（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題6.6 解三角形的最值（范圍）及圖形切割（含答案及解析）

專題6.6解三角形的最值（范圍）及圖形切割題型一利用基本不等式求最值（范圍）題型二利用三角函數(shù)值域求角的范圍題型三利用三角函數(shù)值域求邊的范圍題型四圖形切割題型五角平分線的應(yīng)用題型六中線的應(yīng)用題型七解三角形的結(jié)構(gòu)不良題型一 利用基本不等式求最值（范圍）例1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．(1)求角的大小；(2)若，求面積的取值范圍．例2．（2023春·浙江·高二期中）已知平面向量，，函數(shù)．(1)求的單調(diào)增區(qū)間．(2)在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，，求△ABC周長的取值范圍．練習(xí)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)求的最小值．練習(xí)2．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，分別是角所對的邊，向量，且．(1)求角的大??；(2)若，求外接圓半徑的最小值．練習(xí)3．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)自變量的取值集合；(2)在中，角的對邊分別為，若，求面積的最大值.練習(xí)4．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.(1)求；(2)若，，求的面積的最大值.練習(xí)5．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊為，，，且，，則下列說法正確的是______.①；②；③周長的最大值為3；④的最大值為．題型二 利用三角函數(shù)值域求角的范圍例3．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，C，若，則sinA的取值范圍是（

）A． B． C． D．例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角、、所對邊分別為、、，且．(1)求角；(2)求的最大值．練習(xí)6．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習(xí)7．（2023春·河南南陽·高三河南省桐柏縣第一高級中學(xué)?？计谥校┮阎J角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)求的取值范圍．練習(xí)8．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）已知分別為的內(nèi)角所對的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．練習(xí)9．（2023春·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若的面積，則角______，的最大值為______．練習(xí)10．（2023春·四川成都·高三成都實外校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍為______．題型三 利用三角函數(shù)值域求邊的范圍例5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角中，角A、B、C的對邊分別為a、b，c，其面積為S，且．(1)求角A的大小；(2)若，求S的取值范圍．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A的值；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．練習(xí)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.練習(xí)12．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┰谥校堑膶叿謩e為，且.(1)求角；(2)若為銳角三角形，為邊的中點，求線段長的取值范圍.練習(xí)13．（2023·高三單元測試）在銳角三角形中，，則邊上的高的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)14．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，分別是角所對的邊，，且.(1)求；(2)若周長的范圍練習(xí)15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知，．(1)求c；(2)求的取值范圍．題型四 圖形切割例7．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為的角平分線上一點，且與分別位于邊的兩側(cè)，若(1)求的面積;(2)若，求的長.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，已知，，，，，求：(1)的長；(2)的面積．練習(xí)16．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，點在邊上，(1)證明：；(2)若，，求.練習(xí)17．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知平面四邊形ABCD中，，，．(1)求；(2)若，，求四邊形ABCD的面積．練習(xí)18．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，且為邊上的中線，為的角平分線．(1)求及線段的長；(2)求的面積．練習(xí)19．（2023春·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，若，，，，．(1)求B；(2)求證：．練習(xí)20．（2023春·福建福州·高三福建省福州高級中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，且，，．(1)若，求的值；(2)若BC邊上點E滿足，，求．題型五 角平分線的應(yīng)用例9．（2023春·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）在非直角中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，是角的內(nèi)角平分線，且，則等于（

）A． B． C． D．例10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若在上，是的角平分線，且，求的最小值.練習(xí)21．（2023春·吉林長春·高三長春十一高?？计谥校┯浀膬?nèi)角??的對邊分別為??，已知.(1)證明：；(2)若，，角的內(nèi)角平分線與邊交于點，求的長.練習(xí)22．（2023春·天津武清·高三天津英華國際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36練習(xí)23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角所對的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點D，則______.練習(xí)24．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角B；(2)設(shè)的角平分線交于點D，若，求的面積的最小值.練習(xí)25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，．已知．(1)求；(2)若外接圓面積為，求的最大值；(3)若，且的角平分線，求．題型六 中線的應(yīng)用例11．（2023春·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.例12．（2023春·福建福州·高三福建省連江第一中學(xué)?？计谥校┯浀膬?nèi)角A，，的對邊分別為，，，點為邊的中點．若，，，則的面積為__．練習(xí)26．（2023春·湖北孝感·高三湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且.(1)求；(2)若中線，求面積的最大值.練習(xí)27．（2023春·吉林長春·高三長春市第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，已知邊上的兩條中線相交于點，則的余弦值為__________.練習(xí)28．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學(xué)?？计谥校┮阎谥校珹D為BC邊上的中線，且，，則的最小值為________．練習(xí)29．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，，，，點在線段上，設(shè).(1)若是的平分線，，求的大??；(2)若是邊上的中線，，，求的周長.練習(xí)30．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，角的對邊分別為，且的面積為(1)求角的大小；(2)若是的一條中線，求線段的長.題型七 解三角形的結(jié)構(gòu)不良例13．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，為邊上一點，.

(1)求角；(2)從下面兩個條件中選一個，求角.①；②.例14．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答．問題：銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________．(1)求A；(2)若，為AB的中點，求CD的取值范圍．練習(xí)31．（2023·北京·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角的對邊分別為，，且______．在①，②，這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．(1)求的面積；(2)若，求．練習(xí)32．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知______.(1)求角C的大??；(2)若點D在AB邊上，且，，求的值.練習(xí)33．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┰谥?，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，滿足.

(1)求的大?。?2)，點D在BC上，，在①，②，③這三個條件中任選一個作為條件，求的面積.練習(xí)34．（2023·北京·人大附中?？既＃┰谥?，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足．(1)求角A的大?。?2)試從條件①②③中選出兩個作為已知，使得存在且唯一，寫出你的選擇___________，并以此為依據(jù)求的面積．(注：只需寫出一個選定方案即可)條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．練習(xí)35．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，且______.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在上面橫線上，并加以解答.(1)求；(2)若，，點為的中點，點滿足，且，相交于點，求.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

專題6.6解三角形的最值（范圍）及圖形切割題型一利用基本不等式求最值（范圍）題型二利用三角函數(shù)值域求角的范圍題型三利用三角函數(shù)值域求邊的范圍題型四圖形切割題型五角平分線的應(yīng)用題型六中線的應(yīng)用題型七解三角形的結(jié)構(gòu)不良題型一 利用基本不等式求最值（范圍）例1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知中，角，，所對邊分別為，，，若滿足．(1)求角的大?。?2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換化簡等式，可以得到角.（2）根據(jù)勾股定理，由基本不等式得到兩直角邊積的最值即可.【詳解】（1）由正弦定理知，，∵，∴，∴，化簡得，，（其中舍去），即．（2）由（1）知，則，那么的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），則面積的取值范圍為．例2．（2023春·浙江·高二期中）已知平面向量，，函數(shù)．(1)求的單調(diào)增區(qū)間．(2)在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，，求△ABC周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求出，再通過二倍角與輔助角公式化簡，帶入三角函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求得；(2)代入已知條件，余弦定理可以獲得邊之間的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式即可求得周長的取值范圍.【詳解】（1），所以令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;（2）因為，即，解得，即，因為A為三角形的內(nèi)角，所以，又因為，所以，即即，解得，又因為a，b，c是的邊，所以，故△ABC周長.所以周長的取值范圍是.練習(xí)1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意和余弦定理可得，結(jié)合計算即可求解；（2）由（1）可得，則，代入，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】（1）由余弦定理知，所以，由,得，即,又因為，所以，即，在中，，所以．（2）由（1）知，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最小值為．練習(xí)2．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，分別是角所對的邊，向量，且．(1)求角的大?。?2)若，求外接圓半徑的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角求解即可；（2）由正，余弦定理及重要不等式求解即可．【詳解】（1）∵，且，∴，由正弦定理知：（是外接圓半徑），∴，∴，即，而是的三內(nèi)角，∴，∴；（2）∵，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立.，即外接圓半徑的最小值為．練習(xí)3．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)自變量的取值集合；(2)在中，角的對邊分別為，若，求面積的最大值.【答案】(1)，此時自變量的取值集合為(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得到解析式，再由輔助角公式化簡，由正弦型函數(shù)的最值即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）中解析式可得，再由余弦定理以及基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，當(dāng)，即時，最大，且最大值為，即，此時自變量的取值集合為.（2）由（1）知，，則，因為在中，，所以，所以，所以，又由余弦定理及，得：，即，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.所以.練習(xí)4．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.(1)求；(2)若，，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和，正弦定理即可求出角；（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出的取值范圍，即可得到的面積的最大值.【詳解】（1）由題意，在中，，∵，∴,即，∴，∵，∴，可得，解得：.（2）由題意及（1）得在中，，，，∴為邊的中點，∴,∴，即，設(shè)，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴的面積的最大值為.練習(xí)5．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊為，，，且，，則下列說法正確的是______.①；②；③周長的最大值為3；④的最大值為．【答案】②③④【分析】對于①、②，利用正弦定理判斷即可，對于③，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷，對于④，由選項③可知，結(jié)合基本不等式可得，從而可求出的最大值【詳解】對于①，因為，所以由正弦定理得，所以，所以①錯誤；對于②，因為，所以由正弦定理得，所以，所以②正確；對于③，根據(jù)余弦定理得，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以③正確.對于④，由選項③可知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，所以④正確.故答案為：②③④題型二 利用三角函數(shù)值域求角的范圍例3．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，C，若，則sinA的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡得，再求出的范圍即可.【詳解】由，得，由余弦定理得，∴，即，由正弦定理得，∵，∴，即.∵，∴，∴，又為銳角三角形，∴，∴，解得，又，，，∴，∴.故選：C.例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角、、所對邊分別為、、，且．(1)求角；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解；（2）將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，再結(jié)合的取值范圍，求出最大值.【詳解】（1）由結(jié)合正弦定理可得，因為為銳角三角形，所以，又，故.（2）由（1）可得（或者）由，可得，當(dāng)時，，即的最大值是.練習(xí)6．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理邊化角可得，由為銳角三角形可得，運用二倍角的正弦公式以及輔助角公式將已知式化為，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為在銳角中，，且，所以，則，所以，則或（舍去），所以，，因為為銳角三角形，，所以，所以，所以，，故選：B.練習(xí)7．（2023春·河南南陽·高三河南省桐柏縣第一高級中學(xué)?？计谥校┮阎J角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理進行求解即可；（2）利用兩角差的正弦公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可【詳解】（1）由條件得，

由余弦定理得，

因為，所以，

得，即，

因為，所以，

又，所以．（2）．

因為為銳角三角形，所以，且，所以．

所以，即的取值范圍是．練習(xí)8．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）已知分別為的內(nèi)角所對的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可解.【詳解】（1），由及正弦定理，得，得，代入得，又因為，所以．（2）由（1）知，所以.所以，因為,所以，所以，所以，故的取值范圍是.練習(xí)9．（2023春·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若的面積，則角______，的最大值為______．【答案】【分析】運用余弦定理及三角形面積公式可得B，再運用三角恒等變換得（），轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)在區(qū)間上求最值即可.【詳解】因為，所以，則，因為，所以．又因為，所以，所以，則，所以的最大值為.故答案為：，.練習(xí)10．（2023春·四川成都·高三成都實外校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍為______．【答案】【分析】利用正弦邊角關(guān)系得，進而有，應(yīng)用三角恒等變換將目標(biāo)式化為，注意角的范圍，即可求范圍.【詳解】由正弦定理邊角關(guān)系知：，而，所以，又，則，故，即，所以，而，故.故答案為：題型三 利用三角函數(shù)值域求邊的范圍例5．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在銳角中，角A、B、C的對邊分別為a、b，c，其面積為S，且．(1)求角A的大小；(2)若，求S的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理、三角形面積公式變形給定等式，求出即可作答.（2）利用正弦定理把三角形面積表示為角C的函數(shù)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）在銳角中，，由余弦定理，得，即，又，，因此，有，而，解得，所以.（2）由（1）知，，，由正弦定理得：，即，則，又是銳角三角形，則有，即，亦即，于是，，所以S的取值范圍是.例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A的值；(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得出，再應(yīng)用兩角和差公式計算求解即可；（2）先應(yīng)用正弦定理邊角互化，再結(jié)合二倍角公式及輔助角公式化簡，最后根據(jù)余弦型函數(shù)求值域可得.【詳解】（1）因為，所以，即，所以或（舍去）．所以，結(jié)合，得．（2）由（1）得:．因為是銳角三角形，所以B，C均為銳角，即，，所以，所以，，所以的取值范圍是．練習(xí)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，，可得再由余弦定理，，又，所以.因為，所以.（2）由（1）可知：，則.則.在中，由正弦定理，，所以，則，又，所以，所以，，所以.練習(xí)12．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學(xué)?？计谥校┰谥?，角的對邊分別為，且.(1)求角；(2)若為銳角三角形，為邊的中點，求線段長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡可得，即可求解；（2）由向量的線性運算可得，等式兩邊同時平方可得，由正弦定理可得，結(jié)合角B的范圍可得，即可求解.【詳解】（1），由正弦定理，得，即.因為，所以，由，得，即.因為，所以.（2）因為為邊的中點，所以，所以.在中，由正弦定理，得.因為為銳角三角形，且，所以，則，故.所以，即線段長的取值范圍為.練習(xí)13．（2023·高三單元測試）在銳角三角形中，，則邊上的高的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，所以有，，由三角形為銳角三角形，可得，由正弦定理可得有，最后由即可得答案.【詳解】解：由可得:,所以，又因為，所以，所以，，又因為三角形為銳角三角形，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，即，故有，因為，所以，所以，所以，又因為邊上的高，所以.故選：D.練習(xí)14．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，分別是角所對的邊，，且.(1)求；(2)若周長的范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、誘導(dǎo)公式和二倍角正弦公式化簡已知等式可求得，由此可得；（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差公式和輔助角公式可得，利用正弦型函數(shù)值域的求法可求得的范圍.【詳解】（1）由得：，由正弦定理知：，又，，，又，，，，，，則，，解得：.（2）由正弦定理得：，，，；為銳角三角形，，解得：，，，，即周長的取值范圍為.練習(xí)15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知，．(1)求c；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，將轉(zhuǎn)化為，即可求出答案；（2）利用正弦定理，將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，代入，根據(jù)兩角差的正弦公式及輔助角公式得出，再由為銳角三角形得出角的范圍，即可的取值范圍．【詳解】（1）解：，，即，，又，，，，，，即，，解得．（2）解：由正弦定理得，，，，，，，則，為銳角三角形，，，，，即．題型四 圖形切割例7．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，為的角平分線上一點，且與分別位于邊的兩側(cè)，若(1)求的面積;(2)若，求的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理解出的長，再利用三角形面積公式即可得到答案；（2）利用兩次正弦定理得到，，兩式相比得，再結(jié)合同角平方和關(guān)系即可解出，再代回正弦定理式即可得到答案.【詳解】（1）在中，，即，解得(負(fù)根舍)，所以.（2）因為，平分，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，①在中，由正弦定理，得，②①②，得，所以，又，且，所以，將代入②，得，所以.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，已知，，，，，求：(1)的長；(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】(1)由已知求得，再利用正弦定理即可求得的長；(2)先求得的正余弦值，再利用余弦定理求的長，最后用面積公式即可.【詳解】（1）解：在中，，由正弦定理得：，即故：．（2）解：∴在中，由余弦定理得：即，解得：或舍．故：的面積為7.練習(xí)16．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，點在邊上，(1)證明：；(2)若，，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在中根據(jù)題意結(jié)合正弦定理分析運算；（2）不妨設(shè)，在、、中利用余弦定理運算求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理知：，即又，可得，在中，所以，所以.（2）不妨設(shè)，則在中，由余弦定理知；在中同理可知：在中，即有解得.練習(xí)17．（2023·山東·煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知平面四邊形ABCD中，，，．(1)求；(2)若，，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)(2)【分析】(1)在和中，利用正弦定理和已知條件，建立等量關(guān)系：，從而得到，求出結(jié)果；(2)利用條件得到為等邊三角形，進而求出，再利用三角形面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得．因為，所以，所以．而，，故，又，所以得到．因為，故，故．（2）因為，且，故，為等邊三角形．所以，因為，，所以，故梯形ABCD的面積．練習(xí)18．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，，，且為邊上的中線，為的角平分線．(1)求及線段的長；(2)求的面積．【答案】(1)，BC＝6(2)【分析】（1）利用二倍角正弦公式結(jié)合正弦定理推出，再利用余弦定理即可求得a，即得答案.（2）求出，即可求出，利用角平分線性質(zhì)可推出,從而，即可求得答案.【詳解】（1）由題意在中，，∴，∴，而，，∴，由余弦定理得（舍去），即.（2）在中，，，，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，則,,∵AD為BC邊的中線，∴，∴.練習(xí)19．（2023春·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，若，，，，．(1)求B；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）在中，利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式即可得解；（2）在中，先利用正弦定理求出，再在和中，利用余弦定理證明，即可得證.【詳解】（1）在中，因為，所以，即，所以，又，所以，因為，所以；（2）在中，，則，所以，則，在中，，，，則，因為且，所以.練習(xí)20．（2023春·福建福州·高三福建省福州高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點D在邊BC上，且，，．(1)若，求的值；(2)若BC邊上點E滿足，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理即可求解，（2）由正弦定理可得的值，進而根據(jù)向量的模長公式即可求解.【詳解】（1）在中，點在邊上，，，，，．由正弦定理可得（2）由（1）知，且為鈍角三角形，由得，,，，在中,由正弦定理得，解得,所以，，所以題型五 角平分線的應(yīng)用例9．（2023春·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）在非直角中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，是角的內(nèi)角平分線，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的角邊化及余弦定理的推論，利用等面積法及三角形的面積公式，結(jié)合正余弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由及正弦定理，得.由余弦定理，得，因為為非直角三角形，所以，所以，因為是角的內(nèi)角平分線，且，所以由三角形的面積公式得，所以，即，因為，所以，所以,所以，,.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是利用正弦定理的角化邊和余弦定理的推論，再利用等面積法及正余弦的二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可.例10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若在上，是的角平分線，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角以及兩角和的正弦公式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)三角形的面積公式以及基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，所以，而，故，因為，所以.（2）由題意可知，，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，又，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，因此的最小值為.練習(xí)21．（2023春·吉林長春·高三長春十一高?？计谥校┯浀膬?nèi)角??的對邊分別為??，已知.(1)證明：；(2)若，，角的內(nèi)角平分線與邊交于點，求的長.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合條件即得；（2）利用余弦定理結(jié)合條件可得，然后利用角平分線定理及余弦定理即得.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，即，所以；（2）由余弦定理得：，，又，所以，，由角平分線定理可得，，，在中，由余弦定理得：，所以.練習(xí)22．（2023春·天津武清·高三天津英華國際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線AD的長為3，則的最小值為（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理可求得，再利用等面積法結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因為，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為.故選：A.練習(xí)23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角所對的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點D，則______.【答案】/【分析】由角平分線性質(zhì)及正弦邊角關(guān)系得、，應(yīng)用余弦定理求得，在△中應(yīng)用余弦定理求，正弦邊角關(guān)系確定最終的長度.【詳解】由題設(shè)，則，又，則，故，又，即，在△中，由余弦定理知：，即，得，故，在△中，由余弦定理知：，故，故或，又，即，故.故答案為：練習(xí)24．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角B；(2)設(shè)的角平分線交于點D，若，求的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求值，可得答案.（2）根據(jù)三角形的面積之間的關(guān)系，即，可得，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，又在中，,∴，即，又，∴,又，∴，即角B的大小為.（2）∵.是的角平分線，而，∴，即，∴.∵，∴，∵，∴，即,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，即的面積的最小值為.練習(xí)25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，．已知．(1)求；(2)若外接圓面積為，求的最大值；(3)若，且的角平分線，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由已知得，由余弦邊角關(guān)系即可求值；（2）由正弦定理求外接圓半徑，由（1）得，進而求得，應(yīng)用余弦定理、基本不等式求最值，注意等號成立條件.（3）利用等面積法得，由二倍角余弦公式求，即可求結(jié)果.【詳解】（1）由題知，即，由，解得．（2）由外接圓面積為得外接圓半徑，由（1），所以，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，即，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時等號成立．所以ac的最大值為．（3）因為BD是的角平分線，則，所以的面積，所以，則，由，所以，解得（負(fù)值舍去），綜上，．題型六 中線的應(yīng)用例11．（2023春·遼寧大連·高三校聯(lián)考期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果；（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出，最后利用求模公式即可求邊上的中線的長.【詳解】（1）因為，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以；（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為.例12．（2023春·福建福州·高三福建省連江第一中學(xué)校考期中）記的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，點為邊的中點．若，，，則的面積為__．【答案】【分析】由已知結(jié)合余弦定理可得，然后結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)可求，再由三角形面積公式可求．【詳解】解：由余弦定理得，所以，因為為的中點，所以，所以，所以，故的面積．故答案為：．練習(xí)26．（2023春·湖北孝感·高三湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且.(1)求；(2)若中線，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得；（2）利用向量運算、三角形的面積公式以及基本不等式求得面積的最大值.【詳解】（1）依題意，，由正弦定理得，，，，由于，所以，即，由于，所以.（2）依題意，兩邊平方得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形是等邊三角形時等號成立，所以面積的最大值為.練習(xí)27．（2023春·吉林長春·高三長春市第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，已知邊上的兩條中線相交于點，則的余弦值為__________.【答案】【分析】利用平面向量的加減法運算和數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】由題可得，，，所以，，，所以，故答案為:.練習(xí)28．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學(xué)?？计谥校┮阎谥?，AD為BC邊上的中線，且，，則的最小值為________．【答案】/0.6【分析】在和中，分別用余弦定理建立關(guān)系，并求得，再在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解作答.【詳解】依題意，，，如圖，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，即，兩式相加得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，在中，，所以的最小值為.故答案為：練習(xí)29．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，，，，點在線段上，設(shè).(1)若是的平分線，，求的大??；(2)若是邊上的中線，，，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)及，，可得，再由余弦定理得，從而可得C的大小；（2）解法一，由，結(jié)合余弦定理得到，結(jié)合勾股定理的逆定理可得，再利用勾股定理即可得到a的值，從而得到，的值，即可得解.解法二，根據(jù)中線的向量性質(zhì)及余弦定理進行求解即可.【詳解】（1）由題可設(shè)，則，因為，所以，因為，，所以，因為，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以.（2）解法一：因為，，所以由余弦定理可得，所以，，所以，因為，D是AC的中點，所以，得，，，所以的周長為.解法二.因為BD是AC邊上的中線，所以，又，所以，因為，，所以，得，，由余弦定理得，所以，所以的周長為.練習(xí)30．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，角的對邊分別為，且的面積為(1)求角的大?。?2)若是的一條中線，求線段的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積公式和余弦定理得到，得到答案；（2）由，兩邊平方結(jié)合向量的運算法則計算得到答案.【詳解】（1）由題意，可得的面積，所以，所以，又，所以.（2）為的中點，則，又，，所以，故，即線段的長度為.題型七 解三角形的結(jié)構(gòu)不良例13．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，為邊上一點，.

(1)求角；(2)從下面兩個條件中選一個，求角.①；②.【答案】(1)(2)選擇條件①或②，都有【分析】（1）由余弦定理求解即可；（2）選擇條件①，在中，由正弦定理及角的范圍求解即可；選擇條件②，在中，由正弦定理及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.【詳解】（1）在中，由余弦定理可知：，又，.（2）若選擇條件①：在中，由正弦定理可知：，即，解得.在中，，從而，必有，又，故.若選擇條件②：在中，，，由正弦定理可知：，即，解得，又，則，，，故，在中，.例14．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答．問題：銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________．(1)求A；(2)若，為AB的中點，求CD的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡即可；（2）利用向量的幾何意義與數(shù)量積，通過條件先計算得，再得，由二次函數(shù)的單調(diào)性計算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）若選①，，∵；若選②，，∵；若選③∵，而.（2）

如圖所示，設(shè)，則，，，∵是銳角三角形，∴，，當(dāng)時取得最小值，故.練習(xí)31．（2023·北京·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角的對邊分別為，，且______．在①，②，這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．(1)求的面積；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①則根據(jù)余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根據(jù)面積公式即可得的面積；若選②根據(jù)向量數(shù)量積定義得，且，于是利用同角的平方關(guān)系公式得，即可得的值，再根據(jù)面積公式即可得的面積；（2）由正弦定理得即可求得的值，開方可求的值，從而得到的值.【詳解】（1）若選①:因為，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；若選②:因為，即，則，又，則，又，得，則；（2）由正弦定理得：，則，則，．練習(xí)32．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題