數(shù)學(xué)北師大版 九年級上冊 第二章 一元二次方程：《用因式分解法求解一元二次方程》教案（含答案）

數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第二章一元二次方程：《用因式分解法求解一元二次方程》教案（含答案）課題：科目：班級：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、設(shè)計(jì)思路本節(jié)課旨在讓學(xué)生掌握用因式分解法求解一元二次方程的方法，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。課程設(shè)計(jì)以課本內(nèi)容為基礎(chǔ)，結(jié)合九年級學(xué)生的認(rèn)知水平，按照以下步驟展開：

1.回顧一元二次方程的定義及標(biāo)準(zhǔn)形式，鞏固基礎(chǔ)知識。

2.通過實(shí)例引入因式分解法，引導(dǎo)學(xué)生理解其原理。

3.逐步講解因式分解法的解題步驟，使學(xué)生掌握方法。

4.安排練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)際操作中熟練運(yùn)用因式分解法。

5.總結(jié)課堂內(nèi)容，布置課后作業(yè)，鞏固所學(xué)知識。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和數(shù)學(xué)抽象能力，通過因式分解法求解一元二次方程的過程，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

2.增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算技能，提高解題效率。

3.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流的能力，鼓勵學(xué)生在小組討論中分享解題策略和思路。

4.增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心，通過解決實(shí)際問題感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了關(guān)于一元一次方程的解法，了解方程的基本概念，熟悉等式的基本性質(zhì)，具備了一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

2.九年級學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣較為廣泛，對于實(shí)際生活中的問題具有較強(qiáng)的探究欲望。在數(shù)學(xué)能力上，學(xué)生具備一定的邏輯思維和分析問題的能力，但個(gè)體差異較大，部分學(xué)生擅長抽象思維，而部分學(xué)生則更傾向于直觀操作。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生喜歡互動討論和小組合作，希望通過實(shí)例來理解抽象概念。

3.學(xué)生在用因式分解法求解一元二次方程時(shí)可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：對因式分解的理解不深，不能熟練運(yùn)用；在尋找方程的因式時(shí)缺乏策略，容易出錯(cuò)；對一元二次方程的根的情況理解不透，容易忽略判別式的應(yīng)用。此外，部分學(xué)生在解題過程中可能會因?yàn)橛?jì)算失誤而得到錯(cuò)誤的結(jié)果。四、教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體投影儀、計(jì)算機(jī)

2.軟件資源：數(shù)學(xué)教學(xué)軟件（如幾何畫板）

3.課程平臺：校園教學(xué)管理系統(tǒng)

4.信息化資源：數(shù)字教材、在線習(xí)題庫

5.教學(xué)手段：板書、小組討論、互動式問答五、教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：通過提問學(xué)生已學(xué)過的一元一次方程的解法，引導(dǎo)學(xué)生思考一元二次方程與一元一次方程的關(guān)聯(lián)。接著，給出一個(gè)簡單的一元二次方程實(shí)例，讓學(xué)生嘗試用已知的解法求解，從而引出一元二次方程的特性和本節(jié)課要學(xué)習(xí)的因式分解法。

2.新課講授（15分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）介紹一元二次方程的定義和標(biāo)準(zhǔn)形式，強(qiáng)調(diào)其與一元一次方程的區(qū)別。

（2）講解因式分解法的原理，通過實(shí)例演示如何將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的乘積形式。

（3）逐步演示因式分解法的解題步驟，包括提取公因式、使用公式法等，并強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)和常見錯(cuò)誤。

3.實(shí)踐活動（10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）給出幾個(gè)一元二次方程，讓學(xué)生嘗試獨(dú)立使用因式分解法求解。

（2）要求學(xué)生板演解題過程，及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)。

（3）引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)因式分解法的關(guān)鍵步驟，加深對方法的理解。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

（1）討論一元二次方程的根的情況，例如判別式的應(yīng)用，根的判別條件。

（2）分析在因式分解過程中可能遇到的問題，如多項(xiàng)式的分解不徹底、計(jì)算錯(cuò)誤等。

（3）分享解題過程中的經(jīng)驗(yàn)和技巧，如何避免常見錯(cuò)誤，提高解題效率。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)因式分解法求解一元二次方程的步驟和注意事項(xiàng)。通過提問的方式檢驗(yàn)學(xué)生對因式分解法的掌握程度，并對學(xué)生的表現(xiàn)給予肯定和鼓勵。最后布置相關(guān)的課后作業(yè)，鞏固所學(xué)知識。六、知識點(diǎn)梳理1.一元二次方程的定義與標(biāo)準(zhǔn)形式

-一元二次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程。

-標(biāo)準(zhǔn)形式為ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。

2.一元二次方程的根的判別式

-判別式Δ=b2-4ac。

-當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)Δ<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

3.因式分解法的基本原理

-因式分解法是將一元二次方程左邊的多項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積。

-目標(biāo)是找到兩個(gè)數(shù)m和n，使得m+n=b且mn=ac，從而將方程轉(zhuǎn)化為(x-m)(x-n)=0。

4.因式分解法的解題步驟

-首先觀察方程，確定a、b、c的值。

-對a進(jìn)行因式分解，若a不為1，則先提取公因數(shù)。

-尋找m和n，使得m+n=b且mn=ac。

-將方程重寫為(x-m)(x-n)=0的形式。

-分別解兩個(gè)一次方程x-m=0和x-n=0，得到方程的兩個(gè)根。

5.因式分解法的特殊情況

-當(dāng)a=1時(shí)，方程可以簡化為x2+bx+c=0的形式，此時(shí)尋找m和n更為直觀。

-當(dāng)b是偶數(shù)時(shí)，可以嘗試將方程重寫為(x+b/2)2=b2/4-ac的形式，然后利用平方差公式分解。

6.因式分解法的應(yīng)用

-因式分解法不僅用于求解一元二次方程，還廣泛應(yīng)用于多項(xiàng)式的運(yùn)算和分解中。

-掌握因式分解法有助于解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如二次函數(shù)的圖像分析等。

7.常見錯(cuò)誤與注意事項(xiàng)

-在尋找m和n時(shí)，注意不要忽略方程的對稱性，即如果x-m是因式之一，那么x+m也可能是因式之一。

-在計(jì)算過程中，注意保持方程兩邊的平衡，避免計(jì)算錯(cuò)誤。

-對于一些特殊形式的一元二次方程，如完全平方公式，可以直接利用公式進(jìn)行分解，避免復(fù)雜的計(jì)算。

8.實(shí)際應(yīng)用舉例

-例如，對于方程x2-5x+6=0，首先找到m和n，使得m+n=-5且mn=6，可以找到m=-2和n=-3，因此方程可以分解為(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

-又如，對于方程x2-4x+4=0，這是一個(gè)完全平方公式，可以直接分解為(x-2)2=0，解得x=2。七、板書設(shè)計(jì)1.一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及解法概述

①一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2+bx+c=0（a≠0）

②解法概述：因式分解法

2.因式分解法的步驟與關(guān)鍵點(diǎn)

①因式分解的目標(biāo)：找到兩個(gè)數(shù)m和n，使得m+n=b且mn=ac

②因式分解的步驟：提取公因數(shù)（若a≠1）→尋找m和n→分解為(x-m)(x-n)=0→解兩個(gè)一次方程

③關(guān)鍵點(diǎn)：確保找到的m和n滿足條件，注意方程兩邊的平衡

3.特殊情況的處理與常見錯(cuò)誤

①特殊情況：完全平方公式

②常見錯(cuò)誤：忽略方程的對稱性，計(jì)算錯(cuò)誤，忽略判別式的應(yīng)用

③注意事項(xiàng)：保持方程兩邊的平衡，對于特殊形式的方程直接利用公式分解八、教學(xué)反思今天的課堂上，我講授了用因式分解法求解一元二次方程的內(nèi)容。整體來看，學(xué)生們對這一新方法的接受度較高，但在教學(xué)過程中我也發(fā)現(xiàn)了一些值得反思和改進(jìn)的地方。

首先，導(dǎo)入環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)起到了較好的激發(fā)興趣的作用。通過回顧一元一次方程的解法，學(xué)生們能夠迅速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。然而，我也注意到在提問環(huán)節(jié)，部分學(xué)生對于一元二次方程的定義和特點(diǎn)掌握得不夠牢固，未來我需要在復(fù)習(xí)舊知識時(shí)更加細(xì)致，確保每位學(xué)生都能夠扎實(shí)掌握。

在講授新課內(nèi)容時(shí)，我按照預(yù)定的步驟逐一講解，并且通過板書和實(shí)際例題來演示因式分解法的解題過程。我覺得這一點(diǎn)做得不錯(cuò)，因?yàn)閷W(xué)生們能夠直觀地看到解題的每一步。但是，我也發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生在跟隨我解題時(shí)，對于尋找m和n的步驟感到困惑。我意識到，我在講解這一部分時(shí)可能沒有足夠強(qiáng)調(diào)思維的靈活性和策略性，未來我需要更多地引導(dǎo)學(xué)生去觀察和思考，而不是僅僅告訴他們答案。

在實(shí)踐活動環(huán)節(jié)，我讓學(xué)生們獨(dú)立完成了一些練習(xí)題。雖然大多數(shù)學(xué)生能夠按照步驟進(jìn)行解題，但仍有少數(shù)學(xué)生在計(jì)算過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤。這讓我思考，是否我在演示時(shí)沒有充分強(qiáng)調(diào)計(jì)算的準(zhǔn)確性，或者學(xué)生們在練習(xí)時(shí)沒有足夠的時(shí)間去消化和理解。下次上課時(shí)，我計(jì)劃增加一些時(shí)間讓學(xué)生們充分練習(xí)，并在旁邊提供即時(shí)反饋。

小組討論環(huán)節(jié)是一個(gè)亮點(diǎn)，學(xué)生們積極參與，分享了自己的解題策略和遇到的問題。我聽到一些學(xué)生提出了很好的問題，比如關(guān)于如何確定判別式的符號，以及如何處理特殊情況下的一元二次方程。我覺得這個(gè)環(huán)節(jié)增強(qiáng)了學(xué)生們之間的交流，也讓他們意識到解題不是孤軍奮戰(zhàn)，而是可以相互學(xué)習(xí)和幫助的。

最后，在總結(jié)回顧環(huán)節(jié)，我通過提問來檢驗(yàn)學(xué)生們對本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度。大多數(shù)學(xué)生能夠回答出關(guān)鍵知識點(diǎn)，但也有學(xué)生顯得不夠自信。我想，這可能是因?yàn)樗麄儗π轮R還沒有完全吸收。因此，我計(jì)劃在課后提供一些額外的學(xué)習(xí)資源，幫助學(xué)生們在家中繼續(xù)學(xué)習(xí)和鞏固。重點(diǎn)題型整理題型一：基礎(chǔ)因式分解

題目：解方程x2-5x+6=0。

解答：首先，尋找兩個(gè)數(shù)m和n，使得m+n=-5且mn=6?？梢缘玫絤=-2和n=-3。因此，方程可以分解為(x-2)(x-3)=0。解得x=2或x=3。

題型二：提取公因式

題目：解方程4x2-12x+9=0。

解答：首先，可以觀察到方程的每一項(xiàng)都可以被4整除，所以先提取公因數(shù)4，得到4(x2-3x+2.25)=0。接著，尋找m和n，使得m+n=-3且mn=2.25，可以得到m=-1.5和n=-1.5。因此，方程可以分解為4(x-1.5)2=0。解得x=1.5。

題型三：完全平方公式

題目：解方程x2-6x+9=0。

解答：這是一個(gè)完全平方公式，可以直接分解為(x-3)2=0。解得x=3。

題型四：判別式應(yīng)用

題目：不解方程，判斷方程2x2-4x+3=0有幾個(gè)實(shí)數(shù)根。

解答：計(jì)算判別式Δ=(-4)2-4*2