對鉤函數(shù)詳解性質(zhì)圖像對比并舉例說明I1

主要內(nèi)容：本文通過對比分析，解析函數(shù)y=ax+eq\f(b,cx)當(dāng)a，b，c的系數(shù)符號不同時，并舉例以四個函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x),y?=46x-eq\f(112,171x),y?=-46x+eq\f(112,171x),y4=-46x-eq\f(112,171x),說明系數(shù)符號變化與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，簡要畫出函數(shù)在同一個坐標(biāo)系下的圖像?！?函數(shù)的定義域分析根據(jù)y?=46x+eq\f(112,171x),y?=46x-eq\f(112,171x),y?=-46x+eq\f(112,171x),y4=-46x-eq\f(112,171x)函數(shù)特征，可知均含有分式，故要求分母不為0，所以4個函數(shù)的定義域相同，定義域均為：(-∞,0)∪(0,+∞)?！?函數(shù)的單調(diào)性分析由于4個函數(shù)均是由一個正比例函數(shù)和一個反比例函數(shù)的和差函數(shù)，可以根據(jù)兩個函數(shù)的單調(diào)性綜合分析和差函數(shù)的單調(diào)性。1.對于函數(shù)y?=46x-eq\f(112,171x),是由正比例增函數(shù)和反比例減函數(shù)的差，所以相當(dāng)于兩個增函數(shù)的和，故函數(shù)y2整體為增函數(shù)。2.對于函數(shù)y?=-46x+eq\f(112,171x)，是由正比例減函數(shù)和反比例減函數(shù)的和，所以相當(dāng)于兩個減函數(shù)的和，故函數(shù)y3整體為減函數(shù)。3.對于函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x)，y4=-46x-eq\f(112,171x)前后兩個函數(shù)的單調(diào)性不一致，不能簡單通過上述方法解析，但可以使用導(dǎo)數(shù)來分析單調(diào)性?！?導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性步驟1.函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x),求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，有：eq\f(dy,dx)=46-eq\f(112,171x2)=eq\f(46*171x2-112,171x2),令eq\f(dy,dx)=0，即：46*171x2-112=0,所以x=±eq\f(2,1311)eq\r(6118)≈±0.12,結(jié)合函數(shù)的定義域，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有：(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(2,1311)eq\r(6118))∪(eq\f(2,1311)eq\r(6118)，+∞)時，eq\f(dy,dx)＞0，函數(shù)為增函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[-eq\f(2,1311)eq\r(6118),0)∪(0,eq\f(2,1311)eq\r(6118)]時，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)為減函數(shù)。2.函數(shù)y4=-46x-eq\f(112,171x),是y1的相反函數(shù)，故單調(diào)性與之相反。同理，結(jié)合函數(shù)的定義域，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有：(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(2,1311)eq\r(6118))∪(eq\f(2,1311)eq\r(6118)，+∞)時，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)為減函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[-eq\f(2,1311)eq\r(6118),0)∪(0,eq\f(2,1311)eq\r(6118)]時，eq\f(dy,dx)＞0，為增函數(shù)?！?函數(shù)的凸凹性1.函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x)有：eq\f(dy,dx)=46-eq\f(112,171x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*112,171x3)=eq\f(2*112,171x3),可知與x的符號成正向關(guān)系，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)。2.函數(shù)y?=46x-eq\f(112,171x)有：eq\f(dy,dx)=46+eq\f(112,171x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*112,171x3)=-eq\f(2*112,171x3)，可知與x的符號有關(guān)系且相反，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)。3.y?=-46x+eq\f(112,171x)有：eq\f(dy,dx)=-46-eq\f(112,171x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*112,171x3)=eq\f(2*112,171x3),可知與x的符號成正向關(guān)系，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)。4.y4=-46x-eq\f(112,171x)有：eq\f(dy,dx)=-46+eq\f(112,171x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*112,171x3)=-eq\f(2*112,171x3)，可知與x的符號有關(guān)系且相反，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)?！?函數(shù)的極限eq\s(lim,x→-∞)46x+eq\f(112,171x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)46x+eq\f(112,171x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)46x+eq\f(112,171x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)46x+eq\f(112,171x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)46x-eq\f(112,171x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)46x-eq\f(112,171x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)46x-eq\f(112,171x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)46x-eq\f(112,171x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-46x+eq\f(112,171x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-46x+eq\f(112,171x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-46x+eq\f(112,171x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-46x+eq\f(112,171x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-46x-eq\f(112,171x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-46x-eq\f(112,171x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-46x-eq\f(112,171x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-46x-eq\f(112,171x)=+∞☆.函數(shù)的奇偶性按照奇偶性判斷方法，可知四個函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x),y?=46x-eq\f(112,171x),y?=-46x+eq\f(112,171x),y4=-46x-eq\f(112,171x),均為奇函數(shù)。所以，圖像關(guān)于原點對稱,本處以y?介紹奇偶性判斷步驟。∵f(x)=-46x+eq\f(112,171x)∴f(-x)=-46*(-x)+eq\f(112,171*(-x))=46x-eq\f(112,171x)=-[-46x+eq\f(112,171x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱?！?函數(shù)的五點圖x(＜0)-0.18-0.15-0.12-0.09-0.0546x+eq\f(112,171x)-11.92-11.27-10.98-11.42-15.4046x-eq\f(112,171x)-4.64-2.53-0.063.1410.80-46x+eq\f(112,171x)4.642.530.06-3.14-10.80-46x-eq\f(112,171x)11.9211.2710.9811.4215.40x(＞0)0.050.090.120.150.1846x+eq\f(112,171x)15.4011.4210.9811.2711.9246x-eq\f(112,171x)-10.80-3.140.062.534.64-46x+eq\f(112,171x)10.803.14-0.06-2.53-4.64-46x-eq\f(112,171x)-15.40-11.42-10.98-11.27-11.92☆.函數(shù)的圖像示意圖四個函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x),y?=46x-eq\f(112,171x),y?=-46x+eq\f(112,171x),y4=-46x-eq\f(112,171x)在同一個坐標(biāo)系下示意圖如下所示。其中：紅色曲線表示y?=46x+eq\f(112,171x)圖像；綠色曲線表示y?=46x-eq\f(112,171x)圖像；紫色曲線表示y?=-46x+eq\f(112,171x)圖像；黑色曲線表示y4=-46x-eq\f(112,171x)圖像。y4=-46x-eq\f(112,171x)y?=46x+eq\f(112,171x)y?=-46x+eq\f(112,171x)y?=46x-eq\f(112,171x)y?=-46x+eq\f(112,171x) xy?=46x+eq\f(112,171x)y4=-46x-eq\f(112,171x)☆.主要特性歸納1.函數(shù)相反性：函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x)和函數(shù)y4=-46x-eq\f(112,171x)在同一個x處的y值互為相反數(shù)；函數(shù)y?=46x-eq\f(112,171x)和函數(shù)y?=-46x+eq\f(112,171x)也在同一個x處的y值互為相反數(shù)。2.經(jīng)過的象限：函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x)經(jīng)過第一和第三象限，函數(shù)y4=-46x-eq\f(112,171x)則經(jīng)過第二、第三象限；函數(shù)y?=46x-eq\f(112,171x)和函數(shù)y?=-46x+eq\f(112,171x)四個象限均經(jīng)過。3.曲線的交點：函數(shù)y?=46x+eq\f(112,171x)和函數(shù)y4=-46x-eq\f(112,171x)分別同另外3條曲線均沒有交點;曲線方程y?=46x-eq\f(112,171x)和函數(shù)y?=-46x+eq\f(112,171x)有公共交點，且有兩個交點，交點在x軸上，并互為相反數(shù)。4.坐標(biāo)軸交點：函數(shù)y?=46x+eq\f(112