專題01 全等模型-倍長中線與截長補短（解析版）

專題01全等模型-倍長中線與截長補短全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補短模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長AD至點E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點型:如圖2，為的中點.證明思路：若延長至點，使得，連結(jié)，則;若延長至點，使得，連結(jié)，則.3、中點+平行線型：如圖3,，點為線段的中點.證明思路：延長交于點(或交延長線于點)，則.例1．（2022·山東煙臺·一模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【詳解】解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關鍵．例2．（2022·河北·中考模擬）倍長中線的思想在丁倍長某條線段（被延長的線段要滿足兩個條件：線段一個端點是圖中一條線段的中點；線段與這條線段不共線)，然后進行連接，構(gòu)造三角形全等，再進一步將某些線段進行等量代換，再證明全等或其他的結(jié)論，從而解決問題．【應用舉例】如圖（1），已知：為的中線，求證：．簡證：如圖（2），延長到，使得，連接，易證，得，在中，，．【問題解決】（1）如圖（3），在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于，求證：．（2）如圖（4），在中，是邊的中點，分別在邊上，，若，求的長．（3）如圖（5），是的中線，，且，請直接寫出與的數(shù)量關系_及位置關系_．【答案】；（1）詳見解析；（2）5；（3），【分析】【應用舉例】由全等的性質(zhì)可得AB=EC，由三角形三邊關系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案為EC，AE；【問題解決】（1）由題意不難得到所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC，∴有AF=EF；（2）延長ED到G，使DG=ED，連結(jié)CG、FG，不難得到EF=FG，另同（1）有△BDE≌△CDG，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的長；（3）由全等三角形的性質(zhì)可以得到解答．【詳解】【應用舉例】【問題解決】如圖延長到，使得連接易證得，．如圖，延長到，使得連接易證得，垂直平分即在中，，，理由如下：如圖3，延長AD到G，使AD=DG，延長DA交EF于P，連結(jié)BG，則不難得到△BGD≌△CAD，∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠BAC=∠EAF，∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD．【點睛】本題考查全等三角形的綜合運用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關鍵．例3．（2022·貴州畢節(jié)·二模）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請判昕AC與BF的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AC=BF，理由見解析【解析】（1）解：如圖，延長AD到點E，使DE=AD，連接BE，在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4．（2）AC=BF，理由如下：延長AD至點G，使GD=AD，連接BG，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【點睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關系，作輔助線：延長AD到點E，使DE=AD，構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．例4．（2022·山東·安丘市一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點，BE交AD于點F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖2，延長AD至點M，使，連接MC，……請根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點，連接DF、CF．請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關系，并給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】(1)延長AD至M，使，連接MC，證明，結(jié)合等角對等邊證明即可．(2)延長DF至點M，使，連接BM、AM，證明，△ABM是等邊三角形，代換后得證．【詳解】（1）證明：延長AD至M，使，連接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）線段DF與AD的數(shù)量關系為：．證明如下：延長DF至點M，使，連接BM、AM，如圖2所示：∵點F為BE的中點，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE∴，，∴∵是等邊三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．模型2.截長補短模型【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE例1．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．【答案】證明見解析【分析】如圖，在上截取證明再證明可得從而可得結(jié)論.【詳解】證明：如圖，在上截取平分平分【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用截長補短的方法證明兩條線段的和等于另一條線段”是解題的關鍵.例2．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．【答案】（1）見詳解；（2）108°；（3）見詳解【分析】（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，由CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AM，于是得到結(jié)論；（2）如圖2，設∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD＝∠KAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠AKD＝α，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根據(jù)角平分線的定義得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH＝BH，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，過D作DM⊥AB于M，∴在中，，∴∠ABC＝45°，∵∠ACB＝90°，AD是角平分線，∴CD＝MD，∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；（2）設∠ACB＝α，則∠CAB＝∠CBA＝90°?α，在AB上截取AK＝AC，連結(jié)DK，如圖2，∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分線，∴∠CAD＝∠KAD，在△CAD和△KAD中，∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°?α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°?α，∴在△BDK中，180°?α＋180°?α＋90°?α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；（3）如圖3，在AB上截取AH＝AD，連接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分線，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，連接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK-∠CBA=40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關鍵．例3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在銳角中，，點D，E分別是邊上一動點，連接BE交直線于點F．(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，點N是的中點，連接．在點D，E運動過程中，猜想線段之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）如圖1中，在射線上取一點K，使得，證明，推出，再證明，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：．首先證明．如圖2中，延長到Q，使得，連接，證明，推出，延長到P，使得，則是等邊三角形，再證明，推出，，推出是等邊三角形，可得結(jié)論【詳解】（1）解：如圖1中，在射線上取一點K，使得，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如圖2中，延長到Q，使得，連接，∵，∴，∴，，∴，∴．延長到，使得，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．例4．（2022秋·全國·八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關系．【答案】（1）證明見解析；（2）；理由見解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題；（2）延長到點，使，連接，證明，可得，即（3）連接，過點作于，證明，，進而根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延長到點，使得，連接，如圖．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）、、之間的數(shù)量關系為：．（或者：，）．延長到點，使，連接，如圖2所示．由（1）可知，．為等邊三角形．，．，．．，為等邊三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3），，之間的數(shù)量關系為：．（或者：，）解：連接，過點作于，如圖3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關鍵．課后專項訓練：1．（2022·浙江湖州·二模）如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據(jù)勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故選：C．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關鍵是得恰當作輔助線構(gòu)造全等，依據(jù)勾股定理求出BP．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個四邊形的面積是4，則BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】延長CB到點E，使BE＝DC，連接AE，AC，可以證明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根據(jù)△EAC的面積等于四邊形的面積是4，可得EC的長，進而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長CB到點E，使BE＝DC，連接AE，AC，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四邊形ABCD，∵∠DAC+∠CAB＝90°，∴∠BAE+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△EAC是等腰直角三角形，∵，∴AE＝，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、面積及等積變換、三角形面積公式、勾股定理，解題的關鍵是綜合運用以上知識．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，與有一條公共邊AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，則∠BAD=________．（用含有x的代數(shù)式表示）【答案】180°-2x【分析】在CD上截取CE=CB，證明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可進一步證明∠D+∠B=180°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．【詳解】解：在CD上截取CE=CB，如圖所示，在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°∴∠DAB+∠BCD=360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案為：180°-2x【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的難點．4．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖所示，已知AC平分∠BAD，，于點E，判斷AB、AD與BE之間有怎樣的等量關系，并證明．【答案】，證明見解析【分析】在AB上截取EF，使EF=BE，聯(lián)結(jié)CF．證明，得到，又證明，得到，最后結(jié)論可證了．【詳解】證明:在AB上截取EF，使EF=BE，聯(lián)結(jié)CF．

在和

AC平分∠BAD在和中【點睛】本題考查三角形全等知識的綜合應用，關鍵在于尋找全等的條件，作適當?shù)妮o助線加以證明．5．（2022·安徽淮南·八年級期中）利用角平分線構(gòu)造“全等模型”解決問題，事半動倍．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線．【模型構(gòu)造】（2）填空：①如圖．在中，，是的角平分線，則______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，連接，則．②如圖，在四邊形中，，，和的平分線，交于點．若，則點到的距離是______．方法二：構(gòu)距離，造全等過點作，垂足為點，則．【模型應用】（3）如圖，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點．①請直接寫出______；②試猜想與之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①；②6；（3）①120°；②，理由見解析．【分析】（1）直接利用角平分線的作法作圖即可；（2）①根據(jù)三角形的性質(zhì)：大邊對大角即可解答；②如圖：過點作，垂足為點，利用角平分線的性質(zhì)證得BE=EF=EC,即E為BC的中點，進而求得EF的長即可；（3）①利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和即可解答；②在上截取，連接；再證明得到，；再證明，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：（1）如圖所示（2）①∵∴大于；故答案為；②如圖：過點作，垂足為點，∵和的平分線，交于點∴BE=EF=EC,即BE=BC=6∴EF=6,即點到的距離是6故答案為6；（3）①∵∠A=60°∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°∵，是的兩條角平分線，且，交于點．∴∠CBE+∠BCF==60°∴180°-∠CBE+∠BCF=120°；②，理由如下：在上截取，連接，則，∴，，由①知：，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴．．【點睛】本題主要考查了角平分線的作法、性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．6．（2022·河南·模擬預測）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．某同學做了如下探究，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應該是______．（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，寫出正確的結(jié)論，并說明理由．（3）如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時的速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由見解析；（3）此時兩艦艇之間的距離是210海里【分析】（1）根據(jù)題意證明△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，可得EF=FG，根據(jù)FG=DG+DF=BE+DF，可得EF=BE+DF；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，同（1）的方法證明即可；（3）連接EF，延長AE、BF相交于點C，應用（2）的結(jié)論可得EF=AE+BF進而氣得的長，即兩艦艇之間的距離【詳解】（1）EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，如圖②，∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）如圖③，連接EF，延長AE、BF相交于點C，∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，方位角的計算，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．7．（2022·河南·許昌市九年級期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)中點、中線字樣，可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．【解決問題】受到（1）的啟發(fā)，請你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．（1）求證：BE＋CF＞EF，（2）若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明．、【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），利用三角形的三邊關系即可解決問題；（2）若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，在Rt△EBG中，根據(jù)BE2+BG2=EG2，即可解決問題；【詳解】解：（1）延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），∴CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，∴BE2+CF2=EF2；【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關系、勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．8．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級階段練習）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中點P，連接OP，試說明AC＝2OP．”聰明的小王同學根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講的“中線倍長”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個問題，按照這個思路回答下列問題．①請在圖中通過作輔助線構(gòu)造△BPE≌△DPO，并證明BE＝OD；②求證：AC＝2OP．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析【分析】（1）證出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；（2）①延長OP至E，使PE=OP，證明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BE=OD；②證明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC，則可得出結(jié)論．（1）證明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①證明：延長OP至E，使PE=OP，∵P為BD的中點，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②證明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．（2022·全國·八年級專題練習）如圖1，在中，是邊的中線，交延長線于點，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點，交于點，若，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）延長至點，使，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，根據(jù)題目已知，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，等量代換即可得出答案；（2）如圖所示，作，可證，由全等三角形的性質(zhì)相等角從而得出，進而得出，故可證等量轉(zhuǎn)化即可求出的值．【詳解】（1）如圖1所示，延長至點，使，在與中，，，，，，在與中，,，，；（2）如圖所示，，，平分，，，，，，作，在與中，，，，，在與中，，，，，，設，，，．【點睛】本題考查全等三角形的綜合應用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．10．（2022·山東東營·中考真題）已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D．我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗證]如圖1，當點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是________．（2）[探究證明]如圖2，當點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，當點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【答案】（1）；（2）仍然成立，證明見解析；（3）①仍然成立，證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)三角形全等可得；（2）方法一：過點O作直線，交BD于點F，延長AC交EF于點E，證明即可，方法二：延長CO交BD于點E，證明即可；（3）方法一：過點O作直線，交BD于點F，延長CA交EF于點E，證明，方法二：延長CO交DB的延長線于點E，證明；【詳解】（1）O是線段AB的中點在和中（2）數(shù)量關系依然成立．證明（方法一）：過點O作直線，交BD于點F，延長AC交EF于點E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形∴，由（1）知，∴，∴．證明（方法二）：延長CO交BD于點E，∵，，∴，∴，∵點O為AB的中點∴，又∵，∴，∴，∵，∴．（3）數(shù)量關系依然成立．證明（方法一）：過點O作直線，交BD于點F，延長CA交EF于點E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形．∴，由（1）知，∴，∴．10分證明（方法二）：延長CO交DB的延長線于點E，∵，，∴，∴，∴點O為AB的中點，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意找到全等的三角形，證明線段相等，是解題的關鍵．11．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．【答案】見解析【分析】延長至點，使得，連接，根據(jù)同角的補角相等得，根據(jù)證明，則，進而證明，根據(jù)證明，得到，則．【詳解】證明：延長至點，使得，連接，四邊形中，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關鍵．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，已知：在中，，、是的角平分線，交于點O求證：．【答案】見解析【分析】在AC上取一點H，使AH＝AE，根據(jù)角平分線的定義可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“邊角邊”證明△AEO和△AHO全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AE0＝∠AHO，根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠3＝60°，再根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠4＝60°，從而得到∠3＝∠4，然后利用“邊角邊”證明△CFO和△CHO全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF＝CH，再根據(jù)AC＝AH＋CH代換即可得證．【詳解】證明：如圖，在上取一點H，使，連接．∵是的角平分線，∴，在和中，∵∴，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∵、是的角平分線，∴