易錯(cuò)點(diǎn)04三角形（原卷版）

易錯(cuò)點(diǎn)04三角形線段、角、相交線與平行線三角形及其性質(zhì)全等三角形等腰三角形直角三角形相似三角形解直角三角形易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析01三角形的概念以及三角形的角平分線，中線，高線的特征與區(qū)別。對(duì)三角形中“三線”位置掌握不好，導(dǎo)致出錯(cuò)三角形的角平分線、中線都在三角形內(nèi)部，而三角形的高不一定在三角形內(nèi)部.銳角三角形的高在三角形的內(nèi)部；直角三角形的兩條高與直角邊重合，斜邊上的高在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的兩條高在三角形外部。（2022春?市中區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，CD是AB邊上的中線，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD的周長(zhǎng)的差是（）A．3cm B．6cm C．12cm D．無法確定【答案】C【思路點(diǎn)撥】本題答案有誤，根據(jù)三角形的中線的概念得到AD＝DB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：∵CD是AB邊上的中線，∴AD＝DB，∴△ACD的周長(zhǎng)﹣△BCD的周長(zhǎng)＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），故選：B．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式訓(xùn)練01】（2021秋?白堿灘區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A．AD B．BE C．BF D．CG【變式訓(xùn)練02】（2022春?無錫期中）已知AD為△ABC的中線，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周長(zhǎng)為27cm，則△ABD的周長(zhǎng)為cm．【變式訓(xùn)練03】（2022春?徐州期中）如圖，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分線，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°．（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）若△BCF與△BAF的周長(zhǎng)差為3，AB＝7，AC＝4，則BC＝．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析02三角形三邊之間的不等關(guān)系，注意其中的“任何兩邊”。求最短距離的方法要具有技巧性。（2022春?常州期中）已知△ABC的兩條邊a，b的長(zhǎng)分別為1.5和7.5，則第三邊c的正整數(shù)值是．【答案】7【思路點(diǎn)撥】答案不全面，沒有考慮到‘任何兩邊’，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的范圍，根據(jù)題意解答即可．【規(guī)范解答】解：∵△ABC的兩條邊a，b的長(zhǎng)分別為1.5和7.5，∴7.5﹣1.5＜c＜7.5+1.5，即6＜c＜9，∴c的正整數(shù)值是7或8，故答案為：7或8．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋?泉州期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，過點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，連接AG，則AG長(zhǎng)的最小值是．【變式訓(xùn)練02】（2022秋?南康區(qū)期中）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，（1）填入“＞、＜或＝”號(hào)：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化簡(jiǎn)：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【變式訓(xùn)練03】（2021秋?云浮期末）若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為m﹣2，2m+1，8．（1）求m的取值范圍；（2）若△ABC的三邊均為整數(shù)，求△ABC的周長(zhǎng)．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析03三角形的內(nèi)角和，三角形的分類與三角形內(nèi)外角性質(zhì)，特別關(guān)注外角性質(zhì)中的“不相鄰”。n邊形的內(nèi)角和等于(n2)·180°，而并非為n·180°對(duì)三角形外角的性質(zhì)理解不透徹而出現(xiàn)錯(cuò)誤，在應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)時(shí)，不可忽略了“不相鄰”這個(gè)條件。（2021秋?黃石期末）如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP與外角∠ACD的平分線CP交于點(diǎn)P，連接AP，若∠BPC＝46°，則∠CAP＝°．【答案】80°【思路點(diǎn)撥】答案有誤，延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，由角平分線的定義可得∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，從而可得PF＝PM，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，由三角形的內(nèi)角和性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如圖所示：設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝46°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣46）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣46°）﹣（x°﹣46°）＝92°，∴∠CAF＝88°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝44°．故答案為：44．【考點(diǎn)解讀】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022秋?前郭縣期末）（問題背景）∠MON＝90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．（問題思考）（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，∠AEB＝．（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線交于點(diǎn)D．①若∠BAO＝70°，則∠D＝°．②隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)，∠D的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠D的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由；（問題拓展）（3）在圖②的基礎(chǔ)上，如果∠MON＝α，其余條件不變，隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)（如圖③），∠D＝．（用含α的代數(shù)式表示）【變式訓(xùn)練02】（2022春?宜興市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，在AB上存在一點(diǎn)D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點(diǎn)F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，若∠M＝35°，則∠CFE°．【變式訓(xùn)練03】（2022春?太倉市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點(diǎn)D．∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點(diǎn)G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，則∠DFB的度數(shù)是度．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析04全等形，全等三角形及其性質(zhì)，三角形全等判定。著重學(xué)會(huì)論證三角形全等。用“≌”表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)放在對(duì)應(yīng)位置，但用語言描述的兩個(gè)三角形全等卻不需要，不要形成固定思維.解決這類問題要考慮各種對(duì)應(yīng)情況，避免出現(xiàn)考慮不全面，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4種方法，不存在“SSA”的判定方法.（2022春?海陵區(qū)期末）如圖，在正方形方格中，各正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你找出方格中所有與△ABC全等，且以A為頂點(diǎn)的格點(diǎn)三角形．這樣的三角形共有個(gè)（△ABC除外）．【答案】4【思路點(diǎn)撥】答案有誤，答案不全面，根據(jù)全等三角形的判定定理SSS畫出和△ABC全等的三角形，再得出答案即可．【規(guī)范解答】解：如圖1所示：方格中所有與△ABC全等，且以A為頂點(diǎn)的格點(diǎn)三角形有△FAO，△HOA，△EAD，△AEF，△ACH，共5個(gè)，故答案為：5．【考點(diǎn)解讀】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．【變式訓(xùn)練01】（2022秋?聊城月考）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPE與△CQP是否全等？請(qǐng)說明理由．（2）當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．【變式訓(xùn)練02】（2020秋?江陰市月考）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）【變式訓(xùn)練03】（2022?杭州模擬）如圖，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列條件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析05兩個(gè)角相等和平行經(jīng)常是相似的基本構(gòu)成要素，以及相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，對(duì)應(yīng)線段成比例，面積之比等于相似比的平方。相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS這4種。（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，記S△ADE＝16，S△EFC＝4，則S平行四邊形DBFE＝（）A．9 B．12 C．16 D．20【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，證明△AED∽△ECF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出＝，再證明△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF，∴△AED∽△ECF，∴＝（）2，∵S△ADE＝16，S△EFC＝4，∴＝2，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝36，∴S平行四邊形DBFE＝36﹣16﹣4＝16，故選：C．【考點(diǎn)解讀】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022?江都區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若tan∠DEC＝，則矩形DEFG面積的最大值＝．【變式訓(xùn)練02】（2021?無錫）如圖，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC與BD相交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABE∽△ACB；（2）若AD＝4，BC＝6，求線段DE的長(zhǎng)度．【變式訓(xùn)練03】（2022?鎮(zhèn)江一模）如圖，BC是⊙O的直徑，CE是⊙O的弦，EG切⊙O于點(diǎn)E，交射線CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．點(diǎn)A在直線CE上，∠ABG＝2∠ACG．（1）用尺規(guī)作出點(diǎn)A（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接AB，直線AB與GE相交于點(diǎn)F，，GB＝6．①求⊙O的半徑；②連接CF，CF平分∠ACG嗎？為什么？易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析06等腰（等邊）三角形的定義以及等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算與證明問題，這里需注意分類討論思想的滲入。但不可忽略三角形存在的條件，即任意兩邊之和大于第三邊.對(duì)出現(xiàn)的情況需要逐一驗(yàn)證，確定取舍。（2020秋?鹽城校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD是△ABC的角平分線．若在邊AC上截取CE＝CB，連接DE，則圖中等腰三角形共有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【思路點(diǎn)撥】答案有誤，遺漏情況，根據(jù)已知條件分別求出圖中三角形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判定即可找出圖中的等腰三角形．【規(guī)范解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴圖中的等腰三角形有5個(gè)．故選：D．【考點(diǎn)解讀】此題考查了等腰三角形的判定，用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形的角平分線定義等，解題時(shí)要找出所有的等腰三角形，不要遺漏．【變式訓(xùn)練01】（2021秋?崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EM∥BC分別交AB，AC于M，N，則△AMN的周長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練02】（2018秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）（1）如圖①，在△ABC中，BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作ED∥BC．指出圖中的等腰三角形，并說明理由．（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC．證明：EF＝BE+CF．【變式訓(xùn)練03】（2020?亭湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠MOA1＝30°，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4…△AnBnBn+1都是等邊三角形，點(diǎn)A1，A2，A3…An在軸上，點(diǎn)B1，B2，B3…Bn+1在OM上，A1B2∥A2B3∥A3B4…AnBn+1∥y軸，，則第n個(gè)等邊△AnBnBn+1的面積是．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析07運(yùn)用勾股定理及其逆定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，證明線段的數(shù)量關(guān)系，解決與面積有關(guān)的問題以及簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。在題目中沒有明確哪個(gè)角為直角時(shí)，常需要分類討論，不可漏解。在利用勾股定理計(jì)算時(shí)，誤認(rèn)為第三邊為斜邊，其實(shí)第三邊可能是斜邊，也可能是直角邊。（2021秋?常州期末）下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，5， D．1，，【答案】A【思路點(diǎn)撥】答案有誤，沒有應(yīng)用勾股定理公式解決問題。如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角．由此判定即可．【規(guī)范解答】解：A、∵52+42≠62，∴三條線段不能組成直角三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵52+72≠122，∴三條線段不能組成直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵32+（）2≠52，∴三條線段不能組成直角三角形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵12+（）2＝（）2，∴三條線段能組成直角三角形，故D選項(xiàng)正確；故選：D．【考點(diǎn)解讀】此題考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．【變式訓(xùn)練01】（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）到目前為止，勾股定理的證明已超過400種，其中一種簡(jiǎn)潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個(gè)直角三角形如圖擺放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，點(diǎn)F落在AC上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，斜邊AB與斜邊CD交于點(diǎn)M，連接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，則四邊形ACBD的面積為．【變式訓(xùn)練02】（2022秋?豐城市校級(jí)期末）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長(zhǎng)13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要元．【變式訓(xùn)練03】（2021秋?建鄴區(qū)期末）如圖①，長(zhǎng)方體長(zhǎng)AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長(zhǎng)體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？（1）螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)G，且經(jīng)過棱EF上一點(diǎn)，畫出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長(zhǎng)．（2）設(shè)該長(zhǎng)方體上底面對(duì)角線EG、FH相交于點(diǎn)O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點(diǎn)B爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為cm；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，設(shè)BP長(zhǎng)為acm，求螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)O的最短路的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析08特殊角的三角函數(shù)值及計(jì)算。熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值，不能搞混淆（2022秋?離石區(qū)期末）在△ABC中，若，∠A，∠B都是銳角，則△ABC是三角形．【答案】等腰【思路點(diǎn)撥】答案有誤，直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出∠A＝60°，∠B＝60°，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：∵，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．故答案為：等邊．【考點(diǎn)解讀】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2021秋?慈利縣期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．75° C．105° D．120°【變式訓(xùn)練02】（2022秋?駐馬店期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，則∠C的度數(shù)是．【變式訓(xùn)練03】（2022秋?河口區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：cos30°﹣tan60°﹣cos45°；cos60°﹣2sin245°+30°﹣sin30°．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析09解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用。坡度是指坡面的垂直高度h和水平寬度l的比值，而并非度數(shù)。仰角和俯角是指視線與水平線的夾角，而非視線與鉛垂線的夾角。只有在直角三角形中才能解直角三角形，沒有直角三角形時(shí)需要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形求解。（2022?鄭州二模）如圖是簡(jiǎn)化的冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪的雪道示意圖，AB為助滑道，BC為著陸坡，著陸坡傾角為α，A點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差為h，A點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差為120m，著陸坡BC長(zhǎng)度為（）A． B． C．（120﹣h）sinα D．（120﹣h）cosα【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤，過點(diǎn)A作AG⊥CD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AG，垂足為F，可得四邊形BFGE矩形，從而得FG＝BE，然后在Rt△BEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)A作AG⊥CD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AG，垂足為F，則四邊形BFGE矩形，∴FG＝BE，∵AG＝120m，AF＝h，∴FG＝BE＝（120﹣h）m，在Rt△BEC中，BC＝＝m，故選：A．【考點(diǎn)解讀】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練01】（2022?江陰市校級(jí)一模）圖1是一款折疊式跑步機(jī)，其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2（忽略跑步機(jī)的厚度）．該跑步機(jī)由支桿AB（點(diǎn)A固定），底座AD和滑動(dòng)桿EF組成．支桿AB可繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)E在滑槽AC上滑動(dòng)．已知AB＝60cm，AC＝125cm．收納時(shí)，滑動(dòng)端點(diǎn)E向右滑至點(diǎn)C，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合；打開時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)C向左滑動(dòng)，若滑動(dòng)桿EF與AD夾角的正切值為2，則察看點(diǎn)F處的儀表盤視角為最佳．（1）BE＝cm；（2）當(dāng)滑動(dòng)端點(diǎn)E與點(diǎn)A的距離EA＝cm時(shí)，察看儀表盤視角最佳．【變式訓(xùn)練02】（2021?荊州）如圖1是一臺(tái)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知BC＝8cm，AB＝16cm．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時(shí)，點(diǎn)C到AE的距離為cm．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，≈1.73）【變式訓(xùn)練03】（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）鹽城海棠公園為引導(dǎo)游客觀光游覽公園的盤點(diǎn)，在主要路口設(shè)置了導(dǎo)覽指示牌，我?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組想要測(cè)量此指示牌的高度，他們繪制了該指示牌支架側(cè)面的截面圖如圖所示，并測(cè)得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四邊形DEFG為矩形，且DE＝5cm．請(qǐng)幫助該小組求出指示牌最高點(diǎn)A到地面EF的距離（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75?≈0.26，tan75°≈3.73，≈1：414）．一．選擇題1．（2021秋?沛縣期末）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成直角三角形的是（）A．，， B．，， C．3，4，5 D．6，8，112．（2021秋?泗陽縣期末）如圖，AC和BD相交于O點(diǎn)，若OA＝OD，用“SAS”證明△AOB≌△DOC還需（）A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC3．（2022秋?離石區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，過D作BC的平行線交AC于M，若BC＝3，AC＝2，則DM＝（）A． B． C． D．4．（2021秋?雙灤區(qū)期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)O，則△ABO的面積與△CDO的面積的比為（）A．1：2 B． C．1：4 D．5．（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是（）A． B． C． D．二．填空題（共6小題）6．（2022秋?惠山區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，則S△ABC＝．7．（2022?富陽區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，∠OAB