2021年全國新高考數(shù)學Ⅱ卷試題特點分析

第第頁2021年全國新高考數(shù)學Ⅱ卷試題特點分析2020年全國高考Ⅱ卷數(shù)學加強了創(chuàng)新力度，命題思路不同尋常，讓部分學生不太適應新的題型的分析與解答.在這樣的背景下，2021年全國新高考Ⅱ卷數(shù)學風格可謂平凡中蘊含恰到好處的創(chuàng)新，層次分明，起點低，落點高，試題區(qū)分度好.加強了核心素養(yǎng)的多維考查，對核心素養(yǎng)的復合式考查和分級考查體現(xiàn)明顯，情景展現(xiàn)具有多樣性，創(chuàng)新地加強思維深廣度的考查.對中學教師的教、學生的學具有很好的指導性和可操作性，是新高考數(shù)學命題具有指導性的一套試題.很好地體現(xiàn)了新高考的“新”，但創(chuàng)新度又把控適當，做到了“創(chuàng)新”而不“濫新”，體現(xiàn)在試卷中的“一小一大”題，即第12題的二進制與新信息創(chuàng)新題，結(jié)合等比數(shù)列考查學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)；第21題以生物繁殖為背景的概率統(tǒng)計與不等式及開放性問題的結(jié)合，考查離散型隨機變量的分布列性質(zhì)及期望，因式分解、韋達定理整體代換或?qū)?shù)、實根分布與不等式證明，旨在落實數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查.今年Ⅱ卷數(shù)學的最大創(chuàng)新點在于不斷加強了思維深廣度的考查，考查學生的思維過程、思維深度和思維廣度，大力豐富了開放性試題的考查形式，體現(xiàn)在試卷中的“一小兩大”題，即第14題、第21題和第22題等.1.對數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行復合式考查由最新的課程標準我們知道，數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體.2021年新高考數(shù)學Ⅱ卷（以下簡稱“Ⅱ卷”）中的題目，充分體現(xiàn)了對六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查.例如，第6題如下.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是（）（A）越小，該物理量一次測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大（B）該物理量一次測量結(jié)果大于的概率為（C）該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等（D）該物理量一次測量結(jié)果落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等此題不僅要考查學生對數(shù)學符號“”的抽象理解，還要明晰該數(shù)學對象表達的數(shù)據(jù)的意義，通過題目中所給出的數(shù)據(jù)，進行數(shù)據(jù)分析，經(jīng)過正確的邏輯推理，達到對正態(tài)分布這一數(shù)學模型現(xiàn)實意義的解讀，盡管難度不大，但卻涉及數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等五個方面的素養(yǎng)進行復合式考查.該題正確選項為D選項.又如第10題，原題如下.如圖，下列各正方體中，為下底面的中點，為頂點，為所在棱的中點，則滿足的有（）（A）（B）（C）（D）此題參考答案為BC選項.可以很明顯的看出來，該題需要考生具備一定的直觀想象的能力，明確圖中點線面的空間位置關系，并通過立體幾何的公理體系進行正確的演繹推理，如果學生對于正方體這個“模型”相對熟悉，作出正確的推理就更加迅速.第18題如下.在△中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（Ⅰ）若，求△的面積；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得△為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng).很多時候我們覺得數(shù)學建模只是應用題，但是在數(shù)學建模這個核心素養(yǎng)里，除了要能夠進行數(shù)學抽象，抽象出問題后，還需要用數(shù)學方法來解決這個模型中的問題.解三角形問題雖然已經(jīng)完成從現(xiàn)實問題中提取模型的過程，但是在模型中要如何分析邊角關系，選擇何種工具進行推理，這也屬于平時數(shù)學建模這一核心素養(yǎng)培養(yǎng)的必備教學過程.同時，也考查了學生的邏輯推理能力，同時對數(shù)學對象的運算考查也相當充分，先用哪些數(shù)據(jù)，后用哪些數(shù)據(jù)，也要求學生具有較高的數(shù)據(jù)處理能力.這樣的例子在“Ⅱ卷”里不勝枚舉.可以清楚的看到，“Ⅱ卷”中的試題考查單一數(shù)學學科核心素養(yǎng)的題目極少，而用一種復合的多維方式來考查數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是這套試卷最顯著的特點之一，無論是較易題，還是中檔題或較難的題目，都體現(xiàn)了這一特點要求.2.對數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行分級考查課標中明確指出數(shù)學學業(yè)質(zhì)量水平是六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平的綜合表現(xiàn).數(shù)學學科核心素養(yǎng)的水平劃分為三個水平，每一個核心素養(yǎng)都有水平一、水平二、水平三共三個水平的明確界定，三個水平就是學業(yè)水平、高考水平、高校自主招生水平.新高考試卷其實不僅僅考查學生是否達到水平二，也會同時兼顧水平一的考查.例如，第12題如下.設正整數(shù)，其中，，記，則（）（A）（B）（C）（D）第17題如下.記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求成立的的最小值.對于數(shù)學抽象核心素養(yǎng)，水平一要求能夠在熟悉的情境中抽象出數(shù)學問題.第17題就是在我們熟悉的特殊數(shù)列――等差數(shù)列的情景中抽象出數(shù)學問題的；水平2要求能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學方法解決問題.第12題就是二進制的計數(shù)模型問題，而二進制我們并不熟悉，題中采用了的特定線性表達式來呈現(xiàn)，這需要學生具備相當水平的抽象能力才能準確的理解到的意義.邏輯推理核心素養(yǎng)，水平一要求能夠在熟悉的情境中，用歸納或類比的方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量的性質(zhì)、數(shù)量關系；水平二要求能夠在關聯(lián)的情境中，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題，用數(shù)學語言予以表達.第17題屬于難度較低的題目，雖然是在等差數(shù)列這一熟悉的情境中，但在第（Ⅱ）中仍然設置了數(shù)列與不等式求解的關聯(lián)情景，以及對最值的理解.“舉反例”屬于水平二，在12題B選項進行判斷正誤時，就可以通過正向演繹推理從舉例（水平一）找到反例（水平二）.數(shù)學建模核心素養(yǎng)，水平一中要求了解數(shù)學模型中的參數(shù)的實際含義；水平二理解模型中參數(shù)的意義.對待參數(shù)，“了解”和“理解”能力要求顯然是不同的.第12題若沒有理解到表達的是前的系數(shù)（僅0或1）之和，就無法進行正確的推理，連A選項是否正確都無法進行推理論證.數(shù)學運算核心素養(yǎng)，水平一要求能夠了解運算法則及其適用范圍，正確進行運算；能夠在熟悉的數(shù)學情境中，根據(jù)問題的特征建立合適的運算思路，解決問題；水平二要求能夠在關聯(lián)的情境中確定運算對象，提出運算問題，能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設計運算程序，解決問題，能夠理解運算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中，體會程序化思想的意義和作用.可以充分感受到第12題完全體現(xiàn)了水平二的各種要求.例如，對D選項的驗證，若是對為正整數(shù)，的求和理解不深，又不能進行關聯(lián)性理解，肯定也是無法進行正確判斷的.通過這兩道題，可以感受到即使是同一個知識板塊的內(nèi)容，試題可以設計成熟悉的數(shù)學情景，也可以設計成新的數(shù)學情景，能夠?qū)W生在某一素養(yǎng)達到不同水平的程度進行評價.不同的題有大致的側(cè)重水平，同一個題目中也會同時體現(xiàn)不同的水平考查.3.試題情景展現(xiàn)具有多樣性體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的四個方面之一為情境與問題.情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境.“Ⅱ卷”中的題目陳述的情景當然都在這三種類型之中，但是有的題目，卻同時擁有了這三種情景，而且對數(shù)學情境的考查也是多維度、靈活多變的.例如，第4題取材于我國航天事業(yè)的重要成果――北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，從我們生活中“導航”這件普通的現(xiàn)實情景開始，又給出了關聯(lián)科學情景地球靜止同步軌道衛(wèi)星的相關數(shù)據(jù)，提出了研究衛(wèi)星信號覆蓋地球表面面積的問題，給出了相應的數(shù)學情境，很好地讓學生體驗了學習數(shù)學就可以解釋我們生活中和科學中的具體問題，激發(fā)學生的學習興趣，增強學生作為中國人的自豪感.又如第21題，結(jié)合我們現(xiàn)實生活中由于疫情帶來對生物學科更多關注的現(xiàn)實情境，給出了微生物繁殖的科學情景，在第（2）問里，還設置了一個關于零點的數(shù)學問題，從多維度考查因式分解、韋達定理整體代換或?qū)?shù)、實根分布與不等式證明等數(shù)學情境，通過題目告訴學生，可以收集哪些數(shù)據(jù)，就可以運用所學去研究微生物存活與消亡的“大問題”，這也會激發(fā)學生對于世界的探索興趣，增強學習數(shù)學的成就感，堅持“五育并舉”，落實立德樹人的根本任務.第4題如下.北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度約為（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離）.把地球看成一個球心為，半徑為的球，其上點的緯度是指與赤道所在平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點的緯度的最大值記為，該衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面的面積（單位：），則占地球表面積的百分比約為（）（A）（B）（C）（D）剖析：根據(jù)題目所給的情景，通過直觀想象，從立體圖形中，抓住計算對象所在平面，可以得到如右圖所示的軸截面，點為衛(wèi)星所在位置，地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點的緯度的最大值，即為當與圓相切時的值（其中為切點），，由球的表面積公式可知所求百分比約為，故答案選C.第21題如下.假設開始時有一個微生物個體（稱為第0代），該個體繁殖的若干個個體，形成第1代，第1代的每個個體繁殖的若干個個體，形成第2代，…….假設每個個體繁殖的個體數(shù)相互獨立且分布列相同，記第1代微生物的個體總數(shù)為，的分布列為.（1）若，求；（2）以表示這種微生物最終消亡的概率，已知是關于的方程的最小正實根，求證：當時，；當時，；（3）說明（2）的結(jié)論的意義.剖析：（1）.（2）法一：，設，則，.當時，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，對,在單調(diào)遞減，則在僅有一個零點1，即.當時，,注意到在上單調(diào)遞增，則，使得當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增，故而在時，為最小值，且，又，故而在上有唯一零點，即.法二：由題意知，，，令，的對稱軸為，注意到，.當時，，的正實根，原方程的最小正實根；當時，，的正實根，原方程的最小正實根.法三：由題意知，，，所以，，當時，，，所以與一個小于等于1，一個大于等于1，不妨設，所以，又，此時；當時，，同理可得，不妨設，所以，所以，又，此時，即.（3）當個體平均繁殖的后代數(shù)不超過1時，這種微生物將最終消亡；當個體平均繁殖的后代數(shù)大于1時，這種微生物長期存在的概率大于0.4.創(chuàng)新性著重加強思維深廣度的考查課程標準中提到重視學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的達成，在設計學習評價工具時，要關注知識技能的范圍和難度，要有利于考查學生的思維過程、思維深度和思維廣度（例如，設計好的開放題是行之有效的方法)，要關注六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的分布和水平；應聚焦數(shù)學的核心概念和通性通法，聚焦它們所承載的數(shù)學學科核心素養(yǎng).如第14題、第21題第（3）問、第22題第（2）問都是設計得比較好的開放題，有利于考查學生的思維過程、思維深度和思維廣度，同時關注數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學推理、數(shù)學運算等幾個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的分布和水平一、二的考查；即便是壓軸的第22題也是聚焦數(shù)學的通性通法，如含參討論、不等式證明、零點存在定理及特值構造法或洛必達法則等，聚焦它們所承載的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，從這些試題結(jié)構特征和它們的解答過程中也可窺見一斑.第14題如下.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：．①；②當時，；③是奇函數(shù).第22題如下.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：有一個零點.①；②.第22題參考解答如下.（1）定義域為，.1）當即時，，，∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為.2）當即時，令，∴或，①當時，即，也即時，當時，；當時，；當時，.∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為；②當時，即時，在上恒成立，∴的增區(qū)間為，無減區(qū)間；③當時，即，也即時，當時，；當時，；當時，.∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）若選①：，由（1）問知的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，又，所以，(*).∵，∴，∴，∴(*)，∴，∴當時，.法一（特值構造＋零點存在定理）：取，∴，由于，由零點存在定理，唯一的，使，∴在上存在唯一一個零點，即證.法二（洛必達法則）：，時，，故唯一的，使，∴在上存在唯一一個零點，即證.若選②：，由（1）問知增區(qū)間為，減區(qū)間為，，又∵，∴，∴(**).∵，∴，∴(**)，∴，∴當時，.法一（特值構造＋零點存在定理）：取，∵，∴，，而，∴，∴.由零點存在定理，唯一的，使，∴在上存在唯一一個零點，即證