專題02 平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型（原卷版）

專題02平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（鉛筆頭模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過(guò)P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過(guò)P1作AM的平行線P1C，過(guò)點(diǎn)P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過(guò)各角的頂點(diǎn)依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023下·北京順義·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，若，，則的大小為（

）

A． B． C． D．例2．（2023下·陜西西安·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1所示的是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2所示的是手動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知，，，，則的度數(shù)是．例3．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖所示，已知，那么（

）

A．180° B．270° C．360° D．540°例4．（2023下·遼寧鞍山·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，則∠A+∠E+∠F+∠C等于（

）A．180° B．360° C．540° D．720°例5．（2023下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，點(diǎn)分別在直線和直線上，點(diǎn)在兩條平行線之間，和的角平分線交于點(diǎn)，已知，則的度數(shù)為．

例6．（2023下·安徽合肥·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，平分，平分，則與的數(shù)量關(guān)系為（

）

A．B．C．D．例7．（2023下·廣東東莞·七年級(jí)校考期中）如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．例8．（2023下·河南安陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為，反射光線與水平鏡面的夾角為，則．(1)【初步應(yīng)用】生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測(cè)距．如圖2當(dāng)一束“激光”射到平面鏡上，被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線，回答下列問題：①當(dāng)，（即時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，任何射到平面鏡上的光線經(jīng)過(guò)平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)及新知說(shuō)明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經(jīng)過(guò)三次反射，得到反射光線已知，若要使，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)________；例9．（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀材料】在“相交線與平行線”的學(xué)習(xí)中，有這樣一道典型問題：如圖①，，點(diǎn)P在與之間，可得結(jié)論：．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作．∴．∵，∴．∴．∴．【問題解決】(1)如圖②，，點(diǎn)P在與之間，求證：；(2)如圖③，，點(diǎn)P在與之間，平分，平分，寫出與間的等量關(guān)系，并寫出理由；(3)如圖④，，點(diǎn)P，E在與之間，，，可得與間的等量關(guān)系是______（只寫結(jié)論）課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·河北邢臺(tái)·七年級(jí)?？计谥校┥钪谐Ｒ娨环N折疊攔道閘如圖1所示．若想求解某些特殊狀態(tài)下的角度，需將其抽象為如圖2所示的幾何圖形，其中，垂足為A，，則（

）

A． B． C． D．2．（2023下·湖北隨州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，則（

）

A． B． C． D．3．（2023下·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，為、之間的一點(diǎn)，連接、，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023下·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)襄陽(yáng)四中校考階段練習(xí)）如圖，已知，則（

）

A． B． C． D．5.（2023上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為（）

A．55° B．70° C．60° D．35°6．（2023下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長(zhǎng)方形紙片的相鄰兩個(gè)角，并使，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2022上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）8．（2023上·福建南平·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在五邊形中，，分別是，的外角，則的度數(shù)為．

9．（2023下·山東青島·七年級(jí)?？计谥校┠陈房诩t綠燈的平面示意圖如圖所示，平行于地面，垂直于地面，已知的度數(shù)是，則的度數(shù)是°．10．（2023下·江西吉安·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖按虛線剪去長(zhǎng)方形紙片的相鄰兩個(gè)角，并使，，則的度數(shù)為．

11．（2023下·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是．

12．（2023下·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．13．（2023下·河北保定·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，則，則等于（用含的式子表示）．

14．（2023下·湖北隨州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，平分，，在式子：①；②；③；④中，值為的序號(hào)是．

15．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖一，，，，則．（2）如圖二，，，，，分別平分和，則，滿足的數(shù)量關(guān)系為．

16．（2023下·天津?yàn)I海新·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．

（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．17．（2023·廣東肇慶·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，求的度數(shù)．

18．（2023·成都·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，直線，，，求的度數(shù).19．（2023下·廣東梅州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)C在和之間、連接，與的平分線交于點(diǎn)F，求與之間的數(shù)量關(guān)系．

20．（2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，與的角平分線相交于點(diǎn)，（1），，求與之間的數(shù)量關(guān)系；（2），，設(shè)，直接用含有，的代數(shù)式表示寫出∠M=____.21．（2023·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．22．（2023下·河南三門峽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下圖所示的格線彼此平行，小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數(shù)量關(guān)系，他先作出．

(1)如圖1，點(diǎn)O在一條格線上，當(dāng)時(shí)，__________；(2)如圖2，點(diǎn)O在兩條格線之間，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（可根據(jù)證明的需要用a，b，c，…來(lái)表示圖中的格線）；(3)在圖3中，記與圖中一條格線形成的銳角為，小明作射線，使得，記與圖中一條格線形成的銳角為，請(qǐng)直接用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系．23．（2023下·山西長(zhǎng)治·七年級(jí)校考階段練習(xí)）綜合與探究已知，為的平分線，為的平分線，和相交于點(diǎn)．(1)在圖1中，，，之間的數(shù)量關(guān)系為___________，，之間的數(shù)量關(guān)系為___________(2)如圖2，若，，試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)若，，請(qǐng)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系；24