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第1課時(shí)認(rèn)識(shí)一元二次方程ax2+bx+c=0(a
0)2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程第二章一元二次方程什么叫方程?我們學(xué)過哪些方程?含有未知數(shù)的等式叫作方程.
我們學(xué)過的方程有一元一次方程,二元一次方程(組)及分式方程,其中前兩種方程是整式方程.1.理解一元二次方程的概念.(難點(diǎn))2.根據(jù)一元二次方程的一般形式,確定各項(xiàng)系數(shù).3.理解并靈活運(yùn)用一元二次方程概念解決有關(guān)問題.(重點(diǎn))一元二次方程的相關(guān)概念問題1:幼兒園某教室矩形地面的長(zhǎng)為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2
的地毯
,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同,你能求出這個(gè)寬度嗎?解:如果設(shè)所求的寬為xm
,那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為
m,寬為
m,根據(jù)題意,可得方程:(8-2x)(5-2x)xx(8–2x)xx(5–2x)(8-2x)(5-2x)=18.化簡(jiǎn):2x2-
13x+11=0
.①該方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少?知識(shí)點(diǎn)問題2:觀察下面等式:102+112+122=132+142
你還能找到其他的五個(gè)連續(xù)整數(shù),使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎?解:如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x,那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為:
,
,
,
.
根據(jù)題意,可得方程:
x+1x+2x+3x+4x2+
(x+1)2+
(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡(jiǎn)得,x2-8x
-20=0.②該方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少?解:由勾股定理可知,滑動(dòng)前梯子底端距墻
m.如果設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm,那么滑動(dòng)后梯子底端距墻
m,根據(jù)題意,可得方程:?jiǎn)栴}3:如圖,一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動(dòng)多少米?6x+672+(x+6)2
=102.化簡(jiǎn)得,x2+12
x
-
15=0.③10m8m1mxm該方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少?①2x2-
13x+11=0;②x2-8x
-20=0;③x2+12
x
-
15=0.1.只含有一個(gè)未知數(shù);2.未知數(shù)的最高次數(shù)是2;
3.整式方程.觀察與思考方程①②③都不是一元一次方程.那么這兩個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里?它們有什么共同特點(diǎn)呢?特點(diǎn):
只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程,并且都可以化為ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式,這樣的方程叫作一元二次方程.ax2+bx
+c
=0(a
,
b
,
c為常數(shù),
a≠0)ax2稱為二次項(xiàng),
a稱為二次項(xiàng)系數(shù).
bx
稱為一次項(xiàng),
b
稱為一次項(xiàng)系數(shù).
c
稱為常數(shù)項(xiàng).一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是想一想為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0,b,c可以為零嗎?當(dāng)
a=0時(shí)bx+c=0當(dāng)
a≠0,b=0時(shí)
,ax2+c=0當(dāng)
a≠0,c
=0時(shí)
,ax2+bx=0當(dāng)
a≠0,b
=c
=0時(shí)
,ax2
=0總結(jié):只要滿足a≠0,b
,c
可以為任意實(shí)數(shù).典例精析例1下列選項(xiàng)中,關(guān)于x的一元二次方程的是()C不是整式方程含兩個(gè)未知數(shù)化簡(jiǎn)整理成x2-3x+2=0少了限制條件a≠0提示
判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程,首先看是不是整式方程;如是再進(jìn)一步化簡(jiǎn)整理后再作判斷.
判斷下列方程是否為一元二次方程?(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0√
(1)x2+x=36例2:a為何值時(shí),下列方程為一元二次方程?(1)ax2-x=2x2(2)(a-1)x|a|+1
-2x-7=0.解:(1)將方程式轉(zhuǎn)化為一般形式,得(a-2)x2-x=0,所以當(dāng)a-2≠0,即a≠2時(shí),原方程是一元二次方程;
(2)由∣a
∣+1=2,且a-1≠0知,當(dāng)a=-1時(shí),原方程是一元二次方程.方法點(diǎn)撥:用一元二次方程的定義求字母的值的方法:根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2,列出關(guān)于某個(gè)字母的方程,再排除使二次項(xiàng)系數(shù)等于0的字母的值.一元一次方程一元二次方程一般式相同點(diǎn)不同點(diǎn)思考:一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系?ax=b(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)整式方程,只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2
例3:將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式,并分別指出它們的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及它們的系數(shù).解:去括號(hào),得3x2-3x=5x+10.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項(xiàng)是3x2,系數(shù)是3;一次項(xiàng)是-8x,系數(shù)是-8;常數(shù)項(xiàng)是-10.系數(shù)和項(xiàng)均包含前面的符號(hào).注意一元二次方程概念是整式方程;含一個(gè)未知數(shù);最高次數(shù)是2一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件1.(2020.沈北質(zhì)檢)方程x(3x﹣2)=4(3x﹣2)的根
2.(2020.廣陵質(zhì)檢)當(dāng)x=時(shí),代數(shù)式x2﹣x與x﹣1的值相等.3.(2020.撫順期中)一元二次方程x(x﹣2)+x﹣2=0的根是
x1=
,x2=41x1=2,x2=﹣14.(2020.隨州模考)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0
(1)若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求k的最大整數(shù)值.
(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,是否存在實(shí)數(shù)k,使得x1x2-x12-x22=-16成立?若存在,請(qǐng)求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)由題意得:此方程的根的判別式△=[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,
整理得:-4k+1≥0,
解得k≤
,
則k的最大整數(shù)值是0(2)存在,
由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k,∵x1x2?x12?x22=?2x1x2?x12
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