弦項(xiàng)，稱為余弦級(jí)數(shù).對(duì)于三角級(jí)數(shù)，我們主要討論它的收斂性以及如何把一個(gè)函數(shù)展開為三角級(jí)數(shù)的問題.一、以 為周期的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù) 由于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，顯然周期函數(shù)更適合于展開成三角級(jí)數(shù).設(shè) f (x)是以 為周期的函數(shù)，所謂的傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)展開就是尋找一個(gè)三角級(jí)數(shù)第81頁，共103頁。使得該級(jí)數(shù)以 f (x)為和函數(shù)，即 f (x)=先解決這樣的問題：如果以 為周期的函數(shù)可表為式（1）所示的三角級(jí)數(shù)，那么如何確定 和 .為了

24、求出這些系數(shù)，先介紹下列內(nèi)容.1三角函數(shù)系的正交性在三角級(jí)數(shù)（1）中出現(xiàn)的函數(shù) （2） 第82頁，共103頁。構(gòu)成了一個(gè)三角函數(shù)系，這個(gè)三角函數(shù)系有一個(gè)重要的性質(zhì)，就是定理1（三角函數(shù)系的正交性）三角函數(shù)系（2）中任意兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在 上的積分等于0，具體的說就是有第83頁，共103頁。這個(gè)定理的證明很容易，只要把這五個(gè)積分實(shí)際求出來即.2. f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)為了求（1）式中的系數(shù)，利用三角函數(shù)系的正交性，假設(shè)（1）式是可逐項(xiàng)積分的，把它從 到 逐項(xiàng)積分： 由定理1，右端除第一項(xiàng)外均為0，所以第84頁，共103頁。于是得 為求 ，先用 乘以（11.7）式兩端，再從 到 逐項(xiàng)積分，得

25、由定理1，右端除 k=n 的一項(xiàng)外均為 0，所以于是得 第85頁，共103頁。類似地，用 sinnx乘以（11.7）式兩端，再從 到 逐項(xiàng)積分，可得用這種辦法求得的系數(shù)成為 f (x)的傅里葉系數(shù). 綜上所述，我們有定 定理2 求f (x)的傅里葉系數(shù)的公式是 (3)第86頁，共103頁。由 f (x) 的傅里葉系數(shù)所確定的三角級(jí)數(shù) 成為f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù). 顯然，當(dāng)f (x)為奇函數(shù)時(shí)，公式（3）中的 ，當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，公式（3）中的 所以有推論 當(dāng)f (x)是周期為 的奇函數(shù)時(shí)，它的傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù) 其中系數(shù) 第87頁，共103頁。 當(dāng) f (x) 是周期為 的偶函數(shù)時(shí)，它的傅里葉

26、級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) 其中系數(shù) 3. 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性上述 定理3（收斂定理）設(shè) 以 為周期的函數(shù)f (x)在 上滿足狄利克雷(Dirichlet)條件：（1）沒有斷點(diǎn)或僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則 f (x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，且有：第88頁，共103頁。（1）當(dāng)x是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f (x)；（2）當(dāng)x是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于這一點(diǎn)左右極限的算術(shù)平值 例1 正弦交流I(x)=sinx電經(jīng)二極管整流后（圖 11-2）變?yōu)?為整數(shù)， 把 f (x)展開為傅里葉級(jí)數(shù).第89頁，共103頁。 圖 11-2解 由收斂定理可知，f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂于f (x).第

27、90頁，共103頁。計(jì)算傅里葉系數(shù)： 所以，f (x)的傅里葉展開式為 （- x +.第91頁，共103頁。例2 一矩形波的表達(dá)式為求 f (x) 的傅里葉展開式. 解 由收斂定理知，當(dāng) 時(shí)，的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于 f (x) .當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 又因?yàn)?f (x) 奇函數(shù)，由定理2的推論可知展開式必為正弦級(jí)數(shù)，只需按推論的公式求 即可.第92頁，共103頁。所以，的傅里葉展開式為第93頁，共103頁。4. 或 上的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)求 f (x) 的傅里葉系數(shù)只用到 f (x) 在 上的部分，即 f (x) 只在 上有定義或雖在 外也有定義，但不是周期函數(shù)，仍可用公式（11.9）求 f (x)的傅里葉系數(shù)，而且如果f (x) 在 上滿足收斂定理?xiàng)l件，則 f (x) 至少在 內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)上傅里葉級(jí)數(shù)是收斂于f (x) 的，而在 處，級(jí)數(shù)收斂于 第94頁，共103頁。類似地，如果 f (x) 只在 上有定義且滿足