（圓夢高考數(shù)學）專題8.3 利用傳統(tǒng)方法求角度和距離（含答案及解析）

專題8.3利用傳統(tǒng)方法求角度和距離題型一求異面直線的夾角題型二求直線與平面的夾角題型三求平面與平面的夾角題型四已知夾角求距離題型五求幾何體的體積題型六利用等體積法求點到面的距離題型一 求異面直線的夾角例1．（2023春·全國·高一專題練習）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是________.例2．（2023·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐中，，，且，點E，F(xiàn)分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為__________，與所成角的余弦值為__________.練習1．（2023春·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體中，是的中點，P是線段上的動點，則直線和所成角的大?。?/p>

）A．一定為 B．一定為 C．一定為 D．與P的位置有關練習2．（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．練習3．（2023·江蘇·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是______.練習4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．練習5．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點，則異面直線EF與所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．題型二 求直線與平面的夾角例3．（2021春·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，平面，，且平分，為的中點，，.(1)證明平面；(2)求直線與平面所成的角的正切值.例4．（2022秋·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，是的中點，平面，，，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.練習6．（2023春·山東臨沂·高三校考期中）如圖，已知點是正方形所在平面外一點，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)若中點為，求證：平面平面.(3)若平面，，求直線與面所成的角.練習7．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學校考模擬預測）米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉?糧棧?米行及地主家里必備的用具?如圖為一倒正四棱臺型米斗，高為40cm.已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50cm的球O的球面上，且一個底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側棱與底面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．練習8．（2023·全國·高三專題練習）在長方體中，，，，則與平面所成角的正切值為（

）A． B．2 C． D．練習9．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E、F分別為AA1、AC的中點.

(1)求證：EF∥平面CDA1B1；(2)求EF與平面DBB1D1夾角的余弦值.練習10．（2023·全國·模擬預測）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面，平面，是邊長為2的正三角形，，．

(1)點為線段上一點，求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．題型三 求平面與平面的夾角例5．（2023·全國·高三專題練習）（多選）如圖，正四棱柱中，，E，F(xiàn)分別為，的中點，則下列結論錯誤的是（

）A．平面BEFB．直線與直線BF所成的角為C．平面BEF與平面ABCD的夾角為D．直線與平面ABCD所成的角為例6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校聯(lián)考階段練習）已知四面體ABCD，D在面ABC上的射影為，為的外心，，.

(1)證明：BC⊥AD；(2)若E為AD中點，OD=2，求平面與平面夾角的余弦值．練習11．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，，求平面與平面所成二面角的大?。?/p>

練習12．（2023·上海黃浦·上海市敬業(yè)中學?？既＃┮阎庵?，，延長至，使.(1)求證：；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.練習13．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）如圖，在圓柱中，，為圓上一定點，為圓上異于點的一動點，，過點作平面的垂線，垂足為點.(1)若，求證：.(2)若為等邊三角形，求二面角的余弦值.練習14．（2023春·吉林·高三校聯(lián)考期中）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點.

(1)求證：直線平面；(2)求二面角的余弦值.練習15．（2023春·全國·高三專題練習）如圖，在圓錐中，已知底面，，的直徑，是的中點，為的中點.

(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值.題型四 已知夾角求距離例7．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）如圖，已知頂點為的圓錐其底面圓的半徑為8，點為圓錐底面半圓弧的中點，點為母線的中點.

(1)若母線長為10，求圓錐的體積；(2)若異面直線與所成角大小為，求、兩點間的距離.例8．（2023春·河南安陽·高三安陽一中?？茧A段練習）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點．在翻折過程中，(1)求證：平面；(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.練習16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，分別為棱中點．(1)求證：平面平面；(2)若平面平面，直線與平面所成的角為，且，求二面角的大小．練習17．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）如圖，正四棱柱中，，點E、F分別是棱BC和的中點．(1)判斷直線與的關系，并說明理由；(2)若直線與底面ABCD所成角為，求四棱柱的全面積．練習18．（2023春·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示，三棱臺中，底面，．(1)證明：是直角三角形；(2)若，問為何值時，直線與平面所成角的正弦值為？練習19．（2021春·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點.(1)求證：平面平面；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角的大小為.練習20．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）在四棱錐中，底面ABCD，，，，且二面角為，則四棱錐的側面積為（

）A． B．10 C． D．11題型五 求幾何體的體積例9．（2023春·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面．(1)證明：四邊形是正方形；(2)若，為上一點，且滿足，求三棱錐的體積．例10．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．練習21．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語，指的是一個類似隧道形狀的幾何體.如圖，在羨除中，底面是邊長為2的正方形，.(1)證明：平面平面.(2)求四棱錐的體積.練習22．（2023春·高三平湖市當湖高級中學校聯(lián)考期中）如圖，在正方體中，分別是棱的中點，設是線段上一動點.(1)證明：//平面；(2)求三棱錐的體積.練習23．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預測）如圖，四棱錐的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，為棱上的一點.(1)證明：；(2)若三棱錐的體積為，求的值.練習24．（2023春·河南商丘·高三商丘市實驗中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在直三棱柱中，，，，，點D為棱AB的中點，點E為棱上一點.(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求直線與平面所成角的余弦值.練習25．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）如圖，四邊形與四邊形是全等的矩形，，若是的中點.

(1)求證：平面平面；(2)如果，求三棱錐與多面體的體積比值.題型六 利用等體積法求點到面的距離例11．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）如圖所示，正三棱柱中各條棱長均為2，點分別為棱的中點．

(1)求異面直線和所成角的正切值；(2)求點到平面的距離．例12．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在直角三角形中，，將沿折起到的位置，使平面平面，點滿足.(1)證明：；(2)求點到平面的距離.練習26．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預測）如圖在多面體中，，平面，為等邊三角形，，，，點M是AC的中點.(1)若點G是的重心，證明：點G在平面內；(2)求點G到的距離.練習27．（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，在正三棱柱中，為上一點，，，為上一點，三棱錐的體積為.(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離．練習28．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，已知底面為梯形，，，.(1)證明：.(2)若平面，，求點到平面的距離.練習29．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在三棱柱中，底面平面是正三角形，是棱上一點，且．

(1)求證：；(2)若且二面角的余弦值為，求點到側面的距離．練習30．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）在斜三棱柱中，是邊長為2的正三角形，側棱，頂點在平面的射影為邊的中點.

(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離.

專題8.3利用傳統(tǒng)方法求角度和距離題型一求異面直線的夾角題型二求直線與平面的夾角題型三求平面與平面的夾角題型四已知夾角求距離題型五求幾何體的體積題型六利用等體積法求點到面的距離題型一 求異面直線的夾角例1．（2023春·全國·高一專題練習）在棱長為2的正方體中，為底面的中心，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是________.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，作出并證明異面直線與所成角，再計算作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，取中點，連接，如圖，

因為為的中點，有，則四邊形是平行四邊形，于是，又，即有四邊形是平行四邊形，因此，則是異面直線與所成的角或補角，而為底面的中心，則，又平面，從而平面，而平面，則，在中，，于是，所以異面直線與所成角的余弦值是.故答案為：例2．（2023·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐中，，，且，點E，F(xiàn)分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為__________，與所成角的余弦值為__________.【答案】【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義作輔助線，構造三角形.【詳解】取的中點G，連接，，則，，故或其補角為異面直線與所成的角，過A作平面于點O，連接，，，則，又，且，故平面，故，同理可得，即為的垂心，故，又，，平面，平面，故平面，故，即與所成角為；所以，由可得，故，即異面直線與所成角的余弦值為；故答案為：①，②.練習1．（2023春·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體中，是的中點，P是線段上的動點，則直線和所成角的大?。?/p>

）A．一定為 B．一定為 C．一定為 D．與P的位置有關【答案】A【分析】連接，可以證到，，從而證到平面，所以，即可得解．【詳解】解：連接,四面體是正四面體，是的中點,、是等邊三角形，，．平面，平面，，平面，又平面，，直線與所成角為.故選：A．練習2．（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別取的中點，連接，則可證明為異面直線SC與DE所成的角，分別在三角形中由勾股定理求出，和的長度，利用余弦定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：分別取的中點，連接.由且可得是等邊三角形，則且，且，故且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為，所以為異面直線SC與DE所成的角（或其補角），因為平面，平面，∴，，故和均為直角三角形，所以，，，由余弦定理得.則異面直線與所成的角的余弦值為.故選：B練習3．（2023·江蘇·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，D，E，F(xiàn)分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是______.【答案】【分析】通過構造平行線將異面直線所成角轉化為相交線的夾角，解三角形即可.【詳解】如圖，在棱上取一點，使得，取的中點，連接，，，由于，分別是棱，的中點，所以，，故四邊形為平行四邊形，進而，又因為，分別是，的中點，所以，所以，則或其補角是異面直線與所成的角.設，則，，.從而，，，，故，故異面直線與所成角的余弦值是.故答案為：.練習4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）已知三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將三棱柱補成如圖所示的四棱柱，則異面直線與所成角即為，設，求出，由余弦定理求解即可.【詳解】解析：將三棱柱補成如圖所示的四棱柱，

連接，由四棱柱的性質知，，所以異面直線與所成角即為與所成角，則所求角為，設，則,由余弦定理可得：，同理可得，因為，，所以，所以，故選：C.練習5．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點，則異面直線EF與所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)異面直線的夾角的求法和線面位置關系即可求解.【詳解】如圖所示，連接直線，因為分別為直線和直線的中點，所以為的中位線，所以，則異面直線EF與所成角的正切值即為直線與所成角的正切值，因為,所以平面,平面,所以,所以為直角三角形，所以.故選：B.題型二 求直線與平面的夾角例3．（2021春·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，平面，，且平分，為的中點，，.(1)證明平面；(2)求直線與平面所成的角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設，得到是三角形的中位線，故，利用線面平行的判定定理即可得證；（2）證明平面，可得即為直線與平面所成的角，再解即可.【詳解】（1）令，連結，∵平分，∴，又，∴，∴，點為的中點，為的中點，，平面，平面，平面；（2）由（1）可知，平面，平面，，又平面，平面，即為直線與平面所成的平面角，在中，，，，直線與平面所成角的正切值為.例4．（2022秋·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，是的中點，平面，，，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明，原題即得證；（2）連結，就是直線與平面所成的角，解直角三角形求出，，即得解.【詳解】（1）∵平面

∴

又∵，，平面，∴平面（2）連結，由（1）知平面

∴就是直線與平面所成的角，中，，∴.中，，∴.∴，∴．所以直線與平面所成角的正弦值為.練習6．（2023春·山東臨沂·高三?？计谥校┤鐖D，已知點是正方形所在平面外一點，，分別是，的中點.(1)求證：平面；(2)若中點為，求證：平面平面.(3)若平面，，求直線與面所成的角.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）取的中點，連接，，即可證明四邊形為平行四邊形，所以，從而得證；（2）依題意可得即可得到平面，再結合（1）的結論，即可得證；（3）依題意可得平面平面，由面面垂直的性質得到平面，則即為直線與面所成的角，再根據(jù)邊長的關系得解.【詳解】（1）取的中點，連接，，因為是的中點，所以且，又是的中點，是正方形，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為為的中點，是的中點所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面.（3）因為平面，平面，所以平面平面，又為正方形，所以，平面，平面平面，所以平面，所以即為直線與面所成的角，又，所以為等腰直角三角形，所以，即直線與面所成的角為.練習7．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學?？寄M預測）米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉?糧棧?米行及地主家里必備的用具?如圖為一倒正四棱臺型米斗，高為40cm.已知該正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為50cm的球O的球面上，且一個底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺的側棱與底面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意作出正四棱臺的對角面，為外接球球心，為線段中點，過點作，垂足為，則即為所求角.【詳解】由題意，作出正四棱臺的對角面，如圖為正四棱臺上底面正方形對角線，為正四棱臺下底面正方形對角線，為外接球球心，為線段中點，則，過點作，垂足為，則即為所求角.因為，所以，所以，所以，所以正四棱臺的側棱與底面所成角的正弦值為.

故選:D.練習8．（2023·全國·高三專題練習）在長方體中，，，，則與平面所成角的正切值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】連接，利用線面角定義知為所求的角，在直角中，即可求解.【詳解】在長方體中，平面，是與平面所成的角，連接，平面，，又，，，所以，在直角中，，即與平面所成角的正切值為．故選：D．練習9．（2023·新疆喀什·?？寄M預測）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E、F分別為AA1、AC的中點.

(1)求證：EF∥平面CDA1B1；(2)求EF與平面DBB1D1夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面平行的判定，只要證明平行于平面CDA1B1內一條直線即可；（2）如圖，利用面面垂直確定線面角為，解三角形即可.【詳解】（1）由為交點，連接交于點，連接，由為中點，則∥，由平面CDA1B1，平面CDA1B1，所以EF∥平面CDA1B1；（2）連接交于點，連接，由平面，則，又，且，所以平面，所以平面，又平面平面，作于，則平面且為中點，則為EF與平面DBB1D1所成角，由AA1=2AB，不妨設，則，，所以.

練習10．（2023·全國·模擬預測）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面，平面，是邊長為2的正三角形，，．

(1)點為線段上一點，求證：；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，證得平面，得到，且，得到所以四邊形為平行四邊形，所以，再由，證得平面，得到平面，即可證得；（2）過作垂直于，證得平面，得到即為與平面所成角，在直角，即可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：取中點，連接，

因為是邊長為2的正三角形，可得，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，且，又因為平面，所以，因為，可得，所以四邊形為平行四邊形，所以，由，且為的中點，可得，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）解：在中，，且，由余弦定理得，所以，如圖所示，過作垂直于，交延長線于點，即，連結，因為平面，且平面，所以，又因為，且平面，所以平面，所以即為與平面所成角,在直角中，可得，在直角中，可得，所以，即與平面所成角的正弦值為.

題型三 求平面與平面的夾角例5．（2023·全國·高三專題練習）（多選）如圖，正四棱柱中，，E，F(xiàn)分別為，的中點，則下列結論錯誤的是（

）A．平面BEFB．直線與直線BF所成的角為C．平面BEF與平面ABCD的夾角為D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABC【分析】對于A，若平面BEF，則，與矛盾；對于B，假設直線與直線BF所成的角為，可得平面，所以，顯然這是不可能的；對于C，可證得即為平面BEF與平面ABCD的夾角，求判斷即可；對于D：直線與平面ABCD所成的角即為直線與平面ABCD所成的角.【詳解】對于A，如圖，連接，由題意，又E，F(xiàn)分別為，的中點，可得，若平面BEF，則，進而．這顯然不成立，故與平面BEF不垂直，A錯誤；對于B，假設直線與直線BF所成的角為，即，由正四棱柱的性質可知平面，而平面，所以，又與相交，、面，所以平面，而由正四棱柱的性質可知平面，所以，顯然這是不可能的，所以假設不成立，因此B錯誤；對于C，分別延長，DA交于點P，連接PB，則直線PB即為平面與平面ABCD的交線．連接BD，，因為且，所以，所以，又平面，面，所以，又面，所以平面，又面，所以，所以即為平面BEF與平面ABCD的夾角，易知，故，C錯誤；對于D，可證，則直線與平面ABCD所成的角為，又根據(jù)題意易知，D正確．故選：ABC．例6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校聯(lián)考階段練習）已知四面體ABCD，D在面ABC上的射影為，為的外心，，.

(1)證明：BC⊥AD；(2)若E為AD中點，OD=2，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，連接并延長交于，連接，由線面垂直的判定定理可得面，即可證明BC⊥AD；（2）解法一：取中點，連接，作垂直交于點，連接，由題意可得即為平面與平面夾角的平面角.解法二：建立空間直角坐標系，通過空間向量的坐標運算，結合二面角的公式即可得到結果.【詳解】（1）

連接并延長交于，連接，因為O恰好為△ABC的外心，所以，又，，所以，所以，即是的角平分線，又，所以由等腰三角形三線合一可得，因為D在面ABC上的投影為O，所以面ABC，又面ABC，所以，又面，所以面，又面，所以.（2）

解法一：在中，由（1）與等腰三角形三線合一可知是的中點，由（1）知，面ABC，取中點，連接，因為，,面ABC,作垂直交于點，連接，即為平面與平面夾角的平面角.由題可得，，，即平面與平面夾角的余弦值為.練習11．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，，求平面與平面所成二面角的大小．

【答案】【分析】設平面平面，證得平面，從而證得，得到為平面與平面所成二面角的平面角，在直角，即可求解.【詳解】解：因為，且平面，平面，所以平面，如圖所示，設平面平面，且平面，所以，因為平面，且平面，所以，又因為為正方形，可得，因為且平面，所以平面，所以平面，又因為平面，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，在直角，可得，所以，即為平面與平面所成二面角的大小為.故答案為：.

練習12．（2023·上海黃浦·上海市敬業(yè)中學?？既＃┮阎?，正三棱柱中，，延長至，使.(1)求證：；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過底面的邊角關系可得，，進而可證得平面，從而得證；（2）法一：取中點，聯(lián)結，可證得為二面角的平面角，從而得解.法二：建立空間直角坐標系用向量的方法求解.【詳解】（1）因為是正三棱柱，所以，，且，從而又，所以，，即，又，、，平面，又，（2）解法一：取中點，聯(lián)結.所以，又，故，因為平面，，所以，又，、，所以平面，又，所以，所以為二面角的平面角，因為所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.解法二：以直線為軸，直線為軸，直線為z軸建立空間直角坐標系.則，設平面的一個法向量，則，令，則，所以，又平面的一個方向量，設二面角的大小為，則，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.練習13．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┤鐖D，在圓柱中，，為圓上一定點，為圓上異于點的一動點，，過點作平面的垂線，垂足為點.(1)若，求證：.(2)若為等邊三角形，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由線面垂直證線線垂直即可；（2）由二面角的定義，找到二面角的平面角，在三角形中求二面角的余弦值大小即可.【詳解】（1）證明：由圓柱的性質得：，因為，所以，因為，所以，因為，，所以，又因為，所以，因為，所以.（2）過點作垂足為，過作于，連接，由已知，所以，，所以，，所以，所以，所以為二面角的平面角，又因為為等邊三角形，，所以，在直角三角形中，，，所以，所以，在直角三角形中，，所以.練習14．（2023春·吉林·高三校聯(lián)考期中）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點為的中點.

(1)求證：直線平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點，連接，根據(jù)線面平行的判定定理求解；（2）連接，，可證明為二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.【詳解】（1）連接交于點，連接，如圖，則為的中點，由于是的中點，故，∵平面，平面，所以平面；（2）連接，，因為，是的中點，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，由底面是菱形，得，又平面，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值為.

練習15．（2023春·全國·高三專題練習）如圖，在圓錐中，已知底面，，的直徑，是的中點，為的中點.

(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接，先根據(jù)是等腰直角三角形證出中線，再結合證出，利用平面與平面垂直的判定定理，可證出平面平面；（2）依題意可得，則，再根據(jù)計算可得.（3）過分別作于，于，再連接，根據(jù)三垂線定理證明為二面角的平面角，最后分別在、、中計算出、和，最后求出所求二面角的余弦值．【詳解】（1）連接，，是的中點，，又底面，底面，，，平面，平面，而平面，平面平面.（2）因為是的中點，是的直徑，所以，所以，所以.（3）在平面中，過作于，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，，在平面中，過作于，連接，，平面，所以平面，又平面，從而．故為二面角的平面角，在中，，在中，，在中，，在中，，所以，故二面角的余弦值為.

題型四 已知夾角求距離例7．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）如圖，已知頂點為的圓錐其底面圓的半徑為8，點為圓錐底面半圓弧的中點，點為母線的中點.

(1)若母線長為10，求圓錐的體積；(2)若異面直線與所成角大小為，求、兩點間的距離.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓錐的高，再利用錐體的體積公式計算作答.（2）取的中點，作出異面直線與所成角，再利用線面垂直的性質結合勾股定理求解作答.【詳解】（1）圓錐的底面圓半徑為8，母線長為10，而，則，解得，所以圓錐的體積為.（2）取的中點，連接,，

由弧為圓錐底面的半圓弧知圓錐底面圓心在上且為中點，為母線的中點，則與所成角為或其補角，由平面，得平面，平面，則，于是有，由是半圓弧的中點可得，則，所以.例8．（2023春·河南安陽·高三安陽一中?？茧A段練習）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點．在翻折過程中，(1)求證：平面；(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，通過證平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定義先找出二面角的平面角即為，再利用面面垂直的性質定理找到平面的垂線，從而作出與面所成的角，計算可得答案.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，為線段的中點，，平面，平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，則平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，則面.（2）取中點，中點，連接，，，由，，為邊的中點，得，所以為等邊三角形，從而，，又，為的中點所以，又是等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，過點作，過作交于，連接，是等邊三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以為與平面所成的角，在中可求得，所以，與面所成角的正弦值為練習16．（2023·上海·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，分別為棱中點．(1)求證：平面平面；(2)若平面平面，直線與平面所成的角為，且，求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質和三角形中位線性質，結合線面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可證得結論；（2）根據(jù)面面垂直的性質可證得平面，由線面角定義可知，根據(jù)二面角平面角的定義可知所求二面角的平面角為，由長度關系可得結果.【詳解】（1）為中點，，，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；分別為中點，，平面，平面，平面；，平面，平面平面.（2）平面平面，平面平面，平面，，平面，即為直線與平面所成角，即；設，則，平面，平面，，；，，平面，平面，平面平面，即為二面角的平面角，，，，即二面角的大小為.練習17．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）如圖，正四棱柱中，，點E、F分別是棱BC和的中點．(1)判斷直線與的關系，并說明理由；(2)若直線與底面ABCD所成角為，求四棱柱的全面積．【答案】(1)相交；理由見解析(2)【分析】（1）連結.先根據(jù)三角形的中位線得出，且.然后證明四邊形是平行四邊形，即可推出四邊形是梯形，進而得出結論；（2）由題意知，推得.在中，解得，即可求出四棱柱的面積.【詳解】（1）如圖1，連結.因為分別是的中點，所以，且.由正四棱柱的性質可知，，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，，且，所以，且.所以，四邊形是梯形，所以，直線與相交.（2）如圖2，連結，則即為直線與底面ABCD所成角，即，則在中，有.設，由題意知，則，在中，有，所以.所以，四棱柱的全面積為.練習18．（2023春·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示，三棱臺中，底面，．(1)證明：是直角三角形；(2)若，問為何值時，直線與平面所成角的正弦值為？【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）結合棱臺的特征及條件先證得平面，由即可得結論；（2）作，先證為直線與平面所成角，設邊長，結合條件解直角三角形得出含參表示的邊長，作商即可解得.【詳解】（1）∵平面，平面，∴又，，平面，∴平面，∵三棱臺中，∴平面，又平面，，故是直角三角形．（2）在平面內作，垂足為，連接．由（1）知，平面，又平面，，，平面，平面，是在平面上的射影，即為直線與平面所成角．設，則，，∵三棱臺中，，，．在中，，，在中，，解得．∴當時，直線與平面所成角的正弦值為．練習19．（2021春·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點.(1)求證：平面平面；(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）根據(jù)題意，分別證得和，得到面，結合面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.（2）作于，連接，證得是二面角的平面角，利用余弦定理，建立等量關系式，結合直角三角形的性質，即可求解.【詳解】（1）證明（1）四棱錐的底面是正方形，可得，因為底面，平面，所以，又因為且平面，所以面，因為平面，所以平面平面.（2）解：作于，連接，因為底面，，可得，由底面，底面，所以，又因為，，所以平面，又由平面，所以，同理可證：平面，且平面，所以，所以和全等，因為，所以，且所以是二面角的平面角，要使，只需，解得，又因為，可得，因為，且，所以，可得，因為，所以，可得，又因為，所以，所以故當時，二面角的大小為.

練習20．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）在四棱錐中，底面ABCD，，，，且二面角為，則四棱錐的側面積為（

）A． B．10 C． D．11【答案】C【分析】作出輔助線，得到為二面角的平面角，并結合余弦定理求出各邊長，得到，可證，求出各個側面的面積，得到側面積.【詳解】因為，，所以為正三角形，取BC的中點E，連接PE，AE，則．

因為底面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以平面PAE，則，則為二面角的平面角，所以，所以，．因為，，，所以由余弦定理得，則，所以，因為底面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以⊥平面，因為平面，所以，則，故，，，，所以四棱錐的側面積為．故選：C題型五 求幾何體的體積例9．（2023春·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面．(1)證明：四邊形是正方形；(2)若，為上一點，且滿足，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）只需證，即可求證四邊形是正方形.（2）根據(jù)椎體體積公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖，過點作交于點；因為面面，面面,，面,所以面，而面，所以．又因為面，而面，，而，，面，面，故面，而面，故，由題意四邊形是菱形，∴四邊形是正方形．（2）∵設點到面的距離為，則由∵例10．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．(1)求證：平面平面PCD；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)中位線定理和面面垂直的判定即可求解；（2）根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】（1）因為底面ABCD是菱形，AC與BD交于點O所以O為AC中點，點E是棱PA的中點，F(xiàn)分別是棱PB的中點，所以OE為三角形的中位線，OF為三角形的中位線，所以,，平面，平面，平面，平面，平面，平面，而,平面，平面，平面平面PCD.（2）因為底面ABCD是邊長為2的菱形，，所以為等邊三角形，所以，因為底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，所以，，所以和均為直角三角形，所以，，所以，所以，所以，設點到平面的距離為，根據(jù)體積相等法可知，所以，所以.，故三棱錐的體積為.練習21．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語，指的是一個類似隧道形狀的幾何體.如圖，在羨除中，底面是邊長為2的正方形，.(1)證明：平面平面.(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）作出輔助線，由等腰三角形三線合一得到線線垂直，求出等腰梯形的高，得到，故，進而證明出線面垂直，得到面面垂直；（2）根據(jù)比練習關系得到，證明出線面垂直，求出，從而求出答案.【詳解】（1）分別取和的中點，連接，因為底面是邊長為2的正方形，，所以.在梯形中，，分別作垂直于，垂足分別為，則，故由勾股定理得，所以，易知，故.又，所以，因為，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.

（2）連接.因為，所以四邊形的面積，所以.因為，平面，所以平面，因為平面，所以.因為，平面，所以平面，且.因為，所以，即四棱錐的體積為.練習22．（2023春·高三平湖市當湖高級中學校聯(lián)考期中）如圖，在正方體中，分別是棱的中點，設是線段上一動點.(1)證明：//平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）結合正方體的性質，利用線面平行的判定及性質即可證明；（2）利用等體積法求解三棱錐體積即可.【詳解】（1）連結，，因為正方體，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，取中點，連結，因為是和的中點，所以，，且，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，所以，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面平面，平面，所以平面，（2）因為正方體，所以點到平面的距離與點到平面的距離相等，所以三棱錐的高，所以.練習23．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預測）如圖，四棱錐的底面是等腰梯形，，，，底面ABCD，為棱上的一點.(1)證明：；(2)若三棱錐的體積為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過點作，垂足為，根據(jù)等腰三角形的性質得到，利用余弦定理求出，從而得到，由線面垂直得到，即可證明平面，從而得證；（2）設，，則，求出，即可求出，從而得解.【詳解】（1）證明：過點作，垂足為，在等腰梯形中，因為，，所以，，在中，，則，則，因為底面，底面，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以.（2）設，，則，因為，所以，又，所以，解得，即當三棱錐的體積為時，.練習24．（2023春·河南商丘·高三商丘市實驗中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在直三棱柱中，，，，，點D為棱AB的中點，點E為棱上一點.(1)證明：；(2)求三棱錐的體積；(3)求直線與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)20(3)【分析】（1）先證明出平面，利用線面垂直的性質即可證明；（2）利用等體積法即可求解；（3）先判斷出為直線與平面所成的角，在中利用余弦的定義直接求解.【詳解】（1）∵三棱柱是直三棱柱，∴平面平面ABC.∵，，，∴，∴.∵平面平面，平面，∴平面.又平面，∴.（2）∵三棱柱是直三棱柱，∴點E到平面ABC的距離即的長，為5.∵D是AB的中點，∴，∴.（3）（3）由（1）知平面，∴為直線與平面所成的角.在中，，，∴，∴，即直線與平面所成角的余弦值為.練習25．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預測）如圖，四邊形與四邊形是全等的矩形，，若是的中點.

(1)求證：平面平面；(2)如果，求三棱錐與多面體的體積比值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）通過證明平面，即可證明平面平面；（2）分別求出三棱錐與多面體的體積，即可得出三棱錐與多面體的體積比值.【詳解】（1）由題意證明如下：∵，所以，又因為，且，面，面∴平面，又平面，所以.，即，所以，所以，同理，所以，即.又由于，∴，∵，平面，平面，所以平面，∵平面，∴平面平面.（2）由題意及（1）得，幾何體為直三棱柱，，∵，，∴，而，∴.題型六 利用等體積法求點到面的距離例11．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）如圖所示，正三棱柱中各條棱長均為2，點分別為棱的中點．

(1)求異面直線和所成角的正切值；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）連，，轉化為求的正切值即可；（2）利用等體積法可求出結果.【詳解】（1）連，，因為分別為棱的中點，所以，所以（或其補角）是異面直線和所成的角，因為正三棱柱中各條棱長均為2，點分別為棱的中點．所以，，，因為，所以，所以.

（2）連，依題意可得，，，，設點到平面的距離為，由得，得，得.即點到平面的距離為.

例12．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在直角三角形中，，將沿折起到的位置，使平面平面，點滿足.(1)證明：；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圖中的幾何關系，利用面面平行證明線面垂直，再證明線線垂直；（2）運用等體積法求解.【詳解】（1）在直角三角形中，因為，所以，即在四棱錐中，，平面PDB，平面PDB，所以平面，從而平面，如圖，在上取一點，使得，連接，因為，所以，所以，又，所以四邊形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF