專題1.7三角形的證明全章十二類必考壓軸題（北師大版）（原卷版）

專題1.7三角形的證明全章十二類必考壓軸題【北師大版】必考點1必考點1等腰三角形的存在性問題1．（2022秋·廣東茂名·八年級茂名市第一中學校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b(b≠0)的圖象經過A(?1,0)，B(0,2)，D三點，點D在x軸上方，點C在x軸正半軸上，且OC=5OA，連接BC，CD，已知(1)求直線AB的表達式；(2)求點D的坐標；(3)在線段AD，CD上分別取點M，N，使得MN∥x軸，在x軸上取一點P，連接MN，NP，MP，2．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A?B?C?A運動，設運動時間為t秒t>0(1)點P運動結束，運動時間t=______；(2)當點P到邊AB、AC的距離相等時，求此時t的值；(3)在點P運動過程中，是否存在t的值，使得△ACP為等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．3．（2022秋·浙江溫州·八年級校聯考期中）如圖，在等腰△ABC中，∠CAB=∠CBA，作射線BC，AD是腰BC的高線，E是△ABC外射線BC上一動點，連結AE．(1)當AD=4，BC=5時，求CD的長；(2)當BC=CE時；求證：AE⊥AB；(3)設△ACD的面積為S1，△ACE的面積為S2，且S1S2=184．（2022秋·湖北孝感·八年級統考期中）如圖1，在平面直角坐標系中，點B、D分別在y軸、x軸上，點A?a，b，Cb，a，且a，b滿足3a?b2+b?6(1)求點A，C的坐標；(2)如圖2，連接AC，BD交于點P，求證：點P為(3)若OC=210，在x軸上存在點F，使△COF是以CO為腰的等腰三角形，請直接寫出F5．（2022秋·廣東廣州·八年級校聯考期中）平面直角坐標系中，點Aa,0、B0,b，且a、b滿足：a?1=?b2+6b?9，點A、C關于(1)求點A、B兩點的坐標；(2)如圖1，若BC⊥CD，BA⊥EA，且BD=BE，連接ED交x軸于點M，求證：DM=ME；(3)如圖2，若BC⊥CD，且BC=CD，直線BC上存在某點Gm,3m+3，使△DFG為等腰直角三角形(點D、F，G按逆時針方向排列)，請直接寫出點F必考點2必考點2等腰三角形與勾股定理、全等綜合1．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為邊在AB上方作等邊△ABD，以BC為邊在BC右側作等邊△CBE，連接ED并延長交AC于點G(1)求證：△CAB≌(2)求證：AG=DG．(3)連接CD并延長交BE于F，若AB=2，當CF⊥BE時，求CD2．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，CD，BE是△ABC的兩條高線，且它們相交于Q，F是BC邊的中點，連接DF，DF與BE相交于點P，已知BD=CD．(1)求證BQ=AC(2)若BE平分∠ABC．①求證：DP=DQ；②若AC=8，求BP的長．3．（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在等邊△ABC的AC、BC邊上各取一點D、E，AE、BD相交于點F，∠BFE=60°．(1)求證：AD=CE；(2)如圖2，過點B作BG⊥AE于點G．①若BE=2EC=2，求BG的長；②若BF=2AF，連接CF，求∠CFE的度數．4．（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D1，△ABC中，AB=AC，點N為AC中點，點D為AB上一點，連結CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．動點P從點B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段BA向終點A運動，設點P運動的時間為t（秒）．(1)求證：CD⊥AB．(2)若△BPN為等腰三角形時，求t的值．(3)如圖2，動點P出發(fā)的同時，另有一點Q從點D出發(fā)沿線段DC向終點C運動，速度為13個單位/秒，連結BQ,PQ，將線段BQ,PQ繞點Q分別向順時針和逆時針方向旋轉90°，得到線段QE和QF，當E,C,F三點共線時，直接寫出5．（2022春·安徽合肥·八年級合肥市廬陽中學校考期中）問題發(fā)現：如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊所在直線上的一動點（不與點B、C重合），連接AD，以AD為邊作Rt△ADE，且AD=AE，根據∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，結合AB=AC，AD=AE得出△BAD≌△CAE，發(fā)現線段BD與CE的數量關系為BD=CE，位置關系為(1)探究證明：如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE，且點D在BC邊上滑動（點D不與點B，C重合），連接①則線段BC，DC，CE之間滿足的等量關系式為；②求證：BD(2)拓展延伸：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=13cm，CD=5cm，求必考點3必考點3等腰三角形與圖形變換1．（2022秋·山東濰坊·八年級統考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB的中點，連接AE，DF交于點N，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于點M，延長EG交AD的延長線于點H，連接CG，ME，取ME的中點O，連接NO，GO．則以下結論不正確的是（

）A．∠GCE=∠AEB B．AE⊥DFC．S四邊形MNOG=12．（2022秋·浙江臺州·八年級統考期末）如圖，以△ABC∠ABC>120°三邊為邊向外作等邊三角形，分別記△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面積為S，S1，S2，S3，作△ABD關于AB對稱的△ABM，連接MF，BF．若△ABC≌△BMF，則∠ABC=__________，S33．（2022秋·河南安陽·九年級校聯考期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數量關系是，位置關系是；(2)探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷(3)拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4，AB=4．（2022秋·北京朝陽·九年級三里屯一中?？计谥校┤鐖D，在等腰Rt△ABC中，將線段AC繞點A順時針旋轉α0°<α<90°，得到線段AD，連接CD，作∠BAD的平分線AE，交BC于E(1)①根據題意，補全圖形；②請用等式寫出∠BAD與∠BCD的數量關系．(2)分別延長CD和AE交于點F，①直接寫出∠AFC的度數；②用等式表示線段AF，CF，DF的數量關系，并證明．5．（2022秋·吉林延邊·八年級統考期末）如圖1，在兩個等腰直角三角形ABC和DEF中，∠ACB=∠DEF=90°，把兩個三角形放置在平面直角坐標系上，邊EF在x軸上，點F和點O重合．DE=2，點A0,3，點C3,0，將△DEF沿DF翻折，點E落在點(1)點G的坐標為________．(2)將四邊形DEFG沿x軸方向往右平移，平移距離是x．①當點G在邊AC上時，x=________．②當x=2時，四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的面積為_______．③如圖2，當點C在邊EF上時（點C與點E、F不重合），求四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的面積．（用含x的式子來表示）(3)在（2）的條件下，若x<5，當四邊形DEFG與△ABC的重疊部分的圖形為軸對稱圖形時，直接寫出x的取值范圍．6．（2022春·四川成都·八年級統考期末）在平面直角坐標系中，已知點A0,3，點(1)如圖1，點C為點A關于x軸的對稱點，連接BC，判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；(2)如圖2，作△ABC關于點B的中心對稱圖形△EBD，△E′B′D′為△EBD沿著(3)如圖3，點M為x軸上一動點，連接AM，將AM繞點M順時針旋轉60°得到線段NM，若N點恰好在某一條直線上運動，請求出該直線的函數表達式．必考點4必考點4等腰三角形中的動態(tài)變化1．（2022秋·江蘇常州·八年級校考期中）如圖1，在△ABC中，AB=AC，D為射線BC上（不與B、C重合）一動點，在AD的右側射線BC的上方作△ADE．使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)找出圖中的一對全等三角形，并證明你的結論；(2)延長EC交AB的延長線于點F，若∠F=45°，①利用（1）中的結論求出∠DCE的度數；②當△ABD是等腰三角形時，直接寫出∠ADB的度數；(3)當D在線段BC上時，若線段BC=3，△ABC面積為3，則四邊形ADCE周長的最小值是．2．（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）如圖1，△ABC中，AB=AC，點N為AC中點，點D為AB上一點，連結CD．已知BD:AD:CD=2:3:4,CD=8．動點P從點B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿線段BA向終點A運動，設點P運動的時間為t（秒）．(1)求證：CD⊥AB．(2)若△BPN為等腰三角形時，求t的值．(3)如圖2，動點P出發(fā)的同時，另有一點Q從點D出發(fā)沿線段DC向終點C運動，速度為13個單位/秒，連結BQ,PQ，將線段BQ,PQ繞點Q分別向順時針和逆時針方向旋轉90°，得到線段QE和QF，當E,C,F三點共線時，直接寫出3．（2022秋·云南昆明·八年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，點A在y軸的正半軸上，點B在第一象限，OB=AB，∠BOP=150°．(1)如圖1，求證：△OAB是等邊三角形；(2)如圖1，若點M為y軸正半軸上一動點，以BM為邊作等邊三角形BMN，連接NA并延長交x軸于點P，求證：AP=2AO；(3)如圖2，若BC⊥BO，BC=BO，點D為CO的中點，連接AC、DB交于E，請問AE、BE與CE之間有何數量關系，并證明你的結論．4．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D1，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高線．動點D在線段AM（點D與點A重合除外）上時，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．(1)若DM=MC，則∠ACD=度，∠BCE=度；(2)判斷AD與(3)如圖2，若AB=12，P、Q兩點在直線BE上且滿足CP=CQ=10，試求(4)在第（3）小題的條件下，當點D在線段AM的延長線（或反向延長線）上時，判斷PQ的長是否為定值，若是，請直接寫出PQ的長；若不是，請簡單說明理由．5．（2022·遼寧葫蘆島·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，點D是邊AC上一定點，點E是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊△DEF，連接CF．(1)如圖1，若點E在邊BC上，且DE⊥BC，垂足為E，求證：CD=2CE；(2)如圖1，若點E在邊BC上，且DE⊥BC，垂足為E，求證：CE+(3)如圖2，若點E在射線CB上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數量關系？并說明理由．必考點5必考點5等腰三角形中的最值1．（2022秋·江蘇·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC內一點，若2．（2022春·四川成都·八年級成都外國語學校校考期中）如圖，ΔABC是等邊三角形，AB＝6，E是靠近點C的三等分點，D是直線BC上一動點，線段ED繞點E逆時針旋轉90°，得線段EF，當點D3．（2022秋·四川成都·八年級石室中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為0,12，點B為x軸上一動點，以AB為邊在直線AB的右側作等邊三角形ABC．若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長的最小值為____________．4．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谥校┤鐖D1．已知△ABC為等邊三角形，點D和E分別是直線AB和AC邊上的動點，連接CD和BE相交于點F．(1)如圖1．點E為AC中點，點D為AB三等分點且BD<AD，若S△DBF=1，求(2)如圖2．已知∠DFB=60°，點H為BC中點，連接DH交BE于點Q，連接CQ并延長交AD于點M，若DM=MQ，探究CH、CQ、CE之間的數量關系并說明理由；(3)如圖3．已知BC=83，點E在AC上，點D在BA延長線上且CE=AD，連接ED并以ED為邊向左側作等邊△DEH，點M為AC上一點且AC=4AM，當MH取最小值時請直接寫出△DAE5．（2022秋·重慶·八年級校考期中）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．(1)如圖1，點M是BC的中點，點D在AB邊上，連接MD，過點M作ME⊥MD交AC于點E，連接AM，求證：AD=CE；(2)如圖2，在（1）的條件下，過點A作AF∥MD交BC于點F，點G在AB邊上，連接CG交AF于點N，交DM于點H，若GA=GN，求證：CN=AE?CE；(3)如圖3，已知點E在AC上，點D在BA延長線上且CE=2AD，連接ED并以ED為邊向左側作等腰直角△DEH，且∠EDH=90°，DH=DE，點M為AC上一點且BC=2CM，當MH取最小值時請直接寫出6．（2022秋·重慶·八年級重慶巴蜀中學?？计谥校┰诘妊黂t△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC邊上一點，連接AD(1)如圖1所示，AD=AP，且AD平分∠BDP，若DP=5，CD=3，則BC=．(2)如圖2所示，過點A作AS⊥BC于點S，AS=2，點R在BC上，且BR=DS，連接AR，則當AD+AR取最小值時，求DS的長；(3)如圖3所示，以AD為斜邊作等腰Rt△AED，連接BE并延長交AC于點F，若AG⊥AE，CG⊥AC，猜想AG與EF必考點6必考點6勾股定理與網格問題1．（2022春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┬”趯W習了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形做類似的圖形，經過嘗試后，得到如圖：長方形ABCD內部嵌入了6個全等的正方形，其中點M，N，P，Q分別在長方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，則小正方形的邊長為_____．2．（2022秋·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網格圖形中．每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E,F,G,H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為26，此時正方形EFGH的面積為52．問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為26時，正方形EFGH的面積的所有可能值是________(不包括52)．3．（2022秋·山東東營·八年級統考期末）如圖，每個小正方形的邊長為1，剪一剪，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長是____.4．（2022春·全國·八年級統考期末）圖中的虛線網格是等邊三角形網格,它的每一個小三角形都是邊長為1的等邊三角形.(1)邊長為1的等邊三角形的高=____;

(2)圖①中的?ABCD的對角線AC的長=____;

(3)圖②中的四邊形EFGH的面積=____.

5．（2022秋·福建三明·八年級統考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法．若△ABC三邊的長分別為5a，22a，17a（a＞0），請利用圖②的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長分別為m26．（2022秋·全國·八年級期中）方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點連線為邊的多邊形稱為“格點多邊形”．（1）在圖1中確定格點D，并畫出一個以A、B、C、D為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形（一種情況即可）；（2）直接寫出圖2中△FGH的面積是；（3）在圖3中畫一個格點正方形，使其面積等于17．7．（2022春·山東濟寧·八年級統考期末）如圖，在8×4的正方形網格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點C，且使BC=5，并且直接寫出對應三角形的面積．必考點7必考點7勾股定理與折疊問題1．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，AB=AC，點D在線段AC上，現將ΔABC沿著BD翻折后得到ΔA′BD，A′B交AC于點E，A′D//BC2．（2022秋·浙江·八年級期末）△ABC中，AB=42，AC=6，∠A=45°，折疊△ABC，使點C落在AB邊上的點D處，折痕EF交AC于點E，當點D由B向A連續(xù)移動過程中，點E經過的路徑長記為m，則BC=________，m3．（2022秋·河南周口·八年級統考期末）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，點E為AB的中點，D為BC邊上的一動點，把△ACD沿AD折疊，點C落在點F處，當△AEF為直角三角形時，CD的長為__________．4．（2022春·遼寧沈陽·八年級統考期末）在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3，點D為AC的中點，點E在BC邊上，將△CDE沿著DE翻折，使點C落在點F處，當FE⊥AC時，FE=________．5．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市寶安中學（集團）統考期末）如圖，將長方形紙片ABCD沿MN折疊，使點A落在BC邊上點A′處，點D的對應點為D′，連接A′D′交邊CD于點E，連接CD′，若AB=9，AD=66．（2022秋·遼寧沈陽·八年級統考期末）在△ABC中，AB=25，AC=105，AP垂直直線BC于點P(1)當BC=25時，求AP的長；(2)當AP=20時，①求BC的長；②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ，連接BQ，請直接寫出△BCQ的周長為___________．必考點8必考點8以弦圖為背景的計算1．（2022春·浙江·八年級期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a<b)．如圖所示作矩形HFPQ，延長CB交HF于點G．若正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，則ab的值為（

A．24 B．22 C．5?12．（2022秋·廣東深圳·八年級統考期末）勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國算書《網醉算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1，是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為(

)A．121 B．110 C．100 D．903．（2022秋·全國·八年級期中）勾股定理是人類早期發(fā)現并證明的重要數學定理之一，是數形結合的重要紐帶．數學家歐幾里得利用下圖驗證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，連接BI，CD，過點C作CJ⊥DE于點J，交AB于點K．設正方形ACHI的面積為S1，正方形BCGF的面積為S2，矩形AKJD的面積為S3，矩形KJEB的面積為S4，下列結論中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四個小正方形的面積之和等于8，則最大正方形的邊長為__．5．（2022秋·江蘇揚州·八年級統考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1、必考點9必考點9勾股定理的證明方法1．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉90°、180°和270°，構成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數學家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數學家大會的會標設計的主要依據．（1）請利用這個圖形證明勾股定理；（2）請利用這個圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號成立的條件；（3）請根據（2）的結論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當x，y取何值時，該長方形的面積最大？最大面積是多少？2．（2022秋·河南鄭州·八年級校考期中）(1)我國著名的數學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成丁一個大的正方形（如圖1），這個矩形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×12ab＋(b－a)2∴4×12ab＋(b－a)2＝c2∴______________即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖2)，也能驗證這個結論，請你幫助小明完成驗證的過程.(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請你添加適當的輔助線，證明結論a2＋b2＝c2.3．（2022·山東濰坊·八年級統考期中）公元3世紀初，我國學家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統Garfeild用圖1（點C、點B、點C′三點共線）進行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a，b，斜邊是c．請用此圖1證明勾股定理．拓展應用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外作正方形ABFH和正方形ACED，過點F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數量關系是怎樣？直接寫出結論．拓展應用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點A和點C分別在直線m、n上，過點D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是．4．（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學?？计谥校┕垂啥ɡ硎菐缀螌W中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業(yè)余數學愛好者．向常春在1994年構造發(fā)現了一個新的證法．證法如下：把兩個全等的直角三角形（Rt△ACB?Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE點E在邊AC上，現設Rt△ACB兩直角邊長分別為CB=a、CA=b，斜邊長為AB=c，請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理（1）請根據上述圖形的面積關系證明勾股定理（2）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，CD為兩個村莊（看作直線上的兩點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為千米．（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應站P，使得PC=PD，請用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離．（4）借助上面的思考過程，當1<x<11時，求代數式x25．（2022秋·江蘇揚州·八年級統考期末）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1、必考點10必考點10立體幾何中求最短路徑1．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）如圖，一長方體木塊長AB=6，寬BC=5，高BB1=2，一直螞蟻從木塊點A處，沿木塊表面爬行到點C1A．89 B．85 C．125 D．802．（2022秋·江蘇·八年級期中）愛動腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時遇到下面的問題：已知，如圖一個棱長為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內壁面正方形ABCD上爬行，最終到達內壁BC的中點M，甲蟲所走的最短路程是______cm3．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，長方體的長為3，寬為2，高為4，點B在棱上，點B離點C的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短路程是______．4．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，圓柱底面半徑為2πcm，高為9cm，點A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A5．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？计谀┰谝粋€長6+22米，寬為4米的長方形草地上，如圖推放著一根三棱柱的木塊，它的側棱長平行且大于場地寬AD，木塊的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點A處到C6．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖①，長方體長AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？(1)螞蟻從點A爬行到點G，且經過棱EF上一點，畫出其最短路徑的平面圖，并標出它的長．(2)設該長方體上底面對角線EG、FH相交于點O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點B爬行到點O的最短路徑的長為cm；②當點P在BC邊上，設BP長為acm，求螞蟻從點P爬行到點O的最短路的長（用含a的代數式表示）．必考點11必考點11勾股定理的實際應用1．（2022春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習）如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是________．2．（2022秋·浙江紹興·八年級統考期中）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．3．（2022秋·重慶·八年級校聯考期末）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN=30°，在A處有一所中學，AP=120米，此時有一輛消防車在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行駛，假設消防車行駛時周圍100米以內有噪音影響．（1）學校是否會受到影響？請說明理由．（2）如果受到影響，則影響時間是多長？4．（2022秋·陜西西安·八年級西安市第八十五中學校考期中）【問題探究】(1)如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點,請在AB上找一點F，使EF=12(2)如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，求12【問題解決】(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點B到AC的最短距離為360km．今計劃在鐵路線AC上修一個中轉站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達到最小值，請確定中轉站M的位置,并求出AM的長．(結果保留根號)5．（2022春·湖南長沙·八年級校考階段練習）如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經測量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度數；（2）若BA為公園的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點D處安裝一個監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路BA的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長度為多少？6．（2022秋·陜西寶雞·八年級?？茧A段練習）臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心，在周圍數十千米