2023年數(shù)學高考復習真題演練(2021-2022年高考真題)14-解三角形圖形類問題(含詳解)

專題14解三角形圖形類問題【方法技巧與總結】解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問題題型五：中線問題題型六：高問題題型七：重心性質及其應用題型八：外心及外接圓問題題型九：兩邊夾問題題型十：內心及內切圓問題【典例例題】題型一：妙用兩次正弦定理例1．（2022·全國·高三專題練習）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的取值范圍.例2．（2020·北京·北師大二附中高三期中）如圖，四邊形中，，，設.（1）若面積是面積的4倍，求；（2）若，求.例3．（江蘇省南京市寧海中學2022屆高三下學期4月模擬考試數(shù)學試題）在中，內角的對邊分別為，，點在邊上，滿足，且．(1)求證：；(2)求．例4．（廣東省2022屆高三二模數(shù)學試題）如圖，已知△ABC內有一點P，滿足．(1)證明：．(2)若，，求PC．例5．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面積；(2)若，求．例6．（2022·河南安陽·模擬預測（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．(1)若，求的面積；(2)若，求BC．例7．（2019·安徽省懷遠第一中學高三階段練習（理））的內角的對邊分別為，設.（1）求；（2）若為邊上的點，為上的點，，.求．例8．（2022·山東煙臺·一模）如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．例9．（2022·全國·高三專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.例10．（2022·福建·廈門一中高一階段練習）在平面四邊形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面積為，求AC；(2)若，，求.例11．（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，.(1)當，時，求的面積；(2)當，時，求.題型二：兩角使用余弦定理例12．（2022·湖北·襄陽四中模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點D.(1)證明：，；(2)若，，求的最小值.例13．（2022·湖北武漢·二模）如圖，內一點滿足.(1)若，求的值；(2)若，求的長.例14．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學高一階段練習）如圖，在凸四邊形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值．例15．（2021·全國·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.例16．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在中，D是AC邊上一點，為鈍角，．(1)證明：；(2)若，，再從下面①②中選取一個作為條件，求的面積．①；②．注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．例17．（2022·重慶·二模）已知的外心為，為線段上的兩點，且恰為中點.(1)證明：(2)若，，求的最大值.題型三：張角定理與等面積法例18．（廣東省2022屆高三三模數(shù)學試題）已知△ABC中，分別為內角的對邊，且.(1)求角的大??；(2)設點為上一點，是的角平分線，且，，求的面積.例19．（2022·湖北武漢·模擬預測）在中，設角，，所對的邊分別為，，，且(1)求；(2)若為上的點，平分角，且，，求.例20．（2022·遼寧·高一期中）如圖，在中，，，且點在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．例21．（2022·江蘇·華羅庚中學三模）在中，已知.(1)求的值；(2)若是的角平分線，求的長．例22．（2022·山東淄博·三模）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點和最低點間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記的內角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．例23．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．①BD是的平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）．題型四：角平分線問題例24．（2022·北京·首都師范大學附屬中學三模）已知的內角的對邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個條件：條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.例25．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）在中，內角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.(1)求角；(2)角的內角平分線交于點，若，，求.例26．（2022·北京八十中模擬預測）在△ABC中，.(1)求B的值；(2)給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長.例27．（2022·河南·模擬預測（理））如圖，在中，D為邊BC的中點，的平分線分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點．(1)證明：；(2)若，，，求DE．例28．（2022·廣東佛山·三模）設的內角、、的對邊分別為、、，已知，的平分線交于點，且．(1)求；(2)若，求．例29．（2022·山東濰坊·模擬預測）已知的內角、、的對邊分別為、、，且的面積為．(1)求；(2)若，的角平分線與邊相交于點，延長至點，使得，求．題型五：中線問題例30．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大??；(2)若邊上的中線，求的面積.例31．（2022·全國·模擬預測）在中．．(1)求角；(2)若，點是線段的中點，于點，且，求的長．例32．（2022·海南?？凇ざ＃┰谥?，角的對邊分別為已知，．(1)求；(2)若，邊的中點為，求．例33．（2022·山東·煙臺二中模擬預測）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)設D，E分別為邊AB，BC的中點，已知的周長為，且，若，求a．例34．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））在中，分別為三個內角的對邊，若．(1)求角；(2)若，，D為的中點，求的長度．例35．（2022·湖北·模擬預測）記的內角的對邊分別為，若.(1)求角；(2)若，點在線段上，且是線段中點，與交于點，求.例36．（2022·陜西·交大附中模擬預測（理））設的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，AC的中點為D，求BD的長．題型六：高問題例37．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，的面積為4，求BC邊上的高．例38．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）從①為銳角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)這兩個條件中任選一個，填入橫線上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC邊上的高AD為2，求CD的長．例39．（2022·北京房山·二模）在中，.(1)求；(2)再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.例40．（2022·山東青島·一模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，邊上的高為，求邊．例41．（2022·福建·模擬預測）已知的內角，，的對邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，，求邊上的高.題型七：重心性質及其應用例42．（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點P．(1)的余弦值．(2)求四邊形的面積.例43．（2022·全國·高三專題練習）G是的重心，分別是角的對邊，若，則（

）A． B． C． D．例44．（2022·全國·高三專題練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，且，，點是的重心，且，則的面積為（

）A． B． C．3 D．例45．（2022·全國·模擬預測）在中，內角，，所對的邊分別為，，，若的外接圓的面積為，．(1)求；(2)是角的平分線，若，的重心為，求的長．題型八：外心及外接圓問題例46．（2022·全國·高三專題練習）設為的外心，若，則的值為___________.例47．（2022·江蘇·泰興市第一高級中學高三階段練習）在中，，，，點為的外心，若，則（

）A． B． C． D．例48．（2022·廣東·模擬預測）的內角的對邊分別為，且.從下列①②③這三個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答.①為的內心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.例49．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答．①O為的內心；②O為的外心．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．(1)求A；(2)若，________，求的面積．例50．（2022·江蘇省白蒲高級中學高三階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.例51．（2022·遼寧·三模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，.(1)若，求外接圓的直徑；(2)若，求的周長.例52．（2022·四川·樹德中學模擬預測（理））已知的數(shù)．(1)求的單調增區(qū)間；(2)設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求外接圓的面積．例53．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在中，內角，，的對邊分別為，，，已知.以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.題型九：兩邊夾問題例54．（2021?雙流區(qū)校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的值是A．2 B． C． D．1例55．（2020?蘇州二模）在中，已知邊，，所對的角分別為，，，若，則．例56．（2013?成都模擬）在中，若，則角．例57．（2018?如皋市二模）在中，角、、的對邊分別為，，，設是的面積，若，則角的值是．題型十：內心及內切圓問題例58．（2022·全國·高三專題練習）的內角，，所對的邊分別為，，.(1)求的大??；(2)為內一點，的延長線交于點，________，求的面積.請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使存在，并解決問題.①為的外心，；②為的垂心，；③為的內心，.例59．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））已知ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)設M和N分別是ΔABC的重心和內心，若MN//BC且c=2，求a的值．例60．（2022·全國·高三專題練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A為銳角，，，再從條件①：，條件②：，這兩個條件中選擇一個作為已知.求：(1)角A；(2)的內切圓半徑r.例61．（2022·陜西·武功縣普集高級中學一模（文））在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，且．(1)求角和邊的大??；(2)求△的內切圓半徑．例62．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在中，是上一點，平分.(1)求證：；(2)若，，，求的內切圓面積.例63．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））在中，分別為角的對邊，且.（1）求角；（2）若的內切圓面積為，求面積的最小值.例64．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的對稱軸；對稱中心；單調遞增區(qū)間；（2）在中，分別是所對的邊，當時，求內切圓面積的最大值.例65．（2022·河南南陽·高三期末（理））在中，.(1)求A；(2)若的內切圓半徑，求的最小值.例66．（2022·陜西·模擬預測（文））已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且，設O為的內心，則的面積為_________．例67．（2022·全國·高三專題練習）已知點O是ABC的內心，若，則cos∠BAC=（

）A． B． C． D．

專題14解三角形圖形類問題【方法技巧與總結】解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.【題型歸納目錄】題型一：妙用兩次正弦定理題型二：兩角使用余弦定理題型三：張角定理與等面積法題型四：角平分線問題題型五：中線問題題型六：高問題題型七：重心性質及其應用題型八：外心及外接圓問題題型九：兩邊夾問題題型十：內心及內切圓問題【典例例題】題型一：妙用兩次正弦定理例1．（2022·全國·高三專題練習）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.在中，角，，的對邊分別為，，且______，作，使得四邊形滿足，，求的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，選擇①②③求得，設，則，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得可得，結合和三角函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，即，即，可得，因為，所以，設，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因為，可得，當時，即，可得，當時，即，可得，所以的取值范圍是.選②：由，根據(jù)正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因為，所以，設，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因為，可得，當時，即，可得，當時，即，可得，所以的取值范圍是.若選③：由，可得，即，可得，因為，所以，設，則，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因為，可得，當時，即，可得，當時，即，可得，所以的取值范圍是.例2．（2020·北京·北師大二附中高三期中）如圖，四邊形中，，，設.（1）若面積是面積的4倍，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設AC＝a，可求ABa，AD＝asinθ，CD＝acosθ，由題意S△ABC＝4S△ACD，利用三角形的面積公式即可求解；（2）在△ABD中，△BCD中，分別應用正弦定理，聯(lián)立可得2sin（θ）＝3sinθ，利用兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關系式即可求解．【詳解】（1）設，則，，，由題意，則，所以.（2）由正弦定理，中，，即①中，，即②①÷②得：，化簡得，所以.例3．（江蘇省南京市寧海中學2022屆高三下學期4月模擬考試數(shù)學試題）在中，內角的對邊分別為，，點在邊上，滿足，且．(1)求證：；(2)求．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）分別在和中利用正弦定理表示出，，代入已知等式化簡整理即可得到結果；（2）根據(jù)，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，進而得到，代入中即可求得結果.(1)，，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；又，，即，.(2)在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，則，，，即；.例4．（廣東省2022屆高三二模數(shù)學試題）如圖，已知△ABC內有一點P，滿足．(1)證明：．(2)若，，求PC．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得，即，即要證明即可，由此利用三角形內角和證明可得結論；（2）由題意求得，繼而求得，在中利用余弦定理求得，即可求得答案.(1)證明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要證明，只需證明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．(2)由（1）知，又因為，，所以，由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以，則，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由題意知，故解得，所以．例5．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面積；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)中，利用含的余弦定理表達式建立BC的方程，求出BC而得面積，再利用面積關系求的面積得解；(2)由題設中角的信息用表示出與中的相關角，再在這兩個三角形中利用正弦定理建立兩個方程，聯(lián)立整理得的方程，解之即得.【詳解】(1)設，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，則的面積，梯形中，，與等高，且，所以的面積，則梯形的面積；(2)在梯形中，設，而，則，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，兩式相除得：，整理得，即解得或，因為，則，即．例6．（2022·河南安陽·模擬預測（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，，，．(1)若，求的面積；(2)若，求BC．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)求得，再結合求解即可（2）設，再在中利用正弦定理得出關于的方程，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡求解即可(1)由可得，又故，故(2)設，則，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化簡得，即，利用降冪公式有，利用輔助角公式有，故，利用誘導公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故例7．（2019·安徽省懷遠第一中學高三階段練習（理））的內角的對邊分別為，設.（1）求；（2）若為邊上的點，為上的點，，.求．【答案】(1)；(2)2【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊角互化，利用余弦定理即可求解；（2）設，將三角形中其余角用表示出來，結合，表示邊長，即可解出.【詳解】（1）由，得，即∴；（2）令，則在中，由正弦定理得：，即在中，由正切定義：在中，由正切定義：，∴例8．（2022·山東煙臺·一模）如圖，四邊形ABCD中，．(1)若，求△ABC的面積；(2)若，，，求∠ACB的值．【答案】(1)(2)∠ACB=【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求得角，利用正弦定理去求△ABC的面積；（2）利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB的值．(1)在△ABC中，，因為，所以．．(2)設，則，，．在△ACD中，由，得．在△ABC中，由，得．聯(lián)立上式，并由得，整理得，所以，因為，所以，所以，解得，即∠ACB的值為．例9．（2022·全國·高三專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）選擇①，由正弦定理及角度關系推出及，結合兩角和的正弦公式及誘導公式，進行證明；選擇②，利用正弦定理推導出，直接利用兩角和的正弦公式及誘導公式即可推出結論；選擇③，由正弦定理，面積公式及面積的倍數(shù)關系得到，，使用兩角和的正弦公式及誘導公式進行證明；（2）在證明出第一問的基礎上，設出邊長，利用余弦定理求出的長及角的正弦值，進而利用面積公式進行求解.(1)方案一：選條件①.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以.因為，，所以，即，所以，所以.方案二：選條件②.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因為，所以，因為，所以.因為，所以.因為，，，所以，即，所以，所以.方案三：選條件③.因為，，且，，所以在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因為，所以，因為，所以，因為，所以.因為，，所以，即，所以，所以.(2)選擇①②③，答案均相同，由（1）可設，則，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因為，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以四邊形ABCD的面積.例10．（2022·福建·廈門一中高一階段練習）在平面四邊形ABCD中，，，.(1)若△ABC的面積為，求AC；(2)若，，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）應用三角形面積公式有，可求，由余弦定理即可求；（2）設，在中，在△中應用正弦定理有，即可求，得解.(1)在△中，，，∴，可得，在△中，由余弦定理得，.(2)設，則，在中，，易知：，在△中，由正弦定理得，即，，可得，即.例11．（2022·湖北武漢·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，.(1)當，時，求的面積；(2)當，時，求.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，，再利用誘導公式、三角形面積公式計算作答.（2）在和中用正弦定理求出AC，再借助同角公式求解作答.(1)當時，在中，由余弦定理得，即，解得，，因為，則，又，所以的面積是.(2)在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，則，整理得，而，為銳角，所以.題型二：兩角使用余弦定理例12．（2022·湖北·襄陽四中模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A的平分線AD交BC邊于點D.(1)證明：，；(2)若，，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，，由正弦定理得到，，兩式相除得到，進而得到，，根據(jù)余弦定理，并代入化簡，即可求解.（2）根據(jù)，得到，結合基本不等式求得，進而求得，即可求解.(1)解：在和中，可得，，所以，，由正弦定理，得，，兩式相除得，可得，，又由，根據(jù)余弦定理得所以代入可得.(2)解：由，及，可得根據(jù)基本不等式得，解得，當且僅當時等號成立，又由，，可得，所以的最小值是3.例13．（2022·湖北武漢·二模）如圖，內一點滿足.(1)若，求的值；(2)若，求的長.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用余弦定理求出，利用同角三角函數(shù)基本關系式求出，最后利用兩角差的正弦公式計算即可（2）設，在與采用余弦定理與正弦定理，然后利用與的關系列出關于的方程，解出即可(1)，此時.在中，，又，故所以(2)設，在中，.在中，，代入得：.又，故.即，解得：，所以.例14．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學高一階段練習）如圖，在凸四邊形中，已知．(1)若，，求的值；(2)若，四邊形的面積為4，求的值．【答案】(1)；(2)﹒【解析】【分析】(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根據(jù)即可求；(2)在△、△中，分別由余弦定理求出，兩式相減可得cosA與cosC的關系式；又由的sinA與sinC的關系式；兩個關系式平方后相加即可求出cos(A＋C)﹒(1)在△中，∵，∴．在△中，由正弦定理得，，∴．∵，∴，∴．(2)在△、△中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，∴．例15．（2021·全國·高考真題）記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關系有，結合已知即可證結論.（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構造輔助線利用相似的性質如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．例16．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在中，D是AC邊上一點，為鈍角，．(1)證明：；(2)若，，再從下面①②中選取一個作為條件，求的面積．①；②．注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的外角和性質及誘導公式即可求解；（2）選①，根據(jù)同角三角形的平方關系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及銳角三角函數(shù)的定義，結合三角形的面積公式即可求解；選②，設出，根據(jù)勾股定理，得出，結合已知條件得出，利用銳角三角函數(shù)的定義，得出角，進而得出角，再利用三角形的面積公式即可求解.(1)因為，所以，故；(2)選①．因為，所以在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得所以，故，在中，因為，所以，又．選②，設，則，在中，，由（1）得，解得，即在中，則,，所以，所以．所以.例17．（2022·重慶·二模）已知的外心為，為線段上的兩點，且恰為中點.(1)證明：(2)若，，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）設，利用余弦定理求得，，再根據(jù)，化簡，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，，再根據(jù)結合（1）求得，設，可求得，再根據(jù)三角形的面積公式結合基本不等式即可得出答案.(1)證明：設，由余弦定理知：，，由是外心知，而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；(2)解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，設，則，因此，當且僅當時取到等號，因此的最大值為.題型三：張角定理與等面積法例18．（廣東省2022屆高三三模數(shù)學試題）已知△ABC中，分別為內角的對邊，且.(1)求角的大小；(2)設點為上一點，是的角平分線，且，，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理實行角化邊，然后利用余弦定理即可得到答案（2）先利用三角形的面積關系解出，再根據(jù)三角形面積公式計算答案即可(1)在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以(2)是的角平分線，，由可得因為，，即有，，故例19．（2022·湖北武漢·模擬預測）在中，設角，，所對的邊分別為，，，且(1)求；(2)若為上的點，平分角，且，，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行角化邊整理得，再結合余弦定理；（2）利用等面積，整理得，再由角平分線的性質代入計算．(1)因為，所以由正弦定理可得：，整理得.由余弦定理得：又因為所以(2)由（1）知.又因為平分角，所以.由得.即.又因為，，所以.再由角平分線的性質可知：例20．（2022·遼寧·高一期中）如圖，在中，，，且點在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的長；（2）由已知可得出，結合三角形的面積公式以及已知條件可求得、的長，利用余弦定理可求得的長，進而可求得的長，再利用三角形的面積公式可求得結果.(1)解：，，則，，解得，，，，在中，由正弦定理可知得.(2)解：由得，所以，因為，，所以，，在中，由余弦定理得，即，得，所以，.例21．（2022·江蘇·華羅庚中學三模）在中，已知.(1)求的值；(2)若是的角平分線，求的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出邊的長，再利用正弦定理求出（2）利用三角形的面積公式及面積關系，建立關于邊的關系式求解即可得到答案(1)在中，由余弦定理整理得解得或由于，所以因為，所以，所以由正弦定理得：，故(2)設，由及三角形的面積公式可得：整理得在中，由余弦定理由得則例22．（2022·山東淄博·三模）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點和最低點間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記的內角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）應用降冪公式及輔助角公式可得，根據(jù)相鄰的最高、最低點距離、勾股定理求得，即可得解析式.（2）由已知有，根據(jù)及三角形面積公式可得，再應用余弦定理求，進而可得的長．(1)因為，設函數(shù)的周期為，由題意，即，解得，所以.(2)由得：，即，解得，因為，所以，因為的平分線交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.例23．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．①BD是的平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡，再根據(jù)三角形中角的范圍可求得；（2）若選①：利用三角形面積關系和余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可；若選②：根據(jù)中點的向量關系式并同時平方，結合余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可.(1)由正弦定理知：又：代入上式可得：，則故有：又，則故的大小為：(2)若選①：由BD平分得：則有：，即在中，由余弦定理可得：又，則有：聯(lián)立可得：解得：（舍去）故若選②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即聯(lián)立解得：故題型四：角平分線問題例24．（2022·北京·首都師范大學附屬中學三模）已知的內角的對邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個條件：條件①：；條件②；條件③.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.【答案】(1)；(2)條件正確，(i)；(ii).【解析】【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡計算可得，即可求得B；(2)利用余弦定理即可推出條件①不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出，結合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程組即可.(1)，，，，得Z，由，得；(2)若條件①正確，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合題意，故條件①不正確，則條件②③正確；(i)由，，得，解得，由余弦定理，得，因為，所以，由正弦定理，得，即；(ii)由正弦定理，得，即，因為平方，，所以，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，又，上述兩式相除，得，解得，所以.例25．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）在中，內角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.(1)求角；(2)角的內角平分線交于點，若，，求.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得，結合角的范圍，即可求解；（2）先由結合面積公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.(1)由正弦定理及切化弦可得，又，則，即，又，則；(2)，又，，可得，又由余弦定理得，解得（負值舍去），則，可得或，又，顯然當或12時，的值相同，不妨設，則，由正弦定理得，可得，又，可得.例26．（2022·北京八十中模擬預測）在△ABC中，.(1)求B的值；(2)給出以下三個條件：①；②，；③，若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分線BD的長.【答案】(1)；(2)（i），（ii）.【解析】【分析】（1）利用和角正弦公式可得，結合三角形內角和性質即可求B的值.（2）根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，再應用余弦定理、三角形面積公式求各邊長，最后由正弦定理求，由角平分線性質求得、，再根據(jù)正弦定理求BD的長.(1)由題設，而，所以，故.(2)若①②正確，則，得或，所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，若②③正確，則，可得，即②為錯誤條件；綜上，正確條件為①③，（i）由，則，即，又，可得，所以，可得，則，故，（ii）由角平分線的性質知：且，在△中，則.例27．（2022·河南·模擬預測（理））如圖，在中，D為邊BC的中點，的平分線分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點．(1)證明：；(2)若，，，求DE．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）在中與中，分別運用正弦定理可求解；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關系及商數(shù)關系得相關的三角函數(shù)值，再運用直角三角形中的三角函數(shù)關系得相關邊長，最后運用余弦定理可求解.(1)在中，由正弦定理可知，且在中，由正弦定理可知，因為D為BC中點，即，所以，即．(2)當時，可知，，又因為，且為銳角，所以，所以，，因為，所以，，，，，由余弦定理可知，可得．例28．（2022·廣東佛山·三模）設的內角、、的對邊分別為、、，已知，的平分線交于點，且．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用等面積法結合已知條件可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.(1)解：由及正弦定理可得，、，則，所以，，解得，所以.(2)解：因為，即，所以，因為，則，所以，所以.例29．（2022·山東濰坊·模擬預測）已知的內角、、的對邊分別為、、，且的面積為．(1)求；(2)若，的角平分線與邊相交于點，延長至點，使得，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理結合三角形的面積公式可求得的值，結合角的取值范圍可求得角的值；（2）令，利用余弦定理可求得，求出，然后在中，利用余弦定理可求得．(1)解：由題可知，所以，由余弦定理，所以，可得，因為，所以.(2)解：不妨令，因為，可得，，又因為為的角平分線，所以，，得，所以在中，由余弦定理可得，即，在中，可得，，所以，為等邊三角形，所以，在中，由余弦定理可得，得．題型五：中線問題例30．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若邊上的中線，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉化為，再利用兩角和的正弦公式求解；（2）在中，由余弦定理得到，然后分別在和中，利用余弦定理結合，兩式相加得到，聯(lián)立求得c，再利用三角形面積公式求解.(1)解；因為，所以，所以，即，因為，所以，所以；(2)在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，兩式相加得②，由①②得，所以.例31．（2022·全國·模擬預測）在中．．(1)求角；(2)若，點是線段的中點，于點，且，求的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡可得，由此可求得；（2）利用面積橋可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得結果.(1)，；，，，解得：.(2)是中點，，又，解得：；在中，由余弦定理得：，，則，.例32．（2022·海南海口·二模）在中，角的對邊分別為已知，．(1)求；(2)若，邊的中點為，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及正弦定理即可求解；（1）根據(jù)已知及線段中點的關系，結合余弦定理即可求解.(1)在中，由正弦定理，得．(2)由及，得，中，由余弦定理，得，即，解得或（舍），所以，又因為邊的中點為，所以即，在中，由余弦定理得，所以．例33．（2022·山東·煙臺二中模擬預測）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)設D，E分別為邊AB，BC的中點，已知的周長為，且，若，求a．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將邊轉化成角，然后用輔助角公式，即可求解.（2）在，分別用余弦定理表示出，根據(jù)，可得邊長的關系，進而根據(jù)周長即可求解.(1)由正弦定理，得，∵A，B，C為的內角，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，易知，∴，即．(2)設，，則，，在中，由余弦定理，得，在中，同理有，∵，∴，即，整理得，解得或，∵，即，∴，且，∵的周長為，∴，∴，∴．例34．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））在中，分別為三個內角的對邊，若．(1)求角；(2)若，，D為的中點，求的長度．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理邊角互化可得，即得；（2）利用和角公式及正弦定理，然后利用余弦定理可得.(1)在中，由余弦定理知：，由正弦定理知：，得,,得：，因為，所以，又因為.(2)，所以，由正弦定理知，所以，在中，由余弦定理知：，所以.例35．（2022·湖北·模擬預測）記的內角的對邊分別為，若.(1)求角；(2)若，點在線段上，且是線段中點，與交于點，求.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得，即得；（2）利用余弦定理可得，進而可得，然后利用和角公式可得，即得.(1)∵，∴，即，又，∴；(2)由題可知，，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，，∴.例36．（2022·陜西·交大附中模擬預測（理））設的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，AC的中點為D，求BD的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通過正弦定理邊角互化，結合三角恒等變換可求角B；（2）利用中線與相鄰兩邊的向量關系式結合已知可求得BD的長．(1)因為，由正弦定理可得：，，，因為，所以，所以，又(2)，兩邊平方可得，即，所以.題型六：高問題例37．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)若，的面積為4，求BC邊上的高．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由余弦定理化簡可得答案；（2）由三角形的面積公式可得b值，由余弦定理可得a值，結合面積公式可得高.(1)，即．，，．又，．(2)，．故由余弦定理可知．而，解得，所以BC邊上的高為．例38．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）從①為銳角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)這兩個條件中任選一個，填入橫線上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC邊上的高AD為2，求CD的長．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【解析】【分析】（1）在三角形中，運用正余弦定理，實現(xiàn)邊角互化即可求解.（2）根據(jù)三角形的面積公式可得的關系，在中運用余弦定理可求出的值，然后根據(jù)邊的長度用余弦定理求角，即可求解.(1)選①因為，所以，由余弦定理得，，所以，即由正弦定理得在中，有，故由A為銳角，得選②因為b＝2asin(C＋)，由正弦定理得即

化簡得在中，有，由A為銳角得，所以，得(2)由題意得，，所以，又b＝c，所以由余弦定理，解得所以，，所以是鈍角三角形所以，所以在直角中，例39．（2022·北京房山·二模）在中，.(1)求；(2)再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理，結合內角和與兩角和的正弦公式化簡即可；方法二：利用余弦定理化簡即可（2）選①則不合題意；選②：根據(jù)則可得，再根據(jù)兩角和的正弦公式可得，再根據(jù)高計算即可；選③：根據(jù)面積公式可得，進而用余弦定理求得，再結合面積公式求解高即可(1)方法一：在中，因為，所以由正弦定理可得.因為，所以.所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因為，由余弦定理得，整理得所以，所以.(2)選條件②：由（1）知因為在中，，所以又，所以所以設邊上高線的長為h，則.選條件③：因為所以，由余弦定理得所以.設邊上高線的長為h，則例40．（2022·山東青島·一模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，邊上的高為，求邊．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結合正弦定理、余弦定理求得，由此求得.（2）結合三角形的面積公式、余弦定理求得.(1)因為，所以，所以由正弦定理得，所以由余弦定理得，因為，所以.(2)由三角形面積公式得，，所以，即，由余弦定理得，將代入上式得，解得或（舍），所以邊.例41．（2022·福建·模擬預測）已知的內角，，的對邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，，求邊上的高.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角變換公式可求.（2）利用正弦定理及三角變換公式可得，再利用余弦定理可得，結合等積可求邊上的高.(1)由正弦定理可得，故即：，所以，而為三角形內角，故，所以，而為三角形內角，故.(2)因為，所以，而，即，所以，其中為三角形外接圓的半徑.所以即.所以，故，所以，其中為邊上的高，故.題型七：重心性質及其應用例42．（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點P．(1)的余弦值．(2)求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理可求出邊BC的長度，然后判斷出三角形ABC為等腰三角形，進而可得中線AM的長度，再由余弦定理可求出余弦值，進而根據(jù)兩角和的余弦公式即可求解.（2）由三角形的面積公式即可求解.(1)在中，由余弦定理可知：,即故,,是等腰三角形，故在中，由余弦定理可知：即,在中，由正弦定理可知：因為為銳角，所以(2)由（1）知：是的重心，所以,故所以四邊形的面積為例43．（2022·全國·高三專題練習）G是的重心，分別是角的對邊，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由G是的重心，得，可令，可求得，再運用余弦定理計算可得選項.【詳解】因為G是的重心，所以，又，可令，解得，所以，故選：C.例44．（2022·全國·高三專題練習）已知的內角，，的對邊分別為，，，且，，點是的重心，且，則的面積為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】邊化角可以算出A，利用三角形重心的幾何性質和余弦定理可以求出C即可.【詳解】由題意作圖如下：設BC邊的中點為D，由題根據(jù)正弦定理可得：，由于，，，；有三角形的幾何性質得，，又在和中分別運用余弦定理，得，得，，解得，∴；故選：B.例45．（2022·全國·模擬預測）在中，內角，，所對的邊分別為，，，若的外接圓的面積為，．(1)求；(2)是角的平分線，若，的重心為，求的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的外接圓的面積為，可得外接圓的半徑的長，可得，根據(jù)正弦定理可得，利用余弦定理，可得的值，并結合的取值范圍即可得的值；（2）根據(jù)內角的平分線定理可得，設，∴，再利用余弦定理可以求出，的值，設為的中點，連接，根據(jù)為的重心結合平面向量的基本定理計算出的長，從而求出的長．(1)的外接圓的面積為，可得外接圓的半徑為1，可得，由，可得，根據(jù)正弦定理可得，即，∴．∵，∴．(2)∵，∴．根據(jù)，易得，設，∴，根據(jù)余弦定理可得，解得，∴，．設為的中點，連接，，，可得，∴，∴．題型八：外心及外接圓問題例46．（2022·全國·高三專題練習）設為的外心，若，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】設外接圓的半徑為，由已知條件可得，即且，取的中點，連接可得，計算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.【詳解】設外接圓的半徑為，因為，所以，所以，且，取的中點，連接，則，因為，所以，即，所以，在中由余弦定理可得：，在中，由正弦定理可得：，故答案為：.例47．（2022·江蘇·泰興市第一高級中學高三階段練習）在中，，，，點為的外心，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出，再求出，得到,（1），同理得到，（2），解之即得解.【詳解】由題得,由余弦定理得，所以，因為點為的外心，所以,所以,（1）同理,（2）解（1）（2）得.故選：C【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是找到關于的方程，其中一個是根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義得到方程，另外一個是平面向量的線性運算和數(shù)量積的運算得到方程.例48．（2022·廣東·模擬預測）的內角的對邊分別為，且.從下列①②③這三個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答.①為的內心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)選①：；選②：；選③：.【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換求得角；（2）選①，由余弦定理求得，由面積公式求得三角形面積，再結合內切圓半徑表示三角形面積求得內切圓半徑，即可求面積；選②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圓半徑，由圓周角定理和圓心角定理求得，直接由面積公式計算出面積；選③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性質，即重心和三角形的三個頂點組成的三個三角形面積相等，用三角形面積公式求解的面積即可.(1)因為，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，則，所以，；(2)選①O為的內心，如圖，分別是內切圓在各邊上的切點，在中由余弦定理得，，設內切圓半徑為，則，，所以；選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，由（1），所以，在中由余弦定理得，，，．選③O為的重心，如圖，分別是各邊上的中點，在中由余弦定理得，，由三角形重心的性質可得，，故.例49．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．從下列①②這兩個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答．①O為的內心；②O為的外心．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．(1)求A；(2)若，________，求的面積．【答案】(1)(2)選①，；選②，．【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換求得角；（2）選①，由余弦定理求得，由面積公式求得三角形面積，再結合內切圓半徑表示三角形面積求得內切圓半徑，即可求面積；選②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圓半徑，由圓周角定理和圓心角定理求得，直接由面積公式計算出面積．(1)因為，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，則，所以，；(2)選①O為的內心，如圖，分別是內切圓在各邊上的切點，，，設內切圓半徑為，則，，所以；選②O為的外心，在外部，如圖，外接圓上，由（1），所以，又，，，．例50．（2022·江蘇省白蒲高級中學高三階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列方程，化簡求得的關系式，由此求得.（2）利用正弦定理求得外接圓的半徑，進而求得外接圓的面積.【詳解】（1）依題意，由余弦定理得，，，，所以或.當時，.當時，.（2）若的外心在其外部，則不符合題意.當時，，為鈍角，符合題意.，設三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以外接圓的面積為.例51．（2022·遼寧·三模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，.(1)若，求外接圓的直徑；(2)若，求的周長.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）先由輔助角公式求出，再求出，由正弦定理即可求解；（2）直接由余弦定理解出或3，再求周長即可.(1)因為，所以，則或，則（，舍去）.因為，所以.設外接圓的直徑為d，由正弦定理得.(2)由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)，得，解得或3.當時，的周長為；當時，的周長為.例52．（2022·四川·樹德中學模擬預測（理））已知的數(shù)．(1)求的單調增區(qū)間；(2)設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求外接圓的面積．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先由倍角公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的性質得出的單調增區(qū)間；（2）先得出，再由正弦定理得出的外接圓半徑，進而得出外接圓的面積．(1)，令，解得，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為．(2)由（1）可知，則，又，故．設的外接圓半徑為R，由正弦定理可得，，∴，故的外接圓的面積為．例53．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在中，內角，，的對邊分別為，，，已知.以，，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依題意可得，再利用誘導公式及兩角和差的余弦公式得到，再利用正弦定理將邊化角，即可得解；（2）連接?，依題意可得，，再利用面積公式得到，在和中分別利用余弦定理，即可得到，，從而求出，即可得解；(1)解：由，得，即，即即，∵，∴，由正弦定理得，∵，∴，∴，∵，∴.(2)解：如圖，連接?，則，，正面積，∴，而，則，∴中，由余弦定理得：，有，則，在中，，，由余弦定理得，則，∴，，∴，所以的周長為.題型九：兩邊夾問題例54．（2021?雙流區(qū)校級模擬）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的值是A．2 B． C． D．1【解答】解：，，，，又正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值均小于等于1，，，、、，，,，，由正弦定理可得，，故選：．例55．（2020?蘇州二模）在中，已知邊，，所對的角分別為，，，若，則．【解答】解：由正弦定理，得：，，，，當且僅當時，等號成立，，，，，．故答案為：．例56．（2013?成都模擬）在中，若，則角．【解答】解：，，即，，，且，且．則是等腰直角三角形．故答案為：．例57．（2018?如皋市二模）在中，角、、的對邊分別為，，，設是的面積，若，則角的值是．【解答】解：中，是的面積，且，由余弦定理得，，所以，整理為：由于，所以，則，由于，故，進一步解得．故答案為：題型十：內心及內切圓問題例58．（2022·全國·高三專題練習）的內角，，所對的邊分別為，，.(1)求的大小；(2)為內一點，的延長線交于點，________，求的面積.請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使存在，并解決問題.①為的外心，；②為的垂心，；③為的內心，.【答案】(1)(2)答案見解析【解析】【分析】（1）由余弦定理得，，可得根據(jù)可得答案；（2）選①，設的外接圓半徑為，由正弦定理得，為外心得，與盾，故不能選①.選②，為的垂心得，由，，得，利用，求得，可得出為等邊三角形，再由面積公式可得答案.選③，為的內心，所以，由和正弦定理可得，結合，和面積公式可得答案；(1)在中，由余弦定理得，又因為，，所以，整理得.在中，由余弦定理得，所以，即又因為，所以.(2)選①，設的外接圓半徑為，則在中，由正弦定理得，即，因為為外心，所以，與盾，故不能選①.選②，因為為的垂心，所以，又，所以在中，，同理可得，又因為，所以，即，又因為在中，，所以，因此，故，為方程兩根，即，因為，，所以，所以為等邊三角形，所以.選③，因為為的內心，所以，由，得，因為，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因為，所以，所以.例59．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））已知ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)設M和N分別是ΔABC的重心和內心，若MN//BC且c=2，求a的值．【答案】(1)2(2)【解析】【分析】（1）切變弦，然后整理化簡可得sinB=2sinC，再利用正弦定理