（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題6.8 平面向量、復(fù)數(shù)和解三角形（2021-2023年）真題訓(xùn)練（含答案及解析）

專題6.8平面向量、復(fù)數(shù)和解三角形真題訓(xùn)練第一部分：平面向量1．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知向量，若，則__________．3．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量．若，則______________．4．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．65．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．6．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，滿足，，則______．7．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．58．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）（多選）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．9．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知向量，若，則_________．10．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知向量．若，則________．11．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）若向量滿足，則_________.12．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．13．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．214．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．15．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．16．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）向量，且，則（

）A． B． C． D．17．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．18．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．19．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．第二部分：復(fù)數(shù)20．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A． B． C． D．21．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知，則（

）A． B． C． D．22．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．23．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)，其中為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．24．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）（

）A． B． C． D．25．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）（

）A． B．1 C． D．26．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．27．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．28．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限29．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）若，則（

）A． B． C．1 D．230．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）若．則（

）A． B． C． D．31．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．132．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限33．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若復(fù)數(shù)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．234．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．35．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）（

）A．1 B．2 C． D．5第三部分：解三角形36．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．37．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．47338．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．339．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．40．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．41．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，，，D為BC上一點，AD為的平分線，則_________．42．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：43．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.44．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．45．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．46．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．47．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．48．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．49．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．50．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【詳解】（1）因為，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．51．在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）

專題6.8平面向量、復(fù)數(shù)和解三角形真題訓(xùn)練第一部分：平面向量1．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D2．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知向量，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分．3．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量．若，則______________．【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.4．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C5．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．6．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，滿足，，則______．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.7．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.8．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）（多選）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC9．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知向量，若，則_________．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.10．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知向量．若，則________．【答案】.【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.11．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）若向量滿足，則_________.【答案】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.12．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．13．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.14．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．15．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.16．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.17．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．【答案】【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當且僅當取得等號，則時，有最大值.故答案為：；.

18．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當點位于直線異側(cè)時，設(shè)，則：，則當時，有最大值.

當點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.19．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D第二部分：復(fù)數(shù)20．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，故，故故選：C.21．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.22．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應(yīng)相等，得,即故選:23．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)，其中為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出．【詳解】因為R，，所以，解得：．故選：A.24．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.25．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可.【詳解】故選：C.26．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則即可求得z的值.【詳解】由題意可得：.故選：C.27．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.28．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡，從而可求對應(yīng)的點的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，該點在第一象限，故選：A.29．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D30．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）若．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計算公式即可求出．【詳解】因為，所以，所以．故選：D.31．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因為，所以，即．故選：A．32．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因為，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.33．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若復(fù)數(shù)，則（

）A．-1 B．0

· C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算以及復(fù)數(shù)相等即可解出．【詳解】因為，所以，解得：．故選：C.34．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意首先計算復(fù)數(shù)的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題意可得，則.故選：B.35．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由題意首先化簡，然后計算其模即可.【詳解】由題意可得，則.故選：C.第三部分：解三角形36．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.37．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．【點睛】本題關(guān)鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．38．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．39．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．【答案】/【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當且僅當，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當取最小值時，，即.

40．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.41．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，，，D為BC上一點，AD為的平分線，則_________．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．四、解答題42．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．43．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.44．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.45．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．46．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從