4.1平方根（八大題型）（原卷版）

（蘇科版）八年級上冊數(shù)學《第4章實數(shù)》4.1平方根知識點一知識點一平方根◆1、平方根的定義：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.這就是說，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.◆2、開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.開平方與平方互為逆運算，運用這種關(guān)系可以求一個數(shù)的平方根.◆3、平方根的表示方法：正數(shù)a正的平方根可以表示為，正數(shù)a的負的平方根，可以表示為.

正數(shù)a的平方根可以用±表示，讀作“正、負根號a”．◆4、平方根的性質(zhì)：①正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；②0的平方根是0；③負數(shù)沒有平方根.知識二知識二算術(shù)平方根◆1、算術(shù)平方根的定義：我們把正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)的算術(shù)平方根記作：，讀作:“根號a”.規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.記作:=0.◆2、算術(shù)平方根的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有雙重非負性.①被開方數(shù)一定是非負數(shù)，即a≥0.②一個非負數(shù)的算術(shù)平方根也是非負數(shù)，即≥0.◆3、求一個正數(shù)的算術(shù)平方根與求一個正數(shù)的平方恰好是互逆的兩種運算，◆4、被開方數(shù)越大，對應的算術(shù)平方根也越大.讀作：“二次根號a”.◆5、算術(shù)平方根與平方根的聯(lián)系和區(qū)別：聯(lián)系：（1）包含關(guān)系：平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根的一種.（2）只有非負數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根.（3）0的平方根是0，算術(shù)平方根也是0.區(qū)別：（1）個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，但正數(shù)算術(shù)平方根只有一個.（2）表示方法不同：正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為，正數(shù)a的平方根表示為；題型一平方根及算術(shù)平方根的認識題型一平方根及算術(shù)平方根的認識【例題1】下列說法正確的是（）A．25的平方根是5 B．（﹣3）2的平方根是﹣3 C．925的算術(shù)平方根是3D．0.16的算術(shù)平方根是±0.4解題技巧提煉±a（a≥0）表示非負數(shù)的a的平方根，a（a≥0）表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根.【變式11】（2022秋?萊州市期末）144的平方根是±12的數(shù)學表達式是（）A．144=12 B．144=±12 C．±144【變式12】下列說法中，正確的是（）A．任何數(shù)的平方根都有兩個 B．一個數(shù)的平方根是它本身 C．只有正數(shù)才有平方根 D．負數(shù)沒有平方根【變式13】（2022秋?陳倉區(qū)期中）下列語句中，錯誤的是（）A．14的平方根是±12 B．C．?12是14【變式14】（2022秋?鄞州區(qū)校級月考）平方根是±13A．13 B．16 C．19【變式15】（2022春?澄邁縣期末）（﹣6）2的平方根是（）A．6 B．±6 C．±6 【變式16】（2022秋?城陽區(qū)期中）若x+4是4的一個平方根，則x的值為（）A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2【變式17】（2022秋?薛城區(qū)校級月考）一個自然數(shù)的一個平方根是a，則與它相鄰的上一個自然數(shù)的平方根是（）A．±a?1 B．a(chǎn)﹣1 C．a(chǎn)2﹣1 D．±a題型二求一個數(shù)的平方根題型二求一個數(shù)的平方根【例題2】求下列各數(shù)的平方根：（1）2549（2）0.36（3）（﹣9）2（4）解題技巧提煉本題運用了定義法，求一個數(shù)的平方根，先把被開方數(shù)化成x2=a的形式，再根據(jù)定義即可求出它的平方根.【變式21】1649A．47 B．±47 C．?【變式22】（2023?常德三模）16的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【變式23】（2023?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級開學）已知實數(shù)a的一個平方根是2，則它的另一個平方根是（）A．﹣2 B．?2 C．4 【變式24】（2022秋?二道區(qū)校級期中）在﹣2，0，117A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式25】（﹣8）2的平方根是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．±64【變式26】（2022秋?雁塔區(qū)校級月考）求下列各數(shù)的平方根：（1）49；（2）1625；（3）279；（4）0.36；（5）【變式27】求下列各式的值：（1）?196；（2）±254；（3）2?1.75；（4）±題型三求一個數(shù)的算術(shù)平方根題型三求一個數(shù)的算術(shù)平方根【例題3】求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（?32解題技巧提煉根據(jù)算術(shù)平方根的概念求一個數(shù)的算術(shù)平方根，（1）當遇到求帶分數(shù)的算術(shù)平方根的題目時，應先將帶分數(shù)化成假分數(shù)再進行計算；（2）求一個數(shù)的算術(shù)平方根是多少，首先要知道哪個非負數(shù)的平方等于這個數(shù).【變式31】（2022秋?寧強縣期末）9的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．5【變式32】（2023春?興義市月考）81的平方根是．【變式33】（2023春?秀嶼區(qū)校級期中）16的算術(shù)平方根是．【變式34】（2022?濟寧三模）若a=5，則aA．10 B．5 C．25 D．±25【變式35】（2022春?老河口市月考）設x＝﹣22，y=(?3)2A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【變式36】求下列各式的值：（1）144；（2）2549；（3）10000；（4）0.0049題型四算術(shù)平方根的非負性題型四算術(shù)平方根的非負性【例題4】（2022秋?崇川區(qū)校級月考）已知a，b滿足（a﹣1）2+b+2=0，則a+A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0解題技巧提煉算術(shù)平方根a具有雙重非負性,即被開方數(shù)a≥0且a≥0，a中隱含條件a≥0要靈活運用.2、幾個非負數(shù)的和為0，其中的每一個非負數(shù)都必須等于0.【變式41】（2022秋?桂平市期末）若m+2+(n?3)2=0，則mn的值是【變式42】（2023?濠江區(qū)模擬）若a，b為實數(shù)，且|a?1|+b+2=0，則（a+b）2023＝【變式43】已知a，b為實數(shù)，且1+a+1?b=0，則a2022﹣b2023＝【變式44】（2023春?江源區(qū)期末）已知（a﹣1）2+|b+1|+b+c?a=0，則a+b+c＝【變式45】（2022春?蜀山區(qū)校級期中）若a?1與|b+2|互為相反數(shù)，則a+bA．1?2 B．2?1 C．2+1【變式46】（2022秋?迎澤區(qū)校級月考）若x，y滿足(x?5)2+y+2=0，則x【變式47】（2022秋?靖江市校級期中）已知a，b，c都是實數(shù)，且滿足（2﹣a）2+a2+b+c+|c+8|＝0，且ax2+bx+c＝0，求代數(shù)式3x【變式48】已知a，b為實數(shù)，且滿足a?2+b2﹣6b（1）求a，b的值；（2）若a，b為△ABC的兩邊，第三邊c=13，求△ABC題型五利用平方根或算術(shù)平方根的定義求值題型五利用平方根或算術(shù)平方根的定義求值【例題5】（2022春?建安區(qū)期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一個平方根是2，則代數(shù)式a+b的值為（）A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4解題技巧提煉運用平方根及算術(shù)平方根的定義列方程求解，運用方程的思想求相關(guān)待定字母的值是數(shù)學中常用的方法.【變式51】（2023春?長順縣期末）若2m﹣5與4m﹣9是某一個正數(shù)的平方根，則m的值是（）A．73 B．﹣1 C．73或2【變式52】（2022?游仙區(qū)校級二模）若﹣3xmy和5x3yn的和是單項式，則（m+n）3的平方根是（）A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8【變式53】（2022秋?高新區(qū)校級月考）已知2a﹣1的平方根是±3，b，c滿足|b﹣1|+c+4=0，求a+3b+【變式54】（2021春?饒平縣校級期中）若x，y均為實數(shù)，且x?1+1?x+2y【變式55】（2022春?橫縣期中）已知3b+3的平方根為±3，3a+b的算術(shù)平方根為5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【變式56】（2022春?蕪湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±17，3a+b﹣1的算術(shù)平方根是6，求a+4b【變式57】（2023春?恩施州期中）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若2a﹣4與3a+1是同一個正數(shù)的平方根，求a的值．題型六利用平方根解方程題型六利用平方根解方程【例題6】（2022春?岳麓區(qū)校級月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．解題技巧提煉先將方程化為ax2=b的形式，再利用平方根的定義求未知數(shù)的值.【變式61】（2022秋?新城區(qū)校級期中）求下列式子中的x：（1）25（x?35）2＝49；（2）12（x【變式62】（2022秋?滕州市校級月考）求滿足下列各式x的值（1）169x2﹣100＝0（2）（2x﹣1）2＝（﹣5）2．【變式63】（2022春?武侯區(qū)月考）求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2【變式64】已知a，b滿足|a﹣4|+b?7=0，解關(guān)于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5【變式65】（2023春?澄海區(qū)期末）已知|2a+b﹣4|與3b+12互為相反數(shù)．（1）求5a﹣4b的平方根；（2）解關(guān)于x的方程ax2+5b﹣5＝0．題型七開平方運算中小數(shù)點移動規(guī)律題型七開平方運算中小數(shù)點移動規(guī)律【例題7】（2022春?渝中區(qū)校級月考）若51.11≈7.149，511.1≈22.608，則A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8解題技巧提煉1、開平方運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點向左（右）移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點相應向左（右）移動一位.2、解決此類規(guī)律題，需從兩個方向進行比較，即把被開方數(shù)進行比較，把它們的結(jié)果進行比較，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.【變式71】（2023?寧津縣校級開學）若25.36≈5.036，253.6≈15.906，則253600≈【變式72】（2022春?順德區(qū)校級期中）若169=13，則16900為130【變式73】（2021春?淮南月考）已知2021≈44.96，202.1≈14.22A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2【變式74】（2022秋?衡陽縣期中）已知4.3≈2.0736，43A．0.43≈0.65574 B．430≈C．4300≈20.736 D．43000【變式75】（2022春?濰坊期中）（1）觀察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向移動位；（2）應用：已知5≈2.236，則0.05≈，500≈（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，計算240和【變式76】根據(jù)下表回答下列問題：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算術(shù)平方根是，268.96=（2）±256=，275.56的平方根是（3）1.5921=，28224=（4）若x=a（x＞0），則100x=（用含題型八算術(shù)平方根的實際應用題型八算術(shù)平方根的實際應用【例題8】（2022春?連江縣期末）某學校有一塊長、寬分別為38m和16m的長方形空地，計劃沿邊建造一個長寬之比為5：3且面積為540m2的長方形標準籃球場，請判斷該學校能否用這塊長方形空地建造符合要求的籃球場？并說明理由．解題技巧提煉算術(shù)平方根在計算幾何圖形的面積問題中應用比較頻繁，利用圖形結(jié)合有關(guān)公式或者數(shù)量關(guān)系列出算式，求出算術(shù)平方根，由所得結(jié)果進行說明.【變式81】（2023春?橋西區(qū)期末）射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式v=2as進行計算，其中a為子彈的加速度，s為槍筒的長．如果a＝5×105米/秒2，sA．0.9×103米/秒 B．0.8×103米/秒 C．8×102米/秒 D．9×102米/秒【變式82】（2023春?鞏義市期末）電流通過導線時會產(chǎn)生熱量，滿足Q＝I2Rt，其中Q為產(chǎn)生的熱量（單位：J），I為電流（單位：A），R為導線電阻（單位：Ω），t為通電時間（單位：s）．若導線電阻為5Ω，1s時間導線產(chǎn)生30J的熱量，則通過的電流I為（）A．2.4A B．6A C．4.8A D．【變式83】（2022秋?鄄城縣期末）交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計車輛行駛的速度，他們總結(jié)了一個經(jīng)驗公式：v＝16df，其中v表示車速（單位：千米/時），d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦因數(shù)，在某次交通事故調(diào)查中，測得d＝25米，f＝1.44，而該路段的限速為80千米/時，肇事汽車當時的車速大約是多少？此車是否超速行駛？【變式84】（2022春?景縣月考）球從空中落到地面所用的時間t（秒）和球的起始高度h（米）之間有關(guān)系式，t=?A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒【變式85】（2022秋?阜城縣期末）將尺寸如圖的4塊完全相同的長方形薄木塊（厚度忽略不計）進行拼擺，恰好可以不