高一數(shù)學(xué)下冊(cè)期末考點(diǎn)大串講(人教A版)第7講基本不等式(專題測(cè)試)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

第7講基本不等式（專題測(cè)試）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題）1．（2020?黔東南州模擬）若log2x+log4y＝1，則x2+y的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．22．（2020春?西城區(qū)校級(jí)月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，則α+β的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2020?溫嶺市校級(jí)模擬）若正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b＝1，則+的最小值為（）A．2 B．2 C．5 D．44．（2019秋?南城縣校級(jí)期末）已知正數(shù)x，y滿足x+y＝1，且≥m，則m的最大值為（）A． B． C．2 D．45．（2020?大觀區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，矩形ABCD的邊AB靠在墻PQ上，另外三邊是由籬笆圍成的．若該矩形的面積為4，則圍成矩形ABCD所需要籬笆的（）A．最小長(zhǎng)度為8 B．最小長(zhǎng)度為4 C．最大長(zhǎng)度為8 D．最大長(zhǎng)度為46．（2019秋?淮安期末）函數(shù)y＝2x+（x＞1）的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．87．（2020?德陽(yáng)模擬）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．38．（2019秋?常州期末）在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）A．（x∈R且x≠0） B． C．y＝3x+3﹣x（x∈R） D．）9．（2020?浙江模擬）對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大時(shí)，的最小值為（）A． B． C．﹣2 D．210．（2019秋?龍巖期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣4lna﹣b＝0，c∈R，則（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值為（）A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共4小題）11．（2020?全國(guó)Ⅰ卷模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足y≥2x＞0，則的最小值為．12．（2020?嘉興模擬）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝3，則xy的最大值為，的最小值為．13．（2020?和平區(qū)模擬）已知a＞0，b＞0，當(dāng)（a+4b）2+取得最小值為時(shí)，a+b＝．14．（2020?漢中一模）已知函數(shù)f（x）＝loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+4＝0上，其中mn＞0，則的最小值為．三．解答題（共3小題）15．（2020?3月份模擬）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x﹣2y+z＝4．（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若y＝x+z，求xz的最大值．16．（2019秋?葫蘆島期末）設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，求證：（1）若a+2b＝1，求a2+b2的最小值；（2）若a2+4b2＝1，求的最大值．17．（2019秋?南山區(qū)校級(jí)期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．第7講基本不等式（專題測(cè)試）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2020?黔東南州模擬）若log2x+log4y＝1，則x2+y的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．2【解析】解：因?yàn)閘og2x+log4y＝log4x2+log4y＝log（x2y）＝1，∴x2y＝4（x＞0，y＞0），則x2+y≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝y(tǒng)＝2時(shí)等號(hào)成立，則x2+y的最小值為4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與基本不等式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020春?西城區(qū)校級(jí)月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，則α+β的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，∴α+β＝a+b++＝1+＝3+≥3+2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)，也即當(dāng)a＝b＝時(shí)，α+β取最小值5．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．3．（2020?溫嶺市校級(jí)模擬）若正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b＝1，則+的最小值為（）A．2 B．2 C．5 D．4【解析】解：根據(jù)題意，若正實(shí)數(shù)a，b，滿足a+b＝1，則+＝+＝++3≥2×+3＝5，當(dāng)且僅當(dāng)b＝3a＝時(shí)等號(hào)成立，即+的最小值為5；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意基本不等式的形式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2019秋?南城縣校級(jí)期末）已知正數(shù)x，y滿足x+y＝1，且≥m，則m的最大值為（）A． B． C．2 D．4【解析】解：根據(jù)題意，正數(shù)x，y滿足x+y＝1，則＝+＝（y+1）+﹣4+（x+1）+﹣4＝（+）﹣5，又由+＝（+）[（x+1）+（y+1）]＝[8++]≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)等號(hào)成立，則＝（+）﹣5≥﹣5＝，即的最小值為，若≥m，則m的最大值為；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意對(duì)的變形，屬于基礎(chǔ)題．5．（2020?大觀區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，矩形ABCD的邊AB靠在墻PQ上，另外三邊是由籬笆圍成的．若該矩形的面積為4，則圍成矩形ABCD所需要籬笆的（）A．最小長(zhǎng)度為8 B．最小長(zhǎng)度為4 C．最大長(zhǎng)度為8 D．最大長(zhǎng)度為4【解析】解：設(shè)BC＝a，CD＝b，則ab＝4，所以圍成矩形ABCD所需要的籬笆長(zhǎng)度為2a+b＝2a+，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝即a＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)長(zhǎng)度取得最小值4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)試題．6．（2019秋?淮安期末）函數(shù)y＝2x+（x＞1）的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解析】解：因?yàn)閥＝2x+（x＞1），＝2（x﹣1）++2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)2（x﹣1）＝即x＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)試題．7．（2020?德陽(yáng)模擬）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．3【解析】解：∵x，y為正實(shí)數(shù)，∴＝+（1+）﹣1≥2﹣1＝4﹣1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)即x＝3y時(shí)“＝”成立，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，注意應(yīng)用性質(zhì)的條件，本題是一道基礎(chǔ)題．8．（2019秋?常州期末）在下列函數(shù)中，最小值是2的是（）A．（x∈R且x≠0） B． C．y＝3x+3﹣x（x∈R） D．）【解析】解：當(dāng)x＜0時(shí)，y＝＜0，排除A，∵lgx＝在1＜x＜10無解，∴大于2，但不能等于2，排除B∵sinx＝在0＜x＜上無解，∴）大于2，但不能等于2，排除D對(duì)于函數(shù)y＝3x+3﹣x，令3x＝t，則t＞0，y＝t+≥2＝2，（當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即x＝0時(shí)取等號(hào)）∴y＝3x+3﹣x的最小值為2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考察了均值定理求函數(shù)最值的方法，解題時(shí)要牢記口訣一“正”，二“定”，三“等號(hào)”，并用此口訣檢驗(yàn)解題的正誤9．（2020?浙江模擬）對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大時(shí)，的最小值為（）A． B． C．﹣2 D．2【解析】解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，∴＝（a﹣）2+，由柯西不等式得，[（a﹣）2+][22+（）2]≥[2（a﹣）+b?]2＝|2a+b|2故當(dāng)|2a+b|最大時(shí)，有＝，∴a＝b，c＝10b2，∴＝﹣+＝（）2﹣＝（）2﹣2，b＝時(shí)，取得最小值為﹣2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．10．（2019秋?龍巖期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2﹣4lna﹣b＝0，c∈R，則（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值為（）A． B． C． D．【解析】解：x代換a，y代換b，則x，y滿足：x2﹣4lnx﹣y＝0，即y＝x2﹣4lnx（x＞0），以x代換c，可得點(diǎn)（x，﹣2x），滿足2x+y＝0．因此求（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值，即為求曲線y＝x2﹣4lnx上的點(diǎn)到直線2x+y＝0的距離的最小值的平方．設(shè)直線2x+y+m＝0與曲線y＝x2﹣4lnx＝f（x）相切于點(diǎn)P（x0，y0），f′（x）＝2x﹣，則f′（x0）＝2x0﹣＝﹣2，解得x0＝1，∴切點(diǎn)為P（1，1）．∴點(diǎn)P到直線2x+y＝0的距離d＝＝，∴則（a﹣c）2+（b+c）2的最小值為（）2＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，問題轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）11．（2020?全國(guó)Ⅰ卷模擬）已知實(shí)數(shù)x，y滿足y≥2x＞0，則的最小值為．【解析】解：設(shè)t＝，由題意知t≥2，則＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上單調(diào)遞增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)求最值，使用不等式求最值時(shí)，注意取等號(hào)時(shí)的條件，屬于中檔題．12．（2020?嘉興模擬）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝3，則xy的最大值為，的最小值為2．【解析】解：正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝3，由基本不等式可得，3＝x+2y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào)，則xy，即最大值；∵＝＝＝2，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用條件的配湊．13．（2020?和平區(qū)模擬）已知a＞0，b＞0，當(dāng)（a+4b）2+取得最小值為8時(shí)，a+b＝．【解析】解：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a+4b，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4b時(shí)取等號(hào)，所以（a+4b）2≥16ab，則（a+4b）2+＝8，當(dāng)且僅當(dāng)即a＝1，b＝時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8，a+b＝．故答案為：8，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)于是在兩次基本不等式的應(yīng)用中等號(hào)成立條件的檢驗(yàn)．14．（2020?漢中一模）已知函數(shù)f（x）＝loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+4＝0上，其中mn＞0，則的最小值為．【解析】解：由f（x）＝loga（x+3）﹣1知，f（x）過定點(diǎn)A（﹣2，﹣1）．因?yàn)辄c(diǎn)A在直線mx+ny+4＝0上，所以2m+n＝4，又mn＞0，所以m＞0，n＞0，所以＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝，n＝3時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)過定點(diǎn)問題和利用基本不等式求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬中檔題．三．解答題（共3小題）15．（2020?3月份模擬）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x﹣2y+z＝4．（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若y＝x+z，求xz的最大值．【解析】解：由柯西不等式可得（x﹣2y+z）2≤[12+（﹣2）2+12]（x2+y2+z2），∴x2+y2+z2，當(dāng)且僅當(dāng)且x﹣2y+z＝4即x＝，y＝，z＝時(shí)取等號(hào)，故x2+y2+z2的最小值，（2）由y＝x+z及x﹣2y+z＝4可得x+z＝﹣4，因?yàn)閤2+z2≥2xz，∴（x+z）2≥4xz，即xz≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝z＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)xz取得最大值4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式及柯西不等式求解最值問題，屬于基礎(chǔ)試題．16．（2019秋?葫蘆島期末）設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，求證：（1）若a+2b＝1，求a2+b2的最小值；（2）若a2+4b2＝1，求的最大值．【解析】解：（1）法一：由得，0＜b＜，于是a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，當(dāng)b＝時(shí)，a2+b2取得最小值為，法二：（a2+b2）（12+22）≥（a+2b）2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a2+b2的最小值為；（2）法一：（）2≤[a2+（2b）2][（）2+12]＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝2b時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，所以的最大值為2，法二：設(shè)a＝cosθ，b＝sinθ，0＜θ＜，＝cosθ+sinθ＝2sin（θ+），∵＜θ+＜，∴當(dāng)θ+＝時(shí)sin（θ+）max＝1，的最大值為2，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用不等式的性質(zhì)求解最值或范圍，要注意多種解法的靈活應(yīng)用．17．（2019秋?南山區(qū)校級(jí)期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足等式2x+5y＝20．（1）求u＝lgx+lg