人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提升精講精練專(zhuān)題02一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)(原卷版+解析)

專(zhuān)題02一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)【題型目錄】題型一利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系間接求代數(shù)式的值題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值題型四構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值題型五由兩根關(guān)系求方程字母系數(shù)題型六根與系數(shù)關(guān)系的新定義問(wèn)題題型七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系綜合【知識(shí)梳理】如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到．人們把公式①與②稱(chēng)之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過(guò)來(lái)，如果有兩數(shù)滿(mǎn)足①與②，那么這兩數(shù)必是一個(gè)一元二次方程的根．利用這一基本知識(shí)?？梢院?jiǎn)捷地處理問(wèn)題．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．當(dāng)時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根．⑴韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，一般地：①，②且，③且，特殊地：當(dāng)時(shí)，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．⑶以?xún)蓚€(gè)數(shù)為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：．⑷其他：若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．若，則方程必有實(shí)數(shù)根．若，方程不一定有實(shí)數(shù)根．若，則必有一根．若，則必有一根．⑸韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根，求作方程；結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以把某兩個(gè)變?cè)醋髂硞€(gè)一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；⑤利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱．【經(jīng)典例題一利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】【例1】（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．6 B．2 C．4 D．3【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．3 B． C．2 D．2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考二模）已知，是方程的兩個(gè)根，則的值為_(kāi)_____．3．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，求：(1)，(2)的值．【經(jīng)典例題二利用根與系數(shù)的關(guān)系間接求代數(shù)式的值】【例2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B．2 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則___________．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，且滿(mǎn)足．求的值．【經(jīng)典例題三利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值】【例3】（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩根，則的值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）設(shè)，是一元二次方程的兩根，則等于（

）A．1 B．5 C．11 D．132．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤绻辉畏匠痰膬蓚€(gè)根為，，則_____．3．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)【經(jīng)典例題四構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】【例4】（2022秋·四川眉山·九年級(jí)校考期中）已知實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足，且，則的值（

）A．0 B． C．4 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為m，則方程的兩根分別是（

）．A．， B．， C．， D．，2．（2023春·山東棗莊·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，則_______．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解答問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，，且，則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：，，且，則_____，______；(2)間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：，且，則______．【經(jīng)典例題五由兩根關(guān)系求方程字母系數(shù)】【例5】（2022秋·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┑妊切蔚娜呴L(zhǎng)分別為，，1，且關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根是和，則的值為（

）A．1 B．1或2 C．2 D．1且2【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是、，且，則值是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根為、，若，則_____．3．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若，且該方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，求的值．【經(jīng)典例題六根與系數(shù)關(guān)系的新定義問(wèn)題】【例6】（2022秋·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)m、n、p、q，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：，例如：．若m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A． B．-3 C． D．2．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，定義一種新的運(yùn)算：，如，已知，是一元二次程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則_______．3．（2023春·福建南平·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀材料：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然表面與一元二次方程無(wú)關(guān)，但是我們能夠通過(guò)構(gòu)造一元二次方程、并利用一元二次方程的有關(guān)知識(shí)將其解決．下面介紹兩種基本構(gòu)造閉法：方法1：利用根的定義構(gòu)造．例如，如果實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足、，且，則可將、看作是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．方法2：利用韋達(dá)定理逆向構(gòu)造．例如，如果實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足、，則可以將、看作是方程的兩實(shí)數(shù)根．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：(1)已知一元二次方程的兩根，，則______，______；(2)已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，求的值．(3)已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足、，且，求c的最大值．【經(jīng)典例題七一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合】【例7】（2022·四川宜賓·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是（）A．﹣＜a＜ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜﹣ D．﹣＜a＜0【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．2．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”的說(shuō)法，正確的有_____（填序號(hào)）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，則；③若滿(mǎn)足，則關(guān)于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，則必有．3．（2023春·湖北十堰·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，且，則稱(chēng)這個(gè)方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請(qǐng)閱讀以上材料，回答下列問(wèn)題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說(shuō)明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿(mǎn)足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）定義運(yùn)算：．若a，b是方程的兩根，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān)4．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）直線與拋物線的兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，若，則的值是（

）A． B．3或 C． D．或25．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)石獅市石光中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，是方程的兩根，則的值是（

）A． B．5 C．3 D．6．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，，則的值是（

）A．-11 B．13或-11 C．25或13 D．137．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)校考期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，如果定義新運(yùn)算，則下列結(jié)論正確的有（）①5*3=1；②當(dāng)x=-1時(shí)，[(-2)*x]*7=-21；③；④若、是一元二次方程的兩個(gè)根，則或-17；⑤若、是一元二次方程的兩個(gè)根，，則m的值為-3或-6．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)8．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個(gè)結(jié)論中，①如果，那么方程M和方程N(yùn)有一個(gè)公共根為1；②方程M和方程N(yùn)的兩根符號(hào)異號(hào)，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個(gè)根，那么一定是方程N(yùn)的一個(gè)根；④如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必定是．其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)是3，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則n的值為_(kāi)_____．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知a、b為一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則的值是______．11．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程的兩個(gè)根為，．若，則______．12．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，則________．13．（2022春·四川內(nèi)江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）將兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱(chēng)這樣的兩個(gè)方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個(gè)根為、，則b－2c＝______，的最大值是______．14．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程，有一個(gè)公共解2，且，，，．下列結(jié)論：①有唯一對(duì)應(yīng)的值；②；③是一元二次方程的一個(gè)解．其中正確結(jié)論的序號(hào)是____．15．（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若已知此方程的一個(gè)根為，求m的值以及方程的另一根．16．（2023·廣東珠?！ば？既＃┮阎?1)化簡(jiǎn)；(2)若、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值．17．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系通過(guò)學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式．除此以外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有一些其他形式的關(guān)系．從因式分解的角度思考這個(gè)問(wèn)題，若把一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別記為，，則有恒等式，即．比較兩邊系數(shù)可得：______，______．任務(wù)：(1)填空：______，______．(2)小亮同學(xué)利用求根公式進(jìn)行推理，同樣能夠得出一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系．下面是小亮同學(xué)的部分推理過(guò)程，請(qǐng)完成填空，并將推理和運(yùn)算過(guò)程補(bǔ)充完整．解：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根______，______．……(3)已知關(guān)于x的方程的兩根之和與兩根之積的和等于2，直接寫(xiě)出的值．18．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)試求的取值范圍；(2)若，求的值；(3)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且滿(mǎn)足，試求的值．19．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料并完成相應(yīng)任務(wù)：對(duì)于一元二次方程（），如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，那么，；一元二次方程的這種根與系數(shù)的關(guān)系，最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（）發(fā)現(xiàn)的，因此，我們把這個(gè)關(guān)系稱(chēng)為韋達(dá)定理，靈活運(yùn)用這個(gè)定理有時(shí)可以使解題更為簡(jiǎn)單．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．小明給出了一部分解題思路：解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，∴______，∴______，∴請(qǐng)?zhí)羁詹⑦^(guò)程補(bǔ)充完整．(2)類(lèi)比應(yīng)用一元二次方程的一個(gè)根為，則______，另一個(gè)根為_(kāi)_____．(3)思維拓展：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是，則______．20．（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)?？计谥校╅喿x材料，解答問(wèn)題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問(wèn)題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，，且，顯然，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：，且，求的值．專(zhuān)題02一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)【題型目錄】題型一利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型二利用根與系數(shù)的關(guān)系間接求代數(shù)式的值題型三利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值題型四構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值題型五由兩根關(guān)系求方程字母系數(shù)題型六根與系數(shù)關(guān)系的新定義問(wèn)題題型七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系綜合【知識(shí)梳理】如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到．人們把公式①與②稱(chēng)之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過(guò)來(lái)，如果有兩數(shù)滿(mǎn)足①與②，那么這兩數(shù)必是一個(gè)一元二次方程的根．利用這一基本知識(shí)常可以簡(jiǎn)捷地處理問(wèn)題．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．當(dāng)時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根．⑴韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，一般地：①，②且，③且，特殊地：當(dāng)時(shí)，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．⑶以?xún)蓚€(gè)數(shù)為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：．⑷其他：若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．若，則方程必有實(shí)數(shù)根．若，方程不一定有實(shí)數(shù)根．若，則必有一根．若，則必有一根．⑸韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根，求作方程；結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以把某兩個(gè)變?cè)醋髂硞€(gè)一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；⑤利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱．【經(jīng)典例題一利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】【例1】（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．6 B．2 C．4 D．3【答案】B【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】先將化簡(jiǎn)，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得到的值，從而得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，是一元二次方程的兩根，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考二模）已知，是方程的兩個(gè)根，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】先把方程轉(zhuǎn)化為一般式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再把進(jìn)行通分得到，再利用整體代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：轉(zhuǎn)化為一般式為：，根據(jù)題意可得：，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、整體代入求值，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到，是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，求：(1)，(2)的值．【答案】(1)10(2)30【分析】（1）由，是方程的兩實(shí)數(shù)根，得出，，由，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可得；（2）代入即可．【詳解】（1）解：∵，是方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴；（2）解：∵，是方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟記，解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二利用根與系數(shù)的關(guān)系間接求代數(shù)式的值】【例2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到，，再化簡(jiǎn)分式代值求解即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、分式的化簡(jiǎn)求值，解答的關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)分式，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)一元二次方程的兩個(gè)根為、，則，．【變式訓(xùn)練】1．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，根據(jù)一元二次方程根的定義得，由，整體代入求解即可．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則___________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，以及根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行求值即可．【詳解】解：∵a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用整體思想求代數(shù)式的值，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，且滿(mǎn)足．求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得到，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用整體思想代入求值即可.【詳解】（1）由題意得，．

解得：；（2）解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得．∵，∴．解得：．∵，∴．

∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程判別式與方程根的情況的對(duì)應(yīng)以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系．【經(jīng)典例題三利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值】【例3】（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩根，則的值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得出，，，，再對(duì)所求式子變形整理，求出答案即可．【詳解】解：∵是方程的兩根，∴，，，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程（a、b、c為常數(shù)，）的兩根為，，則，．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）設(shè)，是一元二次方程的兩根，則等于（

）A．1 B．5 C．11 D．13【答案】A【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：，以及方程的根的定義得到：，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)算即可．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴，，∴，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握方程的根是使方程成立的未知數(shù)的值，利用整體思想進(jìn)行化簡(jiǎn)，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤绻辉畏匠痰膬蓚€(gè)根為，，則_____．【答案】【分析】將代入方程可得，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得和的值；再將所求代數(shù)式提取公因式后代入求值即可；【詳解】解：∵是方程的根，∴，∴，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根的意義，因式分解；掌握一元二次方程的兩根，滿(mǎn)足，是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得出，整體代入計(jì)算可得；（2）將原式展開(kāi)整理成，再將、的值整體代入計(jì)算可得；（3）由a是方程的一個(gè)根得到，將原式整理成，再將、的值整體代入計(jì)算可得．【詳解】（1）解：∵a、b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴，則；（2）解：由（1）得，，∴；（3）解：由（1）得，∵a是方程的根，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握是一元二次方程的兩根時(shí)，，．【經(jīng)典例題四構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】【例4】（2022秋·四川眉山·九年級(jí)?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足，且，則的值（

）A．0 B． C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知a、b是一元二次方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再將進(jìn)行變形，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴a、b是一元二次方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，∴，∴故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的解、根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為m，則方程的兩根分別是（

）．A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出方程的另一個(gè)根，設(shè)，根據(jù)方程的根代入求值即可得到答案；【詳解】解：∵一元二次方程的一個(gè)根為m，設(shè)方程另一根為n，∴，解得：，設(shè)，方程變形為，由一元二次方程的根可得，，，∴，，∴，，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是用換元法變形方程代入求解．2．（2023春·山東棗莊·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，則_______．【答案】或【分析】實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足等式，，①當(dāng)時(shí)，，可能是方程的同一個(gè)根，兩數(shù)相等；②當(dāng)a≠b時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，把代數(shù)式變形成與兩根之和和兩根之積有關(guān)的式子，代入兩根之和與兩根之積，即可求得代數(shù)式的值．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，原式．②當(dāng)時(shí)，可以把，看作是方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．∴．故本題答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．此題綜合性較強(qiáng)，特別注意不要漏掉“”的情況．3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解答問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，，且，則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：，，且，則_____，______；(2)間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：，且，則______．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）利用韋達(dá)定理直接求解；（2）對(duì)進(jìn)行通分，然后利用韋達(dá)定理求解；（3）令，則由題得，，且，利用韋達(dá)定理可求的值，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：，，且，，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，．故答案為：7，1；（2）解：，，．（3）解：由，得．令，則由，得．由，得，即．，，且，，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，韋達(dá)定理的應(yīng)用，熟練掌握韋達(dá)定理的原理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五由兩根關(guān)系求方程字母系數(shù)】【例5】（2022秋·重慶萬(wàn)州·九年級(jí)重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┑妊切蔚娜呴L(zhǎng)分別為，，1，且關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根是和，則的值為（

）A．1 B．1或2 C．2 D．1且2【答案】C【分析】分1為底邊長(zhǎng)或腰長(zhǎng)兩種情況考慮：當(dāng)1為底時(shí)，由及即可求出、的值，利用三角形的三邊關(guān)系確定此種情況存在，再利用根與系數(shù)的關(guān)系找出即可；當(dāng)1為腰時(shí)，則、中有一個(gè)為1，則另一個(gè)為3，由1、1、3不能?chē)扇切慰膳懦朔N情況．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)1為底邊長(zhǎng)時(shí)，則，，．，2，2能?chē)扇切?，，解得：；?dāng)1為腰長(zhǎng)時(shí)，、中有一個(gè)為1，則另一個(gè)為3，，1，3不能?chē)扇切?，此種情況不存在．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，分1為底邊長(zhǎng)或腰長(zhǎng)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是、，且，則值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可知，，利用完全平方公式可得，整體代入解方程即可．【詳解】解：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，方程的兩根分別是、，，，，，，，整理得：，解得，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程，掌握根與系數(shù)的關(guān)系并利用完全平方公式變形是解題關(guān)鍵．2．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根為、，若，則_____．【答案】/0.8【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入得到，解這個(gè)一元一次方程即可得到答案．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根為、，∴，∵，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若，且該方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）利用根的判別式進(jìn)行證明即可；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，由此建立關(guān)于m的方程求解即可．【詳解】（1）證明：由題意得，，∴關(guān)于的一元二次方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，∴，∴，∴，∴，解得，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六根與系數(shù)關(guān)系的新定義問(wèn)題】【例6】（2022秋·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)m、n、p、q，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】按新定義規(guī)定的運(yùn)算法則，將其化為關(guān)于x的一元二次方程，從二次項(xiàng)系數(shù)和判別式兩個(gè)方面入手，即可解決．【詳解】解：∵[x2+1，x]※[5?2k，k]=0，∴．整理得，．∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴判別式且．由得，，解得，．∴k的取值范圍是且．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算、一元二次方程的根的判別等知識(shí)點(diǎn)，正確理解新定義的運(yùn)算法則是解題的基礎(chǔ)，熟知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．此類(lèi)題目容易忽略之處在于二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的條件限制，要引起高度重視．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：，例如：．若m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）A． B．-3 C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)新定義得到原方程即為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，最后代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的求值，正確根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，定義一種新的運(yùn)算：，如，已知，是一元二次程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則_______．【答案】【分析】首先根據(jù)韋達(dá)定理求解兩根之和與兩根之積，然后代入原式根據(jù)定義進(jìn)行求解．【詳解】由，是的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得：，故【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（也叫韋達(dá)定理），實(shí)數(shù)的定義新運(yùn)算，此類(lèi)題型一定要嚴(yán)格按照題目中的定義來(lái)求解，注意過(guò)程的正確性．3．（2023春·福建南平·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀材料：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然表面與一元二次方程無(wú)關(guān)，但是我們能夠通過(guò)構(gòu)造一元二次方程、并利用一元二次方程的有關(guān)知識(shí)將其解決．下面介紹兩種基本構(gòu)造閉法：方法1：利用根的定義構(gòu)造．例如，如果實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足、，且，則可將、看作是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．方法2：利用韋達(dá)定理逆向構(gòu)造．例如，如果實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足、，則可以將、看作是方程的兩實(shí)數(shù)根．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：(1)已知一元二次方程的兩根，，則______，______；(2)已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，求的值．(3)已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足、，且，求c的最大值．【答案】(1)；(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系、，結(jié)合一元二次方程直接求解即可得到答案；（2）當(dāng)時(shí)，、是方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得和的值，然后利用整體代入的方法計(jì)算原式的值；當(dāng)時(shí)，易得原式；（3）將、看作是方程的兩實(shí)數(shù)根；利用判別式的意義得到△，所以，解得，從而得到的最大值．【詳解】（1）解：一元二次方程的兩根，，，；（2）解：當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，、可看作方程的兩根，，，原式，當(dāng)，則原式；綜上所述，原式的值為或2；（3）解：，，將、看作是方程的兩實(shí)數(shù)根，△，，即，，，即，的最大值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，，也考查了一元二次方程根的判別式，靈活應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系是解決關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的綜合】【例7】（2022·四川宜賓·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是（）A．﹣＜a＜ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜﹣ D．﹣＜a＜0【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）（x2-1）＜0，x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而最后確定a的取值范圍．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，解得，又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，，x1x2=9，即，解得，綜上所述，a的取值范圍為：.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系.掌握相關(guān)知識(shí)是關(guān)鍵：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．根與系數(shù)的關(guān)系為：.【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進(jìn)而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據(jù)判別式求出符號(hào)題意的值即可得到答案．【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．2．14．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”的說(shuō)法，正確的有_____（填序號(hào)）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，則；③若滿(mǎn)足，則關(guān)于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，則必有．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”；②根據(jù)“倍根方程”和其中一個(gè)根，可求出另一個(gè)根，進(jìn)而得到m，n之間的關(guān)系；③當(dāng)滿(mǎn)足時(shí)，有，求出兩個(gè)根，再根據(jù)代入可得兩個(gè)根之間的關(guān)系，講而判斷是否為“倍根方程”；④用求根公式求出兩個(gè)根，當(dāng)或時(shí)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得出關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可．【詳解】①解方程，得，，方程不是“倍根方程”．故①不正確；②是“倍根方程”，且，因此或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故②正確；③，，，，因此是“倍根方程”，故③正確；④方程的根為，若，則，即，，，，，，若，則，，，，，．故④正確，故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖北十堰·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，且，則稱(chēng)這個(gè)方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請(qǐng)閱讀以上材料，回答下列問(wèn)題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說(shuō)明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿(mǎn)足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．【答案】(1)此方程為“限根方程”，理由見(jiàn)解析(2)k的值為2(3)m的取值范圍為或【分析】（1）解該一元二次方程，得出，再根據(jù)“限根方程”的定義判斷即可；（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，代入，即可求出，．再結(jié)合“限根方程”的定義分類(lèi)討論舍去不合題意的值即可；（3）解該一元二次方程，得出或．再根據(jù)此方程為“限根方程”，即得出此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可得出，且，可求出m的取值范圍．最后分類(lèi)討論即可求解．【詳解】（1）解：，，∴或，∴．∵，，∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程的兩個(gè)根分比為，∴，．∵，∴，解得：，．分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，原方程為，∴，，∴，，∴此時(shí)方程是“限根方程”，∴符合題意；②當(dāng)時(shí)，原方程為，∴，，∴，，∴此時(shí)方程不是“限根方程”，∴不符合題意．綜上可知k的值為2；（3），，∴或，∴或．∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，∴，即，∴且．分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴，解得：．綜上所述，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．讀懂題意，理解“限根方程”的定義是解題關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】先利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系求得，將代入方程得到，利用因式分解法解方程即可得到答案．【詳解】解：，為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，一元二次方程，，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，因式分解法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系：，．2．（2022秋·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將實(shí)數(shù)根代入方程得到，再利用根和系數(shù)關(guān)系得到，最后將代數(shù)式變形即可計(jì)算答案．【詳解】解：a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的含義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）定義運(yùn)算：．若a，b是方程的兩根，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān)【答案】A【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可找出，根據(jù)新運(yùn)算找出，將其中的1替換成，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵a，b是方程的兩根，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．理解并掌握新運(yùn)算的法則，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）直線與拋物線的兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，若，則的值是（

）A． B．3或 C． D．或2【答案】A【分析】令，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，由根的判別式可以得到或，把代入整理得，解方程即可．【詳解】解：令，整理得，，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，，或，是方程的解，，，，即，解得（舍或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合把交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為方程的解．5．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)石獅市石光中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，是方程的兩根，則的值是（

）A． B．5 C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，根據(jù)一元二次方程的解的定義得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵，是方程的兩根，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱(chēng)為一元二次方程的解．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，．6．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，，則的值是（

）A．-11 B．13或-11 C．25或13 D．13【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可先得出關(guān)于m的不等式，然后再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：，∵關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，，∴，∴，即，解得：，∴，當(dāng)m=-1時(shí)，則；當(dāng)m=5時(shí)，則；∵當(dāng)m=5時(shí)，則，不符合題意；∴的值為13；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解法及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解法及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)?？计谥校?duì)于實(shí)數(shù)a、b，如果定義新運(yùn)算，則下列結(jié)論正確的有（）①5*3=1；②當(dāng)x=-1時(shí)，[(-2)*x]*7=-21；③；④若、是一元二次方程的兩個(gè)根，則或-17；⑤若、是一元二次方程的兩個(gè)根，，則m的值為-3或-6．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可一一判定．【詳解】解：①，故①正確；②當(dāng)x=-1時(shí)，，，故②正確；③，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，綜上，，故③正確；④、是一元二次方程的兩個(gè)根，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故若、是一元二次方程的兩個(gè)根，則或-17，故④正確；⑤、是一元二次方程的兩個(gè)根，，，當(dāng)時(shí)，，解得m=-3；當(dāng)時(shí)，，解得m=-6；綜上，m的值為-3或-6，故⑤正確．故正確的有5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)及整式的混合運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，采用分類(lèi)討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個(gè)結(jié)論中，①如果，那么方程M和方程N(yùn)有一個(gè)公共根為1；②方程M和方程N(yùn)的兩根符號(hào)異號(hào)，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個(gè)根，那么一定是方程N(yùn)的一個(gè)根；④如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必定是．其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，得出，得出即可判斷①；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由即可判斷②；將代入方程中可得出，方程兩邊同時(shí)除以4可得出，由此可得出是方程的一個(gè)根，即可判斷③；設(shè)相同的根為，將其代入兩方程中作差后可得出，解之可得出，進(jìn)而可得出兩方程有相同的根，即可判斷④．【詳解】解：，方程的一個(gè)根為1，方程有一個(gè)根為1，如果，那么方程和方程有一個(gè)公共根為1，結(jié)論①正確；，，，，方程和方程的兩根之積必相等，結(jié)論②正確；是方程的一個(gè)根，，即，是方程的一個(gè)根，結(jié)論③正確；設(shè)相同的根為，則，①②得：，．，，，，，．即有相同的根，結(jié)論④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，逐一分析四條選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)是3，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則n的值為_(kāi)_____．【答案】15或16/16或15【分析】分3為等腰三角形的腰長(zhǎng)和3為等腰三角形的底邊長(zhǎng)兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)3為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí)，則3是關(guān)于的方程的一個(gè)根，因此有，解得，則方程為，設(shè)另一個(gè)根為，∴∴另一個(gè)根為，此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系；（2）當(dāng)3為等腰三角形的底邊長(zhǎng)時(shí)，則關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此，根的判別式，解得，則方程為，解得方程的根為，此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系；綜上，的值為15或16，故答案為：15或16．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義、根的判別式、等腰三角形的定義等知識(shí)點(diǎn)，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．需注意的是，要檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)是否滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系定理．10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）已知a、b為一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則的值是______．【答案】1【分析】先將分式化簡(jiǎn)，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即可求解．【詳解】解：，∵a、b為一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴，∴原式，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程，兩根之和為，兩根之積為．11．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）關(guān)于的方程的兩個(gè)根為，．若，則______．【答案】【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，代入式子中計(jì)算即可求出m值．【詳解】解：∵，是方程的兩根，∴，，解得：故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．12．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，則________．【答案】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，則，然后代入即可求解．【詳解】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，∴，則，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出一般形式再進(jìn)行代入求值．13．（2022春·四川內(nèi)江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）將兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱(chēng)這樣的兩個(gè)方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個(gè)根為、，則b－2c＝______，的最大值是______．【答案】4；-3【分析】利用（）與方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)而得出，設(shè)（），得，根據(jù)方程有正數(shù)解可知，求出t的取值范圍即可求出的最大值．【詳解】解：根據(jù)新的定義可知，方程（）可變形為，∴，展開(kāi)，，可得，，∴；∵，，∴，∵方程（）有兩個(gè)根為、，∴，且，∴，設(shè)（），得，∵方程有正數(shù)解，∴，解得，即，∴．故答案為：4，-3．【點(diǎn)睛】本題考查新定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，由根與系數(shù)的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程，有一個(gè)公共解2，且，，，．下列結(jié)論：①有唯一對(duì)應(yīng)的值；②；③是一元二次方程的一個(gè)解．其中正確結(jié)論的序號(hào)是____．【答案】①③【分析】將x=2代入方程，然后兩式相減進(jìn)行計(jì)算，從而判斷①；設(shè)一元二次方程x2+ax+b=0的另一個(gè)根為m，x2+cx+d=0的另一個(gè)根為n，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，然后代入計(jì)算并利用完全平方式的非負(fù)性判斷②；將方程變形為（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，然后x=代入方程進(jìn)行驗(yàn)證，從而判斷③．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一個(gè)公共解2，∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②，②-①，得：2（c-a）+d-b=0，2（c-a）=b-d，∴，故①正確；設(shè)一元二次方程x2+ax+b=0的另一個(gè)根為m，x2+cx+d=0的另一個(gè)根為n，∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0，c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0，∴a2-4b+c2-4d≥0，∴a2+c2≥4b+4d，∴≥b+d，故②錯(cuò)誤；∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可變形為：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，當(dāng)x=時(shí)，左邊=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右邊，∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一個(gè)解，故③正確，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．15．（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若已知此方程的一個(gè)根為，求m的值以及方程的另一根．【答案】(1)且(2)，方程的另一根為【分析】（1）根據(jù)題意及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題意先求出m的值，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴且∴且（2）把方程一個(gè)根代入方程得：，解得：∴方程為：設(shè)另一個(gè)根為a，則∴∴方程的另一根為【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2023·廣東珠?！ば？既＃┮阎?1)化簡(jiǎn)；(2)若、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值．【答案】(1)(2)27【分析】（1）根據(jù)，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）由題意知，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∴；（2）解：由題意知，，∴，∴的值為27．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減運(yùn)算，代數(shù)式求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．17．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請(qǐng)仔細(xì)閱