2023年數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)14-解三角形圖形類問(wèn)題(含詳解)

專題14解三角形圖形類問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】解決三角形圖形類問(wèn)題的方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問(wèn)題題型五：中線問(wèn)題題型六：高問(wèn)題題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用題型八：外心及外接圓問(wèn)題題型九：兩邊夾問(wèn)題題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問(wèn)題【典例例題】題型一：妙用兩次正弦定理例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的取值范圍.例2．（2020·北京·北師大二附中高三期中）如圖，四邊形中，，，設(shè).（1）若面積是面積的4倍，求；（2）若，求.例3．（江蘇省南京市寧海中學(xué)2022屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，點(diǎn)在邊上，滿足，且．(1)求證：；(2)求．例4．（廣東省2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足．(1)證明：．(2)若，，求PC．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面積；(2)若，求．例6．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．(1)若，求的面積；(2)若，求BC．例7．（2019·安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè).（1）求；（2）若為邊上的點(diǎn)，為上的點(diǎn)，，.求．例8．（2022·山東煙臺(tái)·一模）如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.例10．（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面積為，求AC；(2)若，，求.例11．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，.(1)當(dāng)，時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)，時(shí)，求.題型二：兩角使用余弦定理例12．（2022·湖北·襄陽(yáng)四中模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D.(1)證明：，；(2)若，，求的最小值.例13．（2022·湖北武漢·二模）如圖，內(nèi)一點(diǎn)滿足.(1)若，求的值；(2)若，求的長(zhǎng).例14．（2022·江蘇·泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在凸四邊形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值．例15．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，為鈍角，．(1)證明：；(2)若，，再?gòu)南旅姊佗谥羞x取一個(gè)作為條件，求的面積．①；②．注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．例17．（2022·重慶·二模）已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).(1)證明：(2)若，，求的最大值.題型三：張角定理與等面積法例18．（廣東省2022屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求角的大??；(2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，，求的面積.例19．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在中，設(shè)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且(1)求；(2)若為上的點(diǎn)，平分角，且，，求.例20．（2022·遼寧·高一期中）如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的面積．例21．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）在中，已知.(1)求的值；(2)若是的角平分線，求的長(zhǎng)．例22．（2022·山東淄博·三模）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長(zhǎng)．例23．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大?。?2)若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積．①BD是的平分線；②D為線段AC的中點(diǎn)．（從①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）．題型四：角平分線問(wèn)題例24．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個(gè)條件：條件①：；條件②；條件③.這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面的問(wèn)題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長(zhǎng).例25．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足.(1)求角；(2)角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，若，，求.例26．（2022·北京八十中模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，.(1)求B的值；(2)給出以下三個(gè)條件：①；②，；③，若這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面問(wèn)題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長(zhǎng).例27．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，D為邊BC的中點(diǎn)，的平分線分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，，，求DE．例28．（2022·廣東佛山·三模）設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，的平分線交于點(diǎn)，且．(1)求；(2)若，求．例29．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為．(1)求；(2)若，的角平分線與邊相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求．題型五：中線問(wèn)題例30．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大??；(2)若邊上的中線，求的面積.例31．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中．．(1)求角；(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．例32．（2022·海南?？凇ざ＃┰谥校堑膶?duì)邊分別為已知，．(1)求；(2)若，邊的中點(diǎn)為，求．例33．（2022·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大?。?2)設(shè)D，E分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，已知的周長(zhǎng)為，且，若，求a．例34．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））在中，分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若．(1)求角；(2)若，，D為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．例35．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若.(1)求角；(2)若，點(diǎn)在線段上，且是線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求.例36．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，AC的中點(diǎn)為D，求BD的長(zhǎng)．題型六：高問(wèn)題例37．（2022·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大??；(2)若，的面積為4，求BC邊上的高．例38．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）從①為銳角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填入橫線上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC邊上的高AD為2，求CD的長(zhǎng)．例39．（2022·北京房山·二模）在中，.(1)求；(2)再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.例40．（2022·山東青島·一模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，邊上的高為，求邊．例41．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，，求邊上的高.題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用例42．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點(diǎn)P．(1)的余弦值．(2)求四邊形的面積.例43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）G是的重心，分別是角的對(duì)邊，若，則（

）A． B． C． D．例44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，點(diǎn)是的重心，且，則的面積為（

）A． B． C．3 D．例45．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若的外接圓的面積為，．(1)求；(2)是角的平分線，若，的重心為，求的長(zhǎng)．題型八：外心及外接圓問(wèn)題例46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則的值為___________.例47．（2022·江蘇·泰興市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)為的外心，若，則（

）A． B． C． D．例48．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.從下列①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答.①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.例49．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答．①O為的內(nèi)心；②O為的外心．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求A；(2)若，________，求的面積．例50．（2022·江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.例51．（2022·遼寧·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.(1)若，求外接圓的直徑；(2)若，求的周長(zhǎng).例52．（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知的數(shù)．(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，求外接圓的面積．例53．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）法國(guó)著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這個(gè)三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).題型九：兩邊夾問(wèn)題例54．（2021?雙流區(qū)校級(jí)模擬）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的值是A．2 B． C． D．1例55．（2020?蘇州二模）在中，已知邊，，所對(duì)的角分別為，，，若，則．例56．（2013?成都模擬）在中，若，則角．例57．（2018?如皋市二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，設(shè)是的面積，若，則角的值是．題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問(wèn)題例58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.(1)求的大小；(2)為內(nèi)一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，________，求的面積.請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問(wèn)題.①為的外心，；②為的垂心，；③為的內(nèi)心，.例59．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)設(shè)M和N分別是ΔABC的重心和內(nèi)心，若MN//BC且c=2，求a的值．例60．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A為銳角，，，再?gòu)臈l件①：，條件②：，這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.求：(1)角A；(2)的內(nèi)切圓半徑r.例61．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)一模（文））在△中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，已知，，且．(1)求角和邊的大??；(2)求△的內(nèi)切圓半徑．例62．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，是上一點(diǎn)，平分.(1)求證：；(2)若，，，求的內(nèi)切圓面積.例63．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，分別為角的對(duì)邊，且.（1）求角；（2）若的內(nèi)切圓面積為，求面積的最小值.例64．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的對(duì)稱軸；對(duì)稱中心；單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，分別是所對(duì)的邊，當(dāng)時(shí)，求內(nèi)切圓面積的最大值.例65．（2022·河南南陽(yáng)·高三期末（理））在中，.(1)求A；(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的最小值.例66．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且，設(shè)O為的內(nèi)心，則的面積為_________．例67．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)O是ABC的內(nèi)心，若，則cos∠BAC=（

）A． B． C． D．

專題14解三角形圖形類問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】解決三角形圖形類問(wèn)題的方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問(wèn)題題型五：中線問(wèn)題題型六：高問(wèn)題題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用題型八：外心及外接圓問(wèn)題題型九：兩邊夾問(wèn)題題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問(wèn)題【典例例題】題型一：妙用兩次正弦定理例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，選擇①②③求得，設(shè)，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結(jié)合和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，即，即，可得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是.選②：由，根據(jù)正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是.若選③：由，可得，即，可得，因?yàn)椋?，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是.例2．（2020·北京·北師大二附中高三期中）如圖，四邊形中，，，設(shè).（1）若面積是面積的4倍，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)AC＝a，可求ABa，AD＝asinθ，CD＝acosθ，由題意S△ABC＝4S△ACD，利用三角形的面積公式即可求解；（2）在△ABD中，△BCD中，分別應(yīng)用正弦定理，聯(lián)立可得2sin（θ）＝3sinθ，利用兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【詳解】（1）設(shè)，則，，，由題意，則，所以.（2）由正弦定理，中，，即①中，，即②①÷②得：，化簡(jiǎn)得，所以.例3．（江蘇省南京市寧海中學(xué)2022屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，點(diǎn)在邊上，滿足，且．(1)求證：；(2)求．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）分別在和中利用正弦定理表示出，，代入已知等式化簡(jiǎn)整理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而得到，代入中即可求得結(jié)果.(1)，，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；又，，即，.(2)在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，則，，，即；.例4．（廣東省2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足．(1)證明：．(2)若，，求PC．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得，即，即要證明即可，由此利用三角形內(nèi)角和證明可得結(jié)論；（2）由題意求得，繼而求得，在中利用余弦定理求得，即可求得答案.(1)證明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要證明，只需證明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．(2)由（1）知，又因?yàn)?，，所以，由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以，則，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由題意知，故解得，所以．例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面積；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)中，利用含的余弦定理表達(dá)式建立BC的方程，求出BC而得面積，再利用面積關(guān)系求的面積得解；(2)由題設(shè)中角的信息用表示出與中的相關(guān)角，再在這兩個(gè)三角形中利用正弦定理建立兩個(gè)方程，聯(lián)立整理得的方程，解之即得.【詳解】(1)設(shè)，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，則的面積，梯形中，，與等高，且，所以的面積，則梯形的面積；(2)在梯形中，設(shè)，而，則，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，兩式相除得：，整理得，即解得或，因?yàn)椋瑒t，即．例6．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．(1)若，求的面積；(2)若，求BC．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)求得，再結(jié)合求解即可（2）設(shè)，再在中利用正弦定理得出關(guān)于的方程，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)求解即可(1)由可得，又故，故(2)設(shè)，則，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化簡(jiǎn)得，即，利用降冪公式有，利用輔助角公式有，故，利用誘導(dǎo)公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故例7．（2019·安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè).（1）求；（2）若為邊上的點(diǎn)，為上的點(diǎn)，，.求．【答案】(1)；(2)2【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用余弦定理即可求解；（2）設(shè)，將三角形中其余角用表示出來(lái)，結(jié)合，表示邊長(zhǎng)，即可解出.【詳解】（1）由，得，即∴；（2）令，則在中，由正弦定理得：，即在中，由正切定義：在中，由正切定義：，∴例8．（2022·山東煙臺(tái)·一模）如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．【答案】(1)(2)∠ACB=【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求得角，利用正弦定理去求△ABC的面積；（2）利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB的值．(1)在△ABC中，，因?yàn)?，所以．?2)設(shè)，則，，．在△ACD中，由，得．在△ABC中，由，得．聯(lián)立上式，并由得，整理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，即∠ACB的值為．例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）選擇①，由正弦定理及角度關(guān)系推出及，結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，進(jìn)行證明；選擇②，利用正弦定理推導(dǎo)出，直接利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式即可推出結(jié)論；選擇③，由正弦定理，面積公式及面積的倍數(shù)關(guān)系得到，，使用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明；（2）在證明出第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，設(shè)出邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出的長(zhǎng)及角的正弦值，進(jìn)而利用面積公式進(jìn)行求解.(1)方案一：選條件①.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，即，所以，所?方案二：選條件②.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，，，所以，即，所以，所?方案三：選條件③.因?yàn)?，，且，，所以在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?因?yàn)?，，所以，即，所以，所?(2)選擇①②③，答案均相同，由（1）可設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以，所以，所以四邊形ABCD的面積.例10．（2022·福建·廈門一中高一階段練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面積為，求AC；(2)若，，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）應(yīng)用三角形面積公式有，可求，由余弦定理即可求；（2）設(shè)，在中，在△中應(yīng)用正弦定理有，即可求，得解.(1)在△中，，，∴，可得，在△中，由余弦定理得，.(2)設(shè)，則，在中，，易知：，在△中，由正弦定理得，即，，可得，即.例11．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形中，，，.(1)當(dāng)，時(shí)，求的面積；(2)當(dāng)，時(shí)，求.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用誘導(dǎo)公式、三角形面積公式計(jì)算作答.（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.(1)當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得，即，解得，，因?yàn)?，則，又，所以的面積是.(2)在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，則，整理得，而，為銳角，所以.題型二：兩角使用余弦定理例12．（2022·湖北·襄陽(yáng)四中模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D.(1)證明：，；(2)若，，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，，由正弦定理得到，，兩式相除得到，進(jìn)而得到，，根據(jù)余弦定理，并代入化簡(jiǎn)，即可求解.（2）根據(jù)，得到，結(jié)合基本不等式求得，進(jìn)而求得，即可求解.(1)解：在和中，可得，，所以，，由正弦定理，得，，兩式相除得，可得，，又由，根據(jù)余弦定理得所以代入可得.(2)解：由，及，可得根據(jù)基本不等式得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又由，，可得，所以的最小值是3.例13．（2022·湖北武漢·二模）如圖，內(nèi)一點(diǎn)滿足.(1)若，求的值；(2)若，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用余弦定理求出，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，最后利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可（2）設(shè)，在與采用余弦定理與正弦定理，然后利用與的關(guān)系列出關(guān)于的方程，解出即可(1)，此時(shí).在中，，又，故所以(2)設(shè)，在中，.在中，，代入得：.又，故.即，解得：，所以.例14．（2022·江蘇·泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在凸四邊形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值．【答案】(1)；(2)﹒【解析】【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根據(jù)即可求；(2)在△、△中，分別由余弦定理求出，兩式相減可得cosA與cosC的關(guān)系式；又由的sinA與sinC的關(guān)系式；兩個(gè)關(guān)系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒(1)在△中，∵，∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．(2)在△、△中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．例15．（2021·全國(guó)·高考真題）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋裕韵蛄繛榛?，有．所以，即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，為鈍角，．(1)證明：；(2)若，，再?gòu)南旅姊佗谥羞x取一個(gè)作為條件，求的面積．①；②．注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的外角和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可求解；（2）選①，根據(jù)同角三角形的平方關(guān)系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角形的面積公式即可求解；選②，設(shè)出，根據(jù)勾股定理，得出，結(jié)合已知條件得出，利用銳角三角函數(shù)的定義，得出角，進(jìn)而得出角，再利用三角形的面積公式即可求解.(1)因?yàn)椋?，故?2)選①．因?yàn)椋栽谥?，由余弦定理可得，由正弦定理可得所以，故，在中，因?yàn)?，所以，又．選②，設(shè)，則，在中，，由（1）得，解得，即在中，則,，所以，所以．所以.例17．（2022·重慶·二模）已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).(1)證明：(2)若，，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）設(shè)，利用余弦定理求得，，再根據(jù)，化簡(jiǎn)，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，，再根據(jù)結(jié)合（1）求得，設(shè)，可求得，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.(1)證明：設(shè)，由余弦定理知：，，由是外心知，而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；(2)解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，設(shè)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，因此的最大值為.題型三：張角定理與等面積法例18．（廣東省2022屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求角的大?。?2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理實(shí)行角化邊，然后利用余弦定理即可得到答案（2）先利用三角形的面積關(guān)系解出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算答案即可(1)在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以(2)是的角平分線，，由可得因?yàn)椋?，即有，，故?9．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在中，設(shè)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且(1)求；(2)若為上的點(diǎn)，平分角，且，，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行角化邊整理得，再結(jié)合余弦定理；（2）利用等面積，整理得，再由角平分線的性質(zhì)代入計(jì)算．(1)因?yàn)?，所以由正弦定理可得：，整理?由余弦定理得：又因?yàn)樗?2)由（1）知.又因?yàn)槠椒纸牵?由得.即.又因?yàn)?，，所?再由角平分線的性質(zhì)可知：例20．（2022·遼寧·高一期中）如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的長(zhǎng)；（2）由已知可得出，結(jié)合三角形的面積公式以及已知條件可求得、的長(zhǎng)，利用余弦定理可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.(1)解：，，則，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.(2)解：由得，所以，因?yàn)?，，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以?例21．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）在中，已知.(1)求的值；(2)若是的角平分線，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出邊的長(zhǎng)，再利用正弦定理求出（2）利用三角形的面積公式及面積關(guān)系，建立關(guān)于邊的關(guān)系式求解即可得到答案(1)在中，由余弦定理整理得解得或由于，所以因?yàn)?，所以，所以由正弦定理得：，?2)設(shè)，由及三角形的面積公式可得：整理得在中，由余弦定理由得則例22．（2022·山東淄博·三模）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）應(yīng)用降冪公式及輔助角公式可得，根據(jù)相鄰的最高、最低點(diǎn)距離、勾股定理求得，即可得解析式.（2）由已知有，根據(jù)及三角形面積公式可得，再應(yīng)用余弦定理求，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．(1)因?yàn)椋O(shè)函數(shù)的周期為，由題意，即，解得，所以.(2)由得：，即，解得，因?yàn)椋?，因?yàn)榈钠椒志€交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.例23．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大?。?2)若，D為AC邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積．①BD是的平分線；②D為線段AC的中點(diǎn)．（從①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角形中角的范圍可求得；（2）若選①：利用三角形面積關(guān)系和余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可；若選②：根據(jù)中點(diǎn)的向量關(guān)系式并同時(shí)平方，結(jié)合余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可.(1)由正弦定理知：又：代入上式可得：，則故有：又，則故的大小為：(2)若選①：由BD平分得：則有：，即在中，由余弦定理可得：又，則有：聯(lián)立可得：解得：（舍去）故若選②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即聯(lián)立解得：故題型四：角平分線問(wèn)題例24．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個(gè)條件：條件①：；條件②；條件③.這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面的問(wèn)題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)條件正確，(i)；(ii).【解析】【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，即可求得B；(2)利用余弦定理即可推出條件①不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出，結(jié)合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程組即可.(1)，，，，得Z，由，得；(2)若條件①正確，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合題意，故條件①不正確，則條件②③正確；(i)由，，得，解得，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，即?ii)由正弦定理，得，即，因?yàn)槠椒?，，所以，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，又，上述兩式相除，得，解得，所?例25．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足.(1)求角；(2)角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，若，，求.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得，結(jié)合角的范圍，即可求解；（2）先由結(jié)合面積公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.(1)由正弦定理及切化弦可得，又，則，即，又，則；(2)，又，，可得，又由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去），則，可得或，又，顯然當(dāng)或12時(shí)，的值相同，不妨設(shè)，則，由正弦定理得，可得，又，可得.例26．（2022·北京八十中模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，.(1)求B的值；(2)給出以下三個(gè)條件：①；②，；③，若這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面問(wèn)題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)（i），（ii）.【解析】【分析】（1）利用和角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求B的值.（2）根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，再應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求各邊長(zhǎng)，最后由正弦定理求，由角平分線性質(zhì)求得、，再根據(jù)正弦定理求BD的長(zhǎng).(1)由題設(shè)，而，所以，故.(2)若①②正確，則，得或，所以①②有一個(gè)錯(cuò)誤條件，則③是正確條件，若②③正確，則，可得，即②為錯(cuò)誤條件；綜上，正確條件為①③，（i）由，則，即，又，可得，所以，可得，則，故，（ii）由角平分線的性質(zhì)知：且，在△中，則.例27．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，D為邊BC的中點(diǎn)，的平分線分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)證明：；(2)若，，，求DE．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）在中與中，分別運(yùn)用正弦定理可求解；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系得相關(guān)的三角函數(shù)值，再運(yùn)用直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系得相關(guān)邊長(zhǎng)，最后運(yùn)用余弦定理可求解.(1)在中，由正弦定理可知，且在中，由正弦定理可知，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，即，所以，即．(2)當(dāng)時(shí)，可知，，又因?yàn)?，且為銳角，所以，所以，，因?yàn)椋?，，，，，由余弦定理可知，可得．?8．（2022·廣東佛山·三模）設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，的平分線交于點(diǎn)，且．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用等面積法結(jié)合已知條件可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.(1)解：由及正弦定理可得，、，則，所以，，解得，所以.(2)解：因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，則，所以，所以.例29．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積為．(1)求；(2)若，的角平分線與邊相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）令，利用余弦定理可求得，求出，然后在中，利用余弦定理可求得．(1)解：由題可知，所以，由余弦定理，所以，可得，因?yàn)?，所?(2)解：不妨令，因?yàn)?，可得，，又因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，得，所以在中，由余弦定理可得，即，在中，可得，，所以，為等邊三角形，所以，在中，由余弦定理可得，得．題型五：中線問(wèn)題例30．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若邊上的中線，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和的正弦公式求解；（2）在中，由余弦定理得到，然后分別在和中，利用余弦定理結(jié)合，兩式相加得到，聯(lián)立求得c，再利用三角形面積公式求解.(1)解；因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以?2)在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，兩式相加得②，由①②得，所?例31．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中．．(1)求角；(2)若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，由此可求得；（2）利用面積橋可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得結(jié)果.(1)，；，，，解得：.(2)是中點(diǎn)，，又，解得：；在中，由余弦定理得：，，則，.例32．（2022·海南?？凇ざ＃┰谥?，角的對(duì)邊分別為已知，．(1)求；(2)若，邊的中點(diǎn)為，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及正弦定理即可求解；（1）根據(jù)已知及線段中點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可求解.(1)在中，由正弦定理，得．(2)由及，得，中，由余弦定理，得，即，解得或（舍），所以，又因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，所以即，在中，由余弦定理得，所以．例33．（2022·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)設(shè)D，E分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，已知的周長(zhǎng)為，且，若，求a．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將邊轉(zhuǎn)化成角，然后用輔助角公式，即可求解.（2）在，分別用余弦定理表示出，根據(jù)，可得邊長(zhǎng)的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)周長(zhǎng)即可求解.(1)由正弦定理，得，∵A，B，C為的內(nèi)角，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，易知，∴，即．(2)設(shè)，，則，，在中，由余弦定理，得，在中，同理有，∵，∴，即，整理得，解得或，∵，即，∴，且，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，∴．例34．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））在中，分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若．(1)求角；(2)若，，D為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理邊角互化可得，即得；（2）利用和角公式及正弦定理，然后利用余弦定理可得.(1)在中，由余弦定理知：，由正弦定理知：，得,,得：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?(2)，所以，由正弦定理知，所以，在中，由余弦定理知：，所以.例35．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若.(1)求角；(2)若，點(diǎn)在線段上，且是線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得，即得；（2）利用余弦定理可得，進(jìn)而可得，然后利用和角公式可得，即得.(1)∵，∴，即，又，∴；(2)由題可知，，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，，∴.例36．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，AC的中點(diǎn)為D，求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通過(guò)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可求角B；（2）利用中線與相鄰兩邊的向量關(guān)系式結(jié)合已知可求得BD的長(zhǎng)．(1)因?yàn)?，由正弦定理可得：，，，因?yàn)椋?，所以，?2)，兩邊平方可得，即，所以.題型六：高問(wèn)題例37．（2022·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，的面積為4，求BC邊上的高．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由余弦定理化簡(jiǎn)可得答案；（2）由三角形的面積公式可得b值，由余弦定理可得a值，結(jié)合面積公式可得高.(1)，即．，，．又，．(2)，．故由余弦定理可知．而，解得，所以BC邊上的高為．例38．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）從①為銳角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填入橫線上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC邊上的高AD為2，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【解析】【分析】（1）在三角形中，運(yùn)用正余弦定理，實(shí)現(xiàn)邊角互化即可求解.（2）根據(jù)三角形的面積公式可得的關(guān)系，在中運(yùn)用余弦定理可求出的值，然后根據(jù)邊的長(zhǎng)度用余弦定理求角，即可求解.(1)選①因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，即由正弦定理得在中，有，故由A為銳角，得選②因?yàn)閎＝2asin(C＋)，由正弦定理得即

化簡(jiǎn)得在中，有，由A為銳角得，所以，得(2)由題意得，，所以，又b＝c，所以由余弦定理，解得所以，，所以是鈍角三角形所以，所以在直角中，例39．（2022·北京房山·二模）在中，.(1)求；(2)再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理，結(jié)合內(nèi)角和與兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可；方法二：利用余弦定理化簡(jiǎn)即可（2）選①則不合題意；選②：根據(jù)則可得，再根據(jù)兩角和的正弦公式可得，再根據(jù)高計(jì)算即可；選③：根據(jù)面積公式可得，進(jìn)而用余弦定理求得，再結(jié)合面積公式求解高即可(1)方法一：在中，因?yàn)?，所以由正弦定理可?因?yàn)椋?所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因?yàn)?，由余弦定理得，整理得所以，所?(2)選條件②：由（1）知因?yàn)樵谥?，，所以又，所以所以設(shè)邊上高線的長(zhǎng)為h，則.選條件③：因?yàn)樗?，由余弦定理得所?設(shè)邊上高線的長(zhǎng)為h，則例40．（2022·山東青島·一模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，邊上的高為，求邊．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合正弦定理、余弦定理求得，由此求得.（2）結(jié)合三角形的面積公式、余弦定理求得.(1)因?yàn)?，所以，所以由正弦定理得，所以由余弦定理得，因?yàn)椋?(2)由三角形面積公式得，，所以，即，由余弦定理得，將代入上式得，解得或（舍），所以邊.例41．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，，求邊上的高.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角變換公式可求.（2）利用正弦定理及三角變換公式可得，再利用余弦定理可得，結(jié)合等積可求邊上的高.(1)由正弦定理可得，故即：，所以，而為三角形內(nèi)角，故，所以，而為三角形內(nèi)角，故.(2)因?yàn)椋?，而，即，所以，其中為三角形外接圓的半徑.所以即.所以，故，所以，其中為邊上的高，故.題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用例42．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點(diǎn)P．(1)的余弦值．(2)求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可求出邊BC的長(zhǎng)度，然后判斷出三角形ABC為等腰三角形，進(jìn)而可得中線AM的長(zhǎng)度，再由余弦定理可求出余弦值，進(jìn)而根據(jù)兩角和的余弦公式即可求解.（2）由三角形的面積公式即可求解.(1)在中，由余弦定理可知：,即故,,是等腰三角形，故在中，由余弦定理可知：即,在中，由正弦定理可知：因?yàn)闉殇J角，所以(2)由（1）知：是的重心，所以,故所以四邊形的面積為例43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）G是的重心，分別是角的對(duì)邊，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由G是的重心，得，可令，可求得，再運(yùn)用余弦定理計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)镚是的重心，所以，又，可令，解得，所以，故選：C.例44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，點(diǎn)是的重心，且，則的面積為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】邊化角可以算出A，利用三角形重心的幾何性質(zhì)和余弦定理可以求出C即可.【詳解】由題意作圖如下：設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，由題根據(jù)正弦定理可得：，由于，，，；有三角形的幾何性質(zhì)得，，又在和中分別運(yùn)用余弦定理，得，得，，解得，∴；故選：B.例45．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若的外接圓的面積為，．(1)求；(2)是角的平分線，若，的重心為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的外接圓的面積為，可得外接圓的半徑的長(zhǎng)，可得，根據(jù)正弦定理可得，利用余弦定理，可得的值，并結(jié)合的取值范圍即可得的值；（2）根據(jù)內(nèi)角的平分線定理可得，設(shè)，∴，再利用余弦定理可以求出，的值，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，根據(jù)為的重心結(jié)合平面向量的基本定理計(jì)算出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)．(1)的外接圓的面積為，可得外接圓的半徑為1，可得，由，可得，根據(jù)正弦定理可得，即，∴．∵，∴．(2)∵，∴．根據(jù)，易得，設(shè)，∴，根據(jù)余弦定理可得，解得，∴，．設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，，可得，∴，∴．題型八：外心及外接圓問(wèn)題例46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)外接圓的半徑為，由已知條件可得，即且，取的中點(diǎn)，連接可得，計(jì)算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，因?yàn)?，所以，所以，且，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋?，即，所以，在中由余弦定理可得：，在中，由正弦定理可得：，故答案為?例47．（2022·江蘇·泰興市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)為的外心，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出，再求出，得到,（1），同理得到，（2），解之即得解.【詳解】由題得,由余弦定理得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，所以,所以,（1）同理,（2）解（1）（2）得.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是找到關(guān)于的方程，其中一個(gè)是根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義得到方程，另外一個(gè)是平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算得到方程.例48．（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.從下列①②③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答.①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)選①：；選②：；選③：.【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換求得角；（2）選①，由余弦定理求得，由面積公式求得三角形面積，再結(jié)合內(nèi)切圓半徑表示三角形面積求得內(nèi)切圓半徑，即可求面積；選②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圓半徑，由圓周角定理和圓心角定理求得，直接由面積公式計(jì)算出面積；選③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性質(zhì)，即重心和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)組成的三個(gè)三角形面積相等，用三角形面積公式求解的面積即可.(1)因?yàn)?，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，則，所以，；(2)選①O為的內(nèi)心，如圖，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點(diǎn)，在中由余弦定理得，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，所以；選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，由（1），所以，在中由余弦定理得，，，．選③O為的重心，如圖，分別是各邊上的中點(diǎn)，在中由余弦定理得，，由三角形重心的性質(zhì)可得，，故.例49．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并作答．①O為的內(nèi)心；②O為的外心．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．(1)求A；(2)若，________，求的面積．【答案】(1)(2)選①，；選②，．【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換求得角；（2）選①，由余弦定理求得，由面積公式求得三角形面積，再結(jié)合內(nèi)切圓半徑表示三角形面積求得內(nèi)切圓半徑，即可求面積；選②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圓半徑，由圓周角定理和圓心角定理求得，直接由面積公式計(jì)算出面積．(1)因?yàn)?，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，則，所以，；(2)選①O為的內(nèi)心，如圖，分別是內(nèi)切圓在各邊上的切點(diǎn)，，，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，所以；選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，由（1），所以，又，，，．例50．（2022·江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列方程，化簡(jiǎn)求得的關(guān)系式，由此求得.（2）利用正弦定理求得外接圓的半徑，進(jìn)而求得外接圓的面積.【詳解】（1）依題意，由余弦定理得，，，，所以或.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.（2）若的外心在其外部，則不符合題意.當(dāng)時(shí)，，為鈍角，符合題意.，設(shè)三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以外接圓的面積為.例51．（2022·遼寧·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.(1)若，求外接圓的直徑；(2)若，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）先由輔助角公式求出，再求出，由正弦定理即可求解；（2）直接由余弦定理解出或3，再求周長(zhǎng)即可.(1)因?yàn)?，所以，則或，則（，舍去）.因?yàn)椋?設(shè)外接圓的直徑為d，由正弦定理得.(2)由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)，得，解得或3.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為.例52．（2022·四川·樹德中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知的數(shù)．(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，求外接圓的面積．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先由倍角公式化簡(jiǎn)解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的單調(diào)增區(qū)間；（2）先得出，再由正弦定理得出的外接圓半徑，進(jìn)而得出外接圓的面積．(1)，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)由（1）可知，則，又，故．設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圓的面積為．例53．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）法國(guó)著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這個(gè)三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依題意可得，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和差的余弦公式得到，再利用正弦定理將邊化角，即可得解；（2）連接?，依題意可得，，再利用面積公式得到，在和中分別利用余弦定理，即可得到，，從而求出，即可得解；(1)解：由，得，即，即即，∵，∴，由正弦定理得，∵，∴，∴，∵，∴.(2)解：如圖，連接?，則，，正面積，∴，而，則，∴中，由余弦定理得：，有，則，在中，，，由余弦定理得，則，∴，，∴，所以的周長(zhǎng)為.題型九：兩邊夾問(wèn)題例54．（2021?雙流區(qū)校級(jí)模擬）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的值是A．2 B． C． D．1【解答】解：，，，，又正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值均小于等于1，，，、、，，,，，由正弦定理可得，，故選：．例55．（2020?蘇州二模）在中，已知邊，，所對(duì)的角分別為，，，若，則．【解答】解：由正弦定理，得：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，，，，．故答案為：．例56．（2013?成都模擬）在中，若，則角．【解答】解：，，即，，，且，且．則是等腰直角三角形．故答案為：．例57．（2018?如皋市二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，設(shè)是的面積，若，則角的值是．【解答】解：中，是的面積，且，由余弦定理得，，所以，整理為：由于，所以，則，由于，故，進(jìn)一步解得．故答案為：題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問(wèn)題例58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.(1)求的大??；(2)為內(nèi)一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，________，求的面積.請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問(wèn)題.①為的外心，；②為的垂心，；③為的內(nèi)心，.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）由余弦定理得，，可得根據(jù)可得答案；（2）選①，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，為外心得，與盾，故不能選①.選②，為的垂心得，由，，得，利用，求得，可得出為等邊三角形，再由面積公式可得答案.選③，為的內(nèi)心，所以，由和正弦定理可得，結(jié)合，和面積公式可得答案；(1)在中，由余弦定理得，又因?yàn)?，，所以，整理?在中，由余弦定理得，所以，即又因?yàn)?，所?(2)選①，設(shè)的外接圓半徑為，則在中，由正弦定理得，即，因?yàn)闉橥庑?，所以，與盾，故不能選①.選②，因?yàn)闉榈拇剐模?，又，所以在中，，同理可得，又因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)樵谥校?，所以，因此，故，為方程兩根，即，因?yàn)椋?，所以，所以為等邊三角形，所?選③，因?yàn)闉榈膬?nèi)心，所以，由，得，因?yàn)?，所以，即，由?）可得，即，所以，即，又因?yàn)椋?，所?例59．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））已知ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)設(shè)M和N分別是ΔABC的重心和內(nèi)心，若MN//BC且c=2，求a的值．【答案】(1)2(2)【解析】【分析】（1）切變弦，然后整理化簡(jiǎn)可得sinB=2sinC，再利用正弦定理