第3章 因式分解（B卷·能力提升練）-【單元測試】七年級數(shù)學(xué)下冊分層訓(xùn)練AB卷（湘教版）（解析版）

班級姓名學(xué)號分數(shù)第3章因式分解（B卷·能力提升練）（時間：120分鐘，滿分：150分）一、單選題(共40分)1．(本題4分)下列從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】因式分解是把一個多項式化為幾個整式的積的形式．根據(jù)因式分解的定義分析判斷即可．【詳解】解：A.，原變形錯誤，不符合題意；B.，是單項式乘多項式，不是因式分解，故不符合題意；C.，是因式分解，故符合題意；D.，是多項式乘多項式，不是因式分解，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了因式分解，理解因式分解的定義是解題關(guān)鍵．2．(本題4分)下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的方法進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、不能進行因式分解，不符合題意；B、，原因式分解錯誤，不符合題意；C、，原因式分解錯誤，不符合題意；D、，因式分解正確，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．3．(本題4分)將下列多項式因式分解，結(jié)果中不含因式的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】將四個選項的式子分別進行因式分解，即可作出判斷．【詳解】A、，故該選項不符合題意；B、，故該選項不符合題意；C、，故該選項符合題意；D、，故該選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟練掌握因式分解的方法是解決本題的關(guān)鍵．4．(本題4分)一次數(shù)學(xué)課上，老師出了下面一道因式分解的題目：，請問正確的結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．【詳解】解：，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后結(jié)果．5．(本題4分)已知，，則的值為（）A．3 B．6 C．8 D．11【答案】B【分析】將變形為，同時將化為，可得出的值，再將分解因式，最后將和的值代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，運用完全平方分式變形求值．靈活運用所學(xué)知識進行恒等變形是解題的關(guān)鍵．6．(本題4分)已知，，則（）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】先對所求的式子進行因式分解，再整體代入計算即可．【詳解】解：，，．故選：A．【點睛】本題考查了整式的因式分解、代數(shù)式求值，熟練掌握提公因式法與公式法的綜合運用是解決本題的關(guān)鍵．7．(本題4分)若能分解成兩個一次因式的積，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】首先設(shè)原式，進而求出即可．【詳解】解：原式故，，，解得：，，或，，，∴．故選C．【點睛】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確得出等式是解題關(guān)鍵．8．(本題4分)在日常生活中，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種利用“因式分解”法生成的密碼，方便記憶．如：對于多項式，因式分解的結(jié)果是，若取，時，則各個因式的值是：，，，于是就可以把“”作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取，時，用上述方法生成的密碼可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先對多項式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把數(shù)值代入計算，即可確定出密碼．【詳解】解：，當，時，，，，∴上述方法生成的密碼可以是．故選：D【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，屬于閱讀型的新定義題，其中根據(jù)閱讀材料得出產(chǎn)生密碼的方法是解本題的關(guān)鍵．9．(本題4分)已知，，，那么，代數(shù)式的值是（

）A． B．2022 C． D．3【答案】D【分析】先求解，，，再把原式化為，再代入求值即可．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴；故選D．【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，掌握“完全平方公式的應(yīng)用”是解本題的關(guān)鍵．10．(本題4分)將幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式．例如，由圖（1）可得等式：．將圖（2）所示的卡片若干張進行拼圖，可以將二次三項式分解因式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，根據(jù)圖形因式分解即可．【詳解】解：如下圖：，故選：C．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，能夠根據(jù)所給的單項式畫出幾何圖形，利用等積法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．二、填空題(共32分)11．(本題4分)因式分解______．【答案】【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式繼續(xù)分解即可【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．靈活運用因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．12．(本題4分)已知多項式能分解為，則______，______．【答案】

；

．【分析】把展開，找到所有和的項的系數(shù)，令它們的系數(shù)分別為，列式求解即可．【詳解】解：∵．∴展開式乘積中不含、項，∴，解得：．故答案為：，．【點睛】本題考查了整式乘法的運算、整式乘法和因式分解的關(guān)系，將結(jié)果式子運用整式乘法展開后，抓住“若某項不存在，即其前面的系數(shù)為0”列出式子求解即可．13．(本題4分)已知長方形兩條鄰邊的長分別為x和y，其周長為14，面積為10，其代數(shù)式的值為______．【答案】【分析】根據(jù)長方形的周長及面積得到，，將代數(shù)式利用提公因式法分解因式后代入計算即可．【詳解】解：∵長方形兩條鄰邊的長分別為x和y，其周長為14，面積為10，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了提公因式法分解因式，已知式子的值求代數(shù)式的值，正確掌握因式分解的方法及長方形的周長、面積計算公式是解題的關(guān)鍵．14．(本題4分)若多項式因式分解的結(jié)果是，則______．【答案】【分析】此題主要考查了多項式乘法，正確利用多項式乘以多項式運算法則將原式展開是解題關(guān)鍵．首先利用多項式乘法將原式展開，進而得出a，b的值，即可得出答案．【詳解】解：∵多項式分解因式的結(jié)果為，∴，故，，則．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，整式的乘方運算，熟練掌握多項式乘多項式法則是解本題的關(guān)鍵．15．(本題4分)已知，則的值為________________．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘以多項式進行計算，根據(jù)等式得出系數(shù)相等，進而求得，將代數(shù)式因式分解然后整體代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，因式分解，正確的計算是解題的關(guān)鍵．16．(本題4分)甲、乙兩個同學(xué)分解因式時，甲看錯了，分解結(jié)果為；乙看錯了，分解結(jié)果為，則正確的分解結(jié)果為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意分別運算和，確定、的值，然后進行因式分解即可．【詳解】解：∵甲看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，又∵乙看錯了，分解結(jié)果為，∴由，可知，∴，∵，∴正確的分解結(jié)果為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了整式乘法運算以及因式分解的知識，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，求出、的值．17．(本題4分)若a，b都是有理數(shù)，且滿足，則_____________．【答案】1【分析】由，可得可得，，再代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，解得：，，∴故答案為：1．【點睛】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)，因式分解的應(yīng)用，乘方運算的符號的確定，求解是解本題的關(guān)鍵．18．(本題4分)如圖，邊長為4的正方形ABCD中放置兩個長寬分別為a，b的長方形AEFG與長方形CHIJ，如圖陰影部分的面積之和記為，長方形AEFG的面積記為，若，，則長方形AEFG的周長為________．【答案】【分析】根據(jù)可設(shè)a＝3x，b＝2x，由此可表示出相關(guān)線段長，進而可表示出S1＝38x2－80x＋48，S2＝6x2，再根據(jù)即可列出等式化簡整理可得（6x－5）2＝0，由此可求得x＝，最后根據(jù)長方形的周長公式即可求得答案．【詳解】解：∵，∴設(shè)a＝3x，b＝2x，則AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4，∴S1＝S正方形BEPH＋S正方形IPFQ＋S正方形DGQJ＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2＝38x2－80x＋48，S2＝ab＝3x·2x＝6x2，又∵，∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44，∴114x2－240x＋144＋30x2＝44，∴144x2－240x＋100＝0，∴36x2－60x＋25＝0，∴（6x－5）2＝0，解得：x＝，∴C長方形AEFG＝2（a＋b）＝2（3x＋2x）＝10x＝10×＝，故答案為：．【點睛】本題考查了整式的混合運算以及用完全平方公式進行因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題(共78分)19．(本題8分)因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．20．(本題8分)利用因式分解計算(1)(2)【答案】(1)36(2)31.4【分析】（1）先將變形為的形式，再利用平方差公式求解；（2）先提取公因式，再進行計算即可．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題考查通過因式分解進行簡化計算，解題關(guān)鍵是提取公因式或根據(jù)數(shù)字特點將所求式子進行變形后利用公式求解．21．(本題8分)下面是樂樂同學(xué)把多項式分解因式的具體步驟：……第一步……第二步……第三步……第四步(1)事實上，樂樂的解法是錯誤的，造成錯誤的原因是________．(2)請給出這個問題的正確解法．【答案】(1)分解因式不徹底，沒有把公因式提盡（意思對即可）(2)【分析】（1）觀察同學(xué)的解法，找出錯誤原因即可；（2）寫出正確解法即可．【詳解】（1）解：造成錯誤的原因是：分解因式不徹底，沒有把公因式提盡；（2）解：

．【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．22．(本題10分)已知：x、y滿足：（x+y）2=5，（x﹣y）2=41；求x3y+xy3的值．【答案】-207【詳解】試題分析：直接利用已知將原式變形得出x2+y2=23，xy=-9，進而求出答案．試題解析：∵（x+y）2=5，（x﹣y）2=41，∴（x+y）2+（x﹣y）2=46，則x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2=46，2（x2+y2）=46，故x2+y2=23，（x+y）2﹣（x﹣y）2=﹣36，則x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2=﹣36，故4xy=﹣36，則xy=﹣9，x3y+xy3=xy（x2+y2）=﹣9×23=﹣207．23．(本題10分)試說明：(n為正整數(shù))能被24整除．【答案】見解析【分析】利用平方差公式分解因式，得出，即可證明能被24整除．【詳解】解：，∵n為正整數(shù)，∴為正整數(shù)，∴能被24整除，∴能被24整除．【點睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．24．(本題10分)常用的分解因式的方法有提取公因式法、運用公式法．有些多項式分解因式時，需要先分組，然后再提取公因式或運用公式．如分解因式：這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決以下問題：三邊滿足，判斷的形狀．【答案】等腰三角形【分析】根據(jù)分組分解法對整式的左邊進行因式分解，由此可確定的三邊的關(guān)系．【詳解】解：由，得，∴，，∴，或者，即，或者，∴是等腰三角形．【點睛】本題主要考查因式分解的方法，理解題目中分組分解法進行因式分解是解題的關(guān)鍵．25．(本題12分)我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用分組法，結(jié)合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．26．(本題12分)(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項式的二次項的系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即，把常數(shù)項也分解為兩個因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數(shù)，于是就可以分解為．請同學(xué)們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應(yīng)用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對于形如的關(guān)于，的二