蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步精講精練2.6有理數(shù)的乘法與除法(十四大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第二章有理數(shù)》2.6有理數(shù)的乘法與除法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)的乘法◆有理數(shù)的乘法法則：1.兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.．2．任何數(shù)同0相乘，都得0.◆有理數(shù)乘法的求解步驟:(1)確定積的符號(hào)；(2)確定積的絕對(duì)值．【注意】在進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)因數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定積的符號(hào)，在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二倒數(shù)◆倒數(shù):乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1a=1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是◆方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【注意】倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系，其中一個(gè)數(shù)叫另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱其為倒數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三多個(gè)有理數(shù)的乘法◆幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．◆幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，積等于0.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)的乘法運(yùn)算律◆1、有理數(shù)的乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積相等.即ab=ba.◆2、有理數(shù)的乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等.用字母表示為：(ab)c=a(bc).【注意】用字母表示乘數(shù)時(shí)，“×”號(hào)可以寫成“·”或省略，如a×b可以寫成a·b或ab.◆3、有理數(shù)的乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加.用字母表示為：a(b+c)=ab+ac知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五有理數(shù)的除法◆1、有理數(shù)的除法法則：有理數(shù)除法法則（一）：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).用字母表示為：a÷b=a·(b≠0)；有理數(shù)除法法則（二）：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.◆2、方法指引：①能整除時(shí)，將商的符號(hào)確定后，直接將絕對(duì)值相除；②不能整除時(shí)，將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)，再用乘法計(jì)算；◆3、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算：乘除混合運(yùn)算往往先將除法化為乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果（乘除混合運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算）知識(shí)點(diǎn)六知識(shí)點(diǎn)六有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算◆有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算先算乘除，再算加減，同級(jí)運(yùn)算從左往右依次計(jì)算，如有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的.【注意】進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．題型一兩個(gè)有理數(shù)相乘題型一兩個(gè)有理數(shù)相乘【例題1】（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）計(jì)算（﹣114）×（4A．1 B．﹣1 C．15 D．解題技巧提煉1.兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.．2．任何數(shù)同0相乘，都得0.【變式1-1】下列說法中正確的是（）A．同號(hào)兩數(shù)相乘，符號(hào)不變 B．兩個(gè)有理數(shù)相乘，如果積為正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)都為正數(shù) C．兩數(shù)相乘，如果積為0，那么這兩個(gè)因數(shù)中至少有一個(gè)為0 D．兩數(shù)相乘，積一定大于每一個(gè)因數(shù)【變式1-2】計(jì)算：|﹣3|×（?23）＝【變式1-3】在2，﹣3，4，﹣5這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得的積最大是．【變式1-4】計(jì)算：（1）56（2）（﹣312（3）﹣423（4）（?6題型二多個(gè)有理數(shù)相乘題型二多個(gè)有理數(shù)相乘【例題2】（2022秋?中江縣校級(jí)月考）四個(gè)不為零的數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)，則負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．0 C．3 D．1或3解題技巧提煉多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．【變式2-1】下列各式中乘積為負(fù)數(shù)的是（）A．（﹣2）×3×4×（﹣1） B．（﹣5）×（﹣6）×3×1 C．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×0 D．（﹣3）×（﹣1）×（﹣6）【變式2-2】（2022秋?南安市月考）已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），下列敘述正確的是（）A．a(chǎn)，b皆為正數(shù) B．a(chǎn)，b皆為負(fù)數(shù) C．a(chǎn)為正數(shù)，b為負(fù)數(shù) D．a(chǎn)為負(fù)數(shù)，b為正數(shù)【變式2-3】（2022秋?萬州區(qū)月考）如果abcd＜0，a與b同號(hào)，那么另外兩個(gè)數(shù)c與d（）A．一定都是正數(shù) B．一定都是負(fù)數(shù) C．一定異號(hào) D．一定同號(hào)【變式2-4】計(jì)算下列各題：(1)－2×3×(－4)；(2)－6×(－5)×(－7)；(3)0.1×(－0.001)×(－1)；(4)－；(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.題型三倒數(shù)的概念及運(yùn)用題型三倒數(shù)的概念及運(yùn)用【例題3】（2023?永豐縣模擬）﹣2023的倒數(shù)是（）A．2023 B．?12023 C．﹣2023 解題技巧提煉1、乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．2、求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一．3、求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置．【變式3-1】（2023?萊陽市二模）下列說法正確的是（）A．2的倒數(shù)是﹣2 B．3的相反數(shù)是13C．絕對(duì)值最小的數(shù)是1 D．0的相反數(shù)是0【變式3-2】（2023?鄒城市二模）﹣3的倒數(shù)的絕對(duì)值是（）A．3 B．﹣3 C．13 D．【變式3-3】﹣3的倒數(shù)是，?76的絕對(duì)值是，﹣123的倒數(shù)的相反數(shù)是【變式3-4】兩個(gè)有理數(shù)之積是1，已知一個(gè)數(shù)是?217，則另一個(gè)數(shù)是題型四運(yùn)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算題型四運(yùn)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算【例題4】計(jì)算（﹣3）×（4?1A．（﹣3）×4+（﹣3）×（?12） B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（?C．3×4﹣（﹣3）×（?12） D．（﹣3）×4+3×（解題技巧提煉在有理數(shù)的范圍內(nèi)，運(yùn)用乘法的的交換律、結(jié)合律和分配律可以簡化計(jì)算.（1）乘法交換律：兩個(gè)有理數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變.用字母表示為：ab＝ba.（2）乘法結(jié)合律：對(duì)于三個(gè)有理數(shù)相乘，可以先把前面兩個(gè)數(shù)相乘，再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相乘；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再把第一個(gè)數(shù)與所得結(jié)果相乘，積不變.用字母表示為：(ab)c=a(bc).（3）乘法對(duì)加法的分配律：一個(gè)有理數(shù)與兩個(gè)有理數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加.用字母表示為：a(b＋c)＝ab＋ac【變式4-1】簡便運(yùn)算15×（25+13）＝15A．乘法交換律 B．加法結(jié)合律 C．乘法結(jié)合律 D．乘法分配律【變式4-2】（2022?邯鄲二模）在簡便運(yùn)算時(shí)，把24×(?9947A．24×（﹣100+148） B．24×（﹣100?C．24×（﹣99?4748） D．24×（﹣99【變式4-3】若（﹣2022）×63＝p，則（﹣2022）×62的值可表示為（）A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1【變式4-4】（2022秋?東海縣月考）用簡便方法計(jì)算：（1）（?37）×0.25×（﹣2（2）91819（3）（?1（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣7題型五有理數(shù)的除法題型五有理數(shù)的除法【例題五】（2022?山西模擬）計(jì)算(?9)÷1A．92 B．?92 解題技巧提煉1、能整除時(shí)，將商的符號(hào)確定后，直接將絕對(duì)值相除；2、不能整除時(shí)，將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)，再用乘法計(jì)算；【變式5-1】（2022秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）若兩個(gè)數(shù)的商是正數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）A．這兩數(shù)的和為正數(shù) B．這兩數(shù)的差為正數(shù) C．這兩數(shù)的積為正數(shù) D．這兩數(shù)的和、差、積的正負(fù)都不能確定【變式5-2】（2022秋?七臺(tái)河期中）下列說法中正確的有（）①?ab②若ab＜0，則a＞0，③若a＝0，b≠0，則ab④若a＜0，b＜0，則1aA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-3】計(jì)算：(1)(﹣15)÷(﹣3)；(2)12÷(﹣eq\f(1,4))；(3)(﹣0.75)÷(0.25)；(4)(-)÷(-).【變式5-4】化簡下列分?jǐn)?shù)：(1)eq\f(－21,－7)；(2)eq\f(－3,6)；(3)eq\f(－6,－0.3)；(4)－eq\f(28,－49)．【變式5-5】（1）兩數(shù)的積是1，已知一個(gè)數(shù)是﹣237（2）兩數(shù)的商是﹣312，已知被除數(shù)是41題型六有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算題型六有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算【例題6】（2022秋?墊江縣期末）計(jì)算16×（﹣6）÷（A．6 B．36 C．﹣1 D．1解題技巧提煉(1)有理數(shù)除法化為有理數(shù)乘法以后，可以利用有理數(shù)乘法的運(yùn)算律簡化運(yùn)算；(2)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化為乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果(乘除混合運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算).【變式6-1】（2022秋?城陽區(qū)期末）下列計(jì)算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6；②（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4；③23×（?94）÷（﹣1）=3A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式6-2】（?34）×（?1【變式6-3】（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（?25）×（?43）÷（﹣3【變式6-4】計(jì)算：（1）（?35）×（﹣312（2）（﹣8）÷23×題型七有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算題型七有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算【例題7】“二十四點(diǎn)游戲”的規(guī)則為：給出4個(gè)有理數(shù)，用加、減、乘、除（可加括號(hào)）把給出的4個(gè)有理數(shù)算成24，每個(gè)數(shù)必須用一次且只能用一次（不考慮順序），先算出結(jié)果獲勝，現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)3，4，﹣6，﹣10，發(fā)揮你的聰明才智，運(yùn)用“二十四點(diǎn)”游戲的規(guī)則，寫出一種運(yùn)算式，使其結(jié)果等于24，你的運(yùn)算式是．解題技巧提煉有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算（1）有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算順序：先算乘除，再算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．【變式7-1】計(jì)算：(?3【變式7-2】計(jì)算：512【變式7-3】（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：89【變式7-4】計(jì)算：（1）?1÷(?1（2）?81÷1（3）?1+5÷(?1（4）(1題型八有理數(shù)乘除法與數(shù)軸的綜合題型八有理數(shù)乘除法與數(shù)軸的綜合【例題8】（2022秋?澄海區(qū)期末）已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）ab＞0 B．a(chǎn)+b＞0 C．b﹣a＞0 D．a(chǎn)解題技巧提煉有理數(shù)乘除法與數(shù)軸的綜合主要是根據(jù)數(shù)軸的意義和有理數(shù)的乘除法法則即可解決問題.【變式8-1】（2022秋?行唐縣校級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)的關(guān)系不正確的是（）A．兩數(shù)的絕對(duì)值相等 B．兩數(shù)互為相反數(shù) C．兩數(shù)的和為0 D．兩數(shù)的商為1【變式8-2】（2023?茂南區(qū)三模）已知a、b兩數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列結(jié)論正確的共有（）①ab＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式8-3】如圖，下列正確的是（）A． B．C． D．【變式8-4】（有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，有如下四個(gè)結(jié)論：①|(zhì)a|＞3；②ab＞0；③b+c＜0；④b﹣a＞0．上述四個(gè)結(jié)論中，所有正確結(jié)論是．題型九有理數(shù)乘除法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的綜合題型九有理數(shù)乘除法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的綜合【例題9】（2022秋?貴池區(qū)期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且mn＞0，則m+n的值等于解題技巧提煉此類題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的除法，相反數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)，倒數(shù)的定義，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于絕對(duì)值的化簡要分情況討論．【變式9-1】（2022秋?南昌期末）已知a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，則a、b、c三數(shù)的積為．【變式9-2】（2022秋?武漢期末）已知a，b是有理數(shù)，且a＜0，ab＜0，a+b＜0，則下列結(jié)論：①b（a+b）＞0；②b＜﹣a；③|?b|b+a?b|a?b|?|a|a=1；④若|a﹣b|＝6，c是有理數(shù)，且滿足|b﹣c|＝2，則|【變式9-3】已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值．【變式9-4】已知a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，|m|＝3．根據(jù)已知條件請(qǐng)回答：（1）ab＝，c+d＝，m＝，cd=（2）求：m3+ab【變式9-5】已知非零有理數(shù)a，b，c滿足ab＞0，bc＞0．（1）求|ab|ab（2）若a+b+c＜0，求|a|a題型十有理數(shù)乘除法在實(shí)際生活中的應(yīng)用題型十有理數(shù)乘除法在實(shí)際生活中的應(yīng)用【例題10】某冷凍廠一個(gè)冷庫的室溫是﹣2℃，現(xiàn)有一批食品需要在﹣12℃冷藏，如果每小時(shí)降溫4℃，則幾小時(shí)能降到所需要的溫度？解題技巧提煉用有理數(shù)的乘除法求解實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是審清題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.【變式10-1】某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加袖的情況（注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程），在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（）加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）2021年2月102月25日5056500A．7升 B．8升 C．10升 D．1007【變式10-2】煤礦井下A點(diǎn)的海拔為-164.5米，已知從A到B的水平距離是120米，每經(jīng)過水平距離10米上升0.4米，且B點(diǎn)在A點(diǎn)的上方，A點(diǎn)與B點(diǎn)的位置示意圖如圖所示．（1）求B點(diǎn)的海拔；（2）若C點(diǎn)海10米用30秒，求從A點(diǎn)到C點(diǎn)所用的時(shí)間．【變式10-3】漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀麗，綿亙百余里．某日，小穎、小麗和小紅利用溫差測量梁山蓮花峰的高度，小穎在山腳測得溫度是27℃．設(shè)漳浦地區(qū)的高度每增加100米，氣溫大約下降0.8℃．（1）若此時(shí)小麗在山頂測得溫度是19℃，則蓮花峰的高度大約是多少米？（2）若此時(shí)小紅所在的高度為750米，則小紅在750米處的溫度大約是多少℃？【變式10-4】某兒童服裝店老板以每件32元的價(jià)格購進(jìn)30件連衣裙，針對(duì)不同的顧客，30件連衣裙的售價(jià)不完全相同，若以每件47元為標(biāo)準(zhǔn)，將超過的錢數(shù)記為正，不足的錢數(shù)記為負(fù)，則記錄結(jié)果如下表所示：售出件數(shù)765543售價(jià)/元+3+2﹣20﹣1+1問該服裝店在售完這30件連衣裙后，賺了多少錢？【變式10-5】（2022秋?巴中期末）諾水河風(fēng)景區(qū)是國家級(jí)地質(zhì)公園，其中諾水河溶洞漂流被譽(yù)為“亞洲溶洞第一漂”．2022年8月四川省出現(xiàn)了罕見的高溫天氣，漂流成了人們較喜歡的消暑方式．預(yù)計(jì)巴中市民每天在抖音平臺(tái)上購票70張，但由于種種原因，實(shí)際每天的銷售量與計(jì)劃量相比有出入，表是某周的銷售情況[超額記為正，不足記為負(fù)．（單位：張）]：星期一二三四五六日與計(jì)劃量的差值+4﹣4﹣5+12﹣11+20﹣6（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最少的一天賣出了張，銷售最多的一天比銷售量最少的一天多銷售張；（2）每張票120元，若在抖音平臺(tái)上購買享受九折優(yōu)惠，求巴中市民本周在抖音平臺(tái)購票一共消費(fèi)多少元？題型十一有理數(shù)乘除法的程序計(jì)算題題型十一有理數(shù)乘除法的程序計(jì)算題【例題11】（2022?銅仁市三模）如圖，是一個(gè)簡單的數(shù)值運(yùn)算程序．當(dāng)輸入x的值為﹣4，則輸出的數(shù)值為．解題技巧提煉利用有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算解決程序計(jì)算題的關(guān)鍵就是弄清楚題圖給出的計(jì)算程序，根據(jù)程序列出算式解答即可．【變式11-1】按照下列程序計(jì)算輸入值x為20時(shí)，輸出的值為.【變式11-2】如圖，按照?qǐng)D中的程序進(jìn)行計(jì)算，如果輸入的數(shù)字是3，那么輸出的結(jié)果是．【變式11-3】按如圖所示的程序進(jìn)行運(yùn)算．如果結(jié)果不大于10，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進(jìn)行第二次運(yùn)算，直到符合要求（結(jié)果大于10）為止．當(dāng)輸出的數(shù)為11時(shí)，輸入的數(shù)字不可能是（）A．﹣1 B．3 C．﹣5 D．4【變式11-4】如圖，按照運(yùn)算程序（完成一個(gè)方框內(nèi)的運(yùn)算后，把結(jié)果輸入下一個(gè)方框繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算），如果輸入的數(shù)值是﹣4，求輸出的結(jié)果．題型十二有理數(shù)乘除法的新定義運(yùn)算問題題型十二有理數(shù)乘除法的新定義運(yùn)算問題【例題12】對(duì)于正整數(shù)a、b，規(guī)定一種新運(yùn)算*，a*b等于由a開始的連續(xù)b個(gè)正整數(shù)的積，例如：2*3＝2×3×4＝24，5*2＝5×6＝30，那么7*（1*2）的值等于多少？解題技巧提煉新定義運(yùn)算問題主要是運(yùn)用題目中所給的新定義的運(yùn)算方式進(jìn)行計(jì)算即可，注意計(jì)算時(shí)的運(yùn)算順序，也是對(duì)有理數(shù)的混合運(yùn)算的考查.【變式12-1】規(guī)定a※b=1a÷(?b2)，例如2※3【變式12-2】（2022秋?港南區(qū)期末）若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定有理數(shù)a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【變式12-3】對(duì)于有理數(shù)a、b，定義運(yùn)算：a※b＝a×b﹣a﹣b+1．（1）計(jì)算（﹣3）※4的值；（2）比較5※（﹣2）和（﹣2）※5的大小．【變式12-4】（2023?孟村縣二模）若a，b是有理數(shù)，定義一種運(yùn)算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．（1）計(jì)算3▲（﹣4）的值；（2）計(jì)算（2▲3）▲（﹣6）的值；（3）定義的新運(yùn)算“▲”對(duì)交換律是否成立？請(qǐng)寫出你的探究過程．【變式12-5】對(duì)于有理數(shù)a、b，定義運(yùn)算：a?b＝a×b+|a|﹣b．（1）計(jì)算（﹣5）?4的值；（2）求[2?（﹣3）]?4的值；（3）填空：3?（﹣2）（﹣2）?3（填“＞”或“＝”或“＜”）．題型十三有理數(shù)乘除法材料閱讀問題題型十三有理數(shù)乘除法材料閱讀問題【例題13】閱讀下列材料：計(jì)算：50÷（13解法一：原式＝50÷13?50÷解法二：原式＝50÷（412?3解法三：原式的倒數(shù)為（13?14故原式＝300．上述得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為解法是錯(cuò)誤的．在正確的解法中，你認(rèn)為解法最簡捷．然后，請(qǐng)你解答下列問題：計(jì)算：（?142）÷（解題技巧提煉材料閱讀題要根據(jù)題中的材料來分析并解決問題，此題中是根據(jù)倒數(shù)法進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算，有些含分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)問題直接求解比較麻煩，而若把分子、分母上下顛倒，則可立即找到突破口，這種解法稱為倒數(shù)法，本題中先將被除數(shù)與除數(shù)的位置互換，先求其結(jié)果，再求出原式的結(jié)果.【變式13-1】閱讀下面的解題過程：計(jì)算（﹣15）÷（13解：原式＝（﹣15）÷(?1＝（﹣15）÷（﹣1）（第二步）＝﹣15（第三步）回答：（1）上面解題過程中有兩處錯(cuò)誤，第一處是第步，錯(cuò)誤的原因是，第二處是第步，錯(cuò)誤的原因是．（2）把正確的解題過程寫出來．【變式13-2】學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們出了這樣一道題目：計(jì)算：492425小明的解法：原式=?1249小軍的解法：原式=(49+24（1）對(duì)于以上兩種解法，你認(rèn)為誰的解法較好？（2）小強(qiáng)認(rèn)為還有更好的方法：把492425看作(50?（3）請(qǐng)你用最合適的方法計(jì)算：956【變式13-3】閱讀材料，回答問題(1+1(1+1根據(jù)以下信息，請(qǐng)求出下式的結(jié)果.(1+1【變式13-4】閱讀下列材料：計(jì)算：124解法一：原式=1解法二：原式=1解法三：原式的倒數(shù)=(1所以原式=1（1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法是錯(cuò)誤的；（2）計(jì)算：(12?1（3）請(qǐng)你選擇合適的解法計(jì)算：(?1題型十四有理數(shù)乘除法規(guī)律探究題題型十四有理數(shù)乘除法規(guī)律探究題【例題13】觀察下列各式：11×2=1?112×3=113×4=1解答下列各題：（1）嘗試并計(jì)算：11×2（2）嘗試并計(jì)算：11×3（3）|1（4）嘗試并計(jì)算：13×4×5解題技巧提煉上面的解題方法稱為裂項(xiàng)求和法：裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值．【變式14-1】觀察下列各式：121212…（1）猜想12×23（2）根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問題：①（1100?1）×（199?1）×（198?1）×…×（②將2016減去它的12，再減去余下的13，再減去余下的14，再減去余下的1【變式14-2】（2022秋?成縣期中）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．同學(xué)們學(xué)過有理數(shù)減法可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法來運(yùn)算，有理數(shù)除法可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法來運(yùn)算．其實(shí)這種轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)會(huì)經(jīng)常用到，通過轉(zhuǎn)化我們可以把一個(gè)復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單問題來解決．例如：計(jì)算11×2此題我們按照常規(guī)的運(yùn)算方法計(jì)算比較復(fù)雜．但如果采用下面的方法把乘法轉(zhuǎn)化為減法后計(jì)算就變得非常簡單．分析方法：因?yàn)?1×2=1?12，12×311×2+12×3+13×4+14×5=（1?任務(wù)：（1）猜想并寫出：1n(n+1)=；（（2）①應(yīng)用上面的方法計(jì)算：11×2+1②直接寫出下列式子的計(jì)算結(jié)果：11×2+12×3+1（3）類比應(yīng)用上面的方法探究并計(jì)算：12×4+1

（蘇科版）七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第二章有理數(shù)》2.6有理數(shù)的乘法與除法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一有理數(shù)的乘法◆有理數(shù)的乘法法則：1.兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.．2．任何數(shù)同0相乘，都得0.◆有理數(shù)乘法的求解步驟:(1)確定積的符號(hào)；(2)確定積的絕對(duì)值．【注意】在進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，首先判斷兩個(gè)因數(shù)的符號(hào)：是同號(hào)還是異號(hào)，是否有0．從而確定積的符號(hào)，在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號(hào)，后絕對(duì)值”．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二倒數(shù)◆倒數(shù):乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1a=1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是◆方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【注意】倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系，其中一個(gè)數(shù)叫另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱其為倒數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三多個(gè)有理數(shù)的乘法◆幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．◆幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，積等于0.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)的乘法運(yùn)算律◆1、有理數(shù)的乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積相等.即ab=ba.◆2、有理數(shù)的乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等.用字母表示為：(ab)c=a(bc).【注意】用字母表示乘數(shù)時(shí)，“×”號(hào)可以寫成“·”或省略，如a×b可以寫成a·b或ab.◆3、有理數(shù)的乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加.用字母表示為：a(b+c)=ab+ac知識(shí)點(diǎn)五知識(shí)點(diǎn)五有理數(shù)的除法◆1、有理數(shù)的除法法則：有理數(shù)除法法則（一）：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).用字母表示為：a÷b=a·(b≠0)；有理數(shù)除法法則（二）：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.◆2、方法指引：①能整除時(shí)，將商的符號(hào)確定后，直接將絕對(duì)值相除；②不能整除時(shí)，將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)，再用乘法計(jì)算；◆3、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算：乘除混合運(yùn)算往往先將除法化為乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果（乘除混合運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算）知識(shí)點(diǎn)六知識(shí)點(diǎn)六有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算◆有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算先算乘除，再算加減，同級(jí)運(yùn)算從左往右依次計(jì)算，如有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的.【注意】進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．題型一兩個(gè)有理數(shù)相乘題型一兩個(gè)有理數(shù)相乘【例題1】（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）計(jì)算（﹣114）×（4A．1 B．﹣1 C．15 D．【分析】先把假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)，再確定積的符號(hào)，最后按分?jǐn)?shù)的乘法法則求值．【解答】解：原式=?5故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1.兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘.．2．任何數(shù)同0相乘，都得0.【變式1-1】下列說法中正確的是（）A．同號(hào)兩數(shù)相乘，符號(hào)不變 B．兩個(gè)有理數(shù)相乘，如果積為正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)都為正數(shù) C．兩數(shù)相乘，如果積為0，那么這兩個(gè)因數(shù)中至少有一個(gè)為0 D．兩數(shù)相乘，積一定大于每一個(gè)因數(shù)【分析】通過舉反例的辦法，判斷每個(gè)說法．【解答】解：A．∵（﹣3）×（﹣2）＝6，∴選項(xiàng)A“同號(hào)兩數(shù)相乘，符號(hào)不變“說法錯(cuò)誤；B．∵（﹣4）×（﹣1）＝6，∴選項(xiàng)B“兩個(gè)有理數(shù)相乘，如果積為正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)都為正數(shù)”說法錯(cuò)誤；C．∵a×0＝0，0×0＝0，∴“兩數(shù)相乘，如果積為0，那么這兩個(gè)因數(shù)中至少有一個(gè)為0”說法正確；D．∵（﹣1）×（2）＝﹣2，﹣2＜﹣1，﹣2＜2，∴“兩數(shù)相乘，積一定大于每一個(gè)因數(shù)“說法錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，掌握乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-2】計(jì)算：|﹣3|×（?23）＝【分析】根據(jù)絕對(duì)值和有理數(shù)的乘法法則即可得出答案．【解答】解：原式＝3×（?2＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值和有理數(shù)的乘法法則，掌握兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】在2，﹣3，4，﹣5這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得的積最大是．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，而正數(shù)大于負(fù)數(shù)，可知同號(hào)兩數(shù)相乘的結(jié)果大于異號(hào)兩數(shù)相乘的結(jié)果．故本題只需要計(jì)算兩種情況，計(jì)算后比較即可．【解答】解：2×4＝8，（﹣3）×（﹣5）＝15，15＞8．∴積最大是15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)乘法法則是解題關(guān)鍵．【變式1-4】計(jì)算：（1）56（2）（﹣312（3）﹣423（4）（?6【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可求解；（2）先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可求解；（3）先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可求解；（4）先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可求解．【解答】解：（1）原式＝﹣（56（2）原式=7（3）原式=?14（4）原式=6【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．題型二多個(gè)有理數(shù)相乘題型二多個(gè)有理數(shù)相乘【例題2】（2022秋?中江縣校級(jí)月考）四個(gè)不為零的數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)，則負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．0 C．3 D．1或3【分析】利用有理數(shù)的乘法計(jì)算判斷積的符號(hào)．【解答】解：∵四個(gè)不為零的數(shù)相乘，積為負(fù)數(shù)，∴四個(gè)數(shù)中有1個(gè)或3個(gè)為負(fù)數(shù)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法法則．解題技巧提煉多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．【變式2-1】下列各式中乘積為負(fù)數(shù)的是（）A．（﹣2）×3×4×（﹣1） B．（﹣5）×（﹣6）×3×1 C．（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×0 D．（﹣3）×（﹣1）×（﹣6）【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算符號(hào)法則對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、兩個(gè)負(fù)因數(shù)相乘，積為正數(shù)；B、兩個(gè)負(fù)因數(shù)相乘，積為正數(shù)，；C、有因式0，積是0，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；D、有3個(gè)負(fù)因數(shù)，積是負(fù)數(shù)；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定：當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．【變式2-2】（2022秋?南安市月考）已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），下列敘述正確的是（）A．a(chǎn)，b皆為正數(shù) B．a(chǎn)，b皆為負(fù)數(shù) C．a(chǎn)為正數(shù)，b為負(fù)數(shù) D．a(chǎn)為負(fù)數(shù)，b為正數(shù)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法的運(yùn)算法則，有理數(shù)乘法運(yùn)算中有偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相乘結(jié)果為正數(shù)，有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相乘結(jié)果為負(fù)數(shù)．【解答】解：∵a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）中共有3個(gè)負(fù)數(shù)相乘，∴a為負(fù)數(shù)，∵b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4個(gè)負(fù)數(shù)相乘，∴b為正數(shù)，∴a為負(fù)數(shù)，b為正數(shù)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)乘法中符號(hào)的運(yùn)算規(guī)律，其依據(jù)是：有理數(shù)乘法運(yùn)算中有偶數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相乘結(jié)果為正數(shù)，有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)相乘結(jié)果為負(fù)數(shù)．【變式2-3】（2022秋?萬州區(qū)月考）如果abcd＜0，a與b同號(hào)，那么另外兩個(gè)數(shù)c與d（）A．一定都是正數(shù) B．一定都是負(fù)數(shù) C．一定異號(hào) D．一定同號(hào)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法法則進(jìn)行解答便可．【解答】解：∵a與b同號(hào)，∴ab＞0，∵abcd＜0，∴cd＜0，∴c、d異號(hào)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)乘法，熟記有理數(shù)乘法法則是解題的關(guān)鍵．有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)，并把絕對(duì)值相乘，任何數(shù)與0相乘都得0．【變式2-4】計(jì)算下列各題：(1)－2×3×(－4)；(2)－6×(－5)×(－7)；(3)0.1×(－0.001)×(－1)；(4)－；(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.【分析】先確定結(jié)果的符號(hào)，然后再將它們的絕對(duì)值相乘即可．【解答】解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；(2)原式＝30×(－7)＝－210；(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；(4)原式＝；(5)原式＝0.【點(diǎn)評(píng)】本題考查多個(gè)有理數(shù)的乘法，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題型三倒數(shù)的概念及運(yùn)用題型三倒數(shù)的概念及運(yùn)用【例題3】（2023?永豐縣模擬）﹣2023的倒數(shù)是（）A．2023 B．?12023 C．﹣2023 【分析】運(yùn)用乘積為1的兩個(gè)數(shù)是互為倒數(shù)進(jìn)行求解．【解答】解：∵﹣2023×（?1∴﹣2023的倒數(shù)是?1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了求一個(gè)數(shù)倒數(shù)的計(jì)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)．解題技巧提煉1、乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．2、求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一．3、求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置．【變式3-1】（2023?萊陽市二模）下列說法正確的是（）A．2的倒數(shù)是﹣2 B．3的相反數(shù)是13C．絕對(duì)值最小的數(shù)是1 D．0的相反數(shù)是0【分析】乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，由此即可得到答案．【解答】解：A、2的倒數(shù)是12，故AB、3的相反數(shù)是﹣3，故B不符合題意；C、絕對(duì)值最小的數(shù)是0，故C不符合題意；D、0的相反數(shù)是0，正確，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查倒數(shù)，相反數(shù)，絕對(duì)值，關(guān)鍵是掌握倒數(shù)、相反數(shù)的定義，絕對(duì)值的意義．【變式3-2】（2023?鄒城市二模）﹣3的倒數(shù)的絕對(duì)值是（）A．3 B．﹣3 C．13 D．【分析】依據(jù)倒數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)求解即可．【解答】解：﹣3的倒數(shù)是?1?13的絕對(duì)值是故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是倒數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)，熟練掌握倒數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】﹣3的倒數(shù)是，?76的絕對(duì)值是，﹣123的倒數(shù)的相反數(shù)是【分析】倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，據(jù)此解答即可．【解答】解：﹣3的倒數(shù)是?13，?76的絕對(duì)值是76，﹣123的倒數(shù)是故答案為：?13，76【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倒數(shù)，絕對(duì)值以及相反數(shù)，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-4】兩個(gè)有理數(shù)之積是1，已知一個(gè)數(shù)是?217，則另一個(gè)數(shù)是【分析】兩個(gè)有理數(shù)之積是1，則這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)，本題即求?21【解答】解：∵?217×∴?217的倒數(shù)是答：另一個(gè)數(shù)是?7【點(diǎn)評(píng)】倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．題型四運(yùn)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算題型四運(yùn)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算【例題4】計(jì)算（﹣3）×（4?1A．（﹣3）×4+（﹣3）×（?12） B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（?C．3×4﹣（﹣3）×（?12） D．（﹣3）×4+3×（【分析】乘法的分配律：a（b+c）＝ab+ac．【解答】解：原式＝（﹣3）×[4+（?1＝（﹣3）×4+（﹣3）×（?1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了乘法分配律在計(jì)算題中的應(yīng)用．解題技巧提煉在有理數(shù)的范圍內(nèi)，運(yùn)用乘法的的交換律、結(jié)合律和分配律可以簡化計(jì)算.（1）乘法交換律：兩個(gè)有理數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變.用字母表示為：ab＝ba.（2）乘法結(jié)合律：對(duì)于三個(gè)有理數(shù)相乘，可以先把前面兩個(gè)數(shù)相乘，再把結(jié)果與第三個(gè)數(shù)相乘；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再把第一個(gè)數(shù)與所得結(jié)果相乘，積不變.用字母表示為：(ab)c=a(bc).（3）乘法對(duì)加法的分配律：一個(gè)有理數(shù)與兩個(gè)有理數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加.用字母表示為：a(b＋c)＝ab＋ac【變式4-1】簡便運(yùn)算15×（25+13）＝15A．乘法交換律 B．加法結(jié)合律 C．乘法結(jié)合律 D．乘法分配律【分析】乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加，據(jù)此判斷即可．【解答】解：簡便運(yùn)算15×（25+13）＝15故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．【變式4-2】（2022?邯鄲二模）在簡便運(yùn)算時(shí)，把24×(?9947A．24×（﹣100+148） B．24×（﹣100?C．24×（﹣99?4748） D．24×（﹣99【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律即可得出答案．【解答】解：∵﹣100+148=?（﹣100?∴根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律，把24×(?994748)﹣24×100+24×1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘法，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】若（﹣2022）×63＝p，則（﹣2022）×62的值可表示為（）A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1【分析】根據(jù)乘法分配律將（﹣2022）×63進(jìn)行變形，從而分析求解．【解答】解：（﹣2022）×63＝（﹣2022）×（62+1）＝（﹣2022）×62+（﹣2022）×1＝（﹣2022）×62﹣2022，又∵（﹣2022）×63＝p，∴（﹣2022）×62﹣2022＝p，∴（﹣2022）×62＝p+2022，故選：B．【變式4-4】（2022秋?東?？h月考）用簡便方法計(jì)算：（1）（?37）×0.25×（﹣2（2）91819（3）（?1（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣7【分析】（1）利用乘法的交換律和結(jié)合律計(jì)算即可；（2）原式變形為（10?1（3）利用乘法分配律展開，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（4）逆用乘法分配律變形為（﹣713【解答】解：（1）原式＝（?37）×（?7＝1×（﹣2）＝﹣2；（2）原式＝（10?1＝10×15?1＝150?＝149419（3）原式=?12×（﹣60）?＝30+140﹣45＝170﹣45＝125；（4）（﹣5）×（+713）+12×（﹣713）+（﹣7＝（﹣713=?22＝﹣176．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．題型五有理數(shù)的除法題型五有理數(shù)的除法【例題五】（2022?山西模擬）計(jì)算(?9)÷1A．92 B．?92 【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法運(yùn)算即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣9×2＝﹣18．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的除法，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉1、能整除時(shí)，將商的符號(hào)確定后，直接將絕對(duì)值相除；2、不能整除時(shí)，將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)，再用乘法計(jì)算；【變式5-1】（2022秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）若兩個(gè)數(shù)的商是正數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（）A．這兩數(shù)的和為正數(shù) B．這兩數(shù)的差為正數(shù) C．這兩數(shù)的積為正數(shù) D．這兩數(shù)的和、差、積的正負(fù)都不能確定【分析】應(yīng)用有理數(shù)的乘除法及有理數(shù)的加減法法則進(jìn)行判定即可得出答案．【解答】解：A．當(dāng)兩個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的商是正數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和為負(fù)數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)兩個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的商是正數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的差可能為負(fù)數(shù)，故B選項(xiàng)不符合題意；C．若兩個(gè)數(shù)的商是正數(shù)，則這個(gè)兩數(shù)為同號(hào)，這兩個(gè)數(shù)的積為正數(shù)，故C選項(xiàng)符合題意；D．若兩個(gè)數(shù)的商是正數(shù)，這兩數(shù)的和、差、積的正負(fù)都能確定正負(fù)，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘除法及有理數(shù)的加減法，熟練掌握有理數(shù)的乘除法及有理數(shù)的加減法法則進(jìn)行判定即可得出答案．【變式5-2】（2022秋?七臺(tái)河期中）下列說法中正確的有（）①?ab②若ab＜0，則a＞0，③若a＝0，b≠0，則ab④若a＜0，b＜0，則1aA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用有理數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算并判斷正誤．【解答】解：①?ab②若ab＜0，則a＞0，③若a＝0，b≠0，則ab④若a＜0，b＜0，則1a∴正確的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的除法法則．【變式5-3】計(jì)算：(1)(﹣15)÷(﹣3)；(2)12÷(﹣eq\f(1,4))；(3)(﹣0.75)÷(0.25)；(4)(-)÷(-).【分析】采用有理數(shù)的除法：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除解答．【解答】（1）(﹣15)÷(﹣3)＝＋(15÷3)＝5；（2）12÷(﹣eq\f(1,4))＝﹣(12÷eq\f(1,4))＝﹣48；（3）(﹣0.75)÷(0.25)＝﹣(0.75÷0.25)＝﹣3.（4）(-)÷(-)=+（）=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的除法，正確掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】化簡下列分?jǐn)?shù)：(1)eq\f(－21,－7)；(2)eq\f(－3,6)；(3)eq\f(－6,－0.3)；(4)－eq\f(28,－49)．【分析】兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除，依此即可求解．【解答】(1)eq\f(－21,－7)＝eq\f(－7×3,－7)＝3；(2)eq\f(－3,6)＝eq\f(－3,（－3）×（－2）)＝－eq\f(1,2)；(3)eq\f(－6,－0.3)＝eq\f(（－0.3）×20,－0.3)＝20；(4)－eq\f(28,－49)＝eq\f(28,49)＝eq\f(4×7,7×7)＝eq\f(4,7).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的除法，有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．【變式5-5】（1）兩數(shù)的積是1，已知一個(gè)數(shù)是﹣237（2）兩數(shù)的商是﹣312，已知被除數(shù)是41【分析】根據(jù)題意列出算式即可求出答案．【解答】解：（1）1÷（﹣237）＝1×（?717（2）412÷（﹣312）=9【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．題型六有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算題型六有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算【例題6】（2022秋?墊江縣期末）計(jì)算16×（﹣6）÷（A．6 B．36 C．﹣1 D．1【分析】將除法變?yōu)槌朔?，再約分計(jì)算即可求解．【解答】解：16×（﹣6）÷（=1＝36．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘除法，關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算法則正確進(jìn)行計(jì)算．解題技巧提煉(1)有理數(shù)除法化為有理數(shù)乘法以后，可以利用有理數(shù)乘法的運(yùn)算律簡化運(yùn)算；(2)乘除混合運(yùn)算往往先將除法化為乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果(乘除混合運(yùn)算按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算).【變式6-1】（2022秋?城陽區(qū)期末）下列計(jì)算①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝6；②（﹣36）÷（﹣9）＝﹣4；③23×（?94）÷（﹣1）=3A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法和除法法則分別進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：①（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；②（﹣36）÷（﹣9）＝4，故原題計(jì)算錯(cuò)誤；③23×（?9④（﹣4）÷1正確的計(jì)算有2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的乘除法，關(guān)鍵是注意結(jié)果符號(hào)的判斷．【變式6-2】（?34）×（?1【分析】先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再利用有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．【解答】解：原式＝（?34）×（?1=?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，也可以按照從左往右的順序進(jìn)行．【變式6-3】（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（?25）×（?43）÷（﹣3【分析】先確定結(jié)果的符合，將除化為乘，再約分即可．【解答】解：原式=?=?8【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的順序及相關(guān)法則．【變式6-4】計(jì)算：（1）（?35）×（﹣312（2）（﹣8）÷23×【分析】各式利用除法法則把除法轉(zhuǎn)化成乘法運(yùn)算，通過約分即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）（?35）×（﹣312）÷（﹣11（2）（﹣8）÷23×（﹣11【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘除法，熟練掌握乘除法則是解本題的關(guān)鍵．題型七有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算題型七有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算【例題7】“二十四點(diǎn)游戲”的規(guī)則為：給出4個(gè)有理數(shù)，用加、減、乘、除（可加括號(hào)）把給出的4個(gè)有理數(shù)算成24，每個(gè)數(shù)必須用一次且只能用一次（不考慮順序），先算出結(jié)果獲勝，現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)3，4，﹣6，﹣10，發(fā)揮你的聰明才智，運(yùn)用“二十四點(diǎn)”游戲的規(guī)則，寫出一種運(yùn)算式，使其結(jié)果等于24，你的運(yùn)算式是．【分析】考慮3×8＝24，4+20＝24，28﹣4＝24，可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算可得：3×（4﹣6+10）＝24，[10﹣3×（﹣6）]﹣4＝24，4﹣10×（﹣6）÷3＝24等．故答案為：3×（4﹣6+10）＝24（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．解題技巧提煉有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算（1）有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算順序：先算乘除，再算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．【變式7-1】計(jì)算：(?3【分析】把除法轉(zhuǎn)化為乘法，根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可．【解答】解：(?=(?3=?34×36?＝﹣27﹣6+15＝﹣18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，把除法轉(zhuǎn)化為乘法是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】計(jì)算：512【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除運(yùn)算以及有理數(shù)減法運(yùn)算法則即可求出答案、【解答】解：原式=512÷=5=5＝5×6.8＝34．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘除法以及減法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的乘除法以及減法運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式7-3】（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：89【分析】利用有理數(shù)的乘法運(yùn)算，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)．【解答】解：8=89×=89×=89×=8=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握有理數(shù)的乘法法則．【變式7-4】計(jì)算：（1）?1÷(?1（2）?81÷1（3）?1+5÷(?1（4）(1【分析】（1）（2）（3）根據(jù)除以一個(gè)數(shù)等于乘以這數(shù)的倒數(shù)把除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則和加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解；（4）先算小括號(hào)里面的，再根據(jù)除以一個(gè)數(shù)等于乘以這數(shù)的倒數(shù)把除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算并把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）﹣1÷（?18）﹣3÷（＝﹣1×（﹣8）﹣3×（﹣2）＝8+6＝14；（2）﹣81÷13?＝﹣81×3?1＝﹣243+3＝﹣240；（3）﹣1+5÷（?1＝﹣1+5×（﹣6）×（﹣6）＝﹣1+180＝179；（4）（13?=?1=?4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的除法，有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的加減法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵，計(jì)算時(shí)要注意運(yùn)算符號(hào)的處理．題型八有理數(shù)乘除法與數(shù)軸的綜合題型八有理數(shù)乘除法與數(shù)軸的綜合【例題8】（2022秋?澄海區(qū)期末）已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)b＞0 B．a(chǎn)+b＞0 C．b﹣a＞0 D．a(chǎn)【分析】先根據(jù)數(shù)軸上兩數(shù)，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)，即可得到：a＜0＜b，且|a|＞|b|，再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，A、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故A選項(xiàng)不符合題意；B、∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，故B選項(xiàng)不符合題意；C、∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴b﹣a＞0，故C選項(xiàng)符合題意；D、∵a＜0＜b，∴ab＜0＜1，故故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)軸上兩數(shù)比較大小的方法以及有理數(shù)的運(yùn)算法則，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉有理數(shù)乘除法與數(shù)軸的綜合主要是根據(jù)數(shù)軸的意義和有理數(shù)的乘除法法則即可解決問題.【變式8-1】（2022秋?行唐縣校級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)的關(guān)系不正確的是（）A．兩數(shù)的絕對(duì)值相等 B．兩數(shù)互為相反數(shù) C．兩數(shù)的和為0 D．兩數(shù)的商為1【分析】根據(jù)數(shù)軸直觀得出四個(gè)選項(xiàng)是否正確．【解答】解：由圖形可知A表示﹣2，B表示2，|﹣2|＝|2|；﹣2與2互為相反數(shù)；﹣2+2＝0；﹣2÷2＝﹣1．∴A、B、C正確，D錯(cuò)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)軸的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023?茂南區(qū)三模）已知a、b兩數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，下列結(jié)論正確的共有（）①ab＜0，②ab＞0，③a﹣b＜0，④﹣a＜﹣A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】由數(shù)軸可得b＜0＜a，然后利用實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由數(shù)軸可得b＜0＜a，那么ab＜0，則①正確，②錯(cuò)誤；∵b＜a，∴a﹣b＞0，﹣a＜﹣b，則③錯(cuò)誤，④正確；綜上，正確的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．【變式8-3】如圖，下列正確的是（）A． B．C． D．【分析】由a、b在數(shù)軸上的位置可知：-1<a<0，b>1，<0，再結(jié)合有理數(shù)的加法、減法、乘法及除法法則即可判斷求解.【解答】解：由數(shù)軸可知，-1<a<0，b>1，<0，，A選項(xiàng)錯(cuò)；

a-b<0，B選項(xiàng)錯(cuò)；

∵b>1，∴b-1>0，∵a<0，∴，C選項(xiàng)正確；

∵a>-1，∴a+1>0，∵b>1，∴b-1>0，∴>0，D選項(xiàng)錯(cuò).故答案為：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-4】（有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，有如下四個(gè)結(jié)論：①|(zhì)a|＞3；②ab＞0；③b+c＜0；④b﹣a＞0．上述四個(gè)結(jié)論中，所有正確結(jié)論是．【分析】根據(jù)圖示，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，∵﹣3＜a＜﹣2，∴|a|＜3，∴①不正確；∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴②正確；∵﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，∴b+c＞0，∴③不正確；∵﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，∴b﹣a＞0，∴④正確，∴四個(gè)結(jié)論中，所有正確結(jié)論是②、④．故答案為：②、④．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算方法，絕對(duì)值的含義和求法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．題型九有理數(shù)乘除法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的綜合題型九有理數(shù)乘除法與相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的綜合【例題9】（2022秋?貴池區(qū)期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且mn＞0，則m+n的值等于【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得m＝±6，n＝±2，再由mn＞0，可得到m＝6，n＝2或m＝﹣6，【解答】解：∵|m|＝6，|n|＝2，∴m＝±6，n＝±2，∵mn∴m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，當(dāng)m＝6，n＝2時(shí)，m+n＝6+2＝8；當(dāng)m＝﹣6，n＝﹣2時(shí)，m+n＝﹣6﹣2＝﹣8；綜上所述，m+n的值等于±8．故答案為：±8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及有理數(shù)的加法，求代數(shù)式的值，能正確得出相應(yīng)字母的值是解本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉此類題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的除法，相反數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)，倒數(shù)的定義，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于絕對(duì)值的化簡要分情況討論．【變式9-1】（2022秋?南昌期末）已知a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，則a、b、c三數(shù)的積為．【分析】根據(jù)最小正整數(shù)的定義、最大的負(fù)整數(shù)的定義和絕對(duì)值的非負(fù)性即可求出a、b、c的值，從而求出結(jié)論．【解答】解：∵a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，∴abc＝1×（﹣1）×0＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是有理數(shù)的大小比較，掌握最小正整數(shù)為1、最大的負(fù)整數(shù)為﹣1、絕對(duì)值最小的有理數(shù)為0和有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022秋?武漢期末）已知a，b是有理數(shù)，且a＜0，ab＜0，a+b＜0，則下列結(jié)論：①b（a+b）＞0；②b＜﹣a；③|?b|b+a?b|a?b|?|a|a=1；④若|a﹣b|＝6，c是有理數(shù)，且滿足|b﹣c|＝2，則|【分析】根據(jù)兩數(shù)相乘同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)可知b＞0，再由a+b＜0，可得b（a+b）＜0，b＜﹣a即可判斷①，②；由b＞0，a＜0，a﹣b＜0，化簡絕對(duì)值|?b|b+a?b|a?b|?|a|a即可判斷③；根據(jù)a﹣b＜0，|a﹣b|＝6，推出b＝a+6，再由|b﹣c|＝2，得到a﹣c【解答】解：∵a＜0，ab＜0，∴b＞0，∵a+b＜0，∴b（a+b）＜0，b＜﹣a，故①錯(cuò)誤，②正確；∵b＞0，a＜0，∴a﹣b＜0，∴|?b|b+a?b∵a﹣b＜0，|a﹣b|＝6，∴a﹣b＝﹣6，∴b＝a+6，∵|b﹣c|＝2，∴b﹣c＝2或b﹣c＝﹣2，∴a+6﹣c＝2或a+6﹣c＝﹣2，∴a﹣c＝﹣4或a﹣c＝﹣8，∴|a﹣c|＝4或|a﹣c|＝8，故④錯(cuò)誤；∴正確的有②③．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】【點(diǎn)睛】本題主要考查了化簡絕對(duì)值，有理數(shù)乘除法計(jì)算，有理數(shù)加減法計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】已知|x|＝2，|y|＝5，且xy＜0，求2x﹣3y的值．【分析】利用絕對(duì)值的意義，有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5，∴x＝±2，y＝±5，∵xy＜0，∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝5，當(dāng)x＝2，y＝﹣5時(shí)，2x﹣3y＝2×2﹣3×（﹣5）＝4+15＝19，當(dāng)x＝﹣2，y＝5時(shí)，2x﹣3y＝2×（﹣2）﹣3×5＝﹣4﹣15＝﹣19，綜上所述，2x﹣3y的值為19或﹣19．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法及絕對(duì)值，掌握絕對(duì)值的意義，有理數(shù)的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式9-4】已知a，b互為倒數(shù)，c，d互為相反數(shù)，|m|＝3．根據(jù)已知條件請(qǐng)回答：（1）ab＝，c+d＝，m＝，cd=（2）求：m3+ab【分析】（1）根據(jù)倒數(shù)，相反數(shù)，絕對(duì)值的意義可得結(jié)論；（2）將（1）所得式子代入可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵a，b互為倒數(shù)，∴ab＝1，∵c，d互為相反數(shù)，∴c+d＝0，cd∵|m|＝3，∴m＝±3，故答案為：1，0，±3，﹣1；（2）當(dāng)m＝3時(shí)，原式=3當(dāng)m＝﹣3時(shí)，原式=?3【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了相反數(shù)和倒數(shù)、絕對(duì)值的概念，以及整體代入的思想．【變式9-5】已知非零有理數(shù)a，b，c滿足ab＞0，bc＞0．（1）求|ab|ab（2）若a+b+c＜0，求|a|a【分析】（1）根據(jù)ab＞0，bc＞0可得a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，所以ac＞0，化簡即可；（2）若a+b+c＜0，則a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：（1）∵ab＞0，bc＞0，∴a＞0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0，∴ac＞0，∴|ab|ab（2）∵a+b+c＜0，∴a＜0，b＜0，c＜0，abc＜0，∴|a|a【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的意義、分類討論的思想方法．能不重不漏的分類，會(huì)確定字母的范圍和字母的值是關(guān)鍵．題型十有理數(shù)乘除法在實(shí)際生活中的應(yīng)用題型十有理數(shù)乘除法在實(shí)際生活中的應(yīng)用【例題10】某冷凍廠一個(gè)冷庫的室溫是﹣2℃，現(xiàn)有一批食品需要在﹣12℃冷藏，如果每小時(shí)降溫4℃，則幾小時(shí)能降到所需要的溫度？【分析】根據(jù)題意，利用降低的度數(shù)除以4列式即可求解．【解答】解：[（﹣2）﹣（﹣12）]÷4＝10÷4＝2.5（小時(shí)）．答：6小時(shí)能降到所需要的溫度．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理清題目中的數(shù)量關(guān)是解決問題關(guān)鍵．解題技巧提煉用有理數(shù)的乘除法求解實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是審清題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.【變式10-1】某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加袖的情況（注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程），在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（）加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）2021年2月102月25日5056500A．7升 B．8升 C．10升 D．1007【分析】用總耗油量除以百千米數(shù)即可．【解答】解：50÷＝50÷5＝10（升），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解問題中的數(shù)量關(guān)系并計(jì)算求解．【變式10-2】煤礦井下A點(diǎn)的海拔為-164.5米，已知從A到B的水平距離是120米，每經(jīng)過水平距離10米上升0.4米，且B點(diǎn)在A點(diǎn)的上方，A點(diǎn)與B點(diǎn)的位置示意圖如圖所示．（1）求B點(diǎn)的海拔；（2）若C點(diǎn)海10米用30秒，求從A點(diǎn)到C點(diǎn)所用的時(shí)間．【分析】（1）根據(jù)經(jīng)過水平距離10米，海拔上升（或下降）0.4米，由題意列出算式，計(jì)算即可；（2）根據(jù)每垂直升高10米用30秒，根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得-164.5+（120÷10）×0.4=-159.7（米）；即B點(diǎn)的海拔為-159.7米；[-98.8-（-164.5）]÷10×30=197.1（秒），即從A點(diǎn)到C點(diǎn)所用的時(shí)間為197.1秒．【變式10-3】漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀麗，綿亙百余里．某日，小穎、小麗和小紅利用溫差測量梁山蓮花峰的高度，小穎在山腳測得溫度是27℃．設(shè)漳浦地區(qū)的高度每增加100米，氣溫大約下降0.8℃．（1）若此時(shí)小麗在山頂測得溫度是19℃，則蓮花峰的高度大約是多少米？（2）若此時(shí)小紅所在的高度為750米，則小紅在750米處的溫度大約是多少℃？【分析】（1）蓮花峰的高度＝山頂?shù)臏囟扰c山腳的溫度之差÷0.8×100．（2）750米里有幾個(gè)100米，氣溫就下降幾個(gè)0.8℃．【解答】解：（1）（27﹣19）÷0.8×100＝8÷0.8×100＝1000（米）答：蓮花峰的高度約是1000米．（2）27﹣750÷100×0.8＝27﹣6＝21（℃）答：小紅在750米處的溫度大約是21℃．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握加法的交換律與結(jié)合律是解決此題的關(guān)鍵．【變式10-4】某兒童服裝店老板以每件32元的價(jià)格購進(jìn)30件連衣裙，針對(duì)不同的顧客，30件連衣裙的售價(jià)不完全相同，若以每件47元為標(biāo)準(zhǔn)，將超過的錢數(shù)記為正，不足的錢數(shù)記為負(fù)，則記錄結(jié)果如下表所示：售出件數(shù)765543售價(jià)/元+3+2﹣20﹣1+1問該服裝店在售完這30件連衣裙后，賺了多少錢？【分析】首先由進(jìn)貨量和進(jìn)貨單價(jià)計(jì)算出進(jìn)貨的成本，然后再根據(jù)售價(jià)計(jì)算出賺了多少錢．【解答】解：如表格，7×（47+3）+6×（47+2）+3×（47+1）+5×47+4×（47﹣1）+5×（47﹣2）＝350+294+144+235+184+225＝1432，∵30×32＝960，∴1432﹣960＝472，∴售完這30件連衣裙后，賺了472元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)表格計(jì)算出一共賣了多少錢．【變式10-5】（2022秋?巴中期末）諾水河風(fēng)景區(qū)是國家級(jí)地質(zhì)公園，其中諾水河溶洞漂流被譽(yù)為“亞洲溶洞第一漂”．2022年8月四川省出現(xiàn)了罕見的高溫天氣，漂流成了人們較喜歡的消暑方式．預(yù)計(jì)巴中市民每天在抖音平臺(tái)上購票70張，但由于種種原因，實(shí)際每天的銷售量與計(jì)劃量相比有出入，表是某周的銷售情況[超額記為正，不足記為負(fù)．（單位：張）]：星期一二三四五六日與計(jì)劃量的差值+4﹣4﹣5+12﹣11+20﹣6（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知銷售量最少的一天賣出了張，銷售最多的一天比銷售量最少的一天多銷售張；（2）每張票120元，若在抖音平臺(tái)上購買享受九折優(yōu)惠，求巴中市民本周在抖音平臺(tái)購票一共消費(fèi)多少元？【分析】（1）用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)70張加上記錄中的最小數(shù)即可得出銷售量最少的一天賣出了多少張；用記錄中的最大數(shù)減去最小數(shù)可得銷售最多的一天比銷售量最少的一天多銷售張；（2）根據(jù)“總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量”可得答案．【解答】解：（1）70+（﹣11）＝59（張），即銷售量最少的一天賣出了59張；+20﹣（﹣11）＝20+11＝31（張），即銷售最多的一天比銷售量最少的一天多銷售31張．故答案為：59，31（2）70×7+4﹣4﹣5+12﹣11+20﹣6＝500（張），120×0.9×500＝54000（元）答：巴中市民本周在抖音平臺(tái)購票消費(fèi)54000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是關(guān)鍵．題型十一有理數(shù)乘除法的程序計(jì)算題題型十一有理數(shù)乘除法的程序計(jì)算題【例題11】（2022?銅仁市三模）如圖，是一個(gè)簡單的數(shù)值運(yùn)算程序．當(dāng)輸入x的值為﹣4，則輸出的數(shù)值為．【分析】首先列出式子是：（﹣4）×（﹣3）﹣2，然后正確計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：（﹣4）×（﹣3）﹣2＝12﹣2＝10．故答案是：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式的求值，正確列出式子是關(guān)鍵．解題技巧提煉利用有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算解決程序計(jì)算題的關(guān)鍵就是弄清楚題圖給出的計(jì)算程序，根據(jù)程序列出算式解答即可．【變式11-1】按照下列程序計(jì)算輸入值x為20時(shí)，輸出的值為.【分析】根據(jù)程序圖列出算式，然后計(jì)算即可.【解答】解：輸出的值為，故答案為：198.【變式11-2】如圖，按照?qǐng)D中的程序進(jìn)行計(jì)算，如果輸入的數(shù)字是3，那么輸出的結(jié)果是．【分析】利用程序圖中的程序進(jìn)行操作即可得出結(jié)論．【解答】解：輸入的數(shù)字是3，由題意得：2×（﹣5）＝﹣15，∵|﹣15|＝15＜40，∴將﹣15重新輸入，則得：﹣15×（﹣5）＝75，∵|75|＝75＞40，∴輸出的結(jié)果是：75；故答案為：75．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，本題是操作型題目，依據(jù)程序圖中的程序進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】按如圖所示的程序進(jìn)行運(yùn)算．如果結(jié)果不大于10，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進(jìn)行第二次運(yùn)算，直到符合要求（結(jié)果大于10）為止．當(dāng)輸出的數(shù)為11時(shí)，輸入的數(shù)字不可能是（）A．﹣1 B．3 C．﹣5 D．4【分析】根據(jù)所給程序流程圖的運(yùn)算規(guī)律逐項(xiàng)計(jì)算即可解答．【解答】解：x＝﹣1，（﹣1）×（﹣2）+1＝3＜0，x＝3，3×（﹣2）+1＝﹣5，x＝﹣5，（﹣5）×（﹣2）+1＝11＞0，∴A、B符合題意；x＝3，3×（﹣2）+1＝﹣5，∴C符合題意；x＝4，4×（﹣2）+1＝﹣7，x＝﹣7，（﹣7）×（﹣2）+1＝15，∴D不符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式的值、有理數(shù)混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序，理解所給的流程圖逐級(jí)運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【變式11-4】如圖，按照運(yùn)算程序（完成一個(gè)方框內(nèi)的運(yùn)算后，把結(jié)果輸入下一個(gè)方框繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算），如果輸入的數(shù)值是﹣4，求輸出的結(jié)果．【分析】按運(yùn)算要求和輸出的條件，計(jì)算即可．【解答】解：當(dāng)輸入﹣4時(shí)，﹣4×4＝﹣16，﹣16﹣（﹣8）＝﹣8，﹣8÷4＝﹣2，∵﹣2＜2，∴需重新輸入﹣2；當(dāng)輸入﹣2時(shí)，﹣2×4＝﹣8，﹣8﹣（﹣8）＝0，0÷4＝0，∵0＜2，∴需重新輸入﹣0；當(dāng)輸入0時(shí)，0×4＝0，0﹣（﹣8）＝8，8÷4＝2，∵2＝2，∴需重新輸入2；當(dāng)輸入2時(shí)，2×4＝8，8﹣（﹣8）＝16，16÷4＝4，∵4＞2，∴輸出的值是4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，題目難度不大，理解運(yùn)算順序和輸入輸出的條件是解決本題的關(guān)鍵．題型十二有理數(shù)乘除法的新定義運(yùn)算問題題型十二有理數(shù)乘除法的新定義運(yùn)算問題【例題12】對(duì)于正整數(shù)a、b，規(guī)定一種新運(yùn)算*，a*b等于由a開始的連續(xù)b個(gè)正整數(shù)的積，例如：2*3＝2×3×4＝24，5*2＝5×6＝30，那么7*（1*2）的值等于多少？【分析】根據(jù)新運(yùn)算*的運(yùn)算方法進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：7*（1*2），＝7*（1×2），＝7*2，＝7×8，＝56．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，讀懂題目信息，理解新運(yùn)算的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉新定義運(yùn)算問題主要是運(yùn)用題目中所給的新定義的運(yùn)算方式進(jìn)行計(jì)算即可，注意計(jì)算時(shí)的運(yùn)算順序，也是對(duì)有理數(shù)的混合運(yùn)算的考查.【變式12-1】規(guī)定a※b=1a÷(?b2)，例如2※3【分析】根據(jù)題意知道a※b等于1a【解答】解：由題意可得：2※（﹣5）=115※4=5÷(?故答案為：﹣2.5【點(diǎn)評(píng)】此題考查有理數(shù)的除法，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出新的運(yùn)算方法，再利用新的運(yùn)算方法解決問題．【變式12-2】（2022秋?港南區(qū)期末）若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定有理數(shù)a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【分析】分別根據(jù)運(yùn)算“*”的運(yùn)算方法列式，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）3*（﹣4），＝4×3×（﹣4），＝﹣48；（2）（﹣2）*（6*3），＝（﹣2）*（4×6×3），＝（﹣2）*（72），＝4×（﹣2）×（72），＝﹣576．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘法，是基礎(chǔ)題，理解新運(yùn)算的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式12-3】對(duì)于有理數(shù)a、b，定義運(yùn)算：a※b＝a×b﹣a﹣b+1．（1）計(jì)算（﹣3）※4的值；（2）比較5※（﹣2）和（﹣2）※5的大?。痉治觥浚?）原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）兩式利用題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝（﹣3）×4﹣（﹣3）﹣4+1＝﹣12+3﹣4+1＝﹣12；（2）根據(jù)題中的新定義得：5※（﹣2）＝5×（﹣2）﹣5﹣（﹣2）+1＝﹣10﹣5+2+1＝﹣12，（﹣2）※5＝﹣2×5﹣（﹣2）﹣5+1＝﹣10+2﹣5+1＝﹣12，則5※（﹣2）＝（﹣2）※5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【變式12-4】（2023?孟村縣二模）若a，b是有理數(shù)，定義一種運(yùn)算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．（1）計(jì)算3▲（﹣4）的值；（2）計(jì)算（2▲3）▲（﹣6）的值；（3）定義的新運(yùn)算“▲”對(duì)交換律是否成立？請(qǐng)寫出你的探究過程．【分析】（1）根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)題目所給新定義運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，分別計(jì)算a▲b和b▲a，再進(jìn)行比較即可．【解答】解：（1）由題意得：3▲（﹣4）＝3×（﹣4）+2×3﹣3×（﹣4）+2＝8；（2）由題意得（2▲3）＝2×3+2×2﹣3×3+2＝3，3▲（﹣6）＝3×（﹣6）+2×3﹣3×（﹣6）+2＝8，∴（2▲3）▲（﹣6）＝8；（3）不成立，理由如下：∵a▲b＝ab+2a﹣3b+2，b▲a＝ba+2b﹣3a+2，∴a▲b≠b▲a（a≠b），即定義的新運(yùn)算“▲”對(duì)交換律不成立．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了新定義下的有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，明確題目所給新定義的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【變式12-5】對(duì)于有理數(shù)a、b，定義運(yùn)