專題1.7三角形的證明全章十二類必考?jí)狠S題（北師大版）（原卷版）

專題1.7三角形的證明全章十二類必考?jí)狠S題【北師大版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1等腰三角形的存在性問題1．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)茂名市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b(b≠0)的圖象經(jīng)過A(?1,0)，B(0,2)，D三點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上方，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC=5OA，連接BC，CD，已知(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在線段AD，CD上分別取點(diǎn)M，N，使得MN∥x軸，在x軸上取一點(diǎn)P，連接MN，NP，MP，2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A?B?C?A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒t>0(1)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=______；(2)當(dāng)點(diǎn)P到邊AB、AC的距離相等時(shí)，求此時(shí)t的值；(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在t的值，使得△ACP為等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射線BC，AD是腰BC的高線，E是△ABC外射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE．(1)當(dāng)AD=4，BC=5時(shí)，求CD的長；(2)當(dāng)BC=CE時(shí)；求證：AE⊥AB；(3)設(shè)△ACD的面積為S1，△ACE的面積為S2，且S1S2=184．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、D分別在y軸、x軸上，點(diǎn)A?a，b，Cb，a，且a，b滿足3a?b2+b?6(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)如圖2，連接AC，BD交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為(3)若OC=210，在x軸上存在點(diǎn)F，使△COF是以CO為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出F5．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Aa,0、B0,b，且a、b滿足：a?1=?b2+6b?9，點(diǎn)A、C關(guān)于(1)求點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若BC⊥CD，BA⊥EA，且BD=BE，連接ED交x軸于點(diǎn)M，求證：DM=ME；(3)如圖2，若BC⊥CD，且BC=CD，直線BC上存在某點(diǎn)Gm,3m+3，使△DFG為等腰直角三角形(點(diǎn)D、F，G按逆時(shí)針方向排列)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2等腰三角形與勾股定理、全等綜合1．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為邊在AB上方作等邊△ABD，以BC為邊在BC右側(cè)作等邊△CBE，連接ED并延長交AC于點(diǎn)G(1)求證：△CAB≌(2)求證：AG=DG．(3)連接CD并延長交BE于F，若AB=2，當(dāng)CF⊥BE時(shí)，求CD2．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖，CD，BE是△ABC的兩條高線，且它們相交于Q，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，連接DF，DF與BE相交于點(diǎn)P，已知BD=CD．(1)求證BQ=AC(2)若BE平分∠ABC．①求證：DP=DQ；②若AC=8，求BP的長．3．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在等邊△ABC的AC、BC邊上各取一點(diǎn)D、E，AE、BD相交于點(diǎn)F，∠BFE=60°．(1)求證：AD=CE；(2)如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G．①若BE=2EC=2，求BG的長；②若BF=2AF，連接CF，求∠CFE的度數(shù)．4．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連結(jié)CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．(1)求證：CD⊥AB．(2)若△BPN為等腰三角形時(shí)，求t的值．(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，另有一點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為13個(gè)單位/秒，連結(jié)BQ,PQ，將線段BQ,PQ繞點(diǎn)Q分別向順時(shí)針和逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QE和QF，當(dāng)E,C,F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出5．（2022春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市廬陽中學(xué)?？计谥校﹩栴}發(fā)現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，以AD為邊作Rt△ADE，且AD=AE，根據(jù)∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，結(jié)合AB=AC，AD=AE得出△BAD≌△CAE，發(fā)現(xiàn)線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為BD=CE，位置關(guān)系為(1)探究證明：如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE，且點(diǎn)D在BC邊上滑動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接①則線段BC，DC，CE之間滿足的等量關(guān)系式為；②求證：BD(2)拓展延伸：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=13cm，CD=5cm，求必考點(diǎn)3必考點(diǎn)3等腰三角形與圖形變換1．（2022秋·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，DF交于點(diǎn)N，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于點(diǎn)M，延長EG交AD的延長線于點(diǎn)H，連接CG，ME，取ME的中點(diǎn)O，連接NO，GO．則以下結(jié)論不正確的是（

）A．∠GCE=∠AEB B．AE⊥DFC．S四邊形MNOG=12．（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以△ABC∠ABC>120°三邊為邊向外作等邊三角形，分別記△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面積為S，S1，S2，S3，作△ABD關(guān)于AB對(duì)稱的△ABM，連接MF，BF．若△ABC≌△BMF，則∠ABC=__________，S33．（2022秋·河南安陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷(3)拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=4．（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)三里屯一中?？计谥校┤鐖D，在等腰Rt△ABC中，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<90°，得到線段AD，連接CD，作∠BAD的平分線AE，交BC于E(1)①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；②請(qǐng)用等式寫出∠BAD與∠BCD的數(shù)量關(guān)系．(2)分別延長CD和AE交于點(diǎn)F，①直接寫出∠AFC的度數(shù)；②用等式表示線段AF，CF，DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．（2022秋·吉林延邊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在兩個(gè)等腰直角三角形ABC和DEF中，∠ACB=∠DEF=90°，把兩個(gè)三角形放置在平面直角坐標(biāo)系上，邊EF在x軸上，點(diǎn)F和點(diǎn)O重合．DE=2，點(diǎn)A0,3，點(diǎn)C3,0，將△DEF沿DF翻折，點(diǎn)E落在點(diǎn)(1)點(diǎn)G的坐標(biāo)為________．(2)將四邊形DEFG沿x軸方向往右平移，平移距離是x．①當(dāng)點(diǎn)G在邊AC上時(shí)，x=________．②當(dāng)x=2時(shí)，四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的面積為_______．③如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在邊EF上時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)E、F不重合），求四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的面積．（用含x的式子來表示）(3)在（2）的條件下，若x<5，當(dāng)四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的圖形為軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出x的取值范圍．6．（2022春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A0,3，點(diǎn)(1)如圖1，點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BC，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，作△ABC關(guān)于點(diǎn)B的中心對(duì)稱圖形△EBD，△E′B′D′為△EBD沿著(3)如圖3，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，將AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段NM，若N點(diǎn)恰好在某一條直線上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出該直線的函數(shù)表達(dá)式．必考點(diǎn)4必考點(diǎn)4等腰三角形中的動(dòng)態(tài)變化1．（2022秋·江蘇常州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，AB=AC，D為射線BC上（不與B、C重合）一動(dòng)點(diǎn)，在AD的右側(cè)射線BC的上方作△ADE．使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)找出圖中的一對(duì)全等三角形，并證明你的結(jié)論；(2)延長EC交AB的延長線于點(diǎn)F，若∠F=45°，①利用（1）中的結(jié)論求出∠DCE的度數(shù)；②當(dāng)△ABD是等腰三角形時(shí)，直接寫出∠ADB的度數(shù)；(3)當(dāng)D在線段BC上時(shí)，若線段BC=3，△ABC面積為3，則四邊形ADCE周長的最小值是．2．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)N為AC中點(diǎn)，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連結(jié)CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿線段BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．(1)求證：CD⊥AB．(2)若△BPN為等腰三角形時(shí)，求t的值．(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，另有一點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為13個(gè)單位/秒，連結(jié)BQ,PQ，將線段BQ,PQ繞點(diǎn)Q分別向順時(shí)針和逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段QE和QF，當(dāng)E,C,F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出3．（2022秋·云南昆明·八年級(jí)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在第一象限，OB=AB，∠BOP=150°．(1)如圖1，求證：△OAB是等邊三角形；(2)如圖1，若點(diǎn)M為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BM為邊作等邊三角形BMN，連接NA并延長交x軸于點(diǎn)P，求證：AP=2AO；(3)如圖2，若BC⊥BO，BC=BO，點(diǎn)D為CO的中點(diǎn)，連接AC、DB交于E，請(qǐng)問AE、BE與CE之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．4．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高線．動(dòng)點(diǎn)D在線段AM（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外）上時(shí)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．(1)若DM=MC，則∠ACD=度，∠BCE=度；(2)判斷AD與(3)如圖2，若AB=12，P、Q兩點(diǎn)在直線BE上且滿足CP=CQ=10，試求(4)在第（3）小題的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長線（或反向延長線）上時(shí)，判斷PQ的長是否為定值，若是，請(qǐng)直接寫出PQ的長；若不是，請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由．5．（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊△DEF，連接CF．(1)如圖1，若點(diǎn)E在邊BC上，且DE⊥BC，垂足為E，求證：CD=2CE；(2)如圖1，若點(diǎn)E在邊BC上，且DE⊥BC，垂足為E，求證：CE+(3)如圖2，若點(diǎn)E在射線CB上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．必考點(diǎn)5必考點(diǎn)5等腰三角形中的最值1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若2．（2022春·四川成都·八年級(jí)成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，ΔABC是等邊三角形，AB＝6，E是靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段EF，當(dāng)點(diǎn)D3．（2022秋·四川成都·八年級(jí)石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,12，點(diǎn)B為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在直線AB的右側(cè)作等邊三角形ABC．若點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)，連接PC，則PC的長的最小值為____________．4．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谥校┤鐖D1．已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D和E分別是直線AB和AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD和BE相交于點(diǎn)F．(1)如圖1．點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)D為AB三等分點(diǎn)且BD<AD，若S△DBF=1，求(2)如圖2．已知∠DFB=60°，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接DH交BE于點(diǎn)Q，連接CQ并延長交AD于點(diǎn)M，若DM=MQ，探究CH、CQ、CE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)如圖3．已知BC=83，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BA延長線上且CE=AD，連接ED并以ED為邊向左側(cè)作等邊△DEH，點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)且AC=4AM，當(dāng)MH取最小值時(shí)請(qǐng)直接寫出△DAE5．（2022秋·重慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．(1)如圖1，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在AB邊上，連接MD，過點(diǎn)M作ME⊥MD交AC于點(diǎn)E，連接AM，求證：AD=CE；(2)如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)A作AF∥MD交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AB邊上，連接CG交AF于點(diǎn)N，交DM于點(diǎn)H，若GA=GN，求證：CN=AE?CE；(3)如圖3，已知點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在BA延長線上且CE=2AD，連接ED并以ED為邊向左側(cè)作等腰直角△DEH，且∠EDH=90°，DH=DE，點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)且BC=2CM，當(dāng)MH取最小值時(shí)請(qǐng)直接寫出6．（2022秋·重慶·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考期中）在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD(1)如圖1所示，AD=AP，且AD平分∠BDP，若DP=5，CD=3，則BC=．(2)如圖2所示，過點(diǎn)A作AS⊥BC于點(diǎn)S，AS=2，點(diǎn)R在BC上，且BR=DS，連接AR，則當(dāng)AD+AR取最小值時(shí)，求DS的長；(3)如圖3所示，以AD為斜邊作等腰Rt△AED，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，若AG⊥AE，CG⊥AC，猜想AG與EF必考點(diǎn)6必考點(diǎn)6勾股定理與網(wǎng)格問題1．（2022春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┬”趯W(xué)習(xí)了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形做類似的圖形，經(jīng)過嘗試后，得到如圖：長方形ABCD內(nèi)部嵌入了6個(gè)全等的正方形，其中點(diǎn)M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，則小正方形的邊長為_____．2．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中．每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E,F,G,H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時(shí)正方形EFGH的面積為52．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是________(不包括52)．3．（2022秋·山東東營·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，剪一剪，拼成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長是____.4．（2022春·全國·八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖中的虛線網(wǎng)格是等邊三角形網(wǎng)格,它的每一個(gè)小三角形都是邊長為1的等邊三角形.(1)邊長為1的等邊三角形的高=____;

(2)圖①中的?ABCD的對(duì)角線AC的長=____;

(3)圖②中的四邊形EFGH的面積=____.

5．（2022秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長分別為m26．（2022秋·全國·八年級(jí)期中）方格紙中每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”．（1）在圖1中確定格點(diǎn)D，并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對(duì)稱圖形（一種情況即可）；（2）直接寫出圖2中△FGH的面積是；（3）在圖3中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形，使其面積等于17．7．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C，且使BC=5，并且直接寫出對(duì)應(yīng)三角形的面積．必考點(diǎn)7必考點(diǎn)7勾股定理與折疊問題1．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在線段AC上，現(xiàn)將ΔABC沿著BD翻折后得到ΔA′BD，A′B交AC于點(diǎn)E，A′D//BC2．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）△ABC中，AB=42，AC=6，∠A=45°，折疊△ABC，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處，折痕EF交AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)D由B向A連續(xù)移動(dòng)過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長記為m，則BC=________，m3．（2022秋·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，D為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，把△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，CD的長為__________．4．（2022春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，將△CDE沿著DE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)FE⊥AC時(shí)，F(xiàn)E=________．5．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）統(tǒng)考期末）如圖，將長方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)A′處，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，連接A′D′交邊CD于點(diǎn)E，連接CD′，若AB=9，AD=66．（2022秋·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=25，AC=105，AP垂直直線BC于點(diǎn)P(1)當(dāng)BC=25時(shí)，求AP的長；(2)當(dāng)AP=20時(shí)，①求BC的長；②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ，連接BQ，請(qǐng)直接寫出△BCQ的周長為___________．必考點(diǎn)8必考點(diǎn)8以弦圖為背景的計(jì)算1．（2022春·浙江·八年級(jí)期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a<b)．如圖所示作矩形HFPQ，延長CB交HF于點(diǎn)G．若正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，則ab的值為（

A．24 B．22 C．5?12．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1，是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為(

)A．121 B．110 C．100 D．903．（2022秋·全國·八年級(jí)期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得利用下圖驗(yàn)證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，連接BI，CD，過點(diǎn)C作CJ⊥DE于點(diǎn)J，交AB于點(diǎn)K．設(shè)正方形ACHI的面積為S1，正方形BCGF的面積為S2，矩形AKJD的面積為S3，矩形KJEB的面積為S4，下列結(jié)論中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四個(gè)小正方形的面積之和等于8，則最大正方形的邊長為__．5．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1、必考點(diǎn)9必考點(diǎn)9勾股定理的證明方法1．（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)?？计谥校┰赗t△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．（1）請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理；（2）請(qǐng)利用這個(gè)圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號(hào)成立的條件；（3）請(qǐng)根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當(dāng)x，y取何值時(shí)，該長方形的面積最大？最大面積是多少？2．（2022秋·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）(1)我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成丁一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)矩形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×12ab＋(b－a)2∴4×12ab＋(b－a)2＝c2∴______________即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)愛動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形(如圖2)，也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過程.(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2＋b2＝c2.3．（2022·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）公元3世紀(jì)初，我國學(xué)家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)C′三點(diǎn)共線）進(jìn)行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a，b，斜邊是c．請(qǐng)用此圖1證明勾股定理．拓展應(yīng)用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外作正方形ABFH和正方形ACED，過點(diǎn)F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數(shù)量關(guān)系是怎樣？直接寫出結(jié)論．拓展應(yīng)用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在直線m、n上，過點(diǎn)D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是．4．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州中學(xué)校考期中）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．證法如下：把兩個(gè)全等的直角三角形（Rt△ACB?Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE點(diǎn)E在邊AC上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長分別為CB=a、CA=b，斜邊長為AB=c，請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理（1）請(qǐng)根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理（2）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，CD為兩個(gè)村莊（看作直線上的兩點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為千米．（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．（4）借助上面的思考過程，當(dāng)1<x<11時(shí)，求代數(shù)式x25．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1、必考點(diǎn)10必考點(diǎn)10立體幾何中求最短路徑1．（2022秋·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，一長方體木塊長AB=6，寬BC=5，高BB1=2，一直螞蟻從木塊點(diǎn)A處，沿木塊表面爬行到點(diǎn)C1A．89 B．85 C．125 D．802．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）愛動(dòng)腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時(shí)遇到下面的問題：已知，如圖一個(gè)棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點(diǎn)M，甲蟲所走的最短路程是______cm3．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，長方體的長為3，寬為2，高為4，點(diǎn)B在棱上，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短路程是______．4．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，圓柱底面半徑為2πcm，高為9cm，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A5．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谀┰谝粋€(gè)長6+22米，寬為4米的長方形草地上，如圖推放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場(chǎng)地寬AD，木塊的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到C6．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）如圖①，長方體長AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？(1)螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)G，且經(jīng)過棱EF上一點(diǎn)，畫出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長．(2)設(shè)該長方體上底面對(duì)角線EG、FH相交于點(diǎn)O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點(diǎn)B爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長為cm；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，設(shè)BP長為acm，求螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)O的最短路的長（用含a的代數(shù)式表示）．必考點(diǎn)11必考點(diǎn)11勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是________．2．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．3．（2022秋·重慶·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，在A處有一所中學(xué)，AP=120米，此時(shí)有一輛消防車在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)有噪音影響．（1）學(xué)校是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說明理由．（2）如果受到影響，則影響時(shí)間是多長？4．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市第八十五中學(xué)校考期中）【問題探究】(1)如圖①，點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn),請(qǐng)?jiān)贏B上找一點(diǎn)F，使EF=12(2)如圖②，點(diǎn)M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，求12【問題解決】(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點(diǎn)B到AC的最短距離為360km．今計(jì)劃在鐵路線AC上修一個(gè)中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，請(qǐng)確定中轉(zhuǎn)站M的位置,并求出AM的長．(結(jié)果保留根號(hào))5．（2022春·湖南長沙·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經(jīng)測(cè)量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）若BA為公園的車輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在點(diǎn)D處安裝一個(gè)監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路BA的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長度為多少？6．（2022秋·陜西寶雞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米