專題01 平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型（解析版）

專題01平行線中的拐點模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點模型在初中數學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個結論正確，理由如下：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據（1）中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，若，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作，由，即可得，根據兩直線平行，內錯角相等，即可得，，又由，即可求得與互余．【詳解】解：過點作，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的度數為，故選：B．

【點睛】本題考查平行公理的推論，平行線的性質與垂直的定義．注意兩直線平行，內錯角相等．掌握輔助線的作法是解題的關鍵．例2．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）“綠水青山，就是金山銀山”在兩個景區(qū)之間建立上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每兩個支撐架之間的索道均是直的，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，則，由平行線的性質可得，，由此進行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點作，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握兩直線平行，內錯角相等是解此題的關鍵．例3．（2023下·遼寧大連·七年級統考期末）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°【答案】B【分析】過點C作CF∥AB，根據平行線的性質得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此即可解答．【詳解】如圖，過點C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故選B．【點睛】本題考查了平行線的性質，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質進行推理證明是解決本題的關鍵.例4．（2023下·廣東廣州·七年級校考期中）如圖，，：：：：：：，若，則

【答案】【分析】過作，過作，利用平行線的性質可得，，，，然后設出未知數，利用方程思想解決問題即可．【詳解】解：過作，過作，

，，，，，，，：：：：：：，設，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查了平行線的性質，關鍵是正確作出輔助線，設出未知數，列出方程．例5．（2023下·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，已知，和分別平分和，若，則．

【答案】/度【分析】過作，過作，可得，，，，，即可求解．【詳解】解：如圖，過作，過作，

，，，，，，設，，，，和分別平分和，，，，，，，，，解得：，；故答案：．【點睛】本題考查了平行線的性質，掌握性質，作出適當的輔助線是解題的關鍵．例6．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點，，作的平行線，容易得出，和是角平分線，所以，進一步求即可．【詳解】解：如圖所示，過點，，作，，，．，．，，，，，，，，和是角平分線，，，，，，，，即．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質、角平分線的性質以及平角的定義等知識，熟練掌握平行線的判定與性質，正確做出輔助線是解題的關鍵．例7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，，的平分線與的平分線交于點M，，，，則．【答案】/88度【分析】本題考查平行線的性質、角平分線的定義等，解題的關鍵是會添加常用輔助線（即過“拐點”作平行線），一般而言，有幾個“拐點”就需要作幾條平行線，從而利用“拐點”模型的基本結論解決問題；過點、、分別作，根據平行線的傳遞性得出，再根據兩直線平行內錯角相等以及角平分線的定義即可求解；【詳解】過點、、分別作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案為：．例8．（2023下·上?！て吣昙壭？计谥校┮阎?，直線AB∥CD。（1）如圖（1），點G為AB、CD間的一點，聯結AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數是多少？（2）如圖（2），點G為AB、CD間的一點，聯結AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關系？直接寫出結論．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【分析】（1）過點G作GE∥AB，利用平行線的性質即可進行轉化求解．（2）過點G作GF∥AB，利用平行線的性質即可進行轉化求解．（3）過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GQ∥CD，利用平行線的性質即可進行轉化找到角的關系．【詳解】解：（1）如圖，過點G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖，過點G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（兩直線平行，內錯角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線平行，內錯角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，本題構造輔助線利用平行線的傳遞性結合平行線性質是解題關鍵．例9．（2023下·四川成都·七年級成都實外?？计谥校┮阎?，直線與直線，分別交于點F，E，點H在直線上．(1)如圖1，點P在線段上，求證：；(2)如圖2，平分，點P為線段上一點，且平分．若，求的度數；(3)如圖3，平分，當H在直線上運動（不與點F重合）時，平分交于點N，于點Q，探究與的關系，并證明你的結論．

【答案】(1)見解析(2)(3)或，見解析【分析】（1）由兩直線平行，內錯角相等得，再由三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角之和即可證明；（2）同（1）的證明，得出可求得結論；（3）點H的位置不同，結論不同，要進行分類．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴．（2）解：由（1）可得，，∵平分，平分，∴，，∴，（3）解：①如圖3，，理由如下：，∵，∴，∴，∵，∴．②如圖，，理由如下：

，∵，∴，∴，∵，∴．綜上，可得當H在直線上運動（不與點F重合）時，或．【點睛】本題考查了平行線的性質和角平分線的定義，掌握平行線的性質是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級校考階段練習）如圖，已知，的直角頂點落在直線上，點落在直線上，若，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據，，求出，根據平行線的性質求出，根據，求出．【詳解】解：∵中，，∴，∵，∴，∵，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．2．（2023下·山東淄博·九年級?？计谥校┤鐖D，直線，，為直角，則的度數（

）

A．65° B．75° C．115° D．135°【答案】D【分析】如圖，過點作，可證明，根據平行線的性質可得，，根據為直角可得，可求出的度數，根據鄰補角互補即可得答案．【詳解】如圖，過點作，

∵，∴，∴，，∵，為直角，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查平行線的性質及利用鄰補角互補求角度，正確作出輔助線，熟練掌握兩直線平行，內錯角相等是解題關鍵．3．（2022上·重慶沙坪壩·九年級?？计谥校┤鐖D所示，已知，點在線段上（不與點、點重合），連接，若，．則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角形外角的性質、平行線的性質進行求解即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，故選：．【點睛】此題考查了三角形外角的性質、平行線的性質，掌握相關性質并靈活應用是解題的關鍵．4．（2023上·重慶北碚·九年級西南大學附中校考階段練習）如圖，，，，判斷與的大小關系（

）

A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據平行線的性質和直角三角形銳角互余即可求解；【詳解】過C作于H，，，H、C、D三點共線，則，∵，∴，，；故選：C

【點睛】該題考查了平行線的性質以及直角三角形的性質，解答該題的關鍵是將角度進行等量轉換5．（2023下·河南焦作·七年級統考期末）若，則，，的度數之比可能為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過的頂點作，可得，利用平行線的性質求出，，可得，結合選項可得答案．【詳解】解：過的頂點作，∵，∴，∴，，∴，∴，，的度數之比可能為，故C正確．故選：C．

【點睛】本題考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．6．（2023下·河北邢臺·九年級統考開學考試）已知表示兩幢大樓，現從點分別對點進行觀測，俯角分別為和，若點在同一條直線上，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】確定點對點進行觀測的俯角即可求解．【詳解】解：如圖所示：由題意得：

由水平線互相平行可得：∴故選：C【點睛】本題考查俯角的定義：朝下看時，視線與水平面夾角為俯角．掌握相關定義即可求解．7．（2023下·湖北武漢·七年級校考階段練習）如圖，于C，E是上一點，，，，，則與與之間的數量關系為(

)A．B．C．D．【答案】C【分析】利用可以證明，，從而得到，再由，，推出，從而得到，繼而選出選項.【詳解】解：過點H作

∵，∴∵，∴∴∴同理可得：又∵，∴∵，，∴，∴∴故選：C．【點睛】本題考查平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．8．（2023下·上海徐匯·七年級統考期末）如圖，已知船在觀測站的北偏東方向上，且在觀測站的北偏西方向上，那么的度數是．

【答案】/度【分析】過點作，根據兩直線平行，內錯角相等，即可求出答案．【詳解】解：過點作，如圖所示：

，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟練掌握兩直線平行內錯角相等是解決問題的關鍵．9．（2023下·河南周口·七年級期中）如圖，，，若，則．【答案】/26度【分析】過點作，則有，可得，，再由垂直可得，可求得，即可求．【詳解】解：過點作，如圖，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質并靈活運用．10．（2023下·山東棗莊·七年級校考期中）如圖，直線，，則．

【答案】/度【分析】過點作，進而可得，根據平行線的性質得出，根據已知條件得出，進而根據鄰補角，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作

∵，∴∴∴∴∵，∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．11．（2023下·河北廊坊·七年級校考期中）如圖，，，，則．

【答案】/度【分析】連接，根據三角形的內角和定理得出，進而得出，則，即可求解．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定：同旁內角互補，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．12．（2023下·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，，平分，，，則．【答案】【分析】過E點作EM∥AB，根據平行線的性質可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分線的定義可求得∠B+3∠D=132°，結合∠B-∠D=28°即可求解．【詳解】解：過E點作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED，∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案為：80°．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，作出輔助線證出∠BED=∠B+∠D是解題的關鍵．13．（2023下·遼寧大連·七年級統考期末）如圖，將一塊含的直角三角尺按如圖所示的方式放置，其中點，分別在直線，上，若，，則°．

【答案】40【分析】由題意可得，，則有，由平行線的性質可求得，即可求．【詳解】解：如圖，由題意得：，，

，，∵，，．故答案為：40．【點睛】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補．14．（2023下·四川成都·七年級統考期末）如圖，直線，的平分線交直線于點D，若，則的度數為．

【答案】/19度【分析】過點B作，利用平行線的性質求得，從而得到，再運用角平分線的性質得到，繼而求出，最后利用平行線的性質得到．【詳解】過點B作，∵，，∴∴，

又∵，∴，∴，又∵是的平分線，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查角平分線的定義，平分線的性質等知識，掌握平行線的性質是解題的關鍵．15．（2023上·四川成都·八年級?？计谀┨栐?、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈以及其他很多物品都與如圖所示的曲線有關、如圖，從點O照射到曲線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出．圖中如果，，則，．【答案】/40度/115度【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，內錯角相等可得，兩直線平行，同旁內角互補可得，然后計算即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，解得．故答案為：；．16．（2023下·湖南湘西·七年級校聯考期中）如圖，于點C，E是上一點，，，平分，平分，若，則的度數為．

【答案】/70度【分析】延長交于點K，根據外角的定義、平行線的性質、角平分線的定義得到，，求出，則．【詳解】解：如圖，延長交于點K，

，，，，，平分，平分，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查垂直的定義，角平分線的定義，三角形外角的定義和性質，平行線的性質等，有一定難度，解題的關鍵是正確作出輔助線．17．（2023下·湖北武漢·七年級統考期中）完成下面的證明：如圖所示，，求證：．證明：過E作，∵，∴_____________（_________），∴_______（_______）．∵（已作），∴_______（_______）．又∵______，∴．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質等知識點，過E作，根據平行線的判定與性質求解即可，熟記“平行于同一直線的兩直線平行”、“兩直線平行，內錯角相等”是解題的關鍵．【詳解】過E作，∵，∴（平行于同一直線的兩直線平行），∴（兩直線平行，內錯角相等），∵（已作），∴（兩直線平行，內錯角相等），又∵，∴．故答案為：；平行于同一直線的兩直線平行；；兩直線平行，內錯角相等；；兩直線平行，內錯角相等；．18．（2023·成都市·九年級專題練習）在圖中，若，又得到什么結論？【答案】【分析】根據圖①可得，根據圖②可得，即可根據規(guī)律得出題目的結論．【詳解】解：①如圖：過點E作，，,，，；②如圖，過E點作，過F點作過G點作，，，，，即;③如圖：，根據以上規(guī)律可得：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，根據題意將復雜的圖形轉化為基本圖形是解題的關鍵．19．（2023下·貴州遵義·七年級校考階段練習）已知：如圖，已知，，求證：(1)(2)

【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據，得到，由平行線的性質即可得到；（2）由（1）知，再根據，得到，進而得到，由平行線的性質即可得到．【詳解】（1）證明：，（同旁內角互補，兩直線平行），（兩直線平行，內錯角相等）；（2）證明：由（1）知，，，，（內錯角相等，兩直線平行），（兩直線平行，內錯角相等）．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定，熟練掌握平行線的判定和性質，靈活運用定理進行推理，是解此題的關鍵．20．（2022下·江西九江·七年級統考期末）解答(1)如圖1，平分，平分，且．請判斷與的位置關系，并說明理由．(2)如圖2，且，當直角頂點移動時，寫出與的數量關系，并說明理由．(3)如圖3，，為線段上定點，為射線上一動點（不與點重合），當點在射線上運動時，與有何數量關系？寫出結論，并加以說明．

【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據角平分線的定義，推出，利用同旁內角互補，兩直線平行即可得出結論；（2）根據兩直線平行內錯角相等，可得，再利用外角性質即可得出結論；（3）根據兩直線平行內錯角相等，可得，再利用外角性質即可得出結論．【詳解】（1）解：，理由如下：平分，平分，，，又，，；（2），理由如下：如圖，延長交于點，

，，為的一個外角，，；（3），理由如下：如圖，，，是的一個外角，，．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，三角形外角性質，熟練掌握平行線的判定與性質定理是解答本題的關鍵．21．（2023下·廣東中山·七年級校聯考期中）已知：直線，點、分別在直線，上，點為平面內一點．(1)如圖1，猜想，，的數量關系并說明理由．(2)利用（）的結論解決問題：如圖2，已知，平分，平分，，求的度數．

【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）過點E作，根據題意和平行線的判定得，根據平行線的性質得，，根據，即可得；（2）根據題意得，，根據平行線的性質得，根據得，即可得，進行計算即可；【詳解】（1），證明如下：證明：如圖1所示，過點E作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義，角的和差計算，解題的關鍵是根據圖形找到角之間的和差關系，熟練掌握平行線的性質．22．（2023下·福建莆田·七年級統考期中）如圖，，是位于，之間的一點，現作如下操作：第一次操作：分別作和的平分線，交點為．第二次操作：分別作和的平分線，交點為．第三次操作：分別作和的平分線，交點為．第次操作，分別作和的平分線，交點為．

(1)如圖1，若，，求的度數．(2)如圖2，試探究與之間的數量關系，并說明理由．(3)若，直接寫出的度數（用含a的式子表示）．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）先過作，根據，得出，再根據平行線的性質，得出，，進而得到；（2）先根據和的平分線交點為，運用（1）中的結論，得出；同理可得；（3）根據和的平分線，交點為，得出；根據和的平分線，交點為，得出；據此得到規(guī)律，最后求得的度數．【詳解】（1）解：如圖1，過作，

，，，，，；（2），理由如下：如圖2，和的平分線交點為，由（1）可得，；和的平分線交點為，由（1）可得，；（3）如圖2，和的平分線交點為，由（1）可得，；和的平分線，交點為，；以此類推，，當度時，等于．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義以及平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等的運用．解決問題的關鍵是作平行線構造內錯角，解題時注意：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．23．（2023下·四川成都·七年級校考期中）如圖1，已知直線，線段在直線a上運動，C為直線b上一定點，D為直線a，b之間一定點，E為直線b上C點右側一點．（本題中的角均為小于的角）

(1)當線段運動到圖2位置時，若與互余，求的度數；(2)在線段在直線a上運動過程中，請直接寫出，和之間的數量關系；(3)當線段運動到如圖3所示的位置時，的平分線交直線a于點F，G為直線a上點A左側一點，且，求證：．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）在左邊作，可證得，求解即可；（2）在左邊作，根據（1）的思路可證得；（3）在左邊作，利用（2）結論，再推理即可．【詳解】（1）在左邊作，則

，∵，∴，∴,∵，∴，∵與互余，∴（2）在左邊作，則

，∵，∴，∴,∵，∴;（3）在左邊作，則，，

，∵，∴，∴,∵，∴，∵，∴，∴，∵的平分線，∴，∵，∴．【點睛】本題考查的是平行線的性質、三角形內角和，掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．24．（2023下·安徽滁州·七年級統考期末）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點E，F．（1）請在橫線上填上合適的內容，完成下面的解答：如圖1，當點P在線段EF上時，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數；解：過點P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依